定積分的計(jì)算和應(yīng)用

1、定積分的計(jì)算與應(yīng)用見(jiàn)濤（阜陽(yáng)師范學(xué)院附屬中學(xué)，） 摘 要： 定積分是微積分學(xué)中從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的一個(gè)重要的基本概念，也是積分學(xué)的基本運(yùn)算之一.本文主要討論定積分的計(jì)算及其應(yīng)用，對(duì)一些常用的方法和技巧進(jìn)行了歸納和總結(jié)，并較為深入地探討了定積分在幾何，物理，經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著非常廣泛的應(yīng)用.關(guān)鍵詞： 定積分； 計(jì)算； 應(yīng)用眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分微分實(shí)際上是求一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而積分是已知一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求這一函數(shù).所以，微分與積分互為逆運(yùn)算.實(shí)際上，積分還可以分為兩部分.第一種是單純的積分，也就是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)，而若的導(dǎo)數(shù)是，那么(是常量)的導(dǎo)數(shù)也是，也就是說(shuō)，把積分不一定能得到，因

2、為的導(dǎo)數(shù)也是，是無(wú)窮無(wú)盡的常數(shù)，所以積分的結(jié)果有無(wú)數(shù)個(gè)，是不確定的我們一律用代替，這就稱(chēng)為不定積分.而相對(duì)于不定積分，就是定積分.所謂定積分，就是以平面圖形的面積問(wèn)題引出的.為定義在上的函數(shù)，為求由所圍圖形的面積，采用古希臘人的窮舉法，先在小范圍內(nèi)以直代曲，求出的近似值，再取極限得到所求面積，為此，先將分成等份：，取，記，則為的近似值，當(dāng)+時(shí)， 的極限應(yīng)可作為面積.把這一類(lèi)問(wèn)題的思想方法抽象出來(lái)，便得定積分的概念 定義：對(duì)于定義在上的函數(shù)，作分劃， 若存在一個(gè)與分劃及的取法都無(wú)關(guān)的常數(shù)，使得 (1) 則稱(chēng)為在上的定積分，記作，稱(chēng)為積分區(qū)間， 稱(chēng)為被積函數(shù)，分別稱(chēng)為積分的下限和上限.當(dāng)?shù)脑瘮?shù)存

3、在時(shí)，定積分的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為求的不定積分.其實(shí)定積分也叫黎曼積分.我們還可以看到，定積分的本質(zhì)是把圖像無(wú)限細(xì)分，再累加起來(lái)，而積分的本質(zhì)是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù).它們看起來(lái)沒(méi)有任何的聯(lián)系，那么，為什么定積分寫(xiě)成積分的形式呢？定積分和積分看起來(lái)風(fēng)馬牛不相及，但是由于一個(gè)數(shù)學(xué)上重要理論的支撐，使得它們有了本質(zhì)的密切聯(lián)系.把一個(gè)圖形無(wú)限細(xì)分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個(gè)理論，可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算積分.這個(gè)重要理論就是大名鼎鼎的牛頓萊布尼茲公式定理（牛頓萊布尼茲公式）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且是它在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則 = 也常寫(xiě)成 = (2)此公式用文字表述就是說(shuō)一個(gè)定積分式的值.就等于上限在原函

4、數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差，且這個(gè)差值是確定的，是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)函數(shù).正因?yàn)檫@個(gè)理論揭示了積分與定積分本質(zhì)的聯(lián)系，可見(jiàn)定積分在積分學(xué)以至更高等的數(shù)學(xué)上或其它領(lǐng)域的重要地位.因此，牛頓萊布尼茲公式也被稱(chēng)作微積分基本定理.一、定積分的計(jì)算方法（一）幾種基本的定積分計(jì)算方法由牛頓萊布尼茲公式知，計(jì)算連續(xù)函數(shù)的定積分，關(guān)鍵是求的原函數(shù)，也就是求的不定積分，那么由不定積分的換元積分法和分部積分法，自然推出定積分的換元積分法和分部積分法. 用定義計(jì)算例1 計(jì)算定積分解 設(shè),用分點(diǎn)把區(qū)間分割為個(gè)小區(qū)間,記,在上任取一點(diǎn),有,作積分和 = =,則 .因此 . 利用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算例2 求解 . 換

5、元法 例3 計(jì)算解 =(湊微元法)例4 求解 設(shè)，從而，當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí)，=.則 = 注意：用把原來(lái)的變量換成新變量時(shí)，積分限也要換為相應(yīng)新變量的積分限.即對(duì)應(yīng)的為下限，對(duì)應(yīng)的為上限；公式中的誰(shuí)大誰(shuí)小不受限制. 分部積分法例5 求解 設(shè)，于是 .則.注意：在利用分部積分公式計(jì)算定積分時(shí)，不必等到原函數(shù)求出以后才將上下限代入，可以算一步就代一步.（二）幾種簡(jiǎn)化的定積分計(jì)算方法 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上函數(shù)的定積分例6 計(jì)算解 由于為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以 = =.2 .周期函數(shù)的定積分例7 設(shè)是周期為的周期函數(shù)，且連續(xù)，則 （是任意常數(shù)） 證明：由于 又 所以 3.遞推公式例8 計(jì)算解 = =.4.恒等

6、變形例9 計(jì)算解 =,由于 ，所以 原式=.二、定積分的應(yīng)用定積分的概念是從許多實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，所以它的應(yīng)用是多方面的幾何上的應(yīng)用包括求體積，弧長(zhǎng)，面積；物理上的應(yīng)用將包括計(jì)算力所做的功，靜壓力，引力等等；及其在經(jīng)濟(jì)上的一些應(yīng)用.（一）定積分在幾何中的應(yīng)用 平面圖形的面積 解這類(lèi)問(wèn)題一般應(yīng)用微元法例10 計(jì)算橢圓所圍成的平面圖形的面積解 由于橢圓關(guān)于軸與軸對(duì)稱(chēng)，所以只需計(jì)算位于第一象限部分的面積,然后乘以4就得到所求平面圖形的面積.由，現(xiàn)選擇為積分變量（也可選擇為積分變量，難易程度相當(dāng)）它的變化區(qū)間為，于是 ，令,則，當(dāng)時(shí)，；.所以 =，特別地 當(dāng)時(shí)，得圓的面積為.注：求解這類(lèi)簡(jiǎn)單曲線時(shí)

7、，首先應(yīng)求出曲線的交點(diǎn)；畫(huà)出經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的曲線；選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量可使運(yùn)算簡(jiǎn)便. 旋轉(zhuǎn)體的體積例11 計(jì)算橢圓圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)橢球體的體積.解 ,如果，就得到半徑為的球的體積為.例12 求由拋物線，直線及軸所圍成的平面圖形分別繞軸，軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積 解 設(shè)繞，軸旋轉(zhuǎn)的體積分別為，則 , 參考文獻(xiàn)：1 Robert Ellis Denny Gulick.微積分(上)M.江蘇:科學(xué)技術(shù)出版社,1987年6月. 388.2 謝盛剛.微積分(上)M.北京:科學(xué)出版社,2004年7月. 134.3 謝盛剛.微積分(上)M.北京:科學(xué)出版社,2004年7月. 136.4 錢(qián)吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹M.武漢:崇文書(shū)局,20