中考數(shù)學考點解密 開放探索性問題(含解析)

1、中考數(shù)學考點解密 開放探索性問題第一部分 講解部分一、專題詮釋開放探究型問題，可分為開放型問題和探究型問題兩類開放型問題是相對于有明確條件和明確結(jié)論的封閉型問題而言的，它是條件或結(jié)論給定不完全、答案不唯一的一類問題這類試題已成為近年中考的熱點，重在考查同學們分析、探索能力以及思維的發(fā)散性，但難度適中根據(jù)其特征大致可分為：條件開放型、結(jié)論開放型、方法開放型和編制開放型等四類 探究型問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷，補充并加以證明的一類問題根據(jù)其特征大致可分為：條件探究型、結(jié)論探究型、規(guī)律探究型和存在性探究型等四類二、解題策略與解法精講由于開放探究型試題的知識覆蓋面較大，綜

2、合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當?shù)纳疃群碗y度，所以要求同學們在復習時，首先對于基礎知識一定要復習全面，并力求扎實牢靠；其次是要加強對解答這類試題的練習，注意各知識點之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答由于題型新穎、綜合性強、結(jié)構(gòu)獨特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角度考慮： 1利用特殊值（特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律 2反演推理法（反證法），即假設結(jié)論成立,根據(jù)假設進行推理，看是推導出矛盾還是能與已知條件一致 3分類討論法當命題的題設和結(jié)論不惟一確定，難以統(tǒng)一解

3、答時，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果 4類比猜想法即由一個問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴密的論證 以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略，因而具體操作時，應更注重數(shù)學思想方法的綜合運用三、考點精講（一）開放型問題 考點一：條件開放型： 條件開放題是指結(jié)論給定，條件未知或不全，需探求與結(jié)論相對應的條件解這種開放問題的一般思路是：由已知的結(jié)論反思題目應具備怎樣的條件，即從題目的結(jié)論出發(fā)，逆向追索，逐步探求例1：（2011江蘇淮安）在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.請再添加一個條件，

4、使四邊形ABCD是矩形.你添加的條件是 .(寫出一種即可)分析：已知兩組對邊相等，如果其對角線相等可得到ABDABCADCBCD，進而得到，A=B=C=D=90°，使四邊形ABCD是矩形解：若四邊形ABCD的對角線相等，則由AB=DC，AD=BC可得ABDABCADCBCD，所以四邊形ABCD的四個內(nèi)角相等分別等于90°即直角，所以四邊形ABCD是矩形，故答案為：對角線相等評注：此題屬開放型題，考查的是矩形的判定，根據(jù)矩形的判定，關鍵是是要得到四個內(nèi)角相等即直角考點二：結(jié)論開放型：給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應的結(jié)論并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，這些問題都是結(jié)

5、論開放問題這類問題的解題思路是：充分利用已知條件或圖形特征，進行猜想、類比、聯(lián)想、歸納，透徹分析出給定條件下可能存在的結(jié)論，然后經(jīng)過論證作出取舍例2：（2011天津）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，1），且滿足y隨x的增大而增大，則該一次函數(shù)的解析式可以為 分析：先設出一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，1）可確定出b的值，再根據(jù)y隨x的增大而增大確定出k的符號即可解：設一次函數(shù)的解析式為：y=kx+b（k0），一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，1），b=1，y隨x的增大而增大，k0，故答案為y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k0的一次函數(shù)）評注：本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，

6、即一次函數(shù)y=kx+b（k0）中，k0，y隨x的增大而增大，與y軸交于（0，b），當b0時，（0，b）在y軸的正半軸上考點三：條件和結(jié)論都開放的問題：此類問題沒有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具有多樣性，因此必須認真觀察與思考，將已知的信息集中分析，挖掘問題成立的條件或特定條件下的結(jié)論，多方面、多角度、多層次探索條件和結(jié)論，并進行證明或判斷例3：（2010玉溪）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，請?zhí)砑舆m當條件后，構(gòu)造出一對全等的三角形，并說明理由分析：先連接BE，再過D作DFBE交BC于F，可構(gòu)造全等三角形ABE和CDF利用ABCD是平行四邊形，可得出兩個條件，再結(jié)合DEBF

7、，BEDF，又可得一個平行四邊形，那么利用其性質(zhì)，可得DE=BF，結(jié)合AD=BC，等量減等量差相等，可證AE=CF，利用SAS可證三角形全等解：添加的條件是連接BE，過D作DFBE交BC于點F，構(gòu)造的全等三角形是ABE與CDF理由：平行四邊形ABCD，AE=ED，在ABE與CDF中，AB=CD，EAB=FCD，又DEBF，DFBE，四邊形BFDE是平行四邊形，DE=BF，又AD=BC，ADDE=BCBF，即AE=CF，ABECDF（答案不唯一，也可增加其它條件）評注：本題利用了平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定、以及等量減等量差相等等知識考點四：編制開放型：此類問題是指條件、結(jié)論、解題方

8、法都不全或未知，而僅提供一種問題情境，需要我們補充條件，設計結(jié)論，尋求解法的一類題，它更具有開放性例4：（2010年江蘇鹽城中考題）某校九年級兩個班各為玉樹地震災區(qū)捐款1800元已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人數(shù)比1班的人數(shù)少10%請你根據(jù)上述信息，就這兩個班級的“人數(shù)”或“人均捐款”提出一個用分式方程解決的問題，并寫出解題過程分析：本題的等量關系是：兩班捐款數(shù)之和為1800元；2班捐款數(shù)-1班捐款數(shù)=4元；1班人數(shù)=2班人數(shù)×90%，從而提問解答即可解：解法一：求兩個班人均捐款各多少元？ 設1班人均捐款x元，則2班人均捐款（x+4）元，根據(jù)題意得 ·90%= 解得x

9、=36 經(jīng)檢驗x=36是原方程的根 x+4=40 答：1班人均捐36元，2班人均捐40元解法二：求兩個班人數(shù)各多少人？ 設1班有x人，則根據(jù)題意得 +4= 解得x=50 ，經(jīng)檢驗x=50是原方程的根 90x % =45 答：1班有50人，2班有45人評注：對于此類編制開放型問題，是一類新型的開放型問題，它要求學生的思維較發(fā)散，寫出符合題意的正確答案即可，難度要求不大，但學生容易犯想當然的錯誤，敘述不夠準確，如單位的問題、符合實際等要求，在解題中應該注意防范（二）探究型問題考點五：動態(tài)探索型：此類問題結(jié)論明確，而需探究發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件的題目例5：（2011臨沂）如圖1，將三角板放在正方形AB

10、CD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合，三角扳的一邊交CD于點F另一邊交CB的延長線于點G（1）求證：EF=EG；（2）如圖2，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立請說明理由：（3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點B，其他條件不變，若AB=a、BC=b，求的值分析：（1）由GEB+BEF=90°，DEF+BEF=90°，可得DEF=GEB，又由正方形的性質(zhì)，可利用SAS證得RtFEDRtGEB，則問題得證；（2）首先點

11、E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I，然后利用SAS證得RtFEIRtGEH，則問題得證；（3）首先過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，易證得EMAB，ENAD，則可證得CENCAD，CEMCAB，又由有兩角對應相等的三角形相似，證得GMEFNE，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案解：（1）證明：GEB+BEF=90°，DEF+BEF=90°，DEF=GEB，又ED=BE，RtFEDRtGEB， EF=EG；（2）成立證明：如圖，過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I，則EH=EI，HEI=90°，GEH+HEF=90°

12、，IEF+HEF=90°，IEF=GEH，RtFEIRtGEH，EF=EG；（3）解：如圖，過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，則MEN=90°，EMAB，ENADCENCAD，CEMCAB，即，IEF+FEM=GEM+FEM=90°，GEM=FEN，GME=FNE=90°，GMEFNE，評注：此題考查了正方形，矩形的性質(zhì)，以及全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)此題綜合性較強，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用考點六：結(jié)論探究型：此類問題給定條件但無明確結(jié)論或結(jié)論不惟一，而需探索發(fā)現(xiàn)與之相應的結(jié)論的題目例6：（2011福建省三明市）在矩形ABCD中，點P

13、在AD上，AB=2，AP=1將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，連接EF（如圖）（1）當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖），求PC的長；（2）探究：將直尺從圖中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當點E和點A重合時停止在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：tanPEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由；直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經(jīng)過的路線長分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余關系證明APBDCP，利用相似比求PC；（2）tanPEF的值不變過F作FGAD，垂足為G，同（1）的方法證明APBDCP，得相似比=2，再利用銳角三角函數(shù)的定義求值；（3）如圖3，畫

14、出起始位置和終點位置時，線段EF的中點O1，O2，連接O1O2，線段O1O2即為線段EF的中點經(jīng)過的路線長，也就是BPC的中位線解：（1）在矩形ABCD中，A=D=90°，AP=1，CD=AB=2，則PB=，ABP+APB=90°，又BPC=90°，APB+DPC=90°，ABP=DPC，APBDCP，即，PC=2；（2）tanPEF的值不變理由：過F作FGAD，垂足為G，則四邊形ABFG是矩形，A=PFG=90°，GF=AB=2，AEP+APE=90°，又EPF=90°，APE+GPF=90°，AEP=GPF，A

15、PEGPF，=2，RtEPF中，tanPEF=2，tanPEF的值不變；（3）線段EF的中點經(jīng)過的路線長為評注：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形關鍵是利用互余關系證明相似三角形考點七：規(guī)律探究型：規(guī)律探索問題是指由幾個具體結(jié)論通過類比、猜想、推理等一系列的數(shù)學思維過程，來探求一般性結(jié)論的問題，解決這類問題的一般思路是通過對所給的具體的結(jié)論進行全面、細致的觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律，并猜想出一般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以運用.例7：（2011四川成都）設, 設，則S_ (用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù))分析：由，求，得出一般規(guī)律解：，故答案為：

16、 評注：本題考查了二次根式的化簡求值關鍵是由Sn變形，得出一般規(guī)律，尋找抵消規(guī)律考點八：存在探索型：此類問題在一定的條件下，需探究發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學關系是否存在的題目例8：（2011遼寧大連）如圖15，拋物線yax2+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M，連接PB（1）求該拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在一點Q，使QMB與PMB的面積相等，若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由；（3）在第一象限、對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點R，使RPM與RMB的面積相等，若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由圖15分析：（1）利

17、用待定系數(shù)法求解；（2）若想求Q點坐標，Q到MB的距離應該等于P到MB的距離，所以Q點應該在經(jīng)過P點且平行于BM的直線上，或者在這條直線關于BM對稱的直線上，因此，求出這兩條直線的解析式，其與拋物線的交點即為所求Q點；（3）設出R點坐標，分別用其橫坐標表示出RPM與RMB的面積，利用相等列出方程即可求出R點坐標解：（1）（2）P（1，4）BC：，M（1，2）P（1，4）；PB：，當PQ BC 時：設PQ1：P（1，4）在直線PQ上；PQ1：解得，：（2，3）；將PQ向下平移4個單位得到解得，：（，）；：（，）（3）存在，設R的坐標為（，） P（1，4），M（1，2） 解得，（舍）當時，R（，2

18、）G評注：求面積相等問題通常是利用過頂點的平行線完成；在表示面積問題時，對于邊不在特殊線上的通常要分割四、真題演練1（2011山東濰坊）一個y關于x的函數(shù)同時滿足兩個條件：圖象過(2，1)點；當時y隨x的增大而減小，這個函數(shù)解析式為_ (寫出一個即可)2（2011山西）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，添加一個條件：_ _，可使它成為矩形（第14題）A B C D o 3（2011泰州）“一根彈簧原長10cm，在彈性限度內(nèi)最多可掛質(zhì)量為5kg的物體，掛上物體后彈簧伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比，則彈簧的總長度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x（kg）之間的函數(shù)關系式為y=10+0.5x（0x5）”王

19、剛同學在閱讀上面材料時發(fā)現(xiàn)部分內(nèi)容被墨跡污染，被污染的部分是確定函數(shù)關系式的一個條件，你認為該條件可以是： （只需寫出1個）3（ 4（2011廣西百色）已知矩形ABCD的對角線相交于點O，M、N分別是OD、OC上異于O、C、D的點（1）請你在下列條件DM=CN，OM=ON，MN是OCD的中位線，MNAB中任選一個添加條件（或添加一個你認為更滿意的其他條件），使四邊形ABNM為等腰梯形，你添加的條件是 （2）添加條件后，請證明四邊形ABNM是等腰梯形第二部分 練習部分1（2011賀州）寫出一個正比例函數(shù)，使其圖象經(jīng)過第二、四象限：y=x（答案不唯一）分析：先設出此正比例函數(shù)的解析式，再根據(jù)正比例

20、函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限確定出k的符號，再寫出符合條件的正比例函數(shù)即可解答：解：2（2011湖南張家界）在ABC中，AB=8，AC=6，在DEF中，DE=4，DF=3，要使ABC與DEF相似，則需添加的一個條件是 （寫出一種情況即可）分析：解答：解：則需添加的一個條件是：BC：EF=2：1在ABC中，AB=8，AC=6，在DEF中，DE=4，DF=3，AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，BC：EF=2：1ABCDEF故答案為：3（2010江蘇連云港中考題）若關于x的方程x2mx30有實數(shù)根，則m的值可以為_(任意給出一個符合條件的值即可)4（2011廣東湛江）如圖，點B，C，F(xiàn)，E在同直線

21、上，1=2，BC=EF，1 _（填“是”或“不是”）2的對頂角，要使ABCDEF，還需添加一個條件，可以是 _（只需寫出一個）5（2011福建省漳州市，19,8分）如圖，B=D，請在不增加輔助線的情況下，添加一個適當?shù)臈l件，使ABCADE，并證明（1）添加的條件是 ；（2）證明：6（2010浙江杭州中考題）給出下列命題：命題1 點(1,1)是直線y x與雙曲線y 的一個交點;命題2 點(2,4)是直線y 2x與雙曲線y 的一個交點;命題3 點(3,9)是直線y 3x與雙曲線y 的一個交點; （1）請觀察上面命題，猜想出命題(是正整數(shù));（2）證明你猜想的命題n是正確的7（2011德州）觀察計算

22、當a=5，b=3時，與的大小關系是當a=4，b=4時，與的大小關系是=探究證明如圖所示，ABC為圓O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，過C作CDAB于D，設AD=a，BD=b（1）分別用a，b表示線段OC，CD；（2）探求OC與CD表達式之間存在的關系（用含a，b的式子表示）歸納結(jié)論根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出與的大小關系是：實踐應用要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值8（2011浙江紹興）數(shù)學課上，李老師出示了如下框中的題目在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC，如圖試確定線段AE與DB的大小關系，并說明理由小敏與同

23、桌小聰討論后，進行了如下解答：（1）特殊情況探索結(jié)論當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與的DB大小關系請你直接寫出結(jié)論：AE=DB（填“”，“”或“=”）（2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE=DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如圖2，過點E作EFBC，交AC于點F，（請你完成以下解答過程）（3）拓展結(jié)論，設計新題在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC若ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫出結(jié)果）“真題演練”參考答案1【分析】本題的函數(shù)沒有指定是什么具體的函數(shù)，可以從一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)三方面考慮，只

24、要符合條件即可【答案】符合題意的函數(shù)解析式可以是y= ，y=-x+3，y=-x2+5等，（本題答案不唯一）故答案為：y=，y=-x+3，y=-x2+5等2【分析】：由有一個角是直角的平行四邊形是矩形想到添加ABC90°； 由對角線相等的平行四邊形是矩形想到添加ACBD【答案】ABC90°（或ACBD等）3解：根據(jù)彈簧的總長度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x（kg）之間的函數(shù)關系式為y=10+0.5x（0x5）可以得到：當x=1時，彈簧總長為10.5cm，當x=2時，彈簧總長為11cm，每增加1千克重物彈簧伸長0.5cm，故答案為：每增加1千克重物彈簧伸長0.5cm4解：（1）選擇DM=CN；（2）證明：AD=BC，ADM=BCN，DM=CNANDBCN，AM=BN，由OD=OC知OM=ON，MNCDAB，且MNAB四邊形ABNM是等腰梯形“練習部分”參考答案1【分析】設此正比例函數(shù)的解析式為y=kx（k0），此正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限，k0，符合條件的正比例函數(shù)解析式可以為：y=x（答案不唯一）【答案】故答案為：y=x（答案不唯一）2【分析】因為兩三角形三邊對應成比例，那么這兩個三角形就相似，從題目知道有兩組個對應邊的比為2：1，所以第三組也滿足這個比例即可 【答案】BC：EF=2：13【分析】由于這個方程有實數(shù)根，因此0，即m212【答案