備考各地名校試題解析分類匯編一理科數(shù)學立體幾何

1、各地解析分類匯編:立體幾何1【云南省玉溪一中2013屆高三上學期期中考試理】一個幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由主視圖和左視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，得到這是一個四棱錐，底面是一個邊長是1的正方形，一條側棱AE與底面垂直，根據(jù)求與四棱錐的對稱性知，外接球的直徑是AC根據(jù)直角三角形的勾股定理知,半徑為，所以外接球的面積為，選C. 2.【云南省玉溪一中2013屆高三上學期期中考試理】設表示不同的直線，表示不同的平面，給出下列四個命題： 若，且則； 若，且.則；若

2、，則mn； 若且n,則m.其中正確命題的個數(shù)是( )A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】正確；中當直線時，不成立；中，還有可能相交一點，不成立；正確，所以正確的有2個，選B.3.【云南師大附中2013屆高三高考適應性月考卷（三）理科】一個幾何體的三視圖如圖l所示，其中正視圖是一個正三角形，則該幾何體的體積為（ ） A1B CD 【答案】B【解析】由三視圖可知，此幾何體為三棱錐，如圖1，其中正視圖為，是邊長為2的正三角形，且，底面為等腰直角三角形，所以體積為，故選B. 圖14.【云南省玉溪一中2013屆高三第三次月考 理】已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為（ ）A16B4C8D

3、2【答案】B【解析】由三視圖可知該幾何體是三棱錐，且三棱錐的高為1，底面為一個直角三角形，由于底面斜邊上的中線長為1，則底面的外接圓半徑為1，頂點在底面上的投影落在底面外接圓的圓心上，由于頂點到底面的距離，與底面外接圓的半徑相等則三棱錐的外接球半徑R為1，則三棱錐的外接球表面積，選B.5.【云南省昆明一中2013屆高三新課程第一次摸底測試理】如圖， 在長方體ABCDA1B1C1D1中，對角線B1D與平面A1BC1相交于點E，則點E為A1BC1的A垂心B內(nèi)心C外心D重心【答案】D【解析】如圖，,所以,且為的中點，選D.6.【云南省昆明一中2013屆高三新課程第一次摸底測試理】某幾何體的三視圖如圖

4、所示，則該幾何體的表面積為ABCD32【答案】B【解析】根據(jù)三視圖可知，這是一個四棱臺，所以表面積為，選B.7.【山東省煙臺市萊州一中20l3屆高三第二次質量檢測 （理）】設b，c表示兩條直線，表示兩個平面，則下列命題正確的是A.若B.若C.若D.若【答案】D【解析】A中，與也有可能異面；B中也有可能；C中不一定垂直平面；D中根據(jù)面面垂直的判定定理可知正確，選D.8.【山東省聊城市東阿一中2013屆高三上學期期初考試 】設直線m、n和平面,下列四個命題中，正確的是 （ ） A. 若 B. 若 C. 若 D. 若【答案】D【解析】因為選項A中，兩條直線同時平行與同一個平面，則兩直線的位置關系有三

5、種，選項B中，只有Mm,n相交時成立，選項C中，只有m垂直于交線時成立，故選D9.【北京市東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學（理）】 已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是A B C D 【答案】B【解析】根據(jù)線面垂直的性質可知，B正確。【北京市東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學（理）】一個棱錐的三視圖如圖（尺寸的長度單位為）， 則該棱錐的體積是A B C D 【答案】A【解析】由三視圖可以看出，此幾何體是一個側面與底面垂直且底面與垂直于底面的側面全等的三棱錐由圖中數(shù)據(jù)知此兩面皆為等腰直角三角形，高為2，底面邊長為2，底面面積故此三棱錐的體積為，選A. 10.【云南

6、省玉溪一中2013屆高三第三次月考 理】設動點在棱長為1的正方體的對角線上，記。當為鈍角時，則的取值范圍是 。【答案】【解析】由題設可知，以、為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則有，則，得，所以，顯然不是平角，所以為鈍角等價于，即，即，解得，因此的取值范圍是。11.【云南省玉溪一中2013屆高三第四次月考理】已知正三棱錐，點都在半徑為的球面上，若兩兩互相垂直，則球心到截面的距離為_.【答案】【解析】因為在正三棱錐ABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作為一個正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對角線為球的直徑，球心為正方體對角線

7、的中點.球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的高.已知球的半徑為，所以正方體的棱長為2，可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為.12.【云南師大附中2013屆高三高考適應性月考卷（三）理科】正三棱錐ABCD內(nèi)接于球O，且底面邊長為，側棱長為2，則球O的表面積為_ 【答案】【解析】如圖3，設三棱錐的外接球球心為O，圖3半徑為r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，M為正的中心，則DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以.13.【山東省濟南外國語學校2013屆高三上學期期中考試 理科】一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則

8、該幾何體的體積為 .【答案】4【解析】由三視圖可知，該組合體是由兩個邊長分別為2,1，1和1,1,2的兩個長方體，所以體積之和為。14.【山東省煙臺市萊州一中20l3屆高三第二次質量檢測 （理）】一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為_.【答案】【解析】由三視圖可知，該組合體下部是底面邊長為2，高為3的正四棱柱，上部是半徑為2的半球，所以它的表面積為。15.【天津市新華中學2012屆高三上學期第二次月考理】 如圖為一個幾何體的三視圖，其中俯視為正三角形，AB=2,AA=4，則該幾何體的表面積為_。 【答案】【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個正三棱柱，底面邊長為2，高是4.所以該三

9、棱柱的表面積為。16.【云南省玉溪一中2013屆高三第三次月考 理】（本小題滿分12分）如圖，在長方體，中，點在棱AB上移動.（1）證明：； （2）當為的中點時，求點到面的距離； （3）等于何值時，二面角的大小為.【答案】解：以為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則2分（1）4分（2）因為為的中點，則，從而，設平面的法向量為，則也即，得，從而，所以點到平面的距離為8分（3）設平面的法向量，由 令，依題意（不合，舍去）， .時，二面角的大小為. 12分17.【云南省玉溪一中2013屆高三第四次月考理】（本題12分）如圖6，在長方體中，為中點.（1）求證：；（2）在棱上是否存在一點，

10、使得平面?若存在，求的長；若不存在，說明理由；（3）若二面角的大小為30°，求的長. 圖6【答案】解:（1）以A為原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖).設ABa，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.因為·×01×1(1)×10，所以B1EAD1.（2）假設在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此時(0，1，z0).又設平面B1AE的法向量n(x，y，z).因為n平面B1AE，所以n，n，得取x1，得平面B1A

11、E的一個法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，所以存在點P，滿足DP平面B1AE，此時AP.（3）連接A1D，B1C，由長方體ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.因為B1CA1D，所以AD1B1C.又由（1）知B1EAD1，且B1CB1EB1，所以AD1平面DCB1A1.所以是平面A1B1E的一個法向量，此時(0,1,1).設與n所成的角為，則cos.因為二面角AB1EA1的大小為30°，所以|cos|cos30°，即，解得a2，即AB的長為2.18.【云南師大附中2013屆高三高考適應性月考卷（三）理科】（本

12、小題滿分12分） 如圖5甲，四邊形ABCD中，E是BC的中點，DB =2, DC=1，BC=，AB =AD=將（圖甲）沿直線BD折起，使二面角A BD C為60o（如圖乙） （）求證：AE平面BDC; （）求點B到平面ACD的距離【答案】圖4（）證明：如圖4，取BD中點M，連接AM，ME.因為AB=AD=，所以AMBD， 因為DB=2，DC=1，BC=，滿足：DB2+DC2=BC2， 所以BCD是以BC為斜邊的直角三角形，BDDC， 因為E是BC的中點，所以ME為BCD的中位線，ME ， MEBD，ME=，（2分） AME是二面角A-BD-C的平面角，=°. ，且AM、ME

13、是平面AME內(nèi)兩條相交于點M的直線，平面AEM，.（4分） ，為等腰直角三角形，在AME中，由余弦定理得：， ，.（6分）圖5（）解法一：等體積法.解法二：如圖5，以M為原點，MB所在直線為x軸，ME所在直線為y軸，平行于EA的直線為z軸，建立空間直角坐標系， （7分）則由（）及已知條件可知B(1，0，0)，D，C.則 （8分）設平面ACD的法向量為=，則令則z=-2，（10分）記點到平面的距離為d，則，所以d. （12分）19.【北京市東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考數(shù)學（理）】（本小題滿分分） 已知：如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，且，為中點（）證明：/平面；（）證明：平面平面；（）

14、求二面角的正弦值【答案】解： （）證明：連結BD交AC于點O，連結EO 1分O為BD中點，E為PD中點，EO/PB 2分EO平面AEC，PB平面AEC， 3分 PB/平面AEC （）證明： PA平面ABCD平面ABCD， 4分又在正方形ABCD中且， 5分CD平面PAD 6分又平面PCD，平面平面 7分（）如圖，以A為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系 8分由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標分別為A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）,C（2, 2, 0）, D（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, E（0, 1, 1） 9分PA平面ABCD，是平面

15、ABCD的法向量，=（0, 0, 2）設平面AEC的法向量為, , 則 即 令,則 11分, 12分二面角的正弦值為 13分20.【云南省玉溪一中2013屆高三上學期期中考試理】（本小題滿分12分） 在直三棱柱中， ACB=90°,是 的中點，是的中點 （）求證：MN平面 ； （）求點到平面BMC的距離； （）求二面角的平面角的余弦值大小。【答案】（1）如圖所示，取B1C1中點D，連結ND、A1D DNBB1AA1 又DN 四邊形A1MND為平行四邊形。 MNA1 D 又 MN 平面A1B1C1 AD1平面A1B1C1 MN平面-4分(2)因三棱柱為直三棱柱， C1 C BC，又AC

16、B=90°BC平面A1MC1在平面ACC1 A1中，過C1作C1HCM，又BCC1H，故C1H為C1點到平面BMC的距離。在等腰三角形CMC1中，C1 C=2,CM=C1M=.-8分(3)在平面ACC1A1上作CEC1M交C1M于點E，A1C1于點F,則CE為BE在平面ACC1A1上的射影，BEC1M, BEF為二面角B-C1M-A的平面角,在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=,tanBEC= cosBEC=.二面角的平面角與BEC互補，所以二面角的余弦值為-12分法2：（1）同上。如圖所示建系，（2）可得，,設是平面BMC的法向量，C1點到平面BMC的距離h?？汕蟮靡粋€法向量為，

17、, （3）可知是平面的法向量，設是平面的法向量，求得一個法向量設是為二面角的平面角,則，又因為二面角的平面角是鈍角，所以。21.【山東省煙臺市萊州一中20l3屆高三第二次質量檢測 （理）】（本題滿分12分）如圖1，平面四邊形ABCD關于直線AC對稱，折起（如圖2），使二面角A-BD-C的余弦值等于.對于圖2，完成以下各小題：（1）求A，C兩點間的距離；（2）證明：AC平面BCD；（3）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值.【答案】22.【天津市耀華中學2013屆高三第一次月考理科】(本小題滿分13分)在如圖所示的多面體中，EF平面AEB，AEEB，AD/EF，EF/BCBC=2AD=4，EF=

18、3，AE=BE=2，G為BC的中點。 (1)求證：AB/平面DEG； (2)求證：BDEG； (3)求二面角CDFE的正弦值。 【答案】23.【山東省濟南外國語學校2013屆高三上學期期中考試 理科】（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點E在線段AD上，且CEAB。、求證：CE平面PAD；、若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45°， 求四棱錐P-ABCD的體積.、在滿足（）的條件下求二面角B-PC-D的余弦值的絕對值.【答案】(1)證明:因為PA平面ABCD,CE平面ABCD,所以PACE,因為ABAD,CEAB,所以CEAD,又PAAD=A,所以CE平面PAD.3分(2)解:由(1)可知CEAD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.