年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué).離散型隨機(jī)變量的分布列

1、第十二章概率與統(tǒng)計(jì)網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點(diǎn)目標(biāo)定位1 .了解離散型隨機(jī)變量的意義，會(huì)求出某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列2 .了解離散型隨機(jī)變量的期望值、方差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值、方差.3 .會(huì)用隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本4 .會(huì)用樣本頻率分布估計(jì)總體分布.5 .了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì).6 .了解線性回歸的方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用.7 .實(shí)習(xí)作業(yè)以抽樣方法為內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力復(fù)習(xí)方略指南在復(fù)習(xí)中，要注意理解變量的多樣性，深化函數(shù)的思想方法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，充分注意一些概念的實(shí)際意義，理解概率中處理問(wèn)題的基本思想方法，掌握所學(xué)概率知

2、識(shí)的實(shí)際應(yīng)用1 .把握基本題型應(yīng)用本章知識(shí)要解決的題型主要分兩大類：一類是應(yīng)用隨機(jī)變量的概念，特別是離散型隨機(jī)變量分布列以及期望與方差的基礎(chǔ)知識(shí)， 討論隨機(jī)變量的取值范圍， 取相應(yīng)值的概率及期望、方差的求解計(jì)算； 另一類主要是如何抽取樣本及如何用樣本去估計(jì)總體.作為本章知識(shí)的一個(gè)綜合應(yīng)用， 教材以實(shí)習(xí)作業(yè)作為一節(jié)給出，應(yīng)給予足夠的重視 .2 .強(qiáng)化雙基訓(xùn)練主要是培養(yǎng)扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，迅捷準(zhǔn)確的運(yùn)算能力，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐袛嗤评砟芰? .強(qiáng)化方法選擇特別在教學(xué)中要掌握思維過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法，達(dá)到舉一反三的目的，還要進(jìn)行題后反思，使學(xué)生在大腦記憶中構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)

3、化的有機(jī)體系.4 .培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)要挖掘知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從形式結(jié)構(gòu)、數(shù)字特征、圖形圖表的位置特點(diǎn)等方面進(jìn)行聯(lián)想和試驗(yàn)，找到知識(shí)的“結(jié)點(diǎn)”.再有就是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行訓(xùn)練，以培養(yǎng)利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn) 題的能力.離散型隨機(jī)變量的分布列知識(shí)梳理1 .隨機(jī)變量的概念如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，它常用希臘字母E、Y等表示.(1)離散型隨機(jī)變量.如果對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么這樣的隨機(jī) 變量叫做離散型隨機(jī)變量 .(2)若七是隨機(jī)變量，r=aE +b,其中a、b是常數(shù)，則刀也是隨機(jī)變量.2 .離散型隨機(jī)變量的分布列(1)概率分布

4、(分布列).設(shè)離散型隨機(jī)變量 E可能取的值為X1, X2,，xi,，E取每一個(gè)值xi(i=1, 2,)的概率 P ( E =Xi)=pi,則稱表X1X2XiPP1P2pi為隨機(jī)變量E的概率分布，簡(jiǎn)稱E的分布列(2)二項(xiàng)分布.如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是P ( E =k) =C npkqn k.其中k=0, 1,，n, q=1-p,于是得到隨機(jī)變量 七的概率分布如下:01knPC n p0qnC1n p1qn 1C：pkqn kC n pnq0我們稱這樣的隨機(jī)變量E服從二項(xiàng)分布，記作 EB (n, p),其中n、p為參數(shù)，并記Cnpk

5、qn k=b(k； n, p).特別提示二項(xiàng)分布是一種常用的離散型隨機(jī)變量的分布點(diǎn)擊雙基1 .拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為E ,那么E =4表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是A. 一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)B.兩顆都是2點(diǎn)C.兩顆都是4點(diǎn)D.一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)解析：對(duì)A、B中表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，隨機(jī)變量均取值4,而D是E =4代表的所有試驗(yàn)結(jié)果掌握隨機(jī)變量的取值與它刻畫的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的對(duì)應(yīng)關(guān)系是理解隨機(jī)變量概念的關(guān)鍵答案：D2 .下列表中能成為隨機(jī)變量E的分布列的是A.3.已知隨機(jī)變量七的分布列為P,1(E =k)=2k=1, 2,，則P (2<衛(wèi)<4)等于3A.161 B.-

6、41 C. 161 D.5解析：P (2< E <4) =P ( E =3)_1 + j3_232416答案：A4.某批數(shù)量較大的商品的次品率為10%,從中任意地連續(xù)取出5件，其中次品數(shù) 七的分布列為解析：本題中商品數(shù)量較大，故從中任意抽取 次品數(shù)E服從二項(xiàng)分布，即 E B (5,).5件(不放回)可以看作是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)n=5,因而101PB.123P一C.101PD.123P解析：A、D不滿足分布列的基本性質(zhì)，B不滿足分布列的基本性質(zhì)答案：CE的分布列如下:012345PXXXX5.設(shè)隨機(jī)變量EB (2, p),刀B (4, p),若P ( E >1) =5 ,則P (刀&

7、gt;1) =9解析：P ( E >1) =1 P (衛(wèi) <1) =1 - C 0 p0 - ( 1 p) 2=5 ,9.p=l, p * >1)=1 -p "=o)=1-c4(1)0(2)4= 16=史.33381 81答案：竺81典例剖析【例1】 在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽 3次，每次抽1件，求：(1)不放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù) E的分布列；(2)放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)Y的分布列.剖析：隨機(jī)變量 E可以取0, 1, 2,刀也可以取0, 1, 2, 3,放回抽樣和不放回抽樣對(duì)隨機(jī)變量的 取值和相應(yīng)的概率都產(chǎn)生了變化，要具體問(wèn)題具體分析3 rZ 2 一解：(1)

8、 P ( E =0)M = Z, P(”1)=C48 =工c30 15C3015_ 1 _ 2P ( E =2)C8c2 = 1-c3r-i5所以E的分布列為012P(2) P ( Y =k) =C 8 k ( k=0, 1, 2, 3),所以 Y的分布列為0123P01 .2 .38888評(píng)述：放回抽樣時(shí)，抽到的次品數(shù)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件，即 特別提示Y B (3,).求離散型隨機(jī)變量分布列要注意兩個(gè)問(wèn)題：一是求出隨機(jī)變量所有可能的值；二是求出取每一個(gè)值時(shí)的概率.【例2】一袋中裝有5只球，編號(hào)為1, 2, 3, 4, 5,在袋中同時(shí)取 3只，以E表示取出的三只球 中的最小號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量E的

9、分布列.剖析：因?yàn)樵诰幪?hào)為 1, 2, 3, 4, 5的球中，同時(shí)取 3只，所以小號(hào)碼可能是 1或2或3,即已可 以取1, 2, 3.解：隨機(jī)變量E的可能取值為1, 2, 3.當(dāng)E=1時(shí)，即取出的三只球中最小號(hào)碼為1,則其他兩只球只能在編號(hào)為2, 3, 4, 5的四只球中任C263取兩只，故有 P ( E =1)=-=； c5 10 5當(dāng)E=2時(shí)，即取出的三只球中最小號(hào)碼為2,則其他兩只球只能在編號(hào)為3, 4, 5的三只球中任取兩只，故有d_=2C3 一 10當(dāng)E =3時(shí)，即取出的三只球中最小號(hào)碼為3,則其他兩只球只能在編號(hào)為4 , 5的兩只球中任取兩只,一c2 i故有 P ( E =3) =

10、 一C310因此，E的分布列如下表所示:123P評(píng)述：求隨機(jī)變量的分布列，重要的基礎(chǔ)是概率的計(jì)算，如古典概率、互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有 k次發(fā)生的概率等.本題中基本事件總數(shù)，即n=c5，取每個(gè)球的概率都屬古典概率（等可能性事件的概率）【例3】（2004年春季安徽）已知盒中有10個(gè)燈泡，其中8個(gè)正品，2個(gè)次品.需要從中取出2個(gè)正品，每次取出1個(gè)，取出后不放回，直到取出2個(gè)正品為止.設(shè)E為取出的次數(shù)，求 E的分布列及EE .剖析：每次取1件產(chǎn)品，至少需 2次，即已最小為2,有2件次品，當(dāng)前2次取得的都是次品時(shí)， E =4,所以七可以取2, 3, 4.解：P (

11、 E =2) =-8- x 7=竺;109 45= "x2xZ + 2x8xZ=；1098 1098 451 竺_竺4545 15 .士的分布列如下:2P34一、 一一、 一 ，“、22E E =2 X P ( E =2) +3 X P ( E =3) +4 X P ( E =4)=9評(píng)述：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的概念，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能 力.思考討論1 .E=4時(shí)有哪些情況？2 .本題若改為取出后放回，如何求解闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.袋中有大小相同的 5個(gè)球，分別標(biāo)有 取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量1, 2, 3, 4, 5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回

12、抽取的條件下依次 E ,則E所有可能取值的個(gè)數(shù)是解析：號(hào)碼之和可能為 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,共9種.答案：B3 .一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn) 10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了七次球，則P （ E =12）等于1012(1)10 - (5)2911(-)89.( 3)289)28解析:(E =12)表示第12次為紅球，前 11次中有9次為紅球，從而 P ( E =12) =C91(3)89 ( 5) 2x答案：3.現(xiàn)有一大批種子，其中優(yōu)質(zhì)良種占 分布歹U是.30%,從中任取5粒，記E為5粒中的優(yōu)質(zhì)良種粒數(shù)，則

13、解析：EB (5, ) , E的分布列是P ( E =k) =5 , k=0, 1,，5.答案：P ( E =k) =k , k=0, 1,4. 袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取 4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè) 得分為隨機(jī)變量 E ,則P ( E < 6) =.解析:取出的4只球中紅球個(gè)數(shù)可能為 4, 3, 2, 1個(gè)，黑球相應(yīng)個(gè)數(shù)為 01, 2, 3個(gè).其分值為 七=4, 6, 8答案:1310 分.P(E<6) =P(”4) +P(E=6)=岑+與=受 C4c435355. (2004年天津，理18)從4名男生和2名女生中任選 3人參加演講比賽.設(shè)隨機(jī)變量

14、E表示所選3 人中女生的人數(shù).(1)(2)(3)解：求E的分布列；求E的數(shù)學(xué)期望；求“所選3人中女生人數(shù)乙( 1”的概率.(1)工的可能取值為0, 1, 2.k 3 kC 2 C 4P( E =k)= 2 3 4, k=0, 1, 2.E的分布列為C6012P(2)由(1),可知E E =0 x 1 +1 x 3 +2 x 1 =1.(3) “所選3人中女生人數(shù)E < 1 ”的概率為”.4P ( E < 1) =P ( E =0) +P ( E =1)=-5培養(yǎng)能力6. ( 2003年高考新課程) A、B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每?duì)三名隊(duì)員， A隊(duì)隊(duì)員是A1、A2、A3, B隊(duì)

15、隊(duì)員是B1、B2、B3,按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：對(duì)陣隊(duì)員A隊(duì)隊(duì)員勝的概率A隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率A1 對(duì) B1A2 對(duì) B2A3 對(duì) B3解：(1)Y的可能取值分別為3, 21,0.(七=。)根據(jù)題意知Y=0)二PY=1)=P(七=2)Y=2)=PY=3)=P(E =0)(2) E E =3X2= 85 753 + 1x5 33 + 1x5 333一 ,5 25所以8752875325+2X75竺+1 75所以Er! =3E衛(wèi)7.金工車間有 10 平均每小時(shí)實(shí)際開(kāi)動(dòng)x 228=5 75+ 1x32+0X522一；25 15=_23.15臺(tái)同類型的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床配備的電動(dòng)機(jī)功率為

16、10 kW,已知每臺(tái)機(jī)床工作時(shí),12 min ,且開(kāi)動(dòng)與否是相互獨(dú)立的kW的電力，這10臺(tái)機(jī)床能夠正常工作的概率為多大 大約是多少？.現(xiàn)因當(dāng)?shù)仉娏?yīng)緊張，供電部門只提供?在一個(gè)工彳班的 8 h內(nèi)，不能正常工作的時(shí)間50現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng)，每場(chǎng)勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分.設(shè)A隊(duì)、B隊(duì)最后所得總分分別為(1 )求E、Y的概率分布；(2)求 EE、E 刀.分析：本題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力分析：由實(shí)際問(wèn)題確定隨機(jī)變量的取值，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求概率值解：設(shè)10臺(tái)機(jī)床中實(shí)際開(kāi)動(dòng)的機(jī)床數(shù)為隨機(jī)變量E ,由于機(jī)床類型相同， 且機(jī)床的開(kāi)動(dòng)與否相互獨(dú)立，因此EB

17、 (10, p).其中p是每臺(tái)機(jī)床開(kāi)動(dòng)的概率，由題意p=12=.從而P ( E =k) =Ck0 (-)60 55k ( 4) 10 k, k=0, 1, 2,，10.550 kW電力同時(shí)供給 5臺(tái)機(jī)床開(kāi)動(dòng)，因而 10臺(tái)機(jī)床同時(shí)開(kāi)動(dòng)的臺(tái)數(shù)不超過(guò)5臺(tái)時(shí)都可以正常工作.這一事件的概率為 P ( E ( 5),(-)5P ( E <5) =C00 ( f ) 10+C10 T ( 4 ) 9+C20 ( 1 ) 2 ( f ) 8+C10 ()3 ( f ) 7+C4055555554 .(4)6+C50(1)5.(4)%.5 55因此，在電力供應(yīng)為 50 kW的條件下，機(jī)床不能正常工作的概率

18、僅約為，從而在一個(gè)工作班的 內(nèi)，不能正常工作的時(shí)間只有大約8X60X= (min),這說(shuō)明，10臺(tái)機(jī)床的工作基本上不受電力供應(yīng)緊張的影響.評(píng)述：分布列的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)結(jié)合題意給出答案5,在袋中同時(shí)取 3只，以E表示取出的3只球中的最大4, 5.3,則其他兩球的編號(hào)只能是1, 2,故有P ( E =3)8 .一袋中裝有5只球，編號(hào)為1, 2, 3, 號(hào)，寫出隨機(jī)變量 E的分布列.解：根據(jù)題意可知隨機(jī)變量E的取值為當(dāng)E =3時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為C21c510E=4時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為4,則其他兩球只能在編號(hào)為1, 2, 3的3球中取2個(gè),一、C23E =4)=c5 ioP ( E

19、 =5)C2 _ 6-3 =c510可得E的分布列為345P探究創(chuàng)新9 .如果七B (20, 1 ),則使P ( E =k)取最大值的k的值是3Ck01(1)k Y)20 k1解析：P( k 1)= 20 ',一 = Qx1"P(k)Ck0(1)k(2)20 k k 1233得 k< 6.所以當(dāng) k<6 時(shí)，P ( E =k+1) > P (衛(wèi)二k), 當(dāng) k> 0 時(shí)，P (2=k+1) < P ( E =k), 其中 k=6 時(shí)，P ( E =k+1) =P ( E =k),從而k=6或7時(shí)，P ( E = k)取得最大值答案：6或7思悟小結(jié)1 .離散型隨機(jī)變量的概率分布的兩個(gè)本質(zhì)特征：pi>0 (i=1, 2,，n)與pi=1是確定分布列中1 1參數(shù)值的依據(jù).2 .求離散型隨機(jī)變量的分布列，首