2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系(大題培優(yōu)易錯(cuò)難題)附詳細(xì)答案

1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系（大題培優(yōu)易錯(cuò)難題）附詳細(xì)答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1 .如圖，山坡上有一棵樹 AB,樹底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為6，3米，山坡的坡角為30°.小寧在山腳的平地 F處測(cè)量這棵樹的高，點(diǎn) C到測(cè)角儀EF的水平距離CF=1米, 從E處測(cè)得樹頂部 A的仰角為45°,樹底部B的仰角為20°,求樹AB的高度.（參考數(shù)值：sin20 ° =0.34:os20° =0.94tan20【答案】6.4米【解析】解：二,底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為6 3米，山坡的坡角為 30°. . DC=BC?

2、cos30673 9 米，2 .CF=1 米，DC=9+1=10 米，GE=10 米， / AEG=45 ；，AG=EG=10 米，在直角三角形BGF中，BG=GF?tan20 ° =10 X 0.36=3的AB=AG-BG=10-3.6=6.4 米,答：樹高約為6.4米首先在直角三角形 BDC中求得DC的長(zhǎng)，然后求得 DF的長(zhǎng)，進(jìn)而求得 GF的長(zhǎng)，然后在直 角三角形BGF中即可求得BG的長(zhǎng)，從而求得樹高2 .如圖，某無(wú)人機(jī)于空中 A處探測(cè)到目標(biāo)B、D的俯角分別是30 >60，此時(shí)無(wú)人機(jī)的飛 行高度AC為60m ,隨后無(wú)人機(jī)從 A處繼續(xù)水平飛行30 J3 m到達(dá)A'處.

3、（1）求A. B之間的距離(2)求從無(wú)人機(jī) A'上看目標(biāo)D的俯角的正切值【答案】(1) 120米；(2) "3.5【解析】【分析】(1)解直角三角形即可得到結(jié)論；(2)過(guò)A'作A'E BC交BC的延長(zhǎng)線于E,連接A'D ,于是得到 A'E AC 60,CE AA' 30 J3,在RtABC中，求得DC=，3AC=20J3 ,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義 3即可得到結(jié)論.【詳解】解：(1)由題意得：/ABD=30, /ADC=60,在 RtABC 中，AC=60m,60AB= 1 =120 (m)sin30 -2(2)過(guò)A'作A'

4、;E BC交BC的延長(zhǎng)線于E,連接A'D ,則 A' E AC 60, CE AA' 30 4,在 RtA ABC 中,AC=60m, / ADC=60 ,DC= 3 AC=20、3DE=50 J3A'E 602 -tan / A A' D= tan / A' DC= = 一 43DE 50 3 52 答：從無(wú)人機(jī) A'上看目標(biāo)D的俯角的正切值是 一 J3.5【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線建立直角三角形是解題的關(guān)鍵3 .已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A 3,0 ,B 3,0 ,C 3,8 ,以線段BC為直徑作圓,圓心為E ,

5、直線AC交e E于點(diǎn)D ,連接OD .(1)求證：直線OD是eE的切線；(2)點(diǎn)F為x軸上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接 CF交e E于點(diǎn)G ,連接BG :1_當(dāng)tan ACF 7時(shí)，求所有F點(diǎn)的坐標(biāo)(直接寫出)；BG求的最大值.CF【答案】(1)見解析；(2)Fi£3,0 ,F2 (5,0) -BG的最大值為-.31CF2【解析】【分析】(1)連接DE ,證明/EDO=90即可；(2)分'F位于AB上”和F位于BA的延長(zhǎng)線上”結(jié)合相似三角形進(jìn)行求解即可;作GM BC于點(diǎn)M ,證明 ANF1 ABC ,得幽-,從而得解CF 2【詳解】(1)證明：連接DE ,則:BC為直徑BDC 90BDA

6、 90OA OB OD OB OA OBD ODBEB EDEBD EDBEBD OBD EDB ODB 即： EBO EDO CB x 軸EBO 90EDO 90,直線OD為e E的切線.(2)如圖1,當(dāng)F位于AB上時(shí):ANF1 ABCAN NF1 AF1AB BC AC.設(shè) AN 3x,則 NF1 4x,AFi 5x CN CA AN 10 3x1031F1N4x 1 “口. tan ACF -,解得：xCN 10 3x 7AE 5x31O F1 -3,031如圖2,當(dāng)F位于BA的延長(zhǎng)線上時(shí): AMF2 ABC.設(shè) AM 3x,則 MF24x, AF2 5x CM

7、 CA AM 10 3xF2M4x 1 .tan ACF 2CM 10 3x 7一 2斛得：x 5AF2 5x 2OF2 3 2 5即 F2（5,0）出 “*田2如圖，作GM BC于點(diǎn)M , BC是直徑 CGB CBF 90CBF CGBBG MG MGCF BC 8 MG 半徑 4.BG MG 4 1CF 88 2BG的最大值為-.CF2【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和 性質(zhì)和相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn) 題.4.如圖，在平行四邊形ABCD中，獨(dú)平分交于點(diǎn)幺"F平分乙1"。，交

8、仞于點(diǎn) 與"交于點(diǎn)P,連接行，P".(1)求證：四邊形緲肝是菱形；（2）若伸=久口D =求ta叱川?P|的值3E C【答案】（1）證明見解析立5【解析】 試題分析：（1）根據(jù)AE平分/ BAH BF平分/ABC及平行四邊形的性質(zhì)可得 AF=AB=BE 從而可知ABEF為平行四邊形，又鄰邊相等，可知為菱形(2)由菱形的性質(zhì)可知 AP的長(zhǎng)及/PAF=60,過(guò)點(diǎn)P作PH，AD于H,即可得到PH、DH 的長(zhǎng)，從而可求tan/ADP試題解析：(1).AE平分/ BAD BF平分/ABC/ BAE=Z EAF / ABF=Z EBF1.AD/BC/ EAF=Z AEB ZAFB=Z E

9、BF/ BAE=Z AEB / AFB=/ ABF.AB=BE AB=AF.AF=AB=BE1.AD/BCABEF為平行四邊形又 AB=BE .ABEF為菱形(2)作 PH,AD于 HtrPH=T3 , AH=1, DH=AD-AH=52、菱形；3、直角三角形；4、三角函數(shù)由/ABC=60 而已(1)可知 /PAF=60, PA=2,則有/ 小tan / ADP=考點(diǎn)：1、平行四邊形;5 .問(wèn)題背景： 如圖（a）,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之和最 小，我們可以作出點(diǎn) B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B'連接A B與直線l交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.（1）實(shí)踐運(yùn)用：如

10、圖（b）,已知，。的直徑CD為4,點(diǎn)A在。O上，/ACD=30, B為弧AD的中點(diǎn)，P為 直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則 BP+AP的最小值為 _.（2）知識(shí)拓展：如圖（c）,在RtABC中，AB=10, /BAC=45, / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, E、F分別是 線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求 BE+EF的最小值，并寫出解答過(guò)程.【答案】解：（1） 272 .（2）如圖，在斜邊 AC上截取AB' =AB連接BB'. AD平分/ BAG點(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于直線 AD對(duì)稱.過(guò)點(diǎn)B作B' MAB,垂足為F,交AD于E,連接BE.則線段B'的長(zhǎng)即為所求（點(diǎn)到直線的距離最短）.在

11、RtA AFB/中，Z BAC=4更 AB ="AB=" 10 ,BT = AB' = AB-初廿= =湛.BE+EF的最/、值為弓足【解析】試題分析：（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置，根據(jù)題意先求出/C' AE再根據(jù)勾股定理求出 AE,即可得出PA+PB的最小值：如圖作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB最小，且等于 A.作直 徑AC,連接C' F根據(jù)垂徑定理得弧 BD=M DE.IW / ACD=30 ,°/ AOD=60 ； / DOE=30 ：

12、/ AOE=90 ,°/ C' AE=45 °又AC為圓的直徑，.1. / AEC =90.°./C'AC' AE=4 5C E=aE=AC'2&.AP+BP的最/、值是 2金(2)首先在斜邊 AC上截取AB' =AB連接BB',再過(guò)點(diǎn)B作B' 1AB,垂足為F,交AD于 E,連接BE,則線段B'的長(zhǎng)即為所求.6.在正方形ABCD中，BD是一條對(duì)角線.點(diǎn)P在射線CD上（與點(diǎn)C, D不重合），連接 AP,平移ADP,使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C,得到BCQ,過(guò)點(diǎn)Q作QHLBD于點(diǎn)H,連接AH、 PH.（1）

13、若點(diǎn)P在線CD上，如圖1,依題意補(bǔ)全圖1 ;判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；（2）若點(diǎn)P在線CD的延長(zhǎng)線上，且 ZAHQ=152°,正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1 ,請(qǐng)寫出求 DP長(zhǎng)的思路.（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）1 -lanb 【答案】（1）如圖；AH =PH, AHPH.證明見解析（2） 或1+ tan17" 【解析】試題分析：（1）如圖（1）;（1）法一：軸對(duì)稱作法，判斷：AH=PH,AHXPhl.連接CH,根據(jù)正方形的每條對(duì)角線平分一組對(duì)角得：4DHQ等腰RtA ,根據(jù)平移的性質(zhì)得DP=CQ,證得4HD國(guó)HQC,全等三角形的應(yīng)邊相等得PH= CH,等邊對(duì)等角

14、得/HPC=/HCP,再Z合BD是正方形的對(duì)稱軸得出 /AHP= 180 - Z ADP= 90°, .-.AH=PH1. AHXPhl.四點(diǎn)共圓作法，同上得： /HPC=/DAH,，A、D、P、H 共向， ，/AHP= 90； / APH=/ADH=45 °, . APH 等腰 Rt4 .(2)軸對(duì)稱作法同(1)作 HR± PC于 R,Z AHQ=152°,/ AHB= 62/ DAH= 17/ DCH= 17 :設(shè) DP= x,則1-xDR = HR = RQ =-.由HRtanl7 4 = 一CR代入HR, CR解方程即可得出x的值.四點(diǎn)共圓作法，

15、A、H、D、P共向,Z APD= / AHB= 62°,AD 1PD = tan29tan62 0 tan62D試題解析：(1) 法一：軸對(duì)稱作法，判斷： AH=PH, AH± PH證：連接CH,得: DHQ 等腰 Rt，又. DP= CQ,AHDPAAHQC, . PH= CH, / HPC= / HCPBD 為正方形 ABCD對(duì)稱軸，AH = CH, / DAH= / HCP, .AH=PH, / DAH= / HPC, / AHP= 180 ADP= 90 °, AH= PH 且 AH, PH.法二：四點(diǎn)共圓作法，同上得：/HPC=/DAH,，A、D、P、H

16、共向，丁. / AHP= 90°,/APH= / ADH= 45 °,APH 等腰 RtA .(2)法一：軸對(duì)稱作法/ DCH= 17 :設(shè)HR tanl7* = _ 由得:考慮 4DHQ等腰 RtA , PD= CQ,彳HR± PC于 R, / Z AHQ=152°, . . / AHB= 62°,/ DAH= 171-xDR=HR=RQ=DP= x,則7 ©TTxl-tanl701一回】17。x ,】+tanl71 即 pd=+ 317。法二：四點(diǎn)共向作法，A、H、D、P共向，. / APD= / AHB= 62°,AD

17、 1PD = = tan2BcUn62 0 tan 62D考點(diǎn)：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性質(zhì)；死電腦共圓7.已知：如圖，AB為。的直徑，AC與。相切于點(diǎn)A,連接BC交圓于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作 OO的切線交AC于E.(1)求證：AE= CE(2)如圖，在弧 BD上任取一點(diǎn)F連接AF,弦GF與AB交于H,與BC交于M,求證：/FA諭/ FBM= / EDC.為圓上一點(diǎn)，連接 FN交AB于L,滿足/ NFH+Z CAF= /EC兒 EC4(AHG,求LN的長(zhǎng). E13(3)如圖，在(2)的條件下，當(dāng) GH= FH, HM = MF 時(shí)，tanZ ABC= 3, DE="時(shí)，N44

18、【答案】(1)詳見解析;詳見解析；(3)(2)NL處衛(wèi)13余角相等，得到/ C= / EDQ進(jìn)而得證結(jié)論 (2)由同角的余角相等，得到 /BAD=/(3)先由條件得到 AB=26,設(shè)HM = FM =得至U GH?HF= BH?AH,從何出 FH, BH, 出HL, AL, BL, FL,再由相交弦定理得到 【詳解】解：(1)證明：如圖1中，連接AD.A EO5 圖1 AB是直徑，/ ADB= / ADC= 90 °,EA、ED是。的切線， EA= ED,.C,再通過(guò)等量代換，角的加減進(jìn)而得證結(jié)論.=a, GH= HF=2a, BH= a再由相交弦定理3AH,再由角的關(guān)系得到 HFO

19、HAF,從而求LN?LF= AL7BL,進(jìn)而求出 LN的長(zhǎng).【解析】【分析】(1)由直徑所對(duì)的圓周角是直角,得ZADC= 90。，由切線長(zhǎng)定理得 EA= ED,再由等角的 / EAA / EDA, Z C+Z EAD= 90 °, / EDO/ EDA= 90 °, / O / EDC,.ED=EC,.AE= EC.(2)證明：如圖2中，連接AD.A E CB卸.AC是切線，AB是直徑，/ BAC= / ADB= 90 ； / BAD+Z CAD= 90 °, / CAD+Z C= 90 °,/ BAD= / C, / EDC= / C,/ BAD= /

20、 EDQ / DBF= / DAF, / FBM+Z FAB= / FBM+Z DAF= / BAD, / FABZ FBM= / EDC(3)解：如圖3中,E CE圖5由(1)可知，DE= AE= EGDE= 一，4. s 39 AC=,2. tanZ ABC= 3 = AC , 4 AB393 2、4 AB.AB=26, . GH= FH HM = FN,設(shè) HM = FM=a, GH=HF= 2a, BH= 4a, 3 .GH?HF= BH?AH,.-4a2= 4a (26 4a) 33''' a = 6, .FH=12, BH=8, AH=18, .GH= HF

21、,ABXGF,/ AHG= 90 ； / NFH+Z CAF= / AHG, / NFH+Z CAF= 90 °, / NFH+Z HLF= 90 ;/ HLF= / CAF, . AC/ FG,/ CAF= /AFH,/ HLF= / AFH, / FHL= / AHF, .HFLAHAF,-.fh2=hl?ha,-.122=HL?18,.HL=8, al=10, bl= 16, fl= 7F干HL =4713, LN?LF= AL?BL, .4 ,13 ?LN= 10?16,40、.而.LN=- 13本題考查了圓的綜合問(wèn)題，涉及到的知識(shí)有:切線的性質(zhì)；切線長(zhǎng)定理；圓周角定理；相交

22、弦定理；相似三角形性質(zhì)與判定等，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵8.如圖，拋物線 y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn) A (-2, 0)、B (4, 0)、C (0, 3)三點(diǎn).* AO圖(1)試求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 PA,試求5PA+4PC的最小值；(3)如圖，若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)T ( - 4, 0) , Q為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以 A、B、Q為頂點(diǎn) 所作的直角三角形有且僅有三個(gè)時(shí)，試求直線l的解析式.3 23【答案】(1) y x x 3; (2) 5PA+4PC的最小值為18; ( 3)直線l的解析式 84、,3,3八為 yx3或y-x3.4 4【解析】 【分析】(1)設(shè)

23、出交點(diǎn)式，代入 C點(diǎn)計(jì)算即可(2)連接AC BC,過(guò)點(diǎn)A作AE，BC于點(diǎn)E,過(guò)PCPD4點(diǎn)P作PD)± BC于點(diǎn)D,易證CD/COB,得到比例式 ，得到PD一 PC,所BCOB5以 5PA+4PC= 5 (PA+4PC)= 5 ( PA+PD ,當(dāng)點(diǎn) A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PC= 5 5(PA+PD = 5AE最小，利用等面積法求出 AE=18,即最小值為18 ( 3)取AB中點(diǎn)F, 5以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫圓，當(dāng)/BAQ= 90°或/ ABQ=90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸， 所以只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn) Q使/ BAQ=

24、90?；? ABQ= 90°,即 / AQB= 90時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q, 直線l與。F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足/ AQB=90。的點(diǎn)Q只有一個(gè)；此時(shí)，連接 FQ,過(guò)點(diǎn)Q作QG,x軸于點(diǎn)G,利用cos/QFT求出 QG,分出情況Q在x軸上方和x軸下方時(shí)，分別代入直接 l得到解析式即可【詳解】解：(1)二.拋物線與x軸交點(diǎn)為A ( - 2, 0)、B (4, 0) - y = a (x+2) ( x- 4)把點(diǎn)C (0, 3)代入得：-8a=33.a =8，拋物線解析式為 y= - - (x+2) (x- 4) =- - x2+ x+3884(2)連接AC BC,過(guò)點(diǎn)A作AE±

25、; BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作PD±BC于點(diǎn)D/ CDP= / COB= 90 ° / DCP= / OCB. .CD。COB.PC PDBC OB B (4, 0) , C (0, 3) -OB=4, OC= 3, BC= Job2 OC2=54，PD= PC5，5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 ( PA+PD5，當(dāng)點(diǎn) A、P、D在同一直線上時(shí)， 5PA+4PC= 5 (PA+PD = 5AE最小. A (2, 0) , OCX AB, AE± BC Sa abc= 1AB?OC= 1 BC?AE22ABn OC 6 3 18AE= BC 55 -5AE

26、= 18 5PA+4PC 的最/J、值為 18.(3)取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫圓當(dāng)/BAQ= 90°或/ABQ= 90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸，只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使/ BAQ= 90或/ ABQ= 90 / AQB= 90時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q 當(dāng)Q在。F上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與 A、B重合)，/AQB= 90 °，直線l與。F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足ZAQB= 90的點(diǎn)Q只有一個(gè)此時(shí)，連接FQ,過(guò)點(diǎn)Q作QGi± x軸于點(diǎn)G / FQ仁 90 °.F 為 A ( 2, 0)、B (4, 0)的中點(diǎn) .F (1,

27、 0) , FQ= FA= 3- T (-4, 0) FQ 3 TF= 5, cos/QFT= -TF 5 RtA FGQ 中,cos/ QFT=FGFQ3FG= FQ=54 ， QG= JfQ2 FG253212，、4 12右點(diǎn)Q在x軸上方，則Q (,一)5 5設(shè)直線l解析式為：y= kx+b4kb 0412解得:k b553直線 l： 丫 4x 3_412若點(diǎn)Q在x軸下方，則Q（一）553，直線 l： y -x 343綜上所述，直線l的解析式為y 3x 3或y3x 34【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與圓的綜合題，同時(shí)涉及到三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合度比較高，需要很強(qiáng)的綜合能力，第三問(wèn)能夠找到

28、滿足條件的Q點(diǎn)是關(guān)鍵，同時(shí)不要忘記需要分情況討論9 . 蘭州銀灘黃河大橋北起安寧營(yíng)門灘，南至七里河馬灘，是黃河上游的第一座大型現(xiàn)代化斜拉式大橋如圖，小明站在橋上測(cè)得拉索AB與水平橋面的夾角是 31。，拉索AB的長(zhǎng)為152米，主塔處橋面距地面 7.9米（CD的長(zhǎng)），試求出主塔 BD的高.（結(jié)果精確到 0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin31 ° =0”52DOs31° =0.86tan31° =0.60【答案】主塔BD的高約為86.9米.【解析】【分析】根據(jù)直角三角形中由三角函數(shù)得出BC相應(yīng)長(zhǎng)度，再由BD=BC+Cg得出.【詳解】在 RtABC 中，/ACB=90°

29、,BCsinA ab" .BC AB sinA 152 sin31 152 0.52 79.04.BD BC CD 79.04 7.9 86.94 86.9 (米)答：主塔BD的高約為86.9米.【點(diǎn)睛】本題考察了直角三角形與三角函數(shù)的結(jié)合，熟悉掌握是解決本題的關(guān)鍵.10 .如圖，在菱形ABCD中，B 60 , AB 4.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速 度沿邊AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ AC交邊AB于點(diǎn)Q ,過(guò)點(diǎn)P向上作PN AC ,且PN 遭PQ ,以PN、PQ為邊作矩形PQMN .設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 2(秒)，矩形PQMN與菱形ABCD重疊部分圖形的面積為 S.(1)用含

30、t的代數(shù)式表示線段 PQ的長(zhǎng).(3)(4)當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)，求t的值.當(dāng)0 t 1時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，如圖，若點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，作直線 OM .當(dāng)直線OM將矩形PQMN分成兩部分圖形的面積比為1：2時(shí)，直接寫出t的值重工(1)PQ 2向;(2)4； (3) 19內(nèi)2 40內(nèi) 1673 ;5【解析】【分析】(1)由菱形性質(zhì)得 /D=/B=60°, AD=AB=CD=4 4ACD是等邊三角形，證出 APQ是等腰三角形，得出 PF=QR PF=PA?sin60 .3t(2)當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)，由題意得:,即可得出結(jié)果； PDN是等邊三角形，得出 PD=PN,由已知得PN=3

31、2PQ=3t,得出PD=3t,由題意得出方程，解方程即可; .PQ=2出 t；(2)當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)，如圖2所示:CA圖2由題意得：4PDN是等邊三角形,(3)當(dāng) 0Vt般時(shí)，PQ=2j3t, PN=Y3PQ=3t, S卻形PQMN的面積=PQX PN即可得出 524結(jié)果；當(dāng) _vtvl時(shí)，4PDN是等邊二角形，得出 PE=PD=AD-PA=4-2t5/FEN=/ PED=60,° 得出 NE=PN-PE=5t-4 FN=V3 NE=V3 (5t-4) , S卻形 PQMN 的面積-24EFN的面積，即可得出結(jié)果；(4)分兩種情況：當(dāng) 0Vt艙時(shí)，4ACD是等邊三角形，AC=AD

32、=4,得出OA=2, OG是 MNH的中位線，得出 OG=4t-2, NH=2OG=8t-4,由面積關(guān)系得出方程，解方程即可；4 EF OFEF 2 t當(dāng)vtw對(duì)，由平行線得出 OED4MEQ,得出 ，即= ，5 EQ MQ EF 、, 3t 3t解得 EF=2 3t -32 ,得出 EQ= J3t 2'3t3t2 ,由三角形面積關(guān)系得出方程，解方4t 24t 2程即可.【詳解】(1) :在菱形 ABCD 中，/B=60°,/ D=Z B=60 ； AD=AB=CD=4 ACD是等邊三角形，Z CAD=60 ； .PQXAC, .APQ是等腰三角形， .PF=QF PF=PA

33、?sin60.PD=PN, PN=PQ=-3 X 2、3 t=3t, .PD=3t, . PA+PD=AD即 2t+3t=44 解得：t=.5(3)當(dāng)Oct時(shí)，如圖1所示:PQ=2 出 t, PN= PQ= X 2>/3 t=3t,22S族巨形 PQMN 的面積=PQX PN=/3 t x 3t=Q3 t2 ；4當(dāng)vt<1時(shí)，如圖3所示:PDN是等邊三角形，PE=PD=AD-PA=4-2| Z FEN=Z PED=60 ,NE=PN-PE=3t- (4-2t) =5t-4 ,.FN=V3 NE=73 (5t-4),.S軟巨形PQMN的面積-24EFN的面積=673 t2-2J- X

34、73 (5t-4) 2=-19t2+40 <3 t-16 V5 , 2即 S=-19t2+40>/3t-16 73 ;4所示:ACD是等邊三角形,.AC=AD=4, .O是AC的中點(diǎn)，OA=2, OG是4MNH的中位線， .OG=3t- (2-t) =4t-2, NH=2OG=8t-4, .MNH 的面積=1MNX NH=1 X2J3 t X( 8t-4) =1 X6173 t2, 223,解得：t=2;3，4，一當(dāng)_ vt w宏寸，如圖5所本:5國(guó)51. AC/ QM, .OEFAMEQ,EF OF口 uEF 2 t,即尸，EQ MQ EF . 3t 3t解得：EF=2蟲一亙，4

35、t 2 2覺(jué)，4t 2 .MEQ的面積=°X 3t卜五 2內(nèi) 內(nèi))=1 X673t2, 24t 23解得：t=;72 .綜上所述，當(dāng)直線 OM將矩形PQMN分成兩部分圖形的面積比為1: 2時(shí)，t的值為2或387【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握菱形和矩形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用知識(shí)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.11.如圖，AB為。的直徑，P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， CG是。的弦/ PCA= / ABC,CG±AB,垂足為D求證：PC是。的切線；(2)

36、求證:PAPCADCF；過(guò)點(diǎn)A作AE/ PC交。O于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,連接BE,若sinZ P= - , CF= 5,求BE5的長(zhǎng).【答案】(1)見解析；(2) BE=12.【解析】【分析】(1)連接 OC,由PC切O O于點(diǎn)C,得到OC，PC,于是得到 / PCA+/ OCA=90，由AB為。的直徑，得到/ABC+/ OAC=90 ,°由于OC=OA證得/ OCA=/ OAC,于是得到結(jié)論;(2)由AE/ PC,得到/PCA=/ CAF根據(jù)垂徑定理得到弧 AC=M AG,于是得到 /ACF=/ ABC,由于/PCA=/ ABC,推出/ ACF=/ CAF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到

37、CF=AF 在 RAFD 中，AF=5, sinZ FAD=-,求得 FD=3, AD=4, CD=8,在 ROCD 中，5設(shè)OC=r,根據(jù)勾股定理得到方程r2=（r-4） 2+82,解得r=10,得到AB=2r=20,由于AB為.3 BE 3OO的直徑，得到 / AEB=90，在RtABE中，由sin/ EAD=-,得到 =一,于是求得5 AB 5結(jié)論.【詳解】OCX PC,/ PCO=90 ；Z PCA+Z OCA=90 ,°.AB為。的直徑，/ ACB=90 ,°Z ABC+Z OAC=90 ；.OC=OA,Z OCA=Z OAC, Z PCA=Z ABC;(2)解：

38、.AE/ PC,Z PCA=Z CAF, .ABXCGJ, 弧 AC項(xiàng) AG,/ ACF=Z ABC, Z PCA=Z ABC,/ ACF=Z CAF, ，CF=AE ,.CF=5,.AF=5, AE/ PC,/ FAD=Z P,sin Z P=,5 .sin / FAD=-,在 RtAFD 中，AF=5, sin/FAD=3,5.FD=3, AD=4,，CD=8, 在 ROCD中，設(shè) OC=r, .r2= (r-4) 2+82 ,r=10 , .AB=2r=20,.AB為。的直徑，/ AEB=90，在 RtMBE 中,. sin / EAD=35BEAB.AB=20, .BE=12.【點(diǎn)睛】

39、本題考查切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連接OC構(gòu)造直角三角形.3-12.如圖，直線y二於+。與'軸交于點(diǎn) 做4>°）,與）軸交于點(diǎn)"，拋物線y=才一+ "4c經(jīng)過(guò)點(diǎn)%點(diǎn).（的0）為1軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)睥且垂直于#軸的直線分別交直線丹舊及拋物線(1)填空：點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,拋物線的解析式為 ；(2)當(dāng)點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn)q, H重合)，當(dāng)山為何值時(shí)，線段PN最大值，并求出PN的最大值；求出使4BPN為直角三角形時(shí)m的值；(3)若拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn) N到直線修耳的距離是人，請(qǐng)直接寫出此時(shí)由點(diǎn)q, H, N, P構(gòu)成

40、的四邊形的面積.39【答案】(1)(d=3), y =-/-3；(2)當(dāng)m=2時(shí)，PN有最大值是3;使BPN為直角三角形時(shí)m的值為3或?；(3)點(diǎn)。，B, W"P構(gòu)成的四邊形的面積為：6或口+ 6*2或八，2一16. 【解析】 【分析】3(1)把點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線表達(dá)式 y=/ + Q,求出a=-3,把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù) 表達(dá)式，即可求解；339(2)設(shè)：點(diǎn)P (m,彳m-3) , N (m,嚴(yán)*-彳3)求出PN值的表達(dá)式，即可求解；分/BNP= 90°、/NBP= 90°、ZBPN= 90°三種情況，求解即可；(3)若拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)N到直線AB的距離是h,則只能出現(xiàn)：在 AB直線下方拋物線與過(guò)點(diǎn)N的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)N,在直線AB上方的交點(diǎn)有兩個(gè)，分別求解即可.【詳解】3解：(1)把點(diǎn)/坐標(biāo)代入直線表達(dá)式y(tǒng) = xa,3解得：稅=3,則：直線表達(dá)式為：y = -3,令黑=0,則