新高考數(shù)學(xué)備考專題空間向量與立體幾何 真題訓(xùn)練（解析版）

1、 新高考 空間向量與立體幾何 專題訓(xùn)練一、單選題1（2021·山東濟(jì)寧·二模）“直線垂直平面內(nèi)的無數(shù)條直線”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必安條件【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)直線垂直平面內(nèi)的所有直線時，才能得到，所以由直線垂直平面內(nèi)的無數(shù)條直線不一定能推出，但是由一定能推出直線垂直平面內(nèi)的無數(shù)條直線，所以直線垂直平面內(nèi)的無數(shù)條直線是的必要不充分條件， 故選：B2（2021·天津和平·三模）在圓柱內(nèi)有一個球，球分別與圓柱的上、下底面及母線均有且只

2、有一個公共點(diǎn).若，則圓柱的表面積為（ ）.ABCD【答案】C【分析】依題意可求得圓柱的底面半徑和高，進(jìn)而可得圓柱的表面積.【詳解】依題意可得圓柱的底面半徑，高，所以圓柱的表面積.故選：C.3（2021·廣西來賓·模擬預(yù)測（文）已知在高為2的正四棱錐中，則正四棱錐外接球的體積為（ ）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，結(jié)合球的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)正方形ABCD的中心為，正四棱錐外接球的半徑為，有，解得，則正四棱錐外接球的體積為.故選：B4（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（ ）ABCD【答案】D【分析】平移

3、直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，所以.故選：D5（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（ ）A346B373C446D473【答案】B【分析】

4、通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個三角形中，借助正弦定理，求得，進(jìn)而得到答案【詳解】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以所以因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以故選：B【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為6（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（ ）A直線與直線垂直，直線平面B直線與直線平行，直線平面C直線與直線相交，直線平面D直線與直線異面，直線平面【答案】A【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面，即可得出結(jié)論.【詳解】連，在正方體中，M是的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又N是的中點(diǎn)，所以，平面平面，所以平面.因?yàn)椴?/p>

5、垂直，所以不垂直則不垂直平面，所以選項(xiàng)B,D不正確；在正方體中，平面，所以，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)A正確.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.7（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）24h降雨量的等級劃分如下：在綜合實(shí)踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200 mm，高為300 mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程

6、中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是A小雨B中雨C大雨D暴雨【答案】B【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選：B.8（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（ ）ABCD【答案】A【分析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進(jìn)而求得體積.【詳解】，為等腰直角三角形，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設(shè)到平面的距離為，則，所以.

7、故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.二、多選題9（2022·遼寧·建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）已知直線l和不重合的兩個平面，且，下列命題正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】BC【分析】結(jié)合面面平行的判定定理、面面平行的定義、面面垂直的判定定理和面面垂直的性質(zhì)定理可分別判斷四個選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A，由可得與平行或相交，故錯誤；對于B，若，則由面面平行的定義可得，故正確；對于C，若，則由面面垂直的判定定理可得，故正確；對于D，當(dāng)時，l可能在內(nèi)，可能與平行，也可能與相交，所以

8、不一定有，故錯誤.故選：BC.10（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)則滿足的是（ ）ABCD【答案】BC【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，則，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于

9、D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長為2，故，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.11（2022·河北唐山·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）A點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B若平面的法向量，則直線平面C若，分別為平面，的法向量，則平面平面D點(diǎn)到直線的距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)空間點(diǎn)的對稱性判斷A，根據(jù)判斷B，根據(jù)判斷C，利用空間向量法求點(diǎn)到直線的距離判斷D；【詳解】解：對于A：因?yàn)?，所以點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A正確；對于B：因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄浚?/p>

10、，所以直線與平面不平行，故B錯誤；對于C：因?yàn)?、，所以，因?yàn)?，分別為平面，的法向量，所以平面平面，故C正確；對于D：因?yàn)椋?，所以點(diǎn)到直線的距離，故D正確；故選：ACD12（2021年全國新高考卷數(shù)學(xué)試題）在正三棱柱中，點(diǎn)滿足，其中，則（ ）A當(dāng)時，的周長為定值B當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)，使得D當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)，使得平面【答案】BD【分析】對于A，由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對于B，將點(diǎn)的運(yùn)動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個數(shù)；對于D

11、，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個數(shù)【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）對于A，當(dāng)時，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，故此時點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確對于C，當(dāng)時，取，中點(diǎn)分別為，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，所以或故均滿足，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，取，中點(diǎn)為，所以點(diǎn)軌跡為線段設(shè)，因?yàn)椋?，所以，此時與重合，故D正確故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)三、填空題13（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知

12、一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為_.【答案】【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】.故答案為：.14（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，將該正方體挖去兩個四分之一圓錐，得到如圖所示的幾何體，則該幾何體的體積為_.【答案】【分析】該幾何體為正方體挖去兩個四分之一圓錐，且圓錐，利用公式進(jìn)行計算，即可得到答案；【詳解】因?yàn)樵搸缀误w為正方體挖去兩個四分之一圓錐，所以圓錐，.故答案為：15（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)）設(shè)有下列四個命題：p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)

13、的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面，直線m平面，則ml.則下述命題中所有真命題的序號是_.【答案】【分析】利用兩交線直線確定一個平面可判斷命題的真假；利用三點(diǎn)共線可判斷命題的真假；利用異面直線可判斷命題的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題的真假.再利用復(fù)合命題的真假可得出結(jié)論.【詳解】對于命題，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面為；若與相交，則交點(diǎn)在平面內(nèi)，同理，與的交點(diǎn)也在平面內(nèi)，所以，即，命題為真命題；對于命題，若三點(diǎn)共線，則過這三個點(diǎn)的平面有無數(shù)個，命題為假命題；對于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面，命題為假命題；對于命題，若直線平面，則垂直于平面內(nèi)所有直線，直線平面，直線直線，命題為真命題.綜上可知，為真命題，為假命題，為真命題，為假命題，為真命題，為真命題.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假，同時也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等題.16（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_【答案】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A