高三數(shù)學(xué)《不等式選講》專題復(fù)習(xí)題含答案

1、高三數(shù)學(xué)不等式選講專題復(fù)習(xí)題含答案典型題一【母題原題1】【2018新課標(biāo)1,理23已知月行=|支+1|-|四-4.(1)當(dāng)口 = 1時(shí)，求不等式 1的解集；(2)若尤E(OJ；時(shí)不等式(X)Ax成立，求a|的取值范圍.工解析】分析二1代人函數(shù)解析式，求得/5)二|工七11 口-1|,利用零點(diǎn)分段符解析式化為'乙 x M L代工)二2工-1工< L a然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式又外8 1的解集為驍|工> ；)J，2.XV1.根據(jù)題中所給的IE GU),其中一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)可以去掉，不等式FCOAX可以化為時(shí) 分情況討論即可求得姑果.r 乙 X £ L詳解：

2、a)當(dāng)a= 1時(shí)，rw = k + ii - |x-ii,即= 2x-i<x< iL 25之1.故不等式100 > 1的解量為毯w > H)當(dāng)苒E寸I1+ 1| - I做一1| A1成立等價(jià)于當(dāng)了曰0/沖tl© -II <工成立.若& w 口，貝虺3 E GU對(duì)陋-l|>b若比21|<1的解集為口工匕巳所以;之和故口 <口且2.綜上,口的取值范圍為司，點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)絕對(duì)值不等式的解法，以及含參的絕對(duì)值的式子在某個(gè)區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取 值范圍的問題，在解題的過程中，需要會(huì)用零點(diǎn)分段法將其化為分段函數(shù)，從而將不等式轉(zhuǎn)化為多

3、個(gè)不等 式組來解決，關(guān)于第二問求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍，去掉一個(gè)絕對(duì)值符號(hào), 之后進(jìn)行分類討論，求得結(jié)果 .【母題原題2】【2017新課標(biāo)1,理23已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+ 1|+|x-1|.當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)福(x)的解集；(2)若不等式f(x)到x)的解集包含卜-1,1,求a的取值范圍.【解析】(1 )當(dāng)u=l時(shí)不等式加冰M痔價(jià)于好工+,+11 +gT9當(dāng)爪-1時(shí)式化為由3x4口無解；當(dāng)4a口時(shí)XD式化為壯-工-25人而-1勺aL：當(dāng)i>1時(shí)。式化為如十工YN從而芍里 J所以總總g(K)的解集為卜-1<X E 士第

4、斗Q自工曰-1口時(shí)夙幻女所以市國(guó)期的解集包含HL等價(jià)于當(dāng)工EHH時(shí)人,以一又?WEHJ的最小值必為於1)與KD之1所以人1日旦貝漢得-1H1所以的取值范圍為【母題原題3】12016新課標(biāo)1,理24已知函數(shù)f(x)=|x+ 1|-|2x-3|.y=f (x)的圖像如圖所示（由由#0的康達(dá)式及圖像I當(dāng)為0=1時(shí)，可得x=l或1=3；當(dāng)小尸-1時(shí).可得工三或x二5二故用）>1的解集為國(guó)kx<3;的解集為卜k < :或界> 51. , 日 1所以心）1/1的解集為% k U或1 < % C 3或犬> 5母題揭秘：絕對(duì)值不等式的解法與性質(zhì)】1. |ax+b|5|ax+

5、b|C型不等式的解-法（1）,若 c>0,則 |ax+b| 毛？ -c<ax+b<c, |ax+b| c? ax+bR 或 ax+bw c,然后根據(jù) a, b 的取值求解即可；（2）若c<0,則|ax+b|毛的解集為？，|ax+b| c的解集為 R.2. |x-a|+|x -b| 玄,|x -a|+ |x -b| ?。╟>0）型不等式的解法，點(diǎn)分區(qū)間法零點(diǎn)分區(qū)間法的一般步驟為：令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根；將這些根按從小到大排.序，并把實(shí)數(shù)集分成若干個(gè)區(qū)間；由所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)組成若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出解集；取各個(gè)不等式解集的并集即

6、可得到原/、等式的解集.幾何法(利用|x-a|的幾何意義)由于|xa|+|x切與|x "a| x劃分別表不數(shù)軸上與x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到與a, b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和與距離之差，因此對(duì)形如|x -a|+|x b|q (c>0)或|x"a| 1xb|R(c>0)的不等式，利用絕對(duì)值的幾何意義求解更直觀.致形結(jié)合法通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想，正確求出函 數(shù)的零點(diǎn)并畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.3. |f (x) |>g (x) , |f (x) |<g (x) (g (x) >0)型不等式的解法:|f (x) |>g (x) ?f

7、 (x) >g (x)或 f (x) <-g (x);|f (x) |<g (x) ? -g (x) <f (x) <g (x) .4：絕對(duì)值的三角不等式 11a |-|b| |a b| |a|+|b|a b| a b等號(hào)成立條件當(dāng)且僅當(dāng) ab 0|a b a b等號(hào)成立條件當(dāng)且僅當(dāng) ab 0 a b b c a c ：此性質(zhì)可用于求含絕對(duì)值函數(shù)的最小值，其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)【證明不等式的常見方法】不等式證明的常用方法有比較法、分析法、綜合法、反證法等.(1)如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考.慮用分析法；(2)如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至

8、少” “至多”等方式給出的，則考慮用反證法;(3)如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān)，則考慮用數(shù)學(xué)歸納法.在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問題的表述和證明.跟蹤練習(xí)一1 .【湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2018屆高考模擬卷(二)】已知函數(shù)，關(guān)于用的不等式(工)之3-|2* + 1的解集記為冏(1)求及(2)已知同用力，求證：f(砌>-他.2 安徽省淮南市2018屆高三第二次模擬考試 】已知函數(shù)(幻= |x-2|-|jf+ l| (1)解不等式附幻+ *>0.(2)若關(guān)于卜的不等式/(X)- 2口的解集為R,求實(shí)數(shù)日的取值范圍_ . . 一1一3.【河南省洛陽市2017-20

9、18學(xué)年圖三年級(jí)第一次統(tǒng)考】已知函數(shù)fx -|xa a R 1(1)當(dāng)a 2時(shí)，解不等式x 1 f x 1； 3、一一 1(2)設(shè)不等式x - f x3M ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.4 .【河南省南陽市第一中學(xué) 2018屆高三第十八次考試 】已知函數(shù)H幻= |x-2u+ 1|4-|/ + 2|，趴電二3_r + 1.(1)當(dāng)卜=1時(shí)，求不等式色的解集;(2) Me -2，fa)之成幻,求。的取值范圍.典型題二【母題原題1】【河南省豫北豫南名校 2018屆高三上學(xué)期精英聯(lián)賽】一一一，一1已知函數(shù)fx 2 x a x a 0 o a(1)當(dāng)a 1時(shí)，解不等式f x 4；（2）求函數(shù)g x f x f

10、x的最小值?！敬鸢浮?1)5,1 ; (2) 4/2.32）根據(jù)【解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解集，最后求并集（2絕對(duì)值二角不等式得 g x 2 2a ,再根據(jù)基本不等式求最小值 a試題解析：（1）Qa 1, 原不等式為2x 1 x 1 2x 2 x 1 42x 2 x1,或1 4, 2xx 1, 2x14,原不等式的解集為3.<2>由題意得以力=/+ /（一幻=2（卜+。| +,一司）+x+ > 2|2a| + -j =4a| + >4>/2,當(dāng)且僅當(dāng)2同二即"土*'目一日“還乎時(shí)'或取最【母題原

11、題2】.【遼寧省丹東市五校協(xié)作體 2018屆高三上學(xué)期聯(lián)考】函數(shù)f x1（i）當(dāng)m 1時(shí)，求不等式f x 1的解集;2（n）若對(duì)任意 m 0,1 ,不等式f x n的解集為空集，求實(shí)數(shù) n的取值范圍.【答案】（I）不等式f x 解集為x|x ；（n）（V2,）.24【解析】試題分析：本題考查絕對(duì)值不等式的解法和絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用。（I）根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間法將絕對(duì)值不等式化為不等式組求解。（n）由絕對(duì)值的三角不等式可得f xTm 。1 m ,根據(jù)換元法可得Vm 71 m的max最大值為J2 ,所以實(shí)數(shù)n的取值范圍為J2,試題解析:C)當(dāng)酬=1時(shí)，不等式八寸上！即為|工+1卜卜戶22(j)當(dāng)工玉-

12、1時(shí)？不等式化為一工-1十”之:，無解(行)當(dāng)一 14尤<0時(shí)J不等式化為x+1+工之3，解得一;工XVO前)當(dāng)無"中 不等式化為“+1-父工;恒成立;故心?？诰C上可得不等式(尤)3g解集為'X之一；!(n)因?yàn)?f x x/m|x季mx>/mx季m>/m/""m(當(dāng)且僅當(dāng)x 1 m時(shí)，等號(hào)成立)f xjm ji_m omax設(shè) g m Vm 1m ， 0 m 1,設(shè) m cos2 ,072 ,當(dāng) 等號(hào)成立。g m max J2。2，m . 1 m cos sin , 2sin要使f x n的解集為 ，則nJ2實(shí)數(shù)n的取值范圍為J2,【母

13、題原題3】.【2017屆吉林省長(zhǎng)春市普通高中高三下學(xué)期第二次模擬考試】m的取值范圍;(1)如果關(guān)于x的不等式x 1 x 5 m的解集不是空集，求實(shí)數(shù)(2)若a,b均為正數(shù)，求證：aabb abba.2x 4 , x 1【解析】(1)令 y x 1 x 5 6, 1 x 5 ,可知 x 11 |x 5 6,2x 4 ,x 5故要使不等式 x 1 x 5 m的解集不是空集，有 m 6. a b(2)由a,b均為正數(shù)，則要證 aabb abba,只需證aa bbb a 1 ,整理得 -1 ,由于當(dāng)a b時(shí),b第7頁共15頁a bi,可知a, b均為正數(shù)時(shí)a ba b 0,可得- i,當(dāng)a b時(shí)，a

14、b 0,可得a bb當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)等號(hào)成立，從而aabb abba成立.母題揭秘:均值不等式及柯西不等式的應(yīng)用】:均值不等式：若a、b均為正實(shí)數(shù)，則等 gab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。a、b均為正實(shí)數(shù)，則等 "a產(chǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。a、b、c均為正實(shí)數(shù),則rf7 一+ +一Jabca+b+c,a2+b2+c2,當(dāng)且僅當(dāng) a=b=c時(shí)等號(hào)成立。二：柯西不等式:2aib2 b1b：a1bl a2b2 L2anbn等號(hào)成立條件當(dāng)且僅當(dāng)aia2bib2bib2bn 0(1)二元柯西不等式:ac2bd ,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)ad bc(2)柯西不等式的幾個(gè)常用變形柯西不等式的三角公式

15、: a2a2L2anaibl2a2b2L2anbn2bi2 a2b22 anbnaia2Lanb1b2 Lbn2a1bi2曳b22 anbnbiLbnaia22an式體現(xiàn)的是當(dāng)各項(xiàng)2ai,2 .2 a2,L ,an系數(shù)不同時(shí),平方和”與項(xiàng)的和”之間的不等關(guān)系，剛好是均值不等式的一個(gè)補(bǔ)充。跟蹤練習(xí)二i .【貴州省遵義市遵義四中20I8屆高三第三次月考】(i)比較a2 b2與2 2a b 5的大小;111(2)已知 a, b,c R ,且 a b c 1,求證： 一 1 1 18abc2.12017- 2018學(xué)年四川省成都市第七中學(xué)高三上學(xué)期半期考試】已知函數(shù)fx mx,mR,且fx2 fx2

16、0的解集為 2,4求m的值；111(2)右a, b, c為正數(shù)，且一 一 一 m，求證a 2b 3c 3.a 2b 3c3 .【貴州省銅仁市第一中學(xué) 2017-2018學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考】已知函數(shù)f x 2x 1 ,x R,解不等式f x x 1一一 一一 ,1, 1 , 一(2)右對(duì)于 x, y R,有 x y 1,2y 1-,求證：f x 1.1 31 64 .【安徽省黃山市普通高中 2018屆高三11月“八校聯(lián)考”】已知函數(shù)f x 2x 1 .(I)求不等式 f x 4;(n)若函數(shù) g x f x f x 1的最小值為a,且m n a(m 0,ni ,、 210),求三-的取值范

17、圍.m n參考答案跟蹤練習(xí)一1.【解析】分析：<1>分類討論,去掉絕對(duì)值符合即可未知-f (b).(2)利用作差法，艮呵證明:f(2b> >f (a)詳解:一二工工,q、1 一 工 + 2工 + 1 C 3,x>lt1 + 2% + 1 < 3(1)由|2jc + 1|, fl|-l|+ |2x + 1J <3,解得一 1 < AC < 一;或一: < 文 4 L所以，集合胃=白£內(nèi)| 1 <%< 11.(2)證明：叫 bA? .-l<ah<lr觸)=|a2i-l| =1一血 f® = |a

18、-l| = l-a, f(S)= |匕- 1| 二 1 一瓦：r他)-(f(a) 一/3) = l-a&-l + a + l- £)=CH- a(l -2j) >Or二八儂)> r(a)- rs)點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求 解.法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、 滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向.2.【解析】分析：門）通過討論工的范圍求出管個(gè)區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可3 （心根據(jù)絕對(duì)值的性廉，得

19、到關(guān)于國(guó)的不等式，解出即可.詳解二LD不等式/（幻+寬 >?？苫癁? - 2| + x > -1|.當(dāng)工 < 衛(wèi)寸，一Q 2） + * > Q+ 1）解得芯 >-3SP-3當(dāng)一1 二 N < 29寸，（X 2） 1- x > x + i解得工 < 1 即一1 <j: < 1:當(dāng)七>2時(shí),霓一2 +二 >宣+1解得且>3即支>3;蒙上所述:不等式以幻，> 口的解集為回3父工之母又 >甥一由不等式/V） <aa-怎可得|x - 2| |x - 1| 4心一 2aj r |x-2|-|x-l| &l

20、t; |x-2-l| = 5 a &工2a ±3?鼠1視工-2a-0解得比> 3或"-1故實(shí)額&的職值范圍是& N 3成 < L點(diǎn)睛：（1）本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查絕對(duì)值的性質(zhì).（2）重要絕對(duì)值不等式：K需一借11依封戔篇+俗，使用這個(gè)不等式可以求絕對(duì)值函數(shù)的最值，先要確定是使用左邊還是右邊，如 果兩個(gè)絕對(duì)值中間是“-”號(hào)，就用左邊，如果兩個(gè)絕對(duì)值中間是“ +”號(hào)，就使用右邊.再確定中間的“土” 號(hào)，不管是“ +”還是“-"，總之要使中間是常數(shù).3.解析：（1）當(dāng)白=2時(shí),原不等式可化為內(nèi)-1|+,2|之工當(dāng)工4；時(shí),

21、原不等式可化為-3+1 + 2#之3,解得工，0,所以工玄。 當(dāng)!時(shí)：原不等式可化為斯12+x之3,解得，之1,所以 當(dāng)X之2時(shí),原不等式可化為3#1-2+工之3,解得工之；,所以工之2.上綜上所適 當(dāng)口 = 2時(shí)，不等式的解集為5|工父堿±1.一 一 1.1 1 ，一(2)不等式x f x x可化為3x 1 x a 3x,依題意不等式 3x 1 x a 3x在,一 恒31 1111 113 2a 1成立，所以3x 1 | x a故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是1 42,33 .解得123x,即 x a 1,即 a 1 x a 1,所以a 14.【解析】分析：(1)當(dāng)口二時(shí)，得(幻=像-1|

22、+ L + 2|三玄+ 1,分類討論，即可求解不等式的解集；(2)當(dāng)工日-4時(shí)，/但之0，即a-2口 + ” “了-1 ,分類討論，轉(zhuǎn)化為時(shí)，+ 2(加-取-4a(a -l)<。恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.詳解：(1)當(dāng)。=1時(shí)，/【G 二 1| + 用 + 2| 0+ 1|,當(dāng)時(shí)，網(wǎng)切=-2xT,令.(幻<3-v + 1,即-2x - 1三軸+ 1,此時(shí)無解；當(dāng)|-2<xV 1時(shí)D(幻= ：.；,2< X < 1令/(#) £ 加 +T ,即|3 M 3、+ 1,所以 3；當(dāng)年之1時(shí)，f(x) = 2xTl,第13頁共15頁令f (喻三+1,即

23、+1 < + 1,解得牌> 1j綜上所達(dá) 不等式的解集為印 主空(2)生3 E 2日州寸: f3 =僮一2u + l|+x+ 2支族 + 1, BP|x 2a 4-1| > 2x 1；當(dāng)一2 < 蛔，2r -1 < 0, |j - 2ii + 1| > 2jc - 1 恒成立j當(dāng)。>：,工石一乙；制寸，2x -1屯h 2a+ 1|22尤一1恒成立j丈eq)時(shí)，位一 2口+ 1/2Qj: - 1尸恒成立，即3爐+ 2(2o 3)比-4ag - 1) <時(shí)亙成立，今觀心=打、2(2-3)1-4-1),貝的的最大值只可熊是g(J或gS),g(：)匕口應(yīng)

24、=3屋一加三5得口 <工4又G> J所以*a/上qqJ綜上所述:也的取值范圍是佃 K 出且)點(diǎn)睛：點(diǎn)本題主要考查了含絕對(duì)值的不等式的求解，以及不等式的恒成立問題的求解與轉(zhuǎn)化，著重考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的應(yīng)用，試題綜合性強(qiáng),，有一定的思維難度，屬于中檔試題.跟蹤練習(xí)二1.【解析】試題分析；CD作差比較，ai + t1-2(2u-6)+ 5=a-2a+i-la0,從而可得結(jié)果？ ，；_1)(；-1):一1)中的1攝為。+/?+右后，利用均值不等式可得結(jié)論.試題解析：(1)因?yàn)?a2b22 2ab 5 a22b120,所以，a2b22 2ab 5；(2)證明：: a+b+c=1, a, b, c Rf,. .11 1111 = b+c a+ca