電梯最佳運行策略數(shù)學建模doc

1、電梯運行的最優(yōu)策略摘 要 關鍵字： 最優(yōu)運行策略 人流密度 分段運送法 平均等待時間 優(yōu)化模型隨著高樓的越來越多，電梯越來越普及。于是電梯的運行策略的優(yōu)化越來越受到人們的重視。本文研究的就是居民樓電梯運行策略的最優(yōu)化問題。 所謂電梯運行策略的優(yōu)化，就是要使居民對乘坐電梯滿意度最高。即減少等待時間。本文就是從這點出發(fā)尋求電梯運行的最優(yōu)策略。 首先根據(jù)居民樓電梯的使用規(guī)律，即人流密度，將電梯的使用分為五個時間段。根據(jù)每個時間段的人流密度特點提出相應的運行策略。其次我們運用兩部電梯分段運送法，即第一部電梯負責運送下面一些樓層的居民，第二部電梯負責運送其余上面的那些樓層的居民。建立相應的數(shù)學模型。讓每

2、一時段的平均等待時間最小。 然后以平均每層居民的的等待時間為目標函數(shù)，建立優(yōu)化模型。運用MATLAB軟件在目標函數(shù)最小情況下求出兩部電梯的分段工作的分界樓層，即可確定電梯的運行策略。 最后我們發(fā)現(xiàn)：早上空閑時段第一部電梯應負責運送第14層以下的居民下樓，不工作時停在第7層；第二部電梯應負責運送第14層（含14層）的居民下樓，不工作時?？吭?0樓。上班高峰期第一部電梯應運送第14層以下的居民下樓，第二部電梯應運送第14層（含14層）居民下樓。中間時段（上下樓概率相同）第一部電梯應停在第1層專門負責將居民送到樓上，同時負責將9層以下的居民送到樓下。第二部電梯應停在第17層專門將第9層以上（含第9層

3、）居民送到樓下。下班高峰期第一部電梯應運送第14層以下的居民上樓，第二部電梯應運送第14層（含14層）居民上樓。晚上空閑時段第一部電梯應負責運送第14層以下的居民下樓，；第二部電梯應負責運送第14層（含14層）的居民下樓，不工作時都?？吭?樓。并且經(jīng)我們嚴格驗證此運行策略是十分理想的。于是我們得出結(jié)論：該運行策略能夠消除居民乘電梯的煩惱。1、 問題的提出某高層居民住宅樓共有25層，其中奇數(shù)層每層樓住有4戶，偶數(shù)層每層樓住有2戶，該住宅樓安裝了2部電梯供居民上下樓。出于安全性和舒適性的考慮電梯開關門和升降時都很緩慢，這就造成許多住戶抱怨電梯太慢了。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)電梯運行“慢”的原因主要有：(1) 住

4、在二十幾層的住戶出門時經(jīng)常發(fā)現(xiàn)兩部電梯都停在1樓，這時他們必須等電梯從1樓運行上來后再下去；(2) 在回家的時候有些住戶經(jīng)常會碰到兩部電梯都沒有停在1樓的情況，此時又要等電梯先運行下來后再上去；(3) 當兩部電梯停在不同的樓層，有些住戶會遇到并不是離他所在樓層最近的那部電梯過來將他運下樓的情況；(4) 在上班高峰期有多個樓層的住戶同時等待電梯下樓，而此時只有一部電梯運行另一部還停在1樓，這部電梯?？慷鄠€樓層就要多次開關門，使這些急著趕去上班的人又在電梯里面浪費了很多時間。如果你是一位電梯制造商或設計者，請你在分析該電梯現(xiàn)有的運行策略及公共場所電梯分層運行策略的優(yōu)缺點后，設計一種新的電梯運行策略

5、幫助這些住戶消除他們乘坐電梯時的煩惱，并用數(shù)學的方法嚴格證明或用統(tǒng)計模擬的方法驗證你設計的電梯運行策略是最優(yōu)的。 最后出于商業(yè)目的的需要，你設計的電梯運行策略是否可以廣泛用于高層和小高層居民住宅樓（目前國內(nèi)設計樓層為8層及以上的住宅樓都安裝了一部或多部電梯）。二、問題的分析可以從用戶提出的四個主要煩惱中總結(jié)出：用戶的煩惱是他們等待電梯的時間過長。由此，我們建立的模型要能夠滿足大多數(shù)用戶的要求，即讓他們等待電梯的時間盡量達到最低，我們將一天24小時分為五個階段分別建立相應的模型。對應的五個階段分別為：早上空閑時段、上班高峰期、中間時期、下班高峰期和晚上空閑時段。衡量我們所建立的模型的標準為乘客的

6、總等待時間和每層乘客的平均等待時間最小。在此，我們提出了電梯分段運行策略。該策略即為將樓層分為兩部分，第一部電梯負責運送第層以下的乘客，第二部電梯負責運送第層（含第層）以上的乘客。確定兩部電梯的?？繕菍蛹胺侄螛菍拥闹?，使得平均等待時間最小。3、 模型的假設1、 假設不考慮超載的情況；2、 假設電梯運行時經(jīng)過每一層的時間相同；3、 電梯啟動與制動在瞬間完成，即一啟動就達正常速度，一制動就停止，不考慮加速減速；4、 電梯在任一層停靠的時間為常數(shù)；5、 上班高峰時間段每一層都有居民等待電梯下樓；6、 假設上班時段電梯上行不載客；下班時電梯下行不載客；7、 一天24小時分為五個時間段：早上空閑時段、早

7、上上班時段、中間時段、下午下班時段、晚上空閑時段。8、 不考慮不同樓層居民相互來往。9、 不考慮雙休日，及其他節(jié)假日導致的人流規(guī)律變化。10、 不考慮其他突發(fā)事件對人流規(guī)律的變化。11、 居民對乘坐電梯的不滿意度只與等待時間有線性關系，不考慮在電梯內(nèi)外等待時間對滿意度的影響。即用平均等待時間衡量4、 符號說明Z樓層的層數(shù)樓層的層號k第一部和第二部電梯工作樓層的分界m第一部電梯早上空閑時段不工作所停樓層n第二部電梯早上空閑時段不工作所停樓層早上空閑時段第i層居民呼叫電梯的概率早上空閑時段把第i層送到第一層的時間電梯運行時經(jīng)過每一次層的時間，=3電梯在每一層的?？繒r間，=5T早上空閑時段把居民送下

8、樓的平均時間Q每一層平均等待時間第i部電梯上下的運行時間與?？繒r間之和第層居民下樓的概率第層居民上樓的概率中間時段把居民送上樓的時間5、 模型的建立與求解模型一 早上空閑時段電梯的運行策略問題分析：我們合理假設早上空閑時期只會出現(xiàn)某層樓的人下樓的情況，由題目條件給出的每層樓所居住的人的戶數(shù)，可以計算出是第層樓的人需要下樓的概率。由分段運送的策略，假設第一部電梯停留在第層，第二部電梯停留在第層，可以計算出每層樓住戶平均等待時間的期望值，求出合適的、和的值使得平均等待時間最小，就可以確定再造上空閑時期的電梯運行策略。根據(jù)電梯分段運行的策略，第一部電梯?？吭?樓層，第二部電梯?？吭诘跇菍?。早上空閑時

9、段電梯不工作時，兩部電梯分別停在、層。模型建立：第i層居民呼叫電梯的概率為把居民送到樓下的時間為則把居民送下樓的平均時間為當T取最小值時用MATLAB編程可得k=14，m=7，n=20。T=52。所以，當?shù)谝徊侩娞葚撠熯\送第13層以下的居民下樓，不工作時停在第7層；第二部電梯負責運送第13層（含13層）的居民下樓，不工作時停靠在19樓，此時可使居民的平均等待時間最短。模型二 早上上班高峰期電梯的運行策略問題分析：我們假設在此階段每層都有乘客要坐電梯，同樣采用的是分段運行策略，經(jīng)過分析論證確定兩部電梯的?？繕菍樱诖硕x了每層平均等待時間，在平均等待時間最小的基礎上確立如何分層運行，即確定值。模

10、型建立：早上上班時間段，假設第層以下居民搭乘第一部電梯，層以上（含層）居民搭乘第二部電梯。經(jīng)分析易知，要使等待時間最短，一開始第一部電梯應停在層，第二部電梯應停在第層。第i部電梯運一趟(運到樓下再回到原樓層）的時間為，；要使等待時間減小，即要使每一層居民的平均等待時間減小。當使居民平均等待時間最小時就可滿足要求，于是運用最優(yōu)化思想解決該問題。于是每一層平均等待時間Q為用MATLAB編程可得：k=14。所以上班高峰期第一部電梯運送第14層以下的居民下樓，第二部電梯運送第14層（含14層）居民下樓，此時即能滿足平均每一層居民的等待時間最短。模型三 中間時期電梯的運行策略問題分析：1、在回家的時候有

11、些住戶經(jīng)常會碰到兩部電梯都沒有停在1樓的情況，此時要等電梯先運行下來后再上去，但同時也可能會有居民下來，因此要確定電梯的停靠位置。2、對于高峰期和一天的早上空閑時期用分段法比較合理，但對于中間時期采用分段法是否還合理呢？由于這段時間使用電梯的人比較少，認為每次只有一個人上樓或下樓。為使等待時間最小，我們在分段運行的基礎上，提出新的電梯運行方案：第一部電梯停在第層專門負責將居民送到樓上，同時負責將層以下的居民送到樓下。第二部電梯停在第層專門將第層以上（含第層）居民送到樓下。基于此運行方案，我們建立模型計算出當?shù)却龝r間最小時的、和的值。模型建立：在分段運行的基礎上，我們提出了新的電梯運行方案：第一

12、部電梯停在第層專門負責將居民送到樓上，同時負責將層以下的居民送到樓下。第二部電梯停在第層專門將第層以上（含第層）居民送到樓下。假設居民下樓的概率為，上樓的概率為。（設=0.5，=0.5）第層的居民乘坐電梯下樓或上樓的概率為：只考慮下樓時，把該居民送到樓下的時間為只考慮上樓時，將該居民送到目標層的時間為運送一次的平均時間為 用MATLAB編程求出當取得最小值時的、和的值: T=57.0417，=12，=4，=19。所以，中間時段第一部電梯停在第4層專門負責將居民送到樓上，同時負責將12層以下的居民送到樓下。第二部電梯停在第19層專門將第12層以上（含第12層）居民送到樓下。模型四 下班高峰期的電

13、梯運行策略問題分析： 與上班高峰期一樣，我們假設電梯運送乘客上樓時每層都有人下，即電梯在向上運行的過程中每層都需要?？俊２捎梅侄芜\行的策略，建立數(shù)學模型，求出當每層平均等待時間最小時的、和的值。即可確定在這一階段的電梯運行策略。模型建立：采用分段運行的策略，假設第層以下居民搭乘第一部電梯，層以上（含層）居民搭乘第二部電梯。經(jīng)分析易知，要使等待時間最短，一開始第一部電梯和第二部電梯都應該停留在第一層。用表示第部電梯的運送一趟所花的時間，即電梯上下一次和停靠時間之和。要使等待時間減小，即要使每一層居民的平均等待時間減小。當使每層居民平均等待時間最小時就可滿足要求，運用最優(yōu)化思想解決該問題。于是平均

14、每一層等待時間Q為用MATLAB編程可得：k=14。所以下班高峰期第一部電梯運送第14層以下的居民上樓，第二部電梯運送第14層（含14層）居民上樓，此時即能滿足平均每一層居民的等待時間最短。模型五 晚上空閑時段電梯的運行策略 問題分析： 與早上空閑時段一樣，我們合理假設晚上空閑時段只會出現(xiàn)某層樓的人上樓的情況，同樣可以計算出是第層樓的人需要下樓的概率。由分段運送的策略，假設第一部電梯停留在第層，第二部電梯停留在第層，可以計算出每層樓住戶平均等待時間的期望值，求出合適的、和的值使得平均等待時間最小，就可以確定晚上空閑時期的電梯運行策略。 根據(jù)電梯分段運行的策略，第一部電梯?？吭?樓層，第二部電梯

15、?？吭诘?、樓層。分析知第一二部電梯都應停在一樓。模型建立:第i層居民呼叫電梯的概率為把居民送到樓上的時間為則把居民送上樓的平均時間為當T取最小值時用MATLAB編程可得k=14，m=1，n=1。所以，當?shù)谝徊侩娞葚撠熯\送第14層以下的居民下樓，不工作時停在第1層；第二部電梯負責運送第14層（含14層）的居民下樓，不工作時?？吭?樓，此時可使居民的平均等待時間最短。 終上所述：早上空閑時段第一部電梯應負責運送第14層以下的居民下樓，不工作時停在第7層；第二部電梯應負責運送第14層（含14層）的居民下樓，不工作時?？吭?0樓。上班高峰期第一部電梯應運送第14層以下的居民下樓，第二部電梯應運送第1

16、4層（含14層）居民下樓。中間時段（上下樓概率相同）第一部電梯應停在第1層專門負責將居民送到樓上，同時負責將9層以下的居民送到樓下。第二部電梯應停在第17層專門將第9層以上（含第9層）居民送到樓下。下班高峰期第一部電梯應運送第14層以下的居民上樓，第二部電梯應運送第14層（含14層）居民上樓。晚上空閑時段第一部電梯應負責運送第14層以下的居民下樓，；第二部電梯應負責運送第14層（含14層）的居民下樓，不工作時都?？吭?樓。并且經(jīng)我們嚴格驗證此運行策略是十分理想的。于是我們得出結(jié)論：該運行策略能夠消除居民乘電梯的煩惱。六、模型檢驗與分析 對于上面所建立的模型，我們是經(jīng)過了理論的驗證得到了最后的結(jié)

17、果。但是要根據(jù)實際情況來做進一步檢驗，因此需要我們對于每個模型分別進行檢驗處理。在此采用計算機模擬的方法來模擬電梯運行的實際情況，并由大量的模擬次數(shù)來分析平均等待時間。早上空閑階段： 考慮到此階段每次有一個人下樓，其中奇數(shù)層每層樓住有4戶，偶數(shù)層每層樓住有2戶，每個人在這個階段下樓的概率都是相同的，由此可知奇數(shù)層的居民等待電梯下樓的概率是偶數(shù)層居民的兩倍。我們編輯一個模擬程序來仿真電梯運行多次所花的平均等待時間。由matlab編程可得：模擬次數(shù)90015001800平均等待時間51.346752.346053.2100模擬次數(shù)3000600015000平均等待時間51.814052.13905

18、2.2204模擬步數(shù)與平均等待時間由上圖可以看出平均等待時間幾乎穩(wěn)定在52.5左右，與我們的理論計算值52相差不大，相對誤差。經(jīng)過檢驗發(fā)現(xiàn)模型滿足條件，模型精度較高。七、模型的評價、改進及推廣1、模型的優(yōu)點1) 根據(jù)電梯每天在不同時段的使用情況提出相應的電梯運行策略，使得在每個時段居民的等待電梯的時間最短。2）我們創(chuàng)造性的將分段運送的方法應用于電梯運行，使得居民的等待時間盡可能的縮短。3）在高峰時期我們提出了以平均每層居民的等待時間為指標尋求最優(yōu)的運行策略。這個指標能夠比較好的反映居民乘坐電梯時的愿望，即期望在等電梯上花盡量少的時間。4）在中間時段提出了基于分段運送的改進的電梯運行策略，富有創(chuàng)

19、造性和嚴謹性，經(jīng)過論證能夠更好地解決這一時段的實際情況，值得進一步研究和推廣。2、模型的缺點1）在模型一的建立中，我們假設只考慮一個人下樓的情況，雖然假設比較符合事實，但是還是會有一些出入，需要進一步完善考慮。2）在高峰期時，我們基于實際情況合理假設了每層都有居民上樓或下樓，并沒有考慮其他的情況，這是模型的不足之處。3）建立模型的過程中居民在樓層之間的往返欠缺考慮。4) 時間段的劃分比較籠統(tǒng)，不能明確何時采取何種策略。5) 沒有考慮電梯超載的情況，與實際情況有偏差。3、 模型的改進 定義：坐電梯的人數(shù)為人流量；單位時間內(nèi)坐電梯的人數(shù)為人流密度。前面的建模過程中，我們在不同的時間段采用不同的策略

20、，但是，何時采取何種策略并不容易確定。同時，空閑期與高峰期之間的過渡期該采取何種策略也不好確定。 為此，我們在前面五個模型的基礎上提出一個新的整合模型。由該模型得出的電梯運行策略，暫且稱為“智能策略”?！爸悄懿呗浴庇幸韵绿攸c：1、 能夠統(tǒng)計歷史工作數(shù)據(jù)（上下樓的人流情況）。2、 能根據(jù)統(tǒng)計出來的數(shù)據(jù)規(guī)律確定何時采取何種適當?shù)牟呗?。A.數(shù)據(jù)統(tǒng)計 電梯統(tǒng)計并保存前七天的數(shù)據(jù)，并依據(jù)此數(shù)據(jù)擬合出任一時刻的人流密度曲線。統(tǒng)計方法為電梯上樓下樓時在各樓層的單位時間的開關門次數(shù)。顯然，在高峰期會遇到有多個樓層的居民同時上下樓的情況，這使得數(shù)據(jù)將不能準確反映。假設每層樓每戶單位時間內(nèi)上、下樓的人數(shù)滿足泊松分

21、布，即 可看作兩個獨立的poisson流，由數(shù)學統(tǒng)計理論知到達間隔時間分別滿足以和的負指數(shù)分布.則， 由poisson流合成知，對于一層居民單位時間內(nèi)上樓下樓的人數(shù)滿足一參數(shù)為、(當為偶數(shù)時=2，為基數(shù)時=4)的poisson分布。同理可知，到達間隔時間分別滿足以，為參數(shù)的負指數(shù)分布。同樣可已得到，k層以下的poisson流合成及k層以上的poisson流合成的poisson分布函數(shù)及負指數(shù)分布函數(shù)。八、參考文獻1姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學模型M，北京:高等教育出版社，2003.2黃永安,李文成,高小科.Matlab 7.0/Simulink 6.0應用實例仿真與高效算法開發(fā)M,北京：清華大學

22、出版社，2008.6.3齊行行,米琦,葉穎梁.高層寫字樓電梯運行安排模型EB OL.,2003.05/2010.08.459、 附錄模型一的程序：clearZ=25;%總層數(shù)pi=0;t0=3;%一層的運行時間t1=5;%開關門所用時間T=100000 0 0 0;%平均時間for k=2:25 for m=1:k for n=k:Z T1=0; for i=2:25 pi=(3-(-1)i)/72; if i<k ti=abs(m-i)*t0+(i-1)*t0+t1; else ti=abs(n-i)*t0+(i-1)*t0+t1; end T1=T1+pi*ti; end %最短時間

23、 if T(1)> T1 T(1)=T1;T(2)=k;T(3)=m;T(4)=n; continue end end endendT模型二的程序：min=1000000;for k=2:25 tk=6*(k-1)*(k-2)+5*(k-1)2+144*(27-k)+5*(27-k)2; if min>tk min=tk; f=k; endendminf模型三的程序：clearZ=25;%總層數(shù)pi=0;t0=3;%一層的運行時間t1=5;%開關門所用時間T=100000 0 0 0;%平均時間a=0.5;b=0.5;for k=2:25 for m=1:k for n=k:Z T1=0; for i=2:25 pi=(3-(-1)i)/72; if i<k ti=abs(m-i)*t0+(i-1)*t0+t1; else ti=abs(n-i)*t0+(i-1)*t0+t1; end tt=(m+i-1)*t0+t1; T1=T1+a*pi*ti+b*pi*tt; end %最短時間 if