離散數(shù)學習題解第一部分(集合論部分)

1、離散數(shù)學輔助教材概念分析結構思想與推理證明第一部分集合論劉國榮交大電信學院計算機系離散數(shù)學習題解答習題一 （第一章集合）1. 列出下述集合的全部元素： 1）A=x | x Nx是偶數(shù) x152）B=x|xN4+x=33）C=x|x是十進制的數(shù)字解 1）A=2，4，6，8，10，12，142）B=Æ3）C=0，1，2，3，4，5，6，7，8，92. 用謂詞法表示下列集合：1）奇整數(shù)集合2）小于7的非負整數(shù)集合3）3，5，7，11，13，17，19，23，29解 1）nçnÎIÙ($mÎI)(n=2m+1)；2）nçnÎI

2、17;n³0Ùn<7；3）pçpÎNÙp>2Ùp<30ÙØ($dÎN)(d¹1Ùd¹pÙ($kÎN)(p=k×d)。3. 確定下列各命題的真假性：1）ÆÍÆ2）ÆÆ3）ÆÍÆ4）ÆÆ5）a，bÍa，b，c，a，b，c6）a,b(a，b，c，a，b，c)7）a，bÍa，b，a，b，8）a，ba，b，a，b，解1）

3、真。因為空集是任意集合的子集；2）假。因為空集不含任何元素；3）真。因為空集是任意集合的子集；4）真。因為Æ是集合Æ的元素；5）真。因為a，b是集合a，b，c，a，b，c的子集；6）假。因為a,b不是集合a，b，c，a，b，c的元素；7）真。因為a，b是集合a，b，a，b的子集；8）假。因為a,b不是集合a，b，a，b的元素。4. 對任意集合A，B，C，確定下列命題的真假性： 1）如果ABBC，則AC。 2）如果ABBC，則AC。 3）如果AÌBBC，則AC。解 1）假。例如A=a，B=a，b，C=a，b，從而ABBC但AC。 2）假。例如A=a，B=a，a，C=

4、a，a，從而ABBC，但、AC。 3）假。例如A=a，B=a，b，C=a，a，b，從而ACBBC，但AC。5對任意集合A，B，C，確定下列命題的真假性： 1）如果ABBÍC，則AC。 2）如果ABBÍC，則AÍC。 3）如果AÍBBC，則AC。 3）如果AÍBBC，則AÍC。解 1）真。因為BÍCÛ"x（xBÞxC），因此ABÞAC。2）假。例如A=a，B=a，b，C=a，b，c從而ABBÍC，但AÏC。3）假。例如A=a，B=a，b，C=a，a，b，從而A

5、5;BBC，但AÏC。4）假。例如A=a，B=a，b，C=a，b，b，從而AÍBBC，但AÏC。6求下列集合的冪集：1）a，b，c2）a，b，c3）Æ4）Æ，Æ5）a，b，a，a，b，a，b，a，b解 1）Æ，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c2），a，b，c，a，a，b3）Æ，Æ4）Æ，Æ，Æ，Æ，Æ5）Æ，a，b7給定自然數(shù)集合N的下列子集：A=1，2，7，8B= x|x250C=x|x可以被3整除且0x30D=x|x=2K，KI

6、OK6列出下面集合的元素：1） ABCD2） ABCD3） B（AC）4） （AB）D解 因為B=1，2，3，4，5，6，7，C=3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，D=1，2，4，8，16，32，64，故此 1）ABCD=1，2，3，4，5，6，7，8，9，12，15，16，18，21，24，27，30，32，642）ABCD=Æ3）B（AC）=4，54）（AB）D=1，2，3，4，5，6，7，8，16，32，648設A、B、C是集合，證明：1）（AB）=A(BC)2）（AB）C=（AC）（BC）3）（AB）C=(AC)B證明 1）方法一：（AB）C=（AB）C

7、（差集的定義）=A（BC） （交運算的結合律）=A（BC） （deMorgan律）=A（BC） （差集的定義）方法二：對任一元素x（AB）C，則xÏC，同時，xAB，xA，xÏB，所以，xA，xÏBC，即xA（BC），由此可見（AB）CÍA（BC）。反之，對任一元素xA（BC），則xA，且xÏBC，也就是說xÏA，xÏB，xÏC。所以x（AB）C，由此可見A（BC）Í（AB）C。因此A（BC）。2）方法一：（AB）C =A（BC） （根據1） =A（CB） （并運算交換律） =A（CB） （01律） =A

8、（CB）（CC） （01律） =A（C（BC） （分配律） =（AC）（BC） （根據1） =（AC）（BC） （差集的定義）方法二：對任一元素x（AB）C，可知xA，xÏB，xÏC，xAC。又由xÏB，xÏBC，x（AC）（BC）（BC）。所以（AB）CÍ（AC）（BC）。反之，對任x（AC）（BC），可知xAC，xÏBC。由xAC，可知xA， xÏC。又因為xÏBC及xÏC，可知xÏB。所以，x（AB）C。因此（AB）CÍ（AB）C。由此可得（AB）（BC）Í（AB）C。

9、3）方法一：（AC）C =A（BC） (根據1) =A（CB） （并運算交換律） =（AC）B （根據1）方法二：對任一元素x（AB）C，可知xA，xÏB，xÏC。由為xA，xÏC，所以，xAC。又由xÏB，x（AC）B。所以，（AB）CÍ（AC）B。同理可證得 （AC）BÍ（AB）C。9. 設A、B是全集的子集，證明： AÍBÛAB=XÛAB=Æ解(采用循環(huán)證法)(1)先證AÍBÞAB=X；方法一：AB=A(AB) （因為條件AÍB及定理4）=(AA)B （的結合

10、律）=(AA)B （的交換律）=XB （互補律）=X （零壹律）方法二：AÍBÞAB=B （定理4）ÞB=AB （等號=的對稱性）ÞAB=A(AB) （兩邊同時左并上A）ÞAB=(AA)B （的結合律）ÞAB=(AA)B （的交換律）ÞAB=XB （互補律）ÞAB= （零壹律）方法三：因為AÍX且BÍX，所以根據定理2的3¢）就有ABÍ；另一方面，由于BÍAB 及根據換質位律可得BÍAÍAB，因此，由互補律及再次應用定理2的3¢），可得

11、X=BBÍAB，即XÍAB；所以，AB=。(2)次證AB=XÞAB=Æ；AB=XÞ(AB)=X （兩邊同時取補運算）Þ(A)B=X （de Morgan律）ÞAB=X （反身律）ÞAB=X （零壹律）(3)再證AB=ÆÞAÍB；方法一：A=AX (零壹律)=A(BB) (互補律)=(AB)(AB) (分配律)=(AB)Æ (條件AB=Æ)=AB (零壹律)ÍB （定理2的3)）方法二：AB=ÆÞB=BÆ (零壹律)=B(AB)

12、 （條件AB=Æ）=(BA)(BB) (分配律)=(AB)(BB) (的交換律)=(AB)X (互補律)=AB (零壹律)ÞAÍB （定理4的2)）10. 對于任意集合A，B，C，下列各式是否成立，為什么？1） AB=ACÞB=C2） AB=ACÞB=C解 1）不一定。例如：A=a，B=a，b，C=b。顯然有AB=AC，但BC。2）不一定。例如：A=a，B=a，b，C=b，c。顯然有AB=AC，但BC。11設A，B為集合，給出下列等式成立的充分必要條件：1） AB=B2） AB=BA3） AB=AB4） AÅB=A解 1）AB=AB，

13、由假設可知AB=B，即AB=B。由此可知B=ABÍB，故此B=BB=Æ。由假設可知A=AÆ=AB=B=Æ。所以當AB=B時有A=B=ÆÆ。反之，當A=B=Æ時，顯然AB=B。因此AB=B的充分必要條件是A=B=Æ。2）設ABÆ，則有元素aAB，那么，aA，而由假設AB=BA。所以aBA，從而aÏA，矛盾。所以AB=，故AÍB。另一方面由BA=AB=Æ?？傻肂ÍA。因此當AB=BA時，有A=B。反之，當A=B時，顯然AB=BA=Æ因此，AB=BA的充要條件是

14、A=B。3）由于AB=AB，從而AÍAB=ABÍB，以及BÍAB=ABÍA故此AB=AB，有A=B。5） 根據定理6的1）有AÅÆ=A，由已知條件AÅB=A，可得AÅB=AÅÆ。從而由對稱差的消去律可得B=Æ。反之，若B=Æ，則AÅB=AÅÆ=A。所以AÅB=A的充分必要條件為B=Æ。12. 對下列集合，畫出其文圖：1） AB2） A（BC）3） A（BC）解ABA BA (B C ) BCA (B C )ACBAXX13.

15、用公式表示出下面圖中的陰影部分解ACBx(ABC)(ABC)BCAx(AC) B14. 試用成員表法證明1）（AÅB）ÅC=A（BÅC）2）（AB）（BC）ÍAB解 1）成員表如下A B CAÅB（AÅB）ÅCBÅCAÅ（BÅ） 成員表中運算結果Å及Å（Å）的兩列狀態(tài)表明，全集中的每一個體對它倆有相同的從屬關系，故（Å）ÅÅ（Å）1） 成員表如下：A B CAB（BC）(BC)(AB)(BC)BAB 110 0010 0000

16、 1000 0111 1011 11000 10000成員表中運算結果（AB）（BC）及AB的兩列狀態(tài)表明，全集中的每一個體，凡是從屬（AB）（BC）的，都從屬AB，故（AB）（BC）ÍAB注：自然數(shù)集N取為1，2，3，n，習題二（第二章 關系）1設A=1，2，3，B=a，b求 1）A×B 2）B×A 3）B×B 4）2B×B解 1）A×B=（1，a），（1，b），（2，a），（2，a），（3，a），（3，b）2）B×A=（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3）3）B×B=（a，a），

17、（a，b），（b，a），（b，b）4）2B=Æ，a，b，a，b2B×B（Æ，a），（Æ，b），（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），（a，b，b）2使AÍA×A成立的集合A存在嗎？請闡明理由。解 一般地說，使AÍA×A成立的集合A不存在，除非A=Æ。否則 AÆ，則存在元素xA×A，故有y1，y2A，使x=（y1，y2），從而y1，y2A×A，故此有y1，y2，y3，y4，使y1=（y1，y2），y2=（y3，y4），。這說明A中每個元素x，其結構為元組的無窮次嵌套構

18、成，這不可能。我們討論的元素的結構必須是由元組的有限次嵌套構成。3證明A×B=B×AÛA=ÆB=ÆA=B證 必要性：即證A×B=B×AÞA=ÆB=ÆA=B若A×B=Æ，則A=Æ或者B=Æ若A×BÆ，則AÆ且BÆ，因此對任何xA及任何yB就有（x，y）A×B，根據A×B=B×A，可得（x，y）B×A，故此可得xB，yA，因此而得AÍB且BÍA，所以由Í

19、;的反對稱性A=B。充分性：即證A=ÆB=ÆA=BÞA×B=B×A 這是顯然的。4證明（AB）×（CD）=（A×C）（B×D）證證法一：（元素法）對任一（x，y）（AB）×（CD） 有xAB，yCD，于是xA，xB，yC，yD。因而（x，y）A×C，且（x，y）B×D，所以（x，y）（A×C）（B×D）。因而（AB）×（CD）Í（A×C）（B×D）另一方面，對任一（x，y）（A×C）（B×D），于是有（x，

20、y）A×C且（x，y）B×D，因而xA，yC，xB yD。所以xAB，y（CD）。所以（x，y）（AB）×（CD）。因而（A×C）（B×D）Í（AB）×（CD）。綜合這兩個方面有（AB）×（CD）=（A×C）（B×D）。證法二：（邏輯法）對任何x,y(x,y)(AB)×(CD)ÞxABÙyCDÞ(xAÙxB)Ù(yCÙyD)Þ(xAÙyC)Ù(xBÙyD) (Ù的結合律、交換律

21、)Þ(x,y)A×CÙ(x,y)B×DÞ(x,y)(A×C)(B×D)由x，y的任意性，可得：(AB)×(CD)= (A×C)(B×D) 。5下列各式中哪些成立，哪些不成立？對成立的式子給出證明，對不成立的式子給出反例。 1）（AB）×（CD）=（A×C）（B×D） 2）（AB）×（CD）=（A×C）（B×D） 3）（AÅB）×（CÅD）=（A×C）Å（B×D） 4）（AB）&

22、#215;C=（A×C）（B×C） 5）（AÅB）×C=（A×C）Å（B×C）解 1）不成立。設A=a，B=b，C=c，D=d，則（a，-d）（AB）×（CD），但（a，-d）Ï（A×C）（B×D）。所以（AB）×（CD）=（A×C）（B×D）不成立。事實上有：（A×C）（B×D）Í（AB）×（C ）Í（AB）×（CD）。2）不成立。設A=a，B=b，C=D=c，則（a，c）（A×C）（

23、B×D）但（a，c）Ï（AB）×（CD）。因而（Ab）×（CD）=（A×C）（B×D）不成立。事實上有：（AB）×（CD）Í（A×C）（B×D）。因為ABÍA，CDÍ，故有（A×C）（B×D）Í A×C；又若（x，y）（AB）×（CD）故此xAB，從而xÏB，yCD，從而yÏD，故此（x，y）ÏB×D綜合這兩方面，有（AB）×（CD）Í（A×C）（B

24、5;D）。 3）不成立。設A=a，B=b，C=a，D=b，則（a，b）（AÅB）×（CÅD），但（a，b）Ï（A×C）Å（B×D）。所以（AÅB）×（CÅD）Í（A×）Å（B×D）不成立。又設A=a，B=b，C=a，D=c 則（a，c）（A×）Å（B×D），但（a，c）Ï（AÅB）×（CÅD）。所以（A×）Å（B×D）Í（AÅB）

25、5;（CÅD）不成立。因此（AÅB）×（CÅD）與（A×）Å（B×D）無任何包含關系。總之（AÅB）×（CÅD）=（A×）Å（B×D）不成立。4）成立。證明如下：對任一（x，y）（AB）×C，有xA，xÏB，yC 于是（x，y）A×C，且（x，y）（AB）×C，且（x，y）ÏB×C（否則xB），所以（x，y）（A×C）（B×C）。因而（AB）×CÍ（A×C）

26、（B×C）。又對任一（x，y）（A×C）（B×C），有（x，y）A×C，且（x，y）ÏB×C從而xA，yC及xÏB。即xAB，yC，故此（x，y）（AB）×C。所以（A×C）（B×C）Í（A×B）×C。因而（AB）×C=（A×C）（B×C）。另一種證明方法：（A×B）×C=（AB）×C（差集的定義）=（A×C）（B×C）（叉積對交運算的分配律）=（A×C）（B×C）（

27、因（B×C）=（B×C）（B×C）（B×C）但（A×C）（B×C）=（A×C）（B×C）Æ=（A×C）（B×C）=（A×C）（B×C）（差集的定義）證法三：（邏輯法）對任何x,y(x,y)(A×C) (B×C)Þ(x,y)A×CÙ(x,y)ÏB×CÞ(xAÙyC)Ù(xÏBÚyÏC)Þ(xAÙyCÙx

28、7;B)Ú(xAÙyCÙyÏC) (Ù對Ú的分配律)Þ(xAÙxÏBÙyC)Ú(xAÙyCÙyÏC) (Ù的結合律、交換律)Þ(xAÙxÏB)ÙyC (Ù及Ú的零壹律、Ù的結合律)ÞxA BÙyCÞ(x,y)(A B)×C由x，y的任意性，可得：(A B)×C=(A×C) (B×C) 。5）成立。證明如下：對

29、任一（x，y）（AÅB）×C，故此xAÅB，yC于是xA且xÏB，或者xÏA且xB。因此（x，y）（A×C）Å（B×C）。所以（AÅB）×CÍ（A×C）Å（B×C）。對任一（x，y）（A×C）Å（B×C）。則（x，y）A×C且（x，y）ÏB×C，或者（x，y）ÏA×C且（x，y）B×C。因此xA，yC，xÏB，或者xB，yC，xÏA。所以xAB，或

30、xBA，并且yC，故此 xAÅB，yC。因此（x，y）（AÅB）×C，即（A×C）Å（B×C）Í（AÅB）×C。綜合兩方面、就有（AÅB）×C=（A×C）Å（B×C）另一種證明方法：（AÅB）×C=（AB）（BA）×C（對稱差的定義）=（AB）×C）（BA）×C）（叉積對并運算的分配律）=（A×C）（B×C）（B×C）（A×C）（根據4）=（A×C）

31、7;（B×C）（對稱差的定義）6設A=1，2，3，B=a，求出所有由A到B的關系。解：R0=Æ，R1=（1，a），R2=（2，a），R3=（3，a），R4=（1，a），（2，a），Rs=（1，a），（3，a），R6=（2，a），（3，a），R7=（1，a），（2，a），（3，a）7設A=1，2，3，4，R1=（1，3），（2，2），（3，4），R2=（1，4），（2，3），（3，4），求：R1R2，R1R2，R1R2，R1，（R1），（R2），（R1），（R2），（R1R2），（R1R2）解：R1R2=（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（3，4）R1R2=（3

32、，4）R1R2=（1，3），（2，2）R1=（A×A）R=（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）（R1）=1，2，3，（R1）=2，3，4，（R2）=1，2，3，（R2）=3，4（R1R2）=1，2，3，（R1R2）=48對任意集合A及上的關系R1和R2，證明1）（R1R2）=（R1）（R2）2）（R1R2）（R1）（R2）證 1）一方面，由于R1R1R2，R2R1R2，根據定理1，有（R1）（R1R2），（R2）（R1R2）故（R1）（R2）（R1R2）另一方面，若x

33、（R1R2）那么存在著yA，使（y，x）（R1R2）因此（y，x）R1，或者（y，x）R2，從而x（R1）或者x（R2）于是x(R1) （R2），所以（R1R2）（R1）（R2）。11設A=1，2，3，4，定義A上的下列關系R1=（1，1），（1，2），（3，3），（3，4），R2=（1，2），（2，1）R3=（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）R4=（1，2），（2，4），（3，3），（4，1）R5=（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）R6=A×A，R7=Æ請給出上述每一個關系的關

34、系圖與關系矩陳，并指出它具有的性質。解：1 0 0 23 0 0 4 1） R1是反對稱的，傳遞的。2）R2是反自反的，對稱的。3）R3是自反的，對稱的，傳遞的，因此是等價關系。循環(huán)的 綜合這兩方面，就有（R1R2）=（R1）（R2）。2）由于R1R2R1，R1R2R2，根據定理1，有（R1R2）（R1），（R1R2）R2，所以（R1R2）（R1）（R2）反方向的包含不成立，反全由第7題可得，那里（R1R2）=4，（R1）（R2）=2，3，43，4=3，4因此（R1）（R2）（R1R2）9設A有n個元素的有限集合，請指出A上有多少個二元關系？并闡明理由。解 A上有2n2個元關系。因為叉積A&#

35、215;A有n2個元素，因而A×A有2n2個子集，而每個子集都是A上的一個二元關系。10定義在整數(shù)集合I上的相等關系、“”關系、“”關系，全域關系，空關系，是否具有表中所指的性質，請用Y（有）或N（元）將結果填在表中。性質關系自反的反自反的對稱的反對稱的傳遞的相等關系YNYYY關系YNNYY關系NYNYY全域關系YNYNY空關系NYYYY4） R4是反對稱的，循環(huán)的。5） R5是反自反的，反對稱的，傳遞的。6） R6是自反的，對稱的，傳遞的，循環(huán)的。從而是等價關系。7）R7是反自反的對稱的，傳遞的，循環(huán)的，反傳遞的，反對稱的。 12設A是A上的關系，證明 1）R是自反的當且反當IAR

36、2）R是反自反的當且僅當IAR=Æ3）R是對稱的當且反當R=4） R是反對稱的當且僅當RIA5）R是傳遞的當且僅當RRR證 1）必要性若R是自反的，則對任何xA，都有（x，x）R，但是IA=（x，x）|xA，所以IAR。充分性若IAA則由IA=（x，x）|xA，可知對任何xA，都有（x，x）R，所以R是自反的。2）必要性若R是反自反的，則對任何xA，都是（x，x）ÏR，從而（x，x）R，由IA=（x，x）|xA 可知IAR。于是IARRR=Æ，另外ÆIAR，所以IAR=Æ。充分性若IAR=Æ，則R是反自反的。否則，不是反自反的，那么應

37、存在某一x0A，使得（x0，x0）R。但是（x0，x0）IA，從而（x0，x0）Æ。這不可能，矛盾。3）必要性，若R是對稱的，則對任何（x，y）R，就有（y，x）R。于是根據逆關系的定義，可得（x，y），于是R；對任何（x，y），由逆關系的定義，可得（y，x）R。再次利用R的對稱性有（y，x）R，于是R；綜合兩方面，有R=。充分性若R= ，則對任何（x， y）R，由R=可得（x，y）。從而由逆關系的定義，可知（y，x）R這說明R是對稱的。4）必要性若R是反對稱的，則對任何（x，y），即有（x， y）R及（x，y），從逆關系的定義，就有（x， y）R及（y，x）R，因此，利用R的反對稱

38、性，可得x=y。于是就有（x，y）=（x，x）IA，所以RIA。充分性若R IA，則對任何（x，y）R及（y，x）R，從逆關系的定義，可得（x，y）R及（x，y），也即（x，y）R，利用R =IA可得（x，y）IA，于是x=y。所以R是反對稱的。5）必要性若R是傳遞的，則對任何（x，y）RR，由復合關系的定義可知，存在著yA，使（x，y）R且（y，y）R，從而利用R的傳遞性，可知（x，y）R。所以RRR。充分性RR。從而利用RRR可得（x，y）R。所以R是傳遞的。證法二：1)Þ):對任何x，xAÞ(x,x)IA (IA是幺關系，因此是自反關系)Þ(x,x)R (R

39、是自反關系)所以 IAÍR ；Ü):對任何xA，xAÞ(x,x)IA (IA是幺關系，因此是自反關系)Þ(x,x)R (因IAÍR)所以，R是自反關系；2)Þ)首先 ÆÍIAÇR ；其次，對任何x，yA，若(x,y)IAÇRÞ(x,y)IAÙ(x,y)RÞx=yÙ(x,y)R (IA是幺關系，因此是自反關系)Þ(x,x)R則與R是反自反關系，(x,x)ÏR矛盾。故IAÇRÍÆ ；因此，由包含關系Í

40、的反對稱性，可得 IAÇR=Æ ；Ü):對任何xA，若(x,x)RÞ(x,x)IAÙ(x,x)R (IA是幺關系，因此是自反關系)Þ(x,x)IAÇRÞ(x,x)Æ (因IAÇR=Æ)則與空集不含任何元素，(x,x)ÏÆ矛盾。故對任何xA，(x,x)ÏR ；所以，R是反自反關系；3)Þ)對任何x，yA(x,y)RÛ(y,x)R (R是對稱關系)Û(x,y)所以，R=；Ü):對任何x,yA(x,y)RÞ(x,

41、y) (R=)Þ(y,x)R所以，R是對稱的；4)Þ)對任何x，yA(x,y)RÇÞ(x,y)RÙ(x,y)Þ(x,y)RÙ(y,x)RÞx=y (R是反對稱關系)Þ (x,y)IA (IA是自反關系)所以，RÇÍIA ；Ü):對任何x,yA(x,y)RÞ(x,y) (R=)Þ(y,x)R所以，R是對稱的；13設A、B為有窮集合，R，SA×B，MR=（xij）m×n，MS=（yij）m×n1）為了RS，必須且只須"i

42、"j（xij yij）2）設MRS=（Zij）m×n，那么Zij=xijVyij，I=1，2，m，j=1，2，n.3）設MRS=（tij）m×n，那么tij=xijyij i=1，2，m；j=1，2，n.證 由于A、B是有窮集合，不妨設A=a1，a2，am，B=b1，b2，bn1）必要性若RS，則對任何i1，2，m，對任何j1，2，n，若（ai，bj）R，則R的關系矩陣MR=（xij）m×n中第I行第j列元素xij=1，根據RS，可得（ai，bj）S，從而得S的關系矩陣MS=（yij）m×n中第I行第j列元素yij=1，由于是11故此xijyi

43、j；若（ai，bj）ÏR，則R的關系矩陣MR=（xij）m×n中第i行第j列元素xij=0，因此由S的關系矩陣MS=（yij）m×n中第j列元素yij0，可得xijyij?？傊?，有（"i）("j)（xijyij）。2）充分性若（"i）("j)（xijyij），則對任何（ai，bj）R，就有R的關系矩陣MR=（xij）m×n中第i行第j列元素xij=1，由于xijyij，所以yij1，故此yij1這說明S的關系矩陣MS=（yij）m×n中第i行第j列元素yij為1，因此必有（ai，bj）S，所以RS。2）對

44、任何i1，2，m，對任何j1，2，n若Zij=1，則（ai，bj）RS，故此（ai，bj）R或者（ai，bj）S，于是xij=1或者yij=1。從而bj）S，于是xij=0且yij=0。從而xijyij=0。因而Zij=xijyij=0；綜合上述兩種情況，就有zji=xijyij，i=1，2，m，j=1,2,n，。3）對任何i1，2，m，對任何j1，2，n。若tij=1，則（ai，bj）RS，故此（ai，bj）S且（ai，bj）S，于是xij=1，且yij=1從而xijyij=1。因而tij=xijyij=1；若tij=0，則（ai，bj）RS，故此（ai，bj）S，于是xij=0或者yij=

45、0，從而xijyij=0。因而tij=xijyij=0。綜合上述兩種情況，就有tij=xijyij，i=1，2，m，j=1，2，n。14設A=1，2，3，4，R1，R2為A上的關系，R1=（1，1），（1，2），（2，4），R2=（1，4），（2，3），（2，4），（3，2），求R1R2，R2R1，R1R2R1解 ，1） 無論從復合關系圖還是從復合關系矩陣都可得R1R2=（1，3），（1，4） R1 R22）無論從復合關系圖還是從復合關系矩陣都可得R2R1=（3，4） R2 R13）無論從復合關系圖還是從復合關系矩陣都可得R1R2R1=Æ 4）無論從復合關系圖還是從復合關系矩陣都可得

46、R1R1=（1，1），（1，2），（1，4） R1 R1 R115）設R1，R2，R3是A上的二元關系，如果R1R2，證明1）R1R3R2R3 2）R3R1R3R2證明 1）對任何（x，y）R1R3，由復合關系之定義，必存在zA，使得（x，z）R1且（z，y）R3，利用R1R2可知（x，z）R2且（z，y）R3，再次利用復合關系之定義，有（x，y）R2R3。所以R1R3R2R3。2）對任何（x，y）R3R1，由復合關系之定義，必有zA，使得（x，z）R3且（z，y）R1，再由復合關系之定義，有（x，y）R3R2。所以R3R1R3R2。16設A是有限個元素的集合，在A上確定兩個不同的關系R1和R

47、2，使得=R1，=R2因為，令R1=Æ，則R1R1=Æ，故此=R1=Æ。令R2=A×A，則=R2R2A×A=R2，故需證明R2R2R2=。為此，對任何x，yA，（x，y）A×A=R2，一定存在著zA（至少有z=x或z=y存在），使（x，z）A×A=R2且（z，y）A×A=R2，故此（x，y）R2R2=，所以R2R2R2=。于是=R2=A×A。2）由于A是有限個元素的集合，是不心設A=a1，a2，an令R1=（ai，aj）|aiAajA|in|jn-|R2=（an，an）R1 則R1R2，即R1與R1是不同

48、的關系。我們來證明=R1，=R2，（a）先征=R1若（ai，aj）R1，則由R1的定義必定1in，1in-1，并且一定存在著1kn-1（至少有k=j存在），使（ai，ak）R1且（ak，aj）R1，從而（ai，aj）R1R1=。故此R1。若（ai，aj）= R1R1，則存在著k，1kn-1，使（ai，ak）R1且（ak，aj）R1，于是由R1的定義，必有1in，1jn-1，從而根據R1的定義，有（ai，aj）R1。故此= R1綜合兩個方面，可得= R1。（b）次證=R2若（ai，aj）R2，則由R2的定義，要么1in，1jn-1，要么I=n，j=n 若1in，1jn-1，則一定存在著1kn-1

49、（至少有k=j存在），使（ai，ak）R2且（ak，aj）R2，從而（ai，aj）R2R2=；若i=n，j=n，則（ai，aj）=（an，an）R2，那么（an，an）R2，所以（ai，aj）=（an，an）R2R2=因此R2=。若（ai，aj）= R2R2，則存在著k，使（ai，ak）R2且（ak， ai）R2，于是由R2的定義，有k=n或者1kn-1。若k=n，則由（ai，ak）R2必有I=n，所以無論1jn-1還是j=n，由R2的定義，有（ai，aj）=（an，aj）R2；若1kn-1，則由（ai，ak）R2必有1jn-1故此（ai，aj）R2總之證得= R2，綜合兩方面，我們證明了=

50、R2。17設R是集合A上的反對稱關系，|A|=h，指了在R的關系矩陣中有多少個非零值？解 由第12題的4） R是反對稱關系當且反當RIA，及|A|=n可知，在R 的關系矩陣中非零值最多不超過n個。18設R1和R2是集合A上的關系，判斷下列命題的真假性，并闡明理由。1） 如果R1和R2都是自反的，那么R1R2是自反的。2） 如果R1和R2都是反自反的，那未R1R2是反自反的。3） 如果R1和R2都是對稱的，那末R1R2是對稱的。4） 如果R1和R2都是反對稱的，那末R1R2是反對稱的。5） 如果R1和R2都是傳遞的，那末R1R2是傳遞的。解 1）真。由于R1和R2和R2都是自反的，因而對任何，都

51、有（x，x）R1，（x，x）R2。因此，對任何xA，都有（x，x） R1R2。所以R1R2是自反的。2）假。令A=a，b，R1=（a，b），R2=b，a。那么R1R2=（a，a），它就不是A上的反自反關系。3）假。令A=a，b，c，R1=（a，b），（b，a），R2=（b，c），（c，b）。那末R1R2=（a，c），就不是A的對稱關系。4）假。令A=a，b，c，d，R1=（a，c），（b，c）R2=（c，b），（d，a）易證R1，R2都是反對稱關系。但是R1R2=（a，b），（b，a）就不是A上的反對稱關系。5）假。令A=a，b，c，R1=（a，c），（b，a），（b，c），R2=（c，b），

52、（a，c），（a，b），易證R1和R2都是傳遞關系，但R1R2=（a，b），（b，b），（b，c）就不是A上的傳遞關系。19設A=1，2，3，4，5，RA×A，R=（1，2），（2，3），（2，5），（3，4），（4，3），（5，5）用作圖方法矩陣運算的方法求r（R），s（R），t（R）。解 1）作圖法：R的關系圖 （R）的關系圖51234123455143253241 S（R）的關系圖 t（R）的關系圖因此：r（R）=（1，1），（1，2），（2，2），（2，3），（2，5），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（5，5）s（R）=（1，2），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（4，3），（5，2），（5，5）t（R）=（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），