DVD在線租賃的數(shù)學(xué)模型

1、DVD在線租賃的數(shù)學(xué)模型摘要隨著網(wǎng)絡(luò)時(shí)代的來臨，各種快捷方便的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)出現(xiàn)在了人們的眼前。DVD的在線租賃也逐漸成為人們追求便捷服務(wù)的熱點(diǎn)。本文主要采用層次分析法、0-1整數(shù)規(guī)劃和多目標(biāo)規(guī)劃模型解決了在獲得會(huì)員的最大滿意程度下如何合理分配現(xiàn)有DVD數(shù)目和采購DVD的數(shù)量，實(shí)現(xiàn)DVD租賃網(wǎng)站的市場效應(yīng)，經(jīng)濟(jì)效應(yīng)，以及會(huì)員的滿意度效應(yīng)，提高DVD的使用率。我們采用層層遞進(jìn)式的模型，逐步優(yōu)化要解決的四個(gè)問題，提出一系列的解決方案。針對(duì)問題一，我們使用經(jīng)驗(yàn)函數(shù)解決了樣本個(gè)數(shù)不足的缺陷，大致的估計(jì)出總體的分布，有效地解決了在總體分布未知的情況下，用樣本估計(jì)總體的困難?？紤]到實(shí)際情況，即每個(gè)會(huì)員的基本權(quán)利

2、是相等，得到DVD機(jī)會(huì)均等。為此，我們以權(quán)重比構(gòu)成分配比，解決分配問題。通過建立方程組最后得出了五種DVD應(yīng)準(zhǔn)備數(shù)量；對(duì)于問題二，我們根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)初步構(gòu)造出了多個(gè)滿意度系數(shù)表達(dá)式，并通過比較得出了比較滿意的滿意度表達(dá)式，有效地減少了excel的操作，這也是本文的一大亮點(diǎn)，然后通過建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型，基于lingo的編程求解得出了各會(huì)員的DVD分配方法，有效的解決了問題；至于問題三，我們采用多目標(biāo)規(guī)劃模型，用lingo編程，得到了全局最優(yōu)解，即DVD數(shù)目為2850，但分配方式不唯一，通過統(tǒng)計(jì)處理得到了最優(yōu)的各種DVD的購買量；最后，問題四，我們建立了灰色關(guān)聯(lián)預(yù)測(cè)模型來實(shí)現(xiàn)對(duì)DVD的需求預(yù)測(cè)并

3、對(duì)網(wǎng)站經(jīng)營管理人員提出了建VIP等級(jí)制度的建議。關(guān)鍵詞：滿意度 合理分配 層次分析法 規(guī)劃模型問題重述基于的背景：會(huì)員對(duì)哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，網(wǎng)站就會(huì)通過快遞的方式盡可能滿足要求。會(huì)員提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會(huì)根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會(huì)員的訂單進(jìn)行分發(fā)。每個(gè)會(huì)員每個(gè)月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張DVD。會(huì)員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進(jìn)網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費(fèi)由網(wǎng)站承擔(dān)），就可以繼續(xù)下次租賃。要解決的問題是：(1)網(wǎng)站正準(zhǔn)備購買一些新的DVD，通過問卷調(diào)查1000個(gè)會(huì)員，得到了愿意觀看這些DVD的人數(shù)。此外，歷史數(shù)據(jù)顯示，

4、60%的會(huì)員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個(gè)會(huì)員，對(duì)表1中的每種DVD來說，應(yīng)該至少準(zhǔn)備多少張，才能保證希望看到該DVD的會(huì)員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到該DVD？如果要求保證在三個(gè)月內(nèi)至少95%的會(huì)員能夠看到該DVD呢？(2)針對(duì)表2中列出的網(wǎng)站手上100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會(huì)員的在線訂單如何對(duì)這些DVD進(jìn)行分配，才能使會(huì)員獲得最大的滿意度？請(qǐng)具體列出前30位會(huì)員（即C0001C0030）分別獲得哪些DVD。(3)繼續(xù)考慮表2，并假設(shè)表2中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你如何決定每種DVD的購買量，以及如何對(duì)這些

5、DVD進(jìn)行分配，才能使一個(gè)月內(nèi)95%的會(huì)員得到他想看的DVD，并且滿意度最大？(4)如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你覺得在DVD的需求預(yù)測(cè)、購買和分配中還有哪些重要問題值得研究？請(qǐng)明確提出你的問題，并嘗試建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于本文的四個(gè)問題，我們逐個(gè)建立模型求解模型的假設(shè)(1)不計(jì)DVD碟由于損壞而不能租賃的情況。(2)不考慮租碟或還碟過程中出現(xiàn)的特殊情況。如租兩次碟的人在一個(gè)月的最后一天還第一次租的碟，又進(jìn)行第二次租碟等情況。(3)當(dāng)會(huì)員得到他最喜歡的DVD時(shí)，滿意度系數(shù)最大。 1.問題一 1.1 問題分析問一進(jìn)行了1000個(gè)會(huì)員的觀看意愿問卷調(diào)查，并將其中五種DVD的調(diào)查結(jié)果以表格形式給出，

6、并且提供了租兩次碟和租一次碟的人數(shù)比率。我們要用這些統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體（10萬會(huì)員）關(guān)于這五種DVD人數(shù)分布。由于樣本個(gè)數(shù)的不足，我們采用了經(jīng)驗(yàn)函數(shù)。其表示如下：設(shè)總體X的分布函數(shù)未知，為總體X的一個(gè)樣本觀察值，將它們按大小排列為，令稱為的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。對(duì)任意的實(shí)數(shù)，就是事件出現(xiàn)的頻率，而該事件出現(xiàn)的概率就是總體的分布函數(shù)，由頻率和概率的關(guān)系知，可以作為未知分布函數(shù)的一個(gè)近似，且當(dāng)越大時(shí)，這種近似的精確程度越高。根據(jù)租兩次碟和租一次碟的人數(shù)比率，我們構(gòu)成一個(gè)一致性成對(duì)比較矩陣，用來解決合理分配的問題。1.2 符號(hào)說明（1）分別表示租一次碟，租兩次碟的人數(shù)百分率，顯然有。（2）分別表示第一到第五種

7、碟的數(shù)量。（3）依次表示樣本表一中愿意觀看這五種DVD的人數(shù)，順序表示總體中希望看到這五種DVD的人數(shù)。表示樣本容量，表示總體容量。（4） 表示第個(gè)月，需要準(zhǔn)備的第種DVD張數(shù)。1.3 模型建立問一中有兩小問，下面將其模型依次表述如下：第一小問 依據(jù)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)，易得出 運(yùn)用層次分析法，將租一次碟，租兩次碟的人數(shù)百分率作比較，構(gòu)成成對(duì)比較矩陣，。，顯然是一致性矩陣，記為其權(quán)重向量?？紤]到對(duì)于一種碟，只要被租兩次的碟的數(shù)目超過剩余需要滿足的人的數(shù)目，問題就得解。開始租碟時(shí)，為了符合實(shí)際，我們采用的比率，將碟分別分配給租一次碟，租兩次碟的人。有關(guān)系式，第二小問 隨著時(shí)間的延長，DVD每月數(shù)目的需求量應(yīng)

8、逐漸減少，設(shè)每月需滿足百分之的人數(shù)，有。 將三個(gè)方程綜合求解。1.4 模型的求解問一提供的初始數(shù)據(jù)表如下表1 對(duì)1000個(gè)會(huì)員調(diào)查的部分結(jié)果DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)200100502510以第一小問DVD1為例說明解法，其余的DVD可以仿照求解。據(jù)表一知=200，,，總體容量，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)得又因?yàn)?，一致性矩陣，?quán)向量按表達(dá)式，易得出=6250.同樣可以得出其它DVD的數(shù)量，并將結(jié)果寫入表2表2 一個(gè)月需要準(zhǔn)備的DVD張數(shù)DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5每種DVD需要準(zhǔn)備的張數(shù)625031251563782313同理，對(duì)第二小問我們同樣以

9、DVD1為例進(jìn)行說明在第一小問求出的權(quán)重向量表達(dá)式下，我們直接用第二小問的函數(shù)表達(dá)式 我們用lingo程序進(jìn)行模擬求解，求出的結(jié)果如下表3表3 三個(gè)月需要準(zhǔn)備的DVD張數(shù)DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5每種DVD需要準(zhǔn)備的張數(shù)5080254012706352541.5 模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)問一的模型用經(jīng)驗(yàn)函數(shù)較好的解決了樣本個(gè)數(shù)的不足，在未知總體分布的情況下，能較好的解決問題。在分配問題上，按權(quán)重比得出了分配比，在理論上解決了分配問題。但模型總體的精度不夠，分析時(shí)考慮的綜合因素少。以第二小問為例，設(shè)M為所要求的碟的張數(shù)，租兩次的人半月還一次碟,，再根據(jù)，則問題可以很好的解決。結(jié)果如

10、下：表4 三個(gè)月滿足95%的會(huì)員需要準(zhǔn)備的DVD張數(shù)DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5每種DVD需要準(zhǔn)備的張數(shù)423321171059530212 2.問題二第二問的求解：建立0-1規(guī)劃模型，采用lingo編程求解，實(shí)現(xiàn)了對(duì)現(xiàn)有碟的最優(yōu)分配。2.1 問題分析 我們對(duì)表2的在線訂單數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)100種DVD現(xiàn)有總數(shù)3007張，有1000位會(huì)員的訂單，每位會(huì)員期望得到三張想看到的DVD，但分析得到，每種DVD數(shù)量與會(huì)員的在線訂單數(shù)并不能一一對(duì)應(yīng)。比如第一種DVD數(shù)量才10張，而想看到此種DVD的人數(shù)就有84位，必然有會(huì)員的得不到中意的DVD，分析D041這種碟，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有數(shù)量1

11、10張，而訂單只有8張，那么有102張空著，而總數(shù)才3007張，減去這102張，還有2995張，說明必有會(huì)員得不到三張。 但根據(jù)心理學(xué)知識(shí)，如果有會(huì)員連中意的DVD一張也不到必然會(huì)產(chǎn)生極大抱怨，極有可能會(huì)退出此店的會(huì)員，對(duì)該店的各方面造成損失。所以在分配DVD時(shí)每個(gè)會(huì)員至少有分配到中意的DVD一張，而得到的DVD總數(shù)也必須不少于兩張，對(duì)于會(huì)員沒有想看到而沒得到的DVD可以說明在下次租賃時(shí)分配到，這樣既一定程度上滿足了顧客的需要，也使有限數(shù)量的DVD得到最優(yōu)分配。 為求顧客的最大滿意度，我們引入顧客的“滿意系數(shù)”。用表示第個(gè)會(huì)員對(duì)種DVD得滿意系數(shù)。結(jié)合題意，表二中用0-9來表示會(huì)員對(duì)某種碟的偏

12、好程度，數(shù)字越小，滿意度越大。但0除外。用表示表二中個(gè)會(huì)員對(duì)碟的偏好系數(shù)，即表中的0-9數(shù)據(jù)。我們給出兩種與的換算方式，通過比較發(fā)現(xiàn)第二種更符合要求。運(yùn)用數(shù)據(jù)類型的處理方法，由于表二中給出的 期望越小越好，為極小型數(shù)據(jù)。根據(jù)極小型數(shù)據(jù)的一般處理方法，我們得出以下的滿意度系數(shù)計(jì)算方式： 即用訂單數(shù)字的倒數(shù)作為滿意度系數(shù)，數(shù)字0對(duì)應(yīng)滿意度最小值0，目標(biāo)函數(shù)是取最大值，但滿意度為非線性的反比函數(shù)，不符合訂單數(shù)字大小的線性關(guān)系。將滿意度越大和其函數(shù)值取得最大值聯(lián)系，我們可以運(yùn)用如下的轉(zhuǎn)換方式： 這樣處理，不僅簡化的數(shù)據(jù)的操作，而且還保持了滿意度與訂單數(shù)字的線性關(guān)系，對(duì)分配結(jié)果不會(huì)產(chǎn)生影響。2.2 模型

13、的建立 引入分配變量,并記第j種DVD數(shù)量為，由前面的分析我們可以得到如下的最優(yōu)化模型： 2.3 模型的求解 采用0-1整數(shù)規(guī)劃模型，為求得現(xiàn)有DVD在滿足顧客滿意度最大的條件下的分配方式，運(yùn)用了lingo編程（具體程序見附錄（一），得到了全局最優(yōu)解，實(shí)現(xiàn)了在最大滿意度為24746時(shí)對(duì)100種DVD進(jìn)行了最優(yōu)分配，表一給出了前30位會(huì)員得到的DVD種類。表5 前三十位會(huì)員的DVD分配會(huì)員編號(hào)分配的DVD數(shù)會(huì)員編號(hào)分配的DVD數(shù)18,41,9826，44，62332，50，8047，18，4l5116668619，53，66726，66，81831，35，71953，78，1001041，55，

14、85115963，66122，31，4l1321，78，961423，52，891513，52，851610，84，971747，51，671841，60，781966，84，86204561892145，50，532238，55，572329，8l，952437，41，76259，69，942622，68，952750，58，78288，34，822926，30，553037，62，98 3.問題三3.1 符號(hào)說明（1）表示第個(gè)會(huì)員租第種DVD的情況。為0-1決策變量（表示沒有選該DVD, 則反之）。（2）表示第個(gè)會(huì)員對(duì)第種DVD的滿意度系數(shù)。3.2 模型的建立該問題的目標(biāo)有兩個(gè)，最大的滿意

15、度，最少的DVD張數(shù)。為此我們建立多目標(biāo)規(guī)劃。先假定進(jìn)貨以后一次性滿足95%的會(huì)員，目標(biāo)函數(shù)是總體的滿意度最大，以及購買的張數(shù)最少，有以下模型：3.3 模型的求解 由于模型中兩個(gè)目標(biāo)實(shí)際上是互相矛盾的，要使總的滿意度最大，則分到DVD得人數(shù)越多越好，最好是每人三張，而要使進(jìn)貨量最少，則DVD的張數(shù)越少越好。所以平衡點(diǎn)只有一個(gè)，即分的DVD的人數(shù)等于950.。于是上述模型可以分兩步求解，先令，目標(biāo)函數(shù)保留，原多目標(biāo)化為單目標(biāo)，用lingo編程求出使總體滿意度最大的購買和分配方案以及該方案下的總體滿意度。然后把該滿意度指標(biāo)作為約束條件，把DVD的購買張數(shù)最小作為目標(biāo)函數(shù)，再次用lingo求解，兩次

16、的結(jié)果作比較可以發(fā)現(xiàn)：既要滿足95%的會(huì)員看到他想看到的DVD，又要滿意度最大，且DVD數(shù)目最少，則只有2850一種結(jié)果，最大滿意度也只有一個(gè)結(jié)果。計(jì)算結(jié)果表述如下： 表6 100種DVD的最優(yōu)購買數(shù)量DVD號(hào)相應(yīng)購買量11720，34，26，36，19，26，27，32，34，22，28，30，28，29，25，35，2718345，31，38，31，28，35，22，28，31，24，18，24，40，29，33，31，30355134，34，20，29，28，27，49，32，24，30，33，25，32，24，30，32，36526825，30，26，30，29，29，28，31，33

17、，26，31，29，34，29，26，28，32698532，26，34，31，24，29，27，23，20，28，29，27，27，17，22，19，338610032，26，34，31，24，29，27，23，20，28，29，27，27，17，22，19，33 4.問題四4.1建立灰色關(guān)聯(lián)預(yù)測(cè)模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)DVD的購買預(yù)測(cè)及分配1.對(duì)于 DVD 需求預(yù)測(cè)的分析：考慮影響DVD需求量及購買量的各因素不光包括會(huì)員總數(shù)，偏愛程度，庫存DVD總量，流通DVD總量，還應(yīng)包括每種DVD的價(jià)格，DVD的損壞率等各因素。這些因素的影響有些是明確的，有些是不明確的，因此可以把它當(dāng)成是一個(gè)灰色系統(tǒng)，利用灰色系

18、統(tǒng)理論和方法來解釋和預(yù)測(cè) 。 1）數(shù)據(jù)變換以前若干月 DVD 需求總量組成參考序列， k=1,2,3N 影響因素組成參考序列，為保證建模的質(zhì)量與系統(tǒng)分析的正確結(jié)果，對(duì)收集來的原始數(shù)據(jù)必須進(jìn)行數(shù)據(jù)變換處理，使其消除量綱和具有可比性。將其進(jìn)行均值變換 2）灰關(guān)聯(lián)度模型建立 為灰關(guān)聯(lián)系數(shù)。其中為絕對(duì)差，為兩極最小差，為兩極最大差，為分辨系數(shù)。 實(shí)際應(yīng)用時(shí)，采用求關(guān)聯(lián)系數(shù)平均值的方法，其表達(dá)式 式中1，2，3，···，m 為比較序列對(duì)參考數(shù)列的關(guān)聯(lián)度，關(guān)聯(lián)度越大 ，表示兩個(gè)數(shù)列的關(guān)聯(lián)性越大，即比較數(shù)列對(duì)參考數(shù)列的影響越大。 3）灰色模型建立灰色系統(tǒng)理論的實(shí)質(zhì)是將無規(guī)律的原

19、始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加生成，得到規(guī)律性較強(qiáng)的生成數(shù)列后再重新建模。由生成模型得到的數(shù)據(jù)再通過累加生成的逆運(yùn)算累減生成得到還原模型，再還原模型作為預(yù)測(cè)模型?；疑Ｐ褪穷A(yù)測(cè)工作的基礎(chǔ)模型。 記為原始序列， 為由經(jīng)過一次累加生成的序列，其中，表示的均值生成序列， 命題1： 序列的GM（1,1）模型定義為 則參數(shù)的表達(dá)式為 ，若令，則參數(shù)的表達(dá)式為 ， 即 最后，進(jìn)行精度檢驗(yàn)，修正模型 。在實(shí)際的網(wǎng)站的會(huì)員往往是等級(jí)制度，VIP會(huì)員與普通的會(huì)員相比，貢獻(xiàn)更大，利于網(wǎng)站的生存，網(wǎng)站應(yīng)當(dāng)給予更多的優(yōu)惠的政策。在問題二的分配中往往會(huì)在會(huì)員沒有差別的情況下，犧牲一部分會(huì)員的利益，對(duì)于會(huì)員不同的資質(zhì)同等的對(duì)待是不科學(xué)的

20、，在實(shí)際的操作過程中是不允許出現(xiàn)這種問題的。不利于取得最大利益。 在資源分配過程中引入VIP會(huì)員后的模型，將VIP機(jī)制引入到問題二建立的優(yōu)化模型，從而解決在會(huì)員等級(jí)制度的情況下DVD的分配問題。對(duì)現(xiàn)有的資源最大化的利用，帶來更多的經(jīng)濟(jì)效益，和維護(hù)會(huì)員的利益。假設(shè)我們將會(huì)員分為3個(gè)級(jí)別，VIP*會(huì)員、VIP會(huì)員、普通會(huì)員。我們按照會(huì)員租賃的次數(shù)從大到小依次編號(hào)，假如前r的會(huì)員為VIP*會(huì)員，前r+1到t名的會(huì)員為VIP會(huì)員，t+1到最后的為普通會(huì)員。我們對(duì)優(yōu)惠是：VIP*會(huì)員的每次都可以組到喜歡的前4種DVD；VIP會(huì)員每次都可租到喜歡的前6種DVD。將模型最優(yōu)值改為 就可得到會(huì)員的更好的分配。

21、參考文獻(xiàn)1 袁新生，邵大宏，LINGO和Excel在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，科學(xué)出版社2 韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用，高等教育出版社3 王庚，王敏生，現(xiàn)代數(shù)學(xué)建模方法，科學(xué)出版社4 劉煥彬等，數(shù)學(xué)模型與實(shí)驗(yàn)，科學(xué)出版社5 幺煥民等，數(shù)學(xué)建模，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社 附錄附錄一：問題二的LINGO程序：model:SETS: hy/1.1000/:h; !1000個(gè)會(huì)員; DVD/1.100/:D; !DVD數(shù); fp(hy,DVD):w,x ; !分配;ENDSETSDATA:w=file('1.txt'); d=ole('B2005DATA','dvdshu'