概率統(tǒng)計(jì)：第三章 二維隨機(jī)變量(第一,二節(jié))

1、 第三章 二維隨機(jī)變量 引入二維隨機(jī)變量目的、用處: 在第二章中,我們討論了用一個(gè)隨機(jī)變量描述試驗(yàn)結(jié)果以及隨機(jī)變量的概率分布問題.但在實(shí)際和理論研究中,有許多隨機(jī)試驗(yàn),僅用一個(gè)隨機(jī)變量描述不夠用.需要引入二維、三維、維隨機(jī)變量描述其規(guī)律性.例如,對(duì)平面上的點(diǎn)目標(biāo)進(jìn)行射擊,彈著點(diǎn)的位置需要用橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)才能確定.由于和的取值都是隨著試驗(yàn)結(jié)果而變化.因此和都是隨機(jī)變量, 彈著點(diǎn)的位置是.又如空中飛行的飛機(jī)(其重心)需要用三個(gè)隨機(jī)變量才能確定它的位置.等等.因此需要考慮多個(gè)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律問題.定義:設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為,而是定義在上的隨機(jī)變量,把個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的有序隨機(jī)變量組稱為維隨機(jī)變量(或

2、維隨機(jī)向量);對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)稱為維隨機(jī)變量的分布函數(shù)或稱為個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù).第一節(jié) 隨機(jī)向量與聯(lián)合分布一. 定義和基本性質(zhì)定義1 設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為,而是定義在上的兩個(gè)隨機(jī)變量.稱由這兩個(gè)隨機(jī)變量組成的向量為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量.例如 擲兩顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).設(shè)為第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù), 為第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),為定義在 上的兩個(gè)隨機(jī)變量, 為二維隨機(jī)變量,它描述了擲兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)情況.對(duì)任意實(shí)數(shù),隨機(jī)事件有概率. 定義2 設(shè)為二維隨機(jī)變量, 對(duì)任意實(shí)數(shù),二元函數(shù),稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù), 或稱為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù).記，則 分布函數(shù)的性質(zhì)：的定義域，；（1），且

3、 ， ；（2）對(duì)或?qū)握{(diào)不減，即 ，（由及概率的單調(diào)性）， ；（3）對(duì)或?qū)τ疫B續(xù)，即有 ， ；（4）對(duì)任意實(shí)數(shù)有 ，事實(shí)上 ， .可以證明:凡滿足上述性質(zhì)的二元函數(shù)必定是某個(gè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).例1 設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,(1) 確定常數(shù);(2) 求.解(1) 利用分布函數(shù)的性質(zhì), ,由的任意性得, , ,由的任意性得, 從而 ,;(2) . 例2設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 ,(1) 確定常數(shù);(2) 求.解 (1) 利用分布函數(shù)的性質(zhì),由的任意性,得 ,所以 ;(2) . 二. 二維離散型隨機(jī)變量定義3 若二維隨機(jī)變量的所有取值為有限對(duì)或可列對(duì),則稱是離散型隨機(jī)變量.記稱它為二維離

4、散型隨機(jī)變量的(概率)分布律,或稱為和的聯(lián)合(概率)分布律.分布律的表示法:(1)公式法,(2)列表法.例如 隨機(jī)變量的分布律為YX 12-110二維離散型隨機(jī)變量的(概率)分布律具有下列基本性質(zhì):(1) (2) .利用分布律可計(jì)算概率定理 設(shè)的分布律為則隨機(jī)點(diǎn)落在平面上任一區(qū)域內(nèi)的概率為,其中和式是對(duì)所有使的求和;特別有 . 例1 甲、乙兩盒內(nèi)均有3只晶體管,其中甲盒內(nèi)有1只正品,2只次品; 乙盒內(nèi)有2只正品,1只次品.第一次從甲盒內(nèi)隨機(jī)取出2只管子放入乙盒內(nèi); 第二次從乙盒內(nèi)隨機(jī)取出2只管子.以分別表示第一、二次取出的正品管子的數(shù)目.試求的分布律以及其中. 解 根據(jù)題意知,的可能取值為0,

5、1;的可能取值為0,1,2.因此, 的可能取值為(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2).是離散型隨機(jī)變量.表示從甲盒內(nèi)取出2只次品管子放入乙盒內(nèi),此時(shí)乙盒內(nèi)有2只正品,3只次品,利用乘法公式可得 ,表示從甲盒內(nèi)取出1只正品和1只次品管子放入乙盒內(nèi),此時(shí)乙盒內(nèi)有3只正品,2只次品,利用乘法公式可得 ,于是得的分布律為YX01 201 .例2 某射手在射擊中,每次擊中目標(biāo)的概率為,射擊進(jìn)行到第二次擊中目標(biāo)為止,表示第一次擊中目標(biāo)時(shí)所進(jìn)行的射擊次數(shù), 表示第二次擊中目標(biāo)時(shí)所進(jìn)行的射擊次數(shù),試求二維隨機(jī)變量的分布律. 解 設(shè)第次射擊時(shí)擊中目標(biāo), 根據(jù)題意,且相互獨(dú)立,所

6、以的分布律為 , ; .例3 接連不斷地?cái)S一顆勻稱的骰子,直到出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于2為止, 以表示擲骰子的次數(shù).以表示最后一次擲出的點(diǎn)數(shù).求二維隨機(jī)變量的分布律.解 依題意知, 的可能取值為;的可能取值為3,4,5,6 設(shè)第次擲時(shí)出1點(diǎn)或2點(diǎn),第次擲時(shí)出點(diǎn),則,“擲骰子次,最后一次擲出點(diǎn),前次擲出1點(diǎn)或2點(diǎn)” ,(各次擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相互獨(dú)立)于是的分布律為 , ,.(例如 )三. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量 定義4 設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,若有非負(fù)可積函數(shù),使得對(duì)任意實(shí)數(shù),恒有 ,則稱是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,稱函數(shù)為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度, 或稱為隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率密度.的概率密度具有下列基本性質(zhì):

7、(1) , ;(2) . 反之,可以證明,若二元函數(shù)滿足上面兩條基本性質(zhì),那么它一定是某個(gè)二維隨機(jī)變量的概率密度. 顯然,如果概率密度在點(diǎn)處連續(xù),則有 .利用概率密度計(jì)算概率 定理 設(shè)的概率密度為,則有 (1),(2)設(shè)為平面上任一區(qū)域, .例3 設(shè)二維隨機(jī)變量具有概率密度 ,(1)確定常數(shù);(2)求分布函數(shù);(3)求解（1）由概率密度的性質(zhì) ，即得 ；（2） ，（A）當(dāng)時(shí)， ，（B）當(dāng)時(shí) ，（C）當(dāng)或時(shí)，對(duì)有， 于是得所求分布函數(shù) ；（3）設(shè)， .四. 常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量有下面兩種:(1)均勻分布若隨機(jī)變量概率密度為 ,其中為有界區(qū)域的面積.則稱在區(qū)域上服從均勻分布.記為.(2)二維正態(tài)分布若隨機(jī)變量概率密度為 其中均為常數(shù),且,則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布,記作 .上述五個(gè)參數(shù)的意義將在第五章中說明.第二節(jié) 邊沿分布函數(shù)(或邊緣分布函數(shù))概念:設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,分量的分布函數(shù)記為,稱為關(guān)于的邊沿分布函數(shù); 分量的分布函數(shù)記為,稱為關(guān)于的邊沿分布函數(shù)