全國高中數(shù)學聯(lián)賽分類解析20062010立體幾何

1、立體幾何（06）4. 在直三棱柱中，. 已知與分別為 和的中點，與分別為線段和上的動點（不包括端點）. 若，則線段的長度的取值范圍為 A. B. C. D. 【答】 （ ）4.【答】 （ A ）【解】建立直角坐標系，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，則（），（）。所以，。因為，所以，由此推出 。又，從而有 。（06）10. 底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個半徑為cm的實心鐵球，四個球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切. 現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水 cm3.10. 【解】設四個實心鐵球的球心為，其中為下層兩球的球心，分別為四個球心在底面的射影。則ABCD是一個邊長為

2、的正方形。所以注水高為。故應注水。（07）1. 如圖，在正四棱錐PABCD中，APC=60°，則二面角APBC的平面角的余弦值為（ B ）A. B. C. D. 解：如圖，在側面PAB內(nèi)，作AMPB，垂足為M。連結CM、AC，則AMC為二面角APBC的平面角。不妨設AB=2，則，斜高為，故，由此得。在AMC中，由余弦定理得。（07）9. 已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，以頂點A為球心，為半徑作一個球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長等于 。解：如圖，球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1

3、D1D上；另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。在面AA1B1B上，交線為弧EF且在過球心A的大圓上，因為，AA1=1，則。同理，所以，故弧EF的長為，而這樣的弧共有三條。在面BB1C1C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，此時，小圓的圓心為B，半徑為，所以弧FG的長為。這樣的弧也有三條。于是，所得的曲線長為。（08）4若三個棱長均為整數(shù)（單位：cm）的正方體的表面積之和為564 cm2，則這三個正方體的體積之和為 （ A ）A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或564 cm3

4、D. 586 cm3解 設這三個正方體的棱長分別為，則有，不妨設，從而，故只能取9，8，7，6若，則，易知，得一組解若，則，但，從而或5若，則無解，若，則無解此時無解若，則，有唯一解，若，則，此時，故，但，故，此時無解綜上，共有兩組解或體積為cm3或cm3（08）12一個半徑為1的小球在一個內(nèi)壁棱長為的正四面體容器內(nèi)可向各個方向自由運動，則該小球永遠不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是 解 如答12圖1，考慮小球擠在一個角時的情況，記小球半徑為，作平面/平面，與小球相切于點，則小球球心為正四面體的中心，垂足為的中心因答12圖1 ，故，從而記此時小球與面的切點為，連接，則考慮小球與正四面體的一個面(不妨取為)相切時的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為，如答12圖2記正四面體的棱長為，過作于答12圖2 因，有，故小三角形的邊長小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答12圖2中陰影部分） 又，所以由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為1. （10）正三棱柱的9條棱長都相等，是的中點，二面角,則 .解一：如圖，以所在直線為軸，線段中點為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系.設正三棱柱的棱長為2，則，從而，.設分別與平面、平面垂直的向量是、，則由此可設