幾個(gè)提前批次試題選講

1、一個(gè)重要的模型（慈溪市橋頭初級(jí)中學(xué) 李先兵）21世紀(jì)課程改革的一個(gè)重要目標(biāo)就是要加強(qiáng)綜合性、應(yīng)用性內(nèi)容，重視聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際和社會(huì)實(shí)踐。這是在教學(xué)中注入素質(zhì)教育內(nèi)容的具體要求。因此，在近幾年的考試中，數(shù)學(xué)應(yīng)用題的數(shù)量和分值逐步增加，有些重要的數(shù)學(xué)模型是百考不厭。下面這個(gè)模型在近幾年的考試中出現(xiàn)多次，筆者將此模型進(jìn)行歸納。模型：將一張正方形的紙ABCD，沿任意一條線EF對(duì)折，使得A落在CD上，記作H，HB交BC與G，如圖。結(jié)論：HG=HD+BG，HAG=45，CAGH=C正。證明：連接AH、AG，過A作APHG，垂足為P，ABFE與HBFE關(guān)于EF對(duì)稱， HAB=AHBABCD是正方形 ABCD

2、，HAB=DHA，DHA=AHBADHAPH AB=AD=AP，DH=HPRtABGRtAPG（HL） GP=GD故HG=HD+BG，HAG=45，CAGH=。結(jié)論引申：如圖,正方形ABCD中,E在BC上,F在AB上，連接EF，過D作DHEF。DH=AD；FDE=45；CBFE=C正；AF=FH；EH=CE；ADF=HDF；CDE=HDE；以D為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)為半徑的圓與EF相切。八個(gè)結(jié)論中只要有一個(gè)成立，另外七個(gè)均成立。證明只許兩次三角形全等或?qū)⒁粋€(gè)三角形旋轉(zhuǎn)90再利用一次全等即可，從略。此模型的簡(jiǎn)單解答題在平時(shí)的練習(xí)中也經(jīng)常遇到，此處不再舉例。下面舉幾個(gè)模型的變形方面的應(yīng)用。結(jié)論應(yīng)用

3、：1、（慈溪中學(xué)2004年提前招生第5題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，3），兩坐標(biāo)軸的正半軸上有M、N兩點(diǎn)，且MPN=45，則MON的周長(zhǎng)等于 。解：過P作PAx軸，PBy軸。則正方形OBPA的邊長(zhǎng)為3。顯然利用上面的結(jié)論可得MON的周長(zhǎng)為正方形的周長(zhǎng)的一半，所以MON的周長(zhǎng)為6。2、（慈溪中學(xué)2006年提前招生第15題）如圖，在正方形ABCD中，AB=a，E為AB上的任意一點(diǎn)，連接ED，作ED的中垂線交AD于點(diǎn)M，交DC延長(zhǎng)線于N，連接EN交BC于F，當(dāng)BEF的周長(zhǎng)與AEM的周長(zhǎng)之差為時(shí)，求EFB的正弦值。解：連接DF，過D作DPEF，則利用模型得到BEF的周長(zhǎng)為正方形周長(zhǎng)的一半，即CB

4、FE=2a，所以CAEM=AE+AM+EM=AE+AD= ，故AE=。BE=，EP=，設(shè)FC=x，則BF=a-x，PF=x，EF= 在RtBEF中，（a-x）2+（）2=（）2得：x=.EF=+=。SinEFB=。3、（2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽黃岡賽區(qū)第16題）如圖，在梯形ABCD中，ADC=Rt，BC=CD=12，ABE=45；點(diǎn)E在DC上，AE、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，若AE=10，S=SADE+SCEF，試求S的值。解：把ABCD補(bǔ)成如圖所示的正方形，則利用模型得：AE=AP+CE，設(shè)CE=x，則DE=12- x，AP=10- x，AD=12-（10- x）=2+ x，在RtADE

5、中，（2+ x）2+（12- x）2=102解得：x =6。 則E為CD的中點(diǎn)。 S=SADE+SCEF=2 SADE=68=48。4、（2004年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第9題）如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC（BCAD），D=90， BC=CD=12，ABE=45，若AE=10，則CE的長(zhǎng)度為 。 。解：設(shè)CE= x，則ED=12- x，AF=AE-CE=10- x，AD=12-（10- x）=2+ x，在R tADE中，（2+ x）2+（12- x）2=102解得：x1= 4，x2=6CE的長(zhǎng)度為 4或6。 5、（2004年江西中考）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，AE=DF=2，現(xiàn)把一塊直徑為2的量角器（圓心為O）放置在圖形上，使其0線MN與EF重合；若將量角器0線上的端點(diǎn)N固定在點(diǎn)F上，再把量角器繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0a 90），在旋轉(zhuǎn)過程中，過點(diǎn)M作GHMF，交AE于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，設(shè)GE=x，AGH的面積為S，試求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。解：GHMF GH始終是量角器所在圓的切線。利用模型得到：GE=GM，DH=MH，設(shè)DH=a，則MH= a，AH=2- a，AG=2-x，GH=x+ a在R tAGH中，（2- a）2+（2- x）2= （x+ a）2得： 從上面的這