數(shù)學(xué)建模--收益風(fēng)險(xiǎn)分析報(bào)告

1、投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)學(xué)號(hào)專業(yè)班級(jí)手機(jī)*自動(dòng)化111班*目錄一、摘要2二、問題的提出2三、問題的分析 3四、建模過程41、模型假設(shè)：42、定義符號(hào)說明：43、模型建立：54、問題分析與求解5(1)> 問題一： 5(2)、問題二:7(3)、模型求解：8五、模型的結(jié)果分析與評(píng)價(jià) 9六、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn) 12七、參考文獻(xiàn) 13附錄：Matlab程序 13A、問題一的求解 13B、問題二白向求解: 13一摘要本方案借鑒了金融投資理論，在進(jìn)一步明確“風(fēng)險(xiǎn)”和“總風(fēng)險(xiǎn)”這兩個(gè)概 念的基礎(chǔ)上，將本問題歸并為非線性規(guī)劃問題。對(duì)市場(chǎng)上的多種風(fēng)險(xiǎn)投資和一種 無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（存銀行）進(jìn)行組合投資策略的的設(shè)計(jì)需要考慮連個(gè)目

2、標(biāo)，總體收益盡可能大和總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，然而，這兩目標(biāo)并不是相輔相成的，在一定意義 上是對(duì)立的。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們逐漸地認(rèn)識(shí)到，為了獲得較好的收益，應(yīng)將閑置 資金進(jìn)行投資。財(cái)富的積累需要一個(gè)過程，但投資理財(cái)有助于我們獲取財(cái)富， 一 方面可以加速我們富裕的過程，從無到有，從少到多，實(shí)現(xiàn)原始財(cái)富的積累與財(cái) 富的進(jìn)一步增值；另一方面達(dá)到財(cái)務(wù)目標(biāo)，平衡一生中的收支差距?！娟P(guān)鍵字】：經(jīng)濟(jì)效益線性規(guī)劃模型 有效投資方案 線性加權(quán)二、問題的提出隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們逐漸地認(rèn)識(shí)到，為了獲得較好的收益，應(yīng)將閑置 資金進(jìn)行投資，但是現(xiàn)在投資的方式多樣化，所存在的風(fēng)險(xiǎn)都各不相同，因此了 解一些基本投資規(guī)劃方

3、案，選擇合適的投資組合方案，使凈收益盡可能大，而總 風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。市場(chǎng)上有n種資產(chǎn)（如股票、債券、）Si （ i=1, - n）供投資者選擇，某 公司有數(shù)額為M的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員 對(duì)這n種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出在這一時(shí)期購買 Si的平均收益率為 并預(yù)測(cè)出購買Si的風(fēng)險(xiǎn)損失率為?？紤]到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的 $中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。購買Si要付交易費(fèi)，費(fèi)率為Pi,并且當(dāng)購買額不超過給定值 Ui時(shí)，交易費(fèi)按購買Ui計(jì)算（不買當(dāng)然無須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是r0,且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。（

4、,0=5%已知n = 4時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:Siri (%)qi（%）Pi(%)ui（元）S12814 (學(xué)號(hào))1103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金 M,有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。(2)試就一般情況下對(duì)以上問題進(jìn)行討論，并利用一下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算Siri (%)qi(%)pi (%)ui (元)Si9.6422.1181S218.5543.2407S349.4606.0428S423.9421.5549S58.11.27.6270S614393.4397S740.7

5、685.6178S831.233.433.1220S933.653.52.7475S1036.8402.9248Sil11.8315.1195S1295.55.7320S1335462.7.267Sl49.45.34.5328S1515237.6131三、問題的分析由題意可知，由于資產(chǎn)預(yù)期收益的不確定性，導(dǎo)致它的風(fēng)險(xiǎn)特性，在這里投 資Si的平均收益率為Xi n,風(fēng)險(xiǎn)損失為x qa要使投資者的凈收益盡可能大， 而風(fēng)險(xiǎn)損失盡可能小，第一個(gè)解決方法就是進(jìn)行投資組合， 分散風(fēng)險(xiǎn)，以期待獲 得較高的收益，模型的目的就在于求解最優(yōu)投資組合，當(dāng)然最優(yōu)投資還決定于個(gè) 人的因素，即投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)，收益的偏好程度，

6、怎樣解決二者的相互關(guān)系也是模 型要解決的一個(gè)重要問題。本題所給的投資問題是利用原給的數(shù)據(jù)，通過計(jì)算分析得到一種盡量讓人滿 意的投資方案，并推廣到一般情況，利用第二問進(jìn)行驗(yàn)證，下面是實(shí)際要考慮的 兩點(diǎn)情況：(1) 在風(fēng)險(xiǎn)一定的情況下，取得最大的收益(2)在收益一定的情況下，所冒的風(fēng)險(xiǎn)最小當(dāng)然，不同的投資者對(duì)利益和風(fēng)險(xiǎn)的側(cè)重點(diǎn)不同，將在一定的圍視為正常， 所以只需要給出一種盡量好的模型， 即風(fēng)險(xiǎn)盡量小，收益盡量大，這是一般投資 者的心里。對(duì)于模型一，在問題一的情況下，公司可對(duì)五種項(xiàng)目投資，其中銀行的無風(fēng) 險(xiǎn)，收益=5%為定值，在投資期間是不會(huì)變動(dòng)的，其它的投資項(xiàng)目雖都有一定 的風(fēng)險(xiǎn)，但其收益可能大

7、于銀行的利率， 我們擬建立一個(gè)模型，這個(gè)模型對(duì)一般 的投資者都適用，并根據(jù)他們風(fēng)險(xiǎn)承受能力的不同提出多個(gè)實(shí)用于各種類型人的 投資方案(一般投資者分為：冒險(xiǎn)型與保守型。即越冒險(xiǎn)的人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)損失的承受 能力越強(qiáng))。對(duì)于模型二：由于資產(chǎn)預(yù)期收益的不確定性，導(dǎo)致它的風(fēng)險(xiǎn)特性，將資產(chǎn)的 風(fēng)險(xiǎn)預(yù)期收益率用一定的表達(dá)式表示出來， 在這里，投資Si的平均收益為Xi r, 風(fēng)險(xiǎn)損失為為qi,使投資者的凈收益盡可能大，而風(fēng)險(xiǎn)損失盡可能小。四、建模過程1、模型假設(shè)：(1)假設(shè)題設(shè)中給的參數(shù)是準(zhǔn)確值，沒有偏差，且在短時(shí)期所給出的平均收益 率，損失率和交易的費(fèi)率不變；(2)投資行為只能發(fā)生在開始階段，中途不得撤資或追加，

8、投資任一資產(chǎn)可購買 量足夠多，足以吸納全部投資資金；(3)幾種資產(chǎn)相互之間不會(huì)產(chǎn)生影響，例如股市的漲跌不會(huì)影響到債券的漲跌；(4) M值足夠大，大至可忽略u(píng)i的影響。(因?yàn)橐话闱闆r下企業(yè)的投資基本都會(huì)是成百上千萬元，而ui僅為數(shù)百元，故可忽略其影響)(5)在投資的過程中，無論盈利與否必須先付交易費(fèi)，公司總會(huì)選擇滿意度高 的方案。2、定義符號(hào)說明：變量圍說明Sii=1,2 n欲購買的第i種資產(chǎn)的種類M相當(dāng)大公司現(xiàn)有的投資總額Xi=1,2 n公司購買Si金額rii=1,2 n公司購買S的平均收益率qii=1,2 n公司購買Si的風(fēng)險(xiǎn)損失率pii=1,2 n公司購買$超過ui時(shí)所付的交易費(fèi)Eii=1

9、,2 n公司購買資產(chǎn)Si所獲得的收益k0.11權(quán)因子A不等式右端的系數(shù)矩陣f目標(biāo)向量3、模型建立投資者的凈收益為購買各種資產(chǎn)及銀行的收益減去此過程中的交易費(fèi)用。在對(duì)資產(chǎn)Si進(jìn)行投資時(shí)，對(duì)于投資金額 Xi的不同，所付的交易費(fèi)用也有所不同，不投資時(shí)不付費(fèi)，投資額大于ui時(shí)交易費(fèi)為xi Pi ,否則交易費(fèi)為ui o題中所給的交易費(fèi)的計(jì)算數(shù)額是一個(gè)分段函數(shù)，在實(shí)際的計(jì)算中不容易處一 .一 ， u 一理，但我們注意到，在表1中，i的數(shù)值非常小，ui =103+198+52+40=387, 對(duì)其中最大的ui來說，u2=198<200元，而已知M是一筆相當(dāng)大的資金，同時(shí)交易費(fèi)率pi的值也很小，即使在x

10、i ui時(shí)，以u(píng)i來計(jì)算交易費(fèi)與用xi直接計(jì)算交費(fèi)相差無幾，所以，后面我們具體計(jì)算式，為簡(jiǎn)化暫不考慮ui的約束，都以X 來答題算交易費(fèi)。4、問題分析與求解(1)、問題一：A、問題分析：設(shè)購買Si的金額為xi ,所付的交易費(fèi)G ( %),另co ( Xo)=0 :0x0ci(x)ui0 xi ui(i 1 n)(1)Pi Xxi ui因?yàn)橥顿Y額M相當(dāng)大，所以總可以假設(shè)對(duì)每個(gè) S的投資xi ui,這時(shí)(1)式 可化簡(jiǎn)為：ci(xi)pixi(i1 n)(2)對(duì) Si 投資的凈收益 ：Ri (xi ) rixi ci(xi ) (ripi )xi(3)對(duì) Si 投資的風(fēng)險(xiǎn)：Qi (xi )qixi(

11、4)對(duì) Si 投資所需總資金 (投資金額xi 與所需的手續(xù)費(fèi)ci ( xi ) 之和)即：fi (xi) xi ci (xi ) (1pi)xi(5)當(dāng)購買Si的金額為xi(i=0n ),投資組合x=(x0,x1,xn)的凈收益總額nR(x)Ri (xi)(6)i0整體風(fēng)險(xiǎn) ： Q(x) maxQi (xi)(7)1in n資金約束 ： F (x)fi (xi) M(8)i0凈收益總額R(x) 盡可能大， 而整體風(fēng)險(xiǎn)Q(x) 又盡可能小， 則該問題的數(shù)學(xué)模型可規(guī)劃為多目標(biāo)規(guī)劃模型，即maxR(x)min Q(x)F(x) M(9)x0模型( 9)屬于多目標(biāo)規(guī)劃模型，為了對(duì)其求解，可把多目標(biāo)規(guī)劃

12、轉(zhuǎn)化為單目 標(biāo)規(guī)劃。假定投資的平均風(fēng)險(xiǎn)水平 q ,則投資M的風(fēng)險(xiǎn)k=qM若要求整體風(fēng)險(xiǎn)Q(x) 限制在風(fēng)險(xiǎn)k 以，即Q(x)<=k ，則模型(9)可轉(zhuǎn)化為：(10)10)中的約束條件Q(x) k, 即max R(x) Q(x) kF(x) M x0B、模型的求解： 求模型(10 )的最優(yōu)解，maxQ (i x i ) k所以此約束條件可轉(zhuǎn)化為：Qi(xi) k(i 1 n)這是模型(10)可轉(zhuǎn)化為如下的線性規(guī)劃：n max(ri pi )xii0n(1 pi)xiM(11)i0qixi k(i 1 n) x0給定 k, 可方便的求解模型( 11) 。具體計(jì)算時(shí)，為了方便起見，可令M=1,

13、于是(1 + pi) xi可視作投資Si的比例。下面針對(duì) n=4,M=1 的情形，按原問題給定的數(shù)據(jù)，模型( 11)可變?yōu)椋簃ax 0.05x0 0.27x1 0.19x2 0.185x3 0.185x4Mx0 1.01x1 1.02x2 1.045x3 1.065x4 100.10145x1x2kk0.055 x3 k0.026 x4 kxi 0 (i 0 4)( 2) 、問題二：A、問題分析與求解：上面我們對(duì)n=4的問題進(jìn)行模型分析求解，同理對(duì)于n=15,同理可以把多目標(biāo)規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)模型，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)為線性規(guī)劃 , 再來求解：max (ri pi)xi i0 n(1 pi )xi M

14、i0qixi k(i 1 n)x0具體計(jì)算時(shí)，為了方便起見，可令M=1,于是(1 + pi) xi可視作投資Si的比例。下面針對(duì)n=15,M=1的情形，按原問題給定的數(shù)據(jù)，模型可變?yōu)椋?max0.075x1 0.153x2 0.434x3 0.224x4 0.05x5 0.106x6 0.351x7 0.281x80.309x9 0.339x10 0.067x11 0.033x12 0.323x13 0.049x14 0.074x15 M1.021x1 1.032x2 1.06x3 1.015x4 1.076x5 1.034x6 1.056x7 1.031x81.027x9 1.029x10

15、10051x11 1.057x12 1.027x13 1.045x14 1.076x15 10.42x1 k0.54x2 k0.60x3 k0.42x4 k0.012x5 k0.39x6 k0.68x7 k0.3343x8 k0.535x9 k0.40x10 k0.31x11 k0.055x12 k0.46x13 k0.053x14 k0.23x15 kxi 0 (i 1 15)( 3 ) 、模型求解：采用MATLABt化工具箱中的線性規(guī)劃函數(shù)求解，它優(yōu)化下列線性規(guī)劃模型： minC TXs.t AX b使用格式為 X=lp(C,A,b,vlb,vub,X0,N)其中vlb , vub分別是上

16、下界，X0為初始值，N表示約束條件中前N個(gè)約束為 等式約束五、模型的結(jié)果分析與評(píng)價(jià)模型一：風(fēng)險(xiǎn)投資種類n=4時(shí)，建立模型求解，任意給定投資風(fēng)險(xiǎn)上限 k, 在風(fēng)險(xiǎn)不超過k的情況卜確定最優(yōu)組合，列表1如下：風(fēng)險(xiǎn)k0.0010.0030.0050.0070.0090.0110.0210.029收益y0.06860.10490.14160.17820.18800.19110.19860.2032n=4是的風(fēng)險(xiǎn)收益圖如下:1 目 增K Ljg18O.160.D6S30. 10490. 1416 X I芮20, 18B0口1刃1» k0.00100.00300.00500.00700.00900

17、.0110由列表(1)和圖(1)可知,收益y隨著風(fēng)險(xiǎn)上限k的增加而增加，在00.0090 附近增長速度最快，之后增長速度變緩慢。在k=0.0090時(shí)，得出一個(gè)較優(yōu)的投資組合，收益 y=0.1880,X=0 0.0643 0.6000 0.1636 0.1428例子：假如 M=100'000'000(1億)，風(fēng)險(xiǎn)：k=0.009,收益：y=0.1880 ,則仿真的收益為 18'800'000n凈收益總額：R(x)Ri (xi) (Ri(xi)rixi G(xi)(ripi)xi)i 0R (x)=(0.05*0+0.27*0.0643+0.19*0.6+0.185

18、*0.1636+0.185*0.1428)*100'000 '000= 18 '804 '500對(duì)Si投資的風(fēng)險(xiǎn)：Qi(xi)qixiQ0=0,Qi=0.009002,Q2=0.009,Q3=0.008998,Q4=0.0037128，最大風(fēng)險(xiǎn)為 Q2 為 0.009002，即 0.009, 這和仿真的結(jié)果是相當(dāng)接近的！風(fēng)險(xiǎn)投資種類n=15時(shí)，建立模型求解，任意給定投資風(fēng)險(xiǎn)上限k,在風(fēng)險(xiǎn)不超過k的情況下確定最優(yōu)組合，列表 2如下：風(fēng)險(xiǎn) k0.0010.0210.0410.0610.0810.10 10.12 10.14 10.50.00.10.22970.296

19、0.30.330.340.340.40y5454429235572675040. 0E4E CL 14420. 2297O.29SS 0. 3235口,33570, 34260. 347EQ.W1Q Q,QZ1U 0,0410n=15時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)收益圖如下：0.06W0.03100. 1010(J, 1210 Q, 141Q>> k由列表(2)和圖(2)同樣可知，收益y隨著風(fēng)險(xiǎn)上限k的增加而增加，在 00.08附近增長速度最快，之后增長速度變緩慢。在k=0.081,可以得出一個(gè)較優(yōu)的投資組合，收益 y=0.3235X= 000 0.1350 000 0.11910.1802 0.152

20、0 0.20250 0.1761 00同理和上面一樣可以驗(yàn)證。又又以上兩圖可知，收益關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)是離散的。隨著投資風(fēng)險(xiǎn)上限k的增加，收益y逐漸增大，投資者可以根據(jù)自己的偏好，選擇滿足要求的k和y,進(jìn)行有效資產(chǎn)組合投資，考慮到y(tǒng)要盡量大，k要盡量小。同時(shí)分析風(fēng)險(xiǎn)收益曲線，當(dāng) 收益隨風(fēng)險(xiǎn)增大急驟上升，這是由于隨著風(fēng)險(xiǎn)增大，收益逐漸增大，人們對(duì)風(fēng)險(xiǎn) 的厭惡程度減緩，投資者逐漸走向風(fēng)險(xiǎn)型。當(dāng)上升曲線漸趨平緩，這是由于當(dāng)風(fēng) 險(xiǎn)大到一定程度時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)-收益大的資產(chǎn)均已投資，收益變化不 大。例子：假設(shè)公司有 4億元，根據(jù)表一五種數(shù)據(jù)投資：六、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)A、模型優(yōu)點(diǎn)：(1)本文通過將風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式約束，建

21、立了線性規(guī)劃模型，直接 采用程序進(jìn)行計(jì)算，得出優(yōu)化決策方案，并且給出了有效投資曲線，根據(jù)投資者 的主觀偏好，選擇投資方向。(2)模型一采用線性規(guī)劃模型，將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃， 選取了風(fēng) 險(xiǎn)上限值來決定收益，根據(jù)收益風(fēng)險(xiǎn)圖，投資者可根據(jù)自己的喜好來選擇投資方 向。B、模型缺點(diǎn)：當(dāng)投資金額小于固定值時(shí)，建立的線性規(guī)劃模型得到的結(jié)果可能不是最優(yōu)解，要根據(jù)公司的資金M決策模型的優(yōu)良。對(duì)于不同的金額，得到的結(jié)果不具有代表性，我們建立的模型中采用的只是M的一個(gè)特列，具有單一性。七、參考文獻(xiàn)正森 兆鴻等，數(shù)學(xué)建模技術(shù)， ，中國水利水電， 2003王敏生 王庚 , 現(xiàn)代數(shù)學(xué)建模方法, , 科學(xué) 200

22、6杰 黃力偉等，數(shù)學(xué)建模原理與案例， ，科學(xué)， 2007志林 歐宜貴 數(shù)學(xué)建模及典型案例分析 ，化學(xué)工業(yè)2006附錄： Matlab 程序A、問題一的求解clearf=-0.05,0.27,0.19,0.185,0.185'% 目標(biāo)向量A=0,0.14,0,0,0;0,0,0.015,0,0;0,0,0,0.055,0;0,0,0,0,0.026;%F 等式左端的系數(shù)矩陣aeq=1,1.01,1.02,1.045,1.065;%?式左端的系數(shù)矩陣beq=1;%等式右端lb=zeros(5,1);i=1;for k=0.001:0.002:0.05b=k,k,k,k'x,fval,exitflag,options,output=linprog(f,A,b,aeq,beq,lb