數(shù)學(xué)教學(xué)題后反思

1、淺談數(shù)學(xué)教學(xué)題后反思澧縣復(fù)興廠鎮(zhèn)中學(xué) 駱興華在積極推行素質(zhì)教育和新課程標(biāo)準(zhǔn)的今天，強化學(xué)生進行題后反思，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一條行之有效的方法，許多一線的數(shù)學(xué)教者對此深有體會，也被很多教育學(xué)者所推崇?！傲?xí)題是數(shù)學(xué)的心臟（美國P.R.Halmos）”,而“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力，沒有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平（荷蘭H.Freudenthal）”。但如數(shù)學(xué)教育家G.Polya說的：“即使是相當(dāng)優(yōu)秀的學(xué)生，在得到了題目的解答，并將整個論證簡潔地寫下來后，也會合上書，去找別的事情做?！币虼耍谌粘＝虒W(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)將這種反思的思想滲透到解題的每個環(huán)節(jié)里去，使學(xué)生逐步養(yǎng)

2、成題后反思的習(xí)慣。1、反思分析過程，發(fā)掘隱含條件對題目條件的分析是解題的第一個步驟，其中的隱含條件，由于本身的非顯性特征，不易被學(xué)生所注意，往往導(dǎo)致解答的錯誤，引導(dǎo)學(xué)生反思條件的完整性，充分發(fā)掘隱含條件，對培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性和深刻性有著積極的作用?，F(xiàn)舉例說明：例1：已知關(guān)于的一元二次方程的一次項系數(shù)為0，試確定的值。誤解：將方程化為一般形式為：一次項系數(shù)為0. . 解得：.分析：事實上，既然原方程是一元二次方程，則二次項系數(shù)k-30，解得：k3，當(dāng)一次項系數(shù)為0時，k=±3，二者綜合：k=-3.二次項系數(shù)是含有字母的參數(shù)時，很多學(xué)生很容易忽略它的取值范圍，因而會得出錯誤的結(jié)論，其原

3、因就是急于解題，缺乏對條件的深入分析。例2：當(dāng)a取什么值時，函數(shù)是反比例函數(shù)？錯解：根據(jù)反比例函數(shù)的定義，得a2-2=-1，解得a1=1，a2=-1；錯因分析：根據(jù)反比例函數(shù)定義可知，反比例函數(shù)y=（或）必須具備k0這一條件，所以本題中a不但要滿足，還要滿足a+10這一條件。正解：根據(jù)題意，得：由（1）得，a 1=1，a 2=-1；由（2）得，a-1，所以當(dāng)a=1時，函數(shù)是反比例函數(shù)。2、反思解題方法，尋求“一題多解”與“多題一解”“一題多解”的合理應(yīng)用，許多老師領(lǐng)會了這種方法的重要性，只是老師認清這一點還不夠，還應(yīng)該讓學(xué)生明白，教學(xué)中應(yīng)強調(diào)“一題多解”的目的是理清方法之間的關(guān)系，加深對問題的

4、理解，找出那些能“多題一解”的方法。例3：（2005.武漢市中考題）已知二次函數(shù)的圖象交x軸于A(x1,0),B(x2,0) 兩點，x1x2 ，交y軸的負半軸于點C，且AB=3，tanBAC- tanABC=1.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在第一象限，拋物線上是否存在點P，使SPAC=6，若存在，說明理由。（1）解：AB=3，x1x2，x2-x1=3，由根與系數(shù)的關(guān)系有x1+x2=1，x1=-1，x2=2，OA=1，OB=2，x1·x2=-2，tanBAC- tanABC=1，OC=2，m=-2，a=1此二次函數(shù)的解析式為y=x2-x-2. （2）在第一象限，拋物線上存在點P，使

5、SPAC=6. y xo A PCM N B解法一：過點P作直線MNAC，交x軸于點M，交y軸于點N，連接PA、PC、MC，如圖：MNAC，SMAC=SNAC=SPAC=6.由（1）有OA=1，OC=2，AM=6，CN=12，M（5，0），N（0，10）直線MN的解析式為y=-2x+10.由得，（舍去）在第一象限，拋物線上存在點P（3，4），使SPAC=6解法二：設(shè)AP與y軸交于點D（0，m）（m0）直線AP的解析式y(tǒng)=mx+m。由 x2-（m+1）x-m-2=0.xA+xP=m+1，xP=m+2.又SAPC= SADC +SPDC=CD·AD+CD·xP=CD（AO+xP

6、），（m+2）（1+m+2）=6，m2+5m-6=0， m=-6（舍去）或m=1.在第一象限，拋物線上存在點P（3，4），使SPAC=6.3、反思解題過程，注重等價推導(dǎo)問題的解答是一個由條件推導(dǎo)出結(jié)論的過程，在這個過程中必須注意推導(dǎo)的等價性，否則容易出現(xiàn)條件的缺失。確保每步推導(dǎo)的等價性不僅要求學(xué)生有較深厚的數(shù)學(xué)功底，還要求解題時特別細致、規(guī)范，教學(xué)時，老師應(yīng)強調(diào)常規(guī)解法的重要性，因為這是千錘百煉總結(jié)出來的方法，安全性更高。例如：若二次函數(shù)y=mx2+4x+m-1的最小值為2，則m的值是 。常規(guī)解法是當(dāng)m>0時拋物線開口向上，有最小值，又a=m,b=4,c=m-1, ,即m2-3m-4=0

7、，解得m=4或m=-1，m=4，但有的同學(xué)為了省事，忽略了a>0這一條件，由此錯誤得出m=4或m=-1，忽略了推導(dǎo)的等價性。4、反思解題結(jié)果，完善問題解答對結(jié)果的反思不僅僅是檢查正誤，重點是培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的習(xí)慣。有時我們可以通過“一題多解”來檢驗結(jié)果，而有時則需要做進一步的研究，這對學(xué)生批判精神和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)大有好處。下面這道題的引深過程，讓我記憶猶新。例4：現(xiàn)行義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)（九年級·下冊）（湖南教育出版社）P112.B組第2題：如圖3-95，在銳角三角形中ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，外接圓的半徑為R.求證：.證明：過B點作直徑BD，連結(jié)CD.AB

8、CDabcOBD為直徑，BCD=90°，又A=D同理可證： 本題作直徑，得到一個直角三角形，利用三角函數(shù)即證，證法比較簡潔。實際上這也就是正弦定理及其證明。雖然現(xiàn)行教材上沒有明確正弦定理名稱及其應(yīng)用，但筆者在講完這個題目后向?qū)W生明確了這個定理及其應(yīng)用的重要性。但接下來就有同學(xué)提出疑問：題目所給范圍是在“銳角三角形中”結(jié)論成立，通過作直徑構(gòu)造一個直角三角形獲證，很顯然在直角三角形中結(jié)論也成立，但在鈍角三角形中結(jié)論是否也依然成立呢？我們繼續(xù)探究，將范圍換成“在鈍角三角形中”的情況：如圖：在ABC中，BAC是鈍角.過A點作直徑AD，連結(jié)BD.ABCDabcOAD是直徑，ABD=90

9、6;，又ACB=ADB連結(jié)CD，同理可證：在四邊形ABDC中，ABD=ACD=90°BAC+BDC=90°，BAC90°BDC90°，很顯然BDC是銳角三角形.由前面證明可知：，但是否等于2R呢？也就是sinBDC的值是否等于sinBAC的值呢？問題就轉(zhuǎn)化為：如果A+B=180°，sinA是否等于sinB呢？這就涉及到求鈍角三角函數(shù)的問題，鈍角三角函數(shù)的求法在現(xiàn)行初中教材中沒有提及，到高中后才系統(tǒng)介紹?！耙唧w解法如何，且到高中分解”，抓住機會，給學(xué)生留下一個懸念，以此激發(fā)學(xué)生積極、繼續(xù)學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣。實際上：若A+B=180°，s

10、inA=sinB，即，也就是正弦定理對任何三角形都適用，對角的范圍進行拓展后，在很多題目中應(yīng)用很方便。5、反思條件與結(jié)論，探索更一般的方法和結(jié)論問題的解答反映了條件與結(jié)論間的因果關(guān)系，當(dāng)我們減弱條件或加強結(jié)論時，就將原問題推廣到更一般的情形，而從一個更高、更廣的角度來認知所用的方法和所得的結(jié)論。這對學(xué)生數(shù)學(xué)思維和認知能力的提升是有很大幫助的。例5：已知直線l1：y=k1x+b1與直線l2：y=k2x+b2平行，則k1與k2、b1與b2有何關(guān)系？解：l1l2，兩直線斜率相等，即k1=k2，但兩直線在y軸上的截距不等，即b1b2.結(jié)論很簡單，但如果我們將條件改成若干條直線相互平行，結(jié)論又怎樣呢？結(jié)

11、論依然是k1=k2=kn，b1b2bn.我們把這若干條直線稱之為一簇，這無數(shù)條直線具有共同的特征。以此拓展學(xué)生的思維，開闊學(xué)生的視野。例6：現(xiàn)行義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)（九年級·上冊）（湖南教育出版社）P27.練習(xí)第2題：經(jīng)過調(diào)查研究，某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的總利潤L（元）與銷售價格P（元/件）的關(guān)系式為：L=-4P2+1360P-93200，100P245.（1） 銷售價格P定為多少時，可以使總利潤達到22400元？（2） 總利潤可不可能達到22500元？解：（1）解方程：-4P2+1360P-93200=22400，解得P=170（元/件）；（2）解方程：-4P2+1360P-

12、93200=22500，此時0，方程無實數(shù)解，因此總利潤不可能達到22500元。例7：現(xiàn)行義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)（九年級·上冊）（湖南教育出版社）P28.B組第3題：用長8m的鋁材，做一個日字形窗框，如圖.問：（1）高和寬各為多少米時，窗戶的透光面積為m2？（2）可不可能使窗戶的透光面積為2.7m2?解：（1）設(shè)窗框?qū)挒閤m，則長為（8-3x）m，根據(jù)題意有：（8-3x）·x=，解得x=,即寬為m，則高為2米.（2）解方程：（8-3x）·x=2.7，化簡得：3x2-8x+54=0，此時0，方程無實數(shù)解，因此不能使窗戶的透光面積為2.7m2.這兩個習(xí)題是學(xué)完

13、一元二次方程后留給學(xué)生的，學(xué)生也只能通過解方程來尋求答案。但九年級下冊學(xué)完二次函數(shù)后，教師應(yīng)反過來引導(dǎo)學(xué)生探究如下問題：例6、例7中，最大利潤是多少？窗戶的最大透光面積又是多少？由此說明為何最大利潤不能達到22500元？最大透光面積不能是2.7m2？設(shè)利潤為L，則L=-4P2+1360P-93200=-4（P-170）2+22400，易知當(dāng)P=170(元/件)時，Lmax=22400元；設(shè)面積為S，則S=（8-3x）x=-x2+4x=-（x-）2+，易知當(dāng)x=時，Smax=，因此，最大利潤為22400元，而不能達到22500元，窗戶最大透光面積為m2，而不能為2.7m2.這說明通過二次函數(shù)求最值比用判別式判別方程無實數(shù)解求最值，直接得多，明了得多，學(xué)生也容易接受。通過對結(jié)論擴充歸納