2017高考數(shù)學(xué)(全國通用)沖刺985優(yōu)等生拔高系列講義—專治各種學(xué)霸不服--第六章不等式Word版含解析

1、第六章不等式問題一：含參數(shù)的不等式的恒成立、恰成立、能成立問題1不等式恒成立問題新課標(biāo)下的高考越來越注重對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)的考察，恒成立問題便是一個(gè)考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，它常以函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列等知識(shí)點(diǎn)為載體，滲透著換元、化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、 函數(shù)與方程等思想方法， 在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積 極的作用.近幾年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)恒成立問題，其形式逐漸多樣化，但都與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)密不可分.解決高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題常用以下幾種方法：函數(shù)性質(zhì)法；主參換位法；分離參數(shù)法；數(shù)形結(jié)合法；消元轉(zhuǎn)化法.下面我就以近幾年高考試題為例加以剖析.1.1函數(shù)性質(zhì)法一、一次函數(shù)單調(diào)性法

2、給定一次函數(shù)y = f (x )= ax +b(a #0 ),若y = f (x )在m,M內(nèi)恒有f ( x)a 0 ,則根據(jù)a 0a0,函數(shù)的圖像(線段)(如右下圖) 可得上述結(jié)論等價(jià)于(1)或(2) 0.可合并定成f m 0,f n 0.同理，若在f m :二 0,Im,n內(nèi)恒有f(x)0,則有if n 0.f(： ) 0,f() : 0.f ：0,JJ f，0.f (x) 0在x , P上恒成立ub一一 0且40; (2) f(x) 0在xw R上恒成立 u a 0 且 A 0時(shí)，f (x)0在乂包0(,同上恒成立-k b. b . ： b ：-,u 2a 或 2a 或 2aJ(Ct)A

3、060J(P)A0.f (x) 0在x w 。，P 上恒成立U(2)當(dāng)a0時(shí)，f(x)A0在xWa,P上恒成立m取值范圍是()2.例2.已知不等式 mx +4mx -40 (注：若f(X)的最小值不存在，則 f(X)A 0恒成立二f(X)的下界大于0)； f(X 0 恒成立二f (X)max 0 (注：若f(X)的最大值不存在, 則f (x) 0,不等式f(x)至一2c恒成立，求c的取值范圍.例 5. (08天津文 21)設(shè)函數(shù) f (x) =x4+ax3+2x2+b(xW R),其中 a,bw R .(出)若對(duì)于任意的aw -2,2,不等式f(x”1在-1,1 上恒成立，求b的取值范圍.(節(jié)

4、 選)例6. (09年全國卷II文21)設(shè)函數(shù)f (x) = gx3-(1 + a)x2 + 4ax + 24a ,其中常數(shù)a 1 .(II )若當(dāng)x0時(shí)，f(x)0恒成立，求a的取值范圍.(節(jié)選)1. 2分離參數(shù)法極端化原則若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍.利用分離參數(shù)法來確定不等式f (x,九)至0 (xw D,九為實(shí)參數(shù))恒成立中參數(shù)九的取值范圍的基本步驟：(1)將參數(shù)與變量分離，即化為 g(九戶f (x)(或g(九)w f (x)恒成立的形式；(2)求f (x )在xw D上的最大(或最小)值；(3)解不等式g(

5、九產(chǎn)f(x)max(或g5Af(x)min),得人的取值范圍.適用題型：(1)參數(shù)與變量能分離；(2)函數(shù)的最值易求出.一 -x2 +2x. x M 0例7. (2013新課標(biāo)卷I理11)已知函數(shù)f(x)=, ，若| f(x)尸ax,則a的Jn(x +1),xa 0取值范圍是A.(-二，0 B.(-二，1 C .-2,1 D .-2,0例8. (07年山東卷文15)當(dāng)xw (1,2)時(shí)，不等式x2 + mx+ 4 0,且f(x)在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，試用 a表示出b的取值范圍.例10. (2010天津高考理16)設(shè)函數(shù)f(x)=x 3主參換位反客為主法某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會(huì)

6、遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變 量，但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)，可考慮變換思維角度“反客為主”，即把習(xí)慣上的主元變-1,對(duì)任意xw |2 +oc I,一3fi4m2 f(x) E f (x 1)+4f (m)恒成立，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 m與參數(shù)變量的“地位”交換一下，變個(gè)視角重新審查恒成立問題，往往可避免不必要的分類討論或使問題降次、簡化，起到“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的出奇制勝的效果.例 11. ( 07 遼寧卷文科 22)已知函數(shù) f (x) = x39x2 cosct 十48xcosP 十18sin 4數(shù)形結(jié)合一一直觀求解法 若所給不等式進(jìn)行合理的變形化為f(x)g

7、(x)(或f (x)x2 -x-a+1對(duì)任意aw(0,+g)都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.(節(jié)選)方法更顯方便、快捷.例13.(07安徽理科3)若對(duì)任意xwR,不等式|x|至ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )(A) a -1(B)|a|1(C)|a|1(D) a 之12， 1) +例14.若不等式3x2 -loga x sin 2x(a 0且a*1)對(duì)于任意x e (0工都成立，求a的取值范 ，4圍.l, 5消元轉(zhuǎn)化法例16.已知f(x)是定義在-1 , 1上的奇函數(shù)，且f(1)=1 ,若m, n 勺 T,1, m+n。0時(shí) f(m) +f (n) 0 ,若 f (x) k成立，則等價(jià)于在區(qū)

8、間D上f(x)k；max若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f (x)k成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上的f(x). k)在區(qū)間D上恒成立D D f (x 卜ku f (x ax k ),而含參不等式f (x )k (f (x )Ak )在區(qū)間D上能成立 二 至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使不等式f (x )k )成立U Dnx| f (x)k#0U f(x)in k (U Dx f(x)k0U f(xaxAk).例17.若關(guān)于x的不等式x2-ax-a W-3的解集不是空集，則實(shí)數(shù) a的取值范圍 是.例18.已知函數(shù)f (x ) = ln x1ax2 2x(a =0瘠在單調(diào)遞減區(qū)間，求 a的取值范圍3不等式恰好成立問題

9、的處理方法2-x 2x a例19.已知f(x)=當(dāng)xu1,Z), f(x順值域是口,收)，試求實(shí)數(shù)a的值.x1 0例 20.已知 f(x) = x2+x, g(x) = ln(x+1)-a ,2若存在x 0,2,使得f(x) = g(x),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;若存在xw0,2,使得f(x)g(x),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;若對(duì)任意xw0,2,恒有f(x)g(x),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;若對(duì)任意為，*2亡0,2,恒有f(Xi)g(X2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;若對(duì)任意X2 e 0,2,存在Xi e 0,2,使得f(Xi)g(X2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;若對(duì)任意X2 W 0,2,存在Xi W 0,2,使得

10、f (Xi) = g(X2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;若存在“公可。, ,使得f (Xi) r g(X2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若存在Xi，X2W0,2,使得f (Xi) = g(X2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【遷移應(yīng)用】1.120i6屆山東省棗莊市三中高三12月月考】若存在正數(shù)x使2x(xa) 1成立，則a的取值范圍是()A. (-0, +*) B , (2, +*). (-1，二)2.12016屆浙江省余姚中學(xué)高三上學(xué)期期中】設(shè)a 0,集合 B=xx2 2ax1 E0,a0.若 A0|B 中恰含有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()A.0,3 ,43 4. 43C.、一一2x,x 04.設(shè)函數(shù)f

11、(x)=4, 一，若對(duì)任意給定的yw(2,y),都存在唯一的xwR,滿足log2x,x . 02 2、一，.，一f(f(x) =2a y +ay ,則正實(shí)數(shù)a的最小值是(C.5.函數(shù) f (a) =(3m1)a+b2m,當(dāng) mw0,1時(shí),D. 4r b2 _ a，0Ef(a)w1恒成立，則b一a-的最ab大值是()A. 3 B15 C . 4 D41946.集合S=(x,y,z)x、y、zN*,且 xyz、yzx、zx0, y0 ,若2y+8x Am2 +2m x y恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是x, y滿足9.12016屆浙江省富陽市二中高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測】若正實(shí)數(shù)x+2y+4=4xy

12、,且不等式(x+2y)a2+2a+2xy 34之0恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍 是.10 .若函數(shù) f(x)=x3+3x對(duì)任意的 mw 2,2, f(mx 2) + f (x) c0恒成立，則 x W.11 .若函數(shù)f (x) = loga(x2ax+3)(a 0且a =1),滿足對(duì)任意實(shí)數(shù) x1、x2 ,當(dāng) ax2 ax1之一時(shí)，f(x1) f(x2) 0)上的最小值.(2)對(duì)一切xC (0,+ 8),2f(x) g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍 求證：對(duì)一切 x (0,+ 8),都有 xlnx -x- .ex e15已知二次函數(shù)f (x ) = ax2 + x,若對(duì)于任意Xi,用w R,

13、恒有2f/x詈f (x1 )+f (x2)成立，不等式f(x)0的解集為A.求集合A;(2)設(shè)集合B=x|x + 4 0,b 0 ,且a +b =-，若a + b E m恒成立.2(1)求實(shí)數(shù)m的最小值；(2)若2|x-1| +|x巨a+b對(duì)任意的a,b恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.17 .已知函數(shù)f(x)=x-m,函數(shù) g(x 尸 x 年(x(m2 -7m(1)若m=1,求不等式g(x心0的解集；(2)若對(duì)任意x產(chǎn)(-叫4 均存在x2三3,十/),使得f(x)g(x2 )成立，求實(shí)數(shù)m的取 值范圍.x,x _ 118.已知函數(shù) f (x)=i, g(x) = af (x)_ | x_2 |,

14、awR.,0 ; x ：； 1 x(i)當(dāng)a=0時(shí)，若g(x) |x-1| +b對(duì)任意xw(0,+M)恒成立，求實(shí)數(shù) b的取值范圍;(n)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=g(x)的最小值.問題二 線性規(guī)劃中的參數(shù)問題簡單的線性規(guī)劃有很強(qiáng)的實(shí)用性，線性規(guī)劃問題常有以下幾種類型：（1）平面區(qū)域的確定問題；（2）區(qū)域面積問題；（3）最值問題；（4）逆向求參數(shù)問題.而逆向求參數(shù)問題，是線性 規(guī)劃中的難點(diǎn)，其主要是依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值或可行域的情況決定參數(shù)取值.類型一目標(biāo)函數(shù)中含參數(shù)若目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，則一般會(huì)知道最值，此時(shí)要結(jié)合可行域， 確定目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)所經(jīng)過的可行域內(nèi)的點(diǎn)（即最優(yōu)解），將點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)

15、函數(shù)求得參數(shù)的值.1.目標(biāo)函數(shù)中x的系數(shù)為參數(shù)lx y - 2 _ 0【例1】【湖北省武漢市2015屆高三9月調(diào)研測試7】x, y滿足約束條件x-2y-20 ,2x-y 2 _0若z = y -ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù) a的值為（ ）A. 1或1B . 2或1 C . 2 或 1 D . 2或122【牛刀小試】【2016屆湖南省常德市一中高三上第五次月考】已知 x, y滿足約束條件x -y _ 0 x+y M2 ,若z = ax+y的最大值為4,則a=().y-0(A) 3(B) 2(C) -2(D) -32 .目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)為參數(shù)2x 3y-11 0 ）的最大x -y 2-0

16、,值為1,則a=.3 .目標(biāo)函數(shù)中X,y的系數(shù)均含參數(shù)x .2 I，【例3】設(shè)x , y滿足約束條件0,b 0)的取小值 y之x為2,則ab的最大值為 .3x-y-6 0,b 0)的取大值為12,則f十士的最小值 a bA.4.目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)且含有參數(shù)x y 0(r 0跖經(jīng)過區(qū)域D上的點(diǎn)，則r的取值范圍是()A. 2.22.5 1B, 2、.2,3、.2 1C. 3,2,2,5 1 D. 0,2,2 一 2、.5,二【牛刀小試】【2016屆吉林省吉林大學(xué)附中高三上第四次摸底】設(shè)二元一次不等式組x+2i-190-2第一 j14 WO,所表示的平面區(qū)域?yàn)镸使函數(shù)y=ax(a 0, a w 1

17、)的圖象過區(qū)域 M的a的取值范圍是()(A) 1,3( B) 2 , W(C) 2,9(D)9，9類型二約束條件中含參數(shù)由于約束條件中存在參數(shù)，可行域無法確定，此時(shí)一般是依據(jù)所提供的可行域的面積或目標(biāo)函數(shù)的最值，來確定含有參數(shù)的某不等式所表示的坐標(biāo)系中的某區(qū)域，從而確定參數(shù)的值.2 0,2x - y 0x y+120 ,若z = x2+y2的最大值為13,則k的值為()x 1,在約束條件 yEmx下，目標(biāo)函數(shù)z = x + my的最大值大于2,則m的 x + y E1取值范圍為().A. 1,1+72)B .(1+72,+天)C . (1,3) D . (3,y),、一 一 一 x , y a

18、, 一，一【牛刀小試】【2014新課標(biāo)I高考】設(shè) x, y滿足約束條件x y ,且z = x + ay的最 x-y 三-1,小值為7,則a =(A) -5(B) 3(C) -5 或 3(D) 5 或-3【遷移應(yīng)用】1.12016屆河南省信陽高中高三上第八次大考】設(shè) x y -6 0x, y滿足不等式組2x-y-1 0 ,若3x- y -2 _ 0z=ax+y的最大值為2a+4,最小值為a+1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A 1,2B . -2,1C3,-2 -3,12.12016屆河北省衡水二中高三上學(xué)期期中考試】已知x, y滿足約束條件x .1,I4、x + yE3, 右z=2x + y的取小值為1

19、 ,則a =()y -a(x-3)A. 1 B . 1 C . 1 D . 242x03.12016屆甘肅省會(huì)寧縣一中高三上第四次月考】已知由不等式y(tǒng) 之 0確定的平面y - kx 0，若mx - y 三 0z=2x -y的最大值為2,則實(shí)數(shù)m等于A 2 B 、一 1 C 、1 DX -15.12016屆廣西河池高中高三上第五次月考】已知a 0 , x, y滿足約束條件x+y3 , j 之 a(x2),，一，11右z = 2x+y的取大值為一,則a =A. 146.12016屆湖南省東部株洲二中六校高三x - a12月聯(lián)考】實(shí)數(shù)x, y滿足y之x(a 1),且z = 2x+y的最大值是最小值的

20、 4倍，則a的值是（）A. 2111127.若x y -2 _0x, y滿足kx y+2之0且z=yx的最小值為一y之02,則k的值為（）1 B . -1 C . 2 D . -28.若x y .1,x, y滿足約束條件|x-y之1,目標(biāo)函數(shù)z=ax +2y僅在點(diǎn)（1 , 0）處取得最小值，則實(shí) 2x -y .2,數(shù)a的取值范圍是(A) (42)(B) (-4,1)（C）（一二，_嘰（2,二）(D)(-二T) U(1,二)9.設(shè)點(diǎn)（a,b）是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn),2函數(shù) f(x) = ax 4bx + 1 在區(qū)間1,g)上是增函數(shù)的概率為A. 1410.設(shè)z = x + y,其中實(shí)數(shù)lx 2y -0

21、x, y滿足x - y w 00 y k,若z的最大值為12 ,則z的最小值為x-ky-20,v -1 _11.若實(shí)數(shù)x,y滿足0,若使得、一取得最小值的解（x,y）有xx 6y-100.無窮多個(gè)，則k等于（）A. 1 B . 2 C .1.5 D . 3y - -1 12 .變量x, y滿足約束條件(x-y22 ,若使z = ax + y取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，3x y _14則實(shí)數(shù)a的取值集合是()A. 3,0B. 3, -1 C . 0,1 D . 4,0,12x-y 10,13 .設(shè)關(guān)于x, y的不等式組x+m02yo=2,求得m的取值范圍是()x - 014.當(dāng)實(shí)數(shù)x, y滿足不

22、等式(y0 時(shí)，恒有ax + yW2成立，則實(shí)數(shù)a的取值集合是 x 2yM 2( )A. (-1,1B . (1,2)C , (0,1 D . (T15三個(gè)正數(shù)a, b, c滿足a b + c 2a , bWa + cW2b,則b的取值范圍是()a2 323A- -,- B 匚,2 C . 1,- D . 1,23 23216.函數(shù)y = f(x)為定義在 R上的減函數(shù)，函數(shù) y = f(x-1)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1, 0)對(duì)稱,x,y 滿足不等式 f(x2 -2x) + f (2y-y2) 0 , M (1,2),N(x, y),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)T1WxW4時(shí)，OM ON的取值范圍為()A.

23、12,-He) B . b,3】C. 3,12】 D . 10,12117.已知函數(shù)f(x)=x3+(1b)x2a(b3)x+b2的圖像過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線x ay 022的斜率是-3,則不等式組x a所確定的平面區(qū)域在圓 x2+y2=4內(nèi)的面積為x -by - 0A.JTJT32x-y 2 _ 0,18.已知實(shí)數(shù)x, y滿足不等式組J x + y-40,若目標(biāo)函數(shù)z= y _ax取得最大值時(shí)的唯2x - y -5 . 0,一最優(yōu)解是(1 , 3),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()(A)a-l (B)0al (D)a1x .0,19 .已知x, y滿足不等式組y0， 當(dāng)3Ws5時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z =

24、3x + 2y的最大值的變 x y _s,y 2x4.化范圍是()(A) 6,15(B) 7,15(C) 6,8(D) 7,820 .已知 ABC的頂點(diǎn) A (3, 0), B (0, 1), C (1, 1), P (x, y)在 ABC內(nèi)部(包括邊界)，若目標(biāo)函數(shù)z=更弛(aw0)取得最大值時(shí)的最優(yōu)解有無窮多組，則點(diǎn)( a, b)的軌 c跡可能是()x-0,21.若關(guān)于x, y的不等式組kx+5,表示的平面區(qū)域是一個(gè)銳角三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范I 0 -x -2是.2x - y 2 - 023 .設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足約束條件8x y 4E0,若目標(biāo)函數(shù)z = abx+y ( a 0,b0)的

25、 x - 0,y -0%之1 _4一一_ y 01 .24 .【北東市西城區(qū)2014屆局二一模（理）】右不等式組表木的平面區(qū)域是一個(gè)2x + y M 6 x + y 2ab; （2）若 a,bw R,則 abwa .b （當(dāng)且僅 一 2當(dāng)a =b時(shí)取“二”）.2. （1）若a A0,b A0,則ab之感;（2）若a 0,b 0,則a + b之2旅（當(dāng)且僅當(dāng)2a =b 時(shí)取“二”）；（3）若a0,b 0,則abj叱b：（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”）.1 一13.若x 0,則x+至2 （當(dāng)且僅當(dāng)x = 1時(shí)取“=”）；若xc0,則x+- 0 ,則a +b22 （當(dāng)且僅當(dāng) b a且+222或2+9

26、2 （當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”）.b a b aHBL . .22.25 .若 a,be r,則 |fb a +b （當(dāng)且僅當(dāng) a =b 時(shí)取“=）.物22II 拓展221. 一個(gè)重要的不等式鏈： 二 _ zab a-b 0,b 0)圖象及性質(zhì) xb 0 )圖象如右圖所示:b(2)函數(shù) f(x) = ax+- (a、b0)性質(zhì): x值域：-：，-2京 U 2 , ab, +0 );單調(diào)遞增區(qū)間:注：(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí),可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”；(2)求最值的條件“一正，二定，三相等”；(3)均值定理在

27、求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面 有廣泛的應(yīng)用.III基本不等式的應(yīng)用一、利用基本不等式求最值利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，應(yīng)注意三個(gè)條件：“一正，二定，三相等”，這三個(gè)條件中，以定值為本.因?yàn)樵谝欢ㄏ拗茥l件下，某些代數(shù)式需經(jīng)過一定的變式處理，才可利用基本不等式求得最值，而怎樣變式，完全取決于定值的作用.主要有兩種類型：一類是中條件給出定值式，一類是條件中無定值式.類型一給出定值【例1】【2016屆重慶市南開中學(xué)高三 12月月考】已知a,bw R,且a +2b = 4,則J3a +3b 的最小值為（）A. 2 百 B . 6 C . 3 第 D . 1222【牛刀

28、小試】設(shè) x, y是正實(shí)數(shù)，且x + y =1 ,則 +一的最小值是 .x 2 y 1類型二未知定值.圮、人”211 1 La2+b2【例2】已知一次不等式 ax+2x + b0的解集為 x x #且a a b ,則的a aja-b最小值為A. 1 B . 72C . 2 D , 272【牛刀小試】【2010江蘇高考第14題】將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的2直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記 S =（梯,勺周）,則S的最小值是 .梯形的面積技巧一：湊項(xiàng)【例3】已知x 2,(a+1 Xb+2) = 16 ,則 a+ b 的最小值是()A. 4 B . 5 C . 6 D .7技巧二：

29、湊系數(shù)【例4】 當(dāng)0cx -1)的值域.【牛刀小試】【2016屆江西省南昌市二中高三上第四次考試】已知a, b都是負(fù)實(shí)數(shù)，則a十-b-的最小值是()a 2b a bA. 5 B . 2 (、叵 T) C , 272 -1 D . 2 (Ts + 1)6技巧四：換元上述例5也可以用換元法求解.【牛刀小試】已知 a, b為正實(shí)數(shù),12b+ ab+a=30,求y= 的取小值. ab技巧五：整體代換多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò).19【例6】已知x 0, y 0 ,且一 + = 1 ,求x + y的最小值.x y【牛刀小試】【2016屆安徽省六安一中高三上第五次月考

30、】若圓x2 + y2-2x-4y-1=0存在兩點(diǎn)關(guān)于直線2ax by 2 =0 (a . 0,b . 0)對(duì)稱，則A. 5 B . 7 C . 272 D . 9技巧六：取平方【例7】已知x, y為正實(shí)數(shù)，3x+2y=10,求函數(shù) W= 3x +板 的最值.【牛刀小試】求函數(shù)y =以-1 +J52xg x 0, y a 0 , x+2y+2xy =8,則x+ 2y的最小值為()A. 3 B . 4 C .- D .22【例9】【2011浙江高考題理16】設(shè)x V為實(shí)數(shù)，若/ 22_則2Y+ V的最大值x, y4x y xy -1 2x y22【牛刀小試】【2011浙江局考題又16】若實(shí)數(shù)x,y

31、滿足x +y +xy = 1 ,則x + y的最大值是.【牛刀小試】若正數(shù) a,b滿足(a3)(b2)=6,則ab的最小值為 .技巧八：添加參數(shù)a2 +b2 +c2【例10若已知a,b,c0,則一b的最小值為ab 2bc【牛刀小試】設(shè) x,y,z,w是不全為零的實(shí)數(shù)，求2xy +22yz : zw 2的最大值.x y - z w【牛刀小試】 設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù)，求10x2 10y2z2的最小值.xy yz zx:利用基本不等式證明不等式轉(zhuǎn)化為“積式”或?qū)ⅰ胺e式”轉(zhuǎn)化為基本不等式a_tb Jab (a 0 ,b 0 )具有將“和式”“和式”的放縮功能，并且有很多不同的變形，如:J 22a +b

32、 2, 11一+ a ba? 2(ab 0)等，所以利用基本不2等式及其變式證明不等式既方便又具有很大的技巧.類型一輪換對(duì)稱型【例11】設(shè) a 0 ,b 0 ,c 0 ,求證:22a b十 +之 a+b+c. b c a類型二用“1”代換型【例12】已知a 0 ,b 0 ,且a+b=1,求證:111【牛刀小試】 已知a 0 ,b 0 ,c 0 ,且a + b+ c=1.求證： 一一1 l 一一1 l 一一198 . abc11 -【例 13若 a 之一一，b 之且 a+b=1,求證：V2a+1 +V2b+1 0, y 0且一十一 =1,求使不等式x + y之m恒成立白實(shí)數(shù) m的取值范圍. x

33、y【牛刀小試】若x +2，Xy b 1, P = vig a lg b,Q =1 (1g a +lg b), R = lg(-b),則 P,Q, R 的大 22小關(guān)系是.應(yīng)用五：利用基本不等式處理實(shí)際問題【例16】有一邊長為a,b (a2b)的長方形紙板，在四個(gè)角各裁出一個(gè)大小相同的正方形，把四邊折起做成一個(gè)無蓋的盒子，要使盒子的容積最大，問裁去的正方形的邊長應(yīng)為多少？【遷移運(yùn)用】121.12016屆浙江省慈溪中學(xué)高三上學(xué)期期中】已知正實(shí)數(shù)a, b滿足,+4=3,則a b（a+1b+2）的最小值是（A.163499212016屆河南省鄭州市一中高三上學(xué)期聯(lián)考】已知x0,y 0,lg2x + lg 8y =lg2,則11 一十的最小值是（）x 3yA. 4B . 3 C . 2 D . 13.12016屆河南省鄭州市一中高三上學(xué)期聯(lián)考】22則m +的最小值為（）m 2 n 1已知實(shí)數(shù)m,n,若m 0, n之0,且m + n = 1,A.154.12016屆河北省正定中學(xué)高三上學(xué)期期中】設(shè)xy的最小值為A. 4B. 4 顯 C33 一x, y均為正實(shí)數(shù)，且一十一=1,則2 x 2 y9D. 165.12016屆遼寧省撫順市一中高三12月月考】若正數(shù)x, y ,滿足3x+y = 5xy ,貝U 4x + 3y的最小值是（）A. 2B. 3Cr a2