小學(xué)思維數(shù)學(xué)講義：植樹(shù)問(wèn)題(二)-帶詳解

1、植樹(shù)問(wèn)題（二）教學(xué)目標(biāo)1 .封閉與非封閉植樹(shù)路線的講解及生活運(yùn)用。2 .掌握空心方陣和實(shí)心方陣的變化規(guī)律.3 .幾何圖形的設(shè)計(jì)與構(gòu)造知識(shí)點(diǎn)撥、植樹(shù)問(wèn)題分兩種情況:（一）不封閉的植樹(shù)路線若題目中要求在植樹(shù)的線路兩端都植樹(shù)，則棵數(shù)比段數(shù)多1.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為:棵數(shù)=段數(shù)十1=全長(zhǎng)得株距+1全長(zhǎng)二株距x （棵數(shù)1）株距=全長(zhǎng)-（棵數(shù)-1） 如果題目中要求在路線的一端植樹(shù), 全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為:則棵數(shù)就比在兩端植樹(shù)時(shí)的棵數(shù)少全長(zhǎng) 二株距M棵數(shù)；棵數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)+株距； 株距=全長(zhǎng)+棵數(shù).1,即棵數(shù)與段數(shù)相等如果植樹(shù)路線的兩端都不植樹(shù)，則棵數(shù)就比 中還少1棵.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之

2、間的關(guān)系就為：棵數(shù)=段數(shù)-1=全長(zhǎng)。株距-1.株距=全長(zhǎng)+ （棵數(shù)+1 ）.全長(zhǎng)=株距M（棵數(shù)+1）（二）封閉的植樹(shù)路線.在圓、正方形、長(zhǎng)方形、閉合曲線等上面植樹(shù)，因?yàn)轭^尾兩端重合在一起，所以種樹(shù)的棵數(shù)等于分成的段數(shù) 全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù)=段數(shù)=周長(zhǎng)+株距.二、解植樹(shù)問(wèn)題的三要素（1）總路線長(zhǎng)（2）間距（棵距）長(zhǎng)（3）棵數(shù)，只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素，就可以求出第三個(gè).三、方陣問(wèn)題（1）明確空心方陣和實(shí)心方陣的概念及區(qū)別.（2）每邊的個(gè)數(shù)=總數(shù) +4+1”；（3）每向里一層每邊棋子數(shù)減少 2;（4）掌握計(jì)算層數(shù)、每層個(gè)數(shù)、總個(gè)數(shù)的方法，及每層個(gè)數(shù)的變化規(guī)律。例題精講9模塊

3、一、封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題例1 小強(qiáng)家附近的公園里有一個(gè)圓形池塘，它的周長(zhǎng) 1500是米，每隔3米栽種一棵樹(shù).問(wèn)：共需 樹(shù)苗多少株？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題【難度】1星 【題型】解答【解析】因?yàn)閳A形池塘是一個(gè)封閉的模型，所以我們直接運(yùn)用公式棵數(shù)=段數(shù)=周長(zhǎng)平距，從而有樹(shù)苗：1500 與=500 （株）.【答案】500株【鞏固】 周叔叔家有一個(gè)長(zhǎng) 40米，寬30米的長(zhǎng)方形魚(yú)塘，他想沿塘每隔5米栽一棵柳樹(shù)，需要栽多少棵柳樹(shù)？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題【難度】1星 【題型】解答【解析】（40+30）父2 =140 （米），140+5=28 （棵）.【答案】28棵【例2】在一個(gè)長(zhǎng)345米、寬240米的長(zhǎng)

4、方形草坪四周等距離地栽一些松樹(shù)，要求四個(gè)頂點(diǎn)和每邊中 點(diǎn)都正好栽一棵松樹(shù)，則最少要買(mǎi)松樹(shù)苗 棵?！究键c(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題【難度】2星 【題型】填空一【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，二試，第 9題【解析】 先找出兩邊中點(diǎn)數(shù)120、172.5的最大公約數(shù)為 7.5草坪周長(zhǎng)為：（345+240） H.5=156 （棵）【答案】156棵【例3】 公園內(nèi)有一個(gè)圓形花壇，繞著它走一圈是120米.如果沿著這一圈每隔6米栽一棵丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？?jī)芍晗噜彽亩∠慊ㄖg的 2株月季花相距多少米？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【

5、解析】在圓周上栽樹(shù)時(shí)，由于開(kāi)始栽的一棵與依次栽的最后一棵將會(huì)重合在一起，所以可栽的株數(shù)正好等于分成的段數(shù).由于每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花，所以栽月季花的株數(shù)等于2乘以段數(shù)的積.要求兩株相鄰的丁香花之間的2株月季花相距多少米？需要懂得兩株相鄰的丁香花之間等距離地栽 2株月季花，就是說(shuō)這 4株花之間有3段相等的距離.以6米為一段，圓形花壇一圈 可分的段數(shù)，即是栽丁香花的株數(shù)：120與=20（株），栽月季花的株數(shù)是：2X20= 40（株），每段上丁香花和月季花的總株數(shù)是：2 + 2= 4（株），4株花栽在6米的距離中，有 3段相等的距離，每?jī)芍曛g的距離是：64-1） = 2（米）.

6、【答案】丁香花的株數(shù) 20株，月季花的株數(shù) 40株，兩株相鄰的丁香花之間的2株月季花相距2米?！眷柟獭?一個(gè)圓形花壇，周長(zhǎng)是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥花之間均勻地栽?xún)煽迷录?花.問(wèn)可栽多少棵芍藥？多少棵月季？?jī)煽迷录局g的株距是多少米？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題【難度】2星 【題型】解答【解析】在圓形花壇上栽花，是封I路線問(wèn)題，其株數(shù)=段數(shù).由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵數(shù)是芍藥的2倍.解：共可栽芍藥花：180+6 =30（棵）共種月季花：2 M 30 =60（棵）兩種花共：30 +60 =90（棵）兩棵花之間距離：180+

7、90 = 2 （米）相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是2米或4米.【答案】芍藥花30棵，月季花60棵，月季花的株距是 2米或4米【鞏固】 在某校周長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道上，每隔 8米插一面紅旗，然后在相鄰兩面紅旗之間每隔2米插一面黃旗，應(yīng)準(zhǔn)備紅旗 面，黃旗 面.【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題【難度】2星【題型】填空【解析】400。8=50（紅旗），8 子 2-1=3, 3M50=150（黃旗）【答案】紅旗50面，黃旗150面 【例4 大雪后的一天，小明和爸爸共同步測(cè)一個(gè)圓形花圃的周長(zhǎng).他倆的起點(diǎn)和走的方向完全相同，小明的平均步長(zhǎng)是54厘米，爸爸的平均步長(zhǎng)是 72

8、厘米，由于兩人的腳印有重合， 并且他們走了一圈后都回到起點(diǎn)，這時(shí)雪地上只留下60個(gè)腳印，這個(gè)花圃的周長(zhǎng)是多少厘米？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】 通過(guò)畫(huà)圖使學(xué)生明白從第一個(gè)重合點(diǎn)（起點(diǎn)）到下一個(gè)重合點(diǎn)之間的距離是 216厘米，216+54=4,216-72=3,從而知在兩個(gè)重合點(diǎn)之間，爸爸留下腳印3個(gè)，小明留下腳印 4個(gè)，去掉一個(gè)重合的腳印，共留下腳印 3+41=6（個(gè)），因?yàn)閺钠瘘c(diǎn)到最后雪地上共留下腳印60個(gè)，所以花圃的周長(zhǎng)是216 M（60+6） =2160 （厘米）.【答案】2160厘米【鞏固】 園林工人要在周長(zhǎng) 300米的圓形花壇邊等距離地栽上樹(shù).他們先沿著

9、花壇的邊每隔 3米挖一個(gè)坑，當(dāng)挖完30個(gè)坑時(shí)，突然接到通知：改為每隔5米栽一顆樹(shù).這樣，他們還要挖多少個(gè)坑才能完成任務(wù)？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】 這道題的關(guān)鍵就在之間每 3米一個(gè)，已經(jīng)挖的坑，和后來(lái)改成5米挖一個(gè)坑，有多少個(gè)是重復(fù)不需要挖的，那么一步一步分析如下：（1）從第1個(gè)坑到第30個(gè)坑，共有多長(zhǎng)？（30-1）X3 =87（米）（2）改為 每5米栽一棵樹(shù)”，有多少坑仍然有用？87£15=5|中2, 5+1=6（個(gè)）（3）改為 每5米栽一棵樹(shù)”，一共應(yīng)挖多少個(gè)坑？300+ 5 =60（個(gè)）（4）還要挖多少個(gè)？60 6 = 54 （個(gè)）【答案】54【

10、例5 一個(gè)街心花園如右圖所示.它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成.已知從每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開(kāi)始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有 9棵花.問(wèn)大三角形邊上栽有多少棵花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】 大三角形三條邊上共栽花：（9X21 1）刈=48（棵），中間畫(huà)斜線小三角形三條邊上栽花：（92）X3=21 （棵），整個(gè)花壇共栽花：48 + 21 = 69 （棵）.【答案】69棵【例6】 正方形操場(chǎng)四周栽了一圈樹(shù)，四個(gè)角上都栽了樹(shù)，每?jī)煽脴?shù)相隔5米.甲、乙從一個(gè)角上同時(shí)出發(fā)，向不同的方向走去，甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一個(gè)彎之后的第5棵樹(shù)與甲相遇（把角上的樹(shù)

11、看作第一棵樹(shù)），操場(chǎng)四周栽了多少棵樹(shù)？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】因?yàn)榧椎乃俣仁且业膬杀?，乙走了操?chǎng)的一條邊，甲走了兩條邊，乙拐了一個(gè)彎之后走到第5棵樹(shù),實(shí)際走了 4個(gè)間隔，那么甲應(yīng)該走了8個(gè)間隔，相遇的樹(shù)就是甲拐彎以后走的第9棵樹(shù)，所以這一邊有9+4= 13 （棵）樹(shù).操場(chǎng)周?chē)囊还灿校?3-1） >4 = 48 （棵）.【答案】48棵模塊二、方陣問(wèn)題【例7】 在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上，有一大一小兩個(gè)方陣合并變換成一個(gè)10行10列的方陣，求原來(lái)兩個(gè)方陣各有多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】2星 【題型】解答【解析】根據(jù)時(shí)間多少和學(xué)生具體情況可考慮教給學(xué)生平方數(shù)的

12、概念，并記住一些簡(jiǎn)單的平方數(shù)10行10列的方陣由100人組成，原來(lái)的小方陣每行或每列人數(shù)都不會(huì)超過(guò)10人，大方陣人數(shù)應(yīng)該在50100之間，可取64或81,運(yùn)用枚舉法，可求出滿足條件的是：大方陣有64人，小方陣有36人.【答案】大方陣有64人，小方陣有36人【例8】 小華觀看團(tuán)體操表演，他看到表演隊(duì)伍中的一個(gè)方陣變換成一個(gè)正三角形實(shí)心隊(duì)列，他估計(jì)隊(duì)伍 中人數(shù)大概在30至50人之間，你能告訴他到底有多少人嗎？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】3星 【題型】解答【解析】方陣總?cè)藬?shù)的特點(diǎn)：它是兩個(gè)相同自然數(shù)的積，而三角形隊(duì)列總?cè)藬?shù)的特點(diǎn)是：總數(shù)是從1開(kāi)始若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，我們只要在 3050的范圍內(nèi)找出同時(shí)

13、滿足這兩個(gè)條件的數(shù)就可以得出總?cè)藬?shù).由 于隊(duì)伍可以排 成方陣，在 30至50人的范圍 內(nèi)人數(shù)可能是 6M6=36人或7父7=49人，又因?yàn)?6 =1+2+3+4 十，.+8, 49 =1+2+3+4+ 9+4,所以總?cè)藬?shù)是 36人.【答案】36人【例9】 同學(xué)們做操，小林站在左起第5列，右起第3列；從前數(shù)前面有4個(gè)同學(xué)，從后數(shù)后面有6個(gè)同學(xué).每 行每列的人數(shù)同樣多，做操的同學(xué)一共有多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】2星 【題型】解答【解析】 帶領(lǐng)學(xué)生畫(huà)圖求解.一共有幾行？列式： 4+6+1=11 （行）一共有幾列？列式： 5+31=7 （列）一共有多少人？列式：11M7=77 （人）【答案】77

14、人【鞏固】 一群小猴排成整齊的隊(duì)伍做操，長(zhǎng)頸鹿站在隊(duì)伍旁邊，一下子看到了他的好朋友金絲猴.長(zhǎng)頸鹿數(shù)了數(shù)，金絲猴的左邊有 4只猴，右邊也有 4只猴，前面有5只猴，后面也有 5只猴.小朋友，你能 算出有多少只猴子在做操嗎？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】2星 【題型】解答【解析】一共有多少行？列式：5+5+1=11 （行）一共有多少列？列式：4+4+1=9 （列）一共有多少只猴子？ 11M9=99 （只）.【答案】99人【鞏固】 小朋友們做廣播體操，小明恰好站在隊(duì)列的正中心，此時(shí)無(wú)論是從前往后或者從后往前數(shù)他都排在第5個(gè)，無(wú)論是從左往右或者是從右往左數(shù)他都排在第6個(gè)，則這個(gè)隊(duì)列中一共有 位小朋友.【考點(diǎn)】

15、方陣問(wèn)題【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，陳省身杯【解析】根據(jù)題意知：每列有5+5-1=9（人），每行有6+61=11 （人），則這個(gè)隊(duì)列共有：9M11 = 99 （人）.【答案】99人【例10】希望小學(xué)舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，全體運(yùn)動(dòng)員的編號(hào)是從1開(kāi)始的連續(xù)整數(shù)，他們按圖 1中實(shí)線所示，從第128,他排在第3行第4列,行第1列開(kāi)始，按照編號(hào)從小到大的順序排成一個(gè)方陣。小明的編號(hào)是則運(yùn)動(dòng)員共有圖1【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】28號(hào)在第3行第4歹U,那么前兩行共有 28-4= 24人，每行有24+2= 12人，共有12X12= 144人?！敬鸢?/p>

16、】144人【例11】四年級(jí)一班同學(xué)參加了廣播操比賽，排成每行8人，每列8人的方陣，問(wèn)方陣中共有多少學(xué)生？如果去掉一行一列.還剩多少同學(xué)？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】2星 【題型】解答【解析】 可以根據(jù) 實(shí)心方陣總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù) X每邊人數(shù)”得到8行8列的實(shí)心方陣人數(shù)為：8M 8=64 （人），去掉一行一列后，還剩 7行7歹U,也可通過(guò)同樣的方法得出總?cè)藬?shù)為：7M 7=49 （人）.【答案】8行8列的實(shí)心方陣人數(shù)為 64人，去掉一行一列后，還剩 49人。【鞏固】100名同學(xué)排成一個(gè)方陣，后來(lái)又減去一行一列，問(wèn)減少了多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】和前兩題比僅僅是數(shù)量上的增加，

17、此時(shí)可帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)規(guī)律：去掉一行一列后要加上重復(fù)的那一個(gè).100名同學(xué)排成一個(gè)方陣， 后來(lái)又減去一行一列，剩下的是9行9列的方陣，即剩下81人，減少了 19人.【答案】19人【鞏固】 軍訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演， 排成了一個(gè)5行5列的正方形隊(duì)列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？ 【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】一行一列各5人,頂點(diǎn)處重復(fù).5父21=9人，因?yàn)榻巧系囊粋€(gè)同學(xué)被重復(fù)數(shù)了兩次，所以要把多 算的一次減掉.【答案】9人【例12】學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個(gè)正方形隊(duì)列，如果去掉一行一列，要去掉11人，問(wèn)這個(gè)方陣共有多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】由上題思

18、路，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行逆向思維.學(xué)生排成一正方形隊(duì)列表演，去掉一行一列，去掉了11人，那我們就要思考每行去掉了幾個(gè)同學(xué)，因?yàn)槭钦叫侮?duì)列，所以每行每列人數(shù)一樣多，但在數(shù)的時(shí) 候，站在角落的同學(xué)被數(shù)了兩個(gè)，那么現(xiàn)在求每行的人數(shù)時(shí)就要在11里面多加一個(gè).現(xiàn)在每行的人數(shù)是：（11+1）+2 =6 （人），共 6父6 =36 （人）.【答案】36人【鞏固】 學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個(gè)正方形隊(duì)列，如果去掉一行一列，要去掉13人，問(wèn)這個(gè)方陣共有多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】每行：（13+1戶(hù)2 =7 （人），總?cè)藬?shù)：7X7=49 （人）.【答案】49人【例13】二年級(jí)舞蹈隊(duì)為全校做健

19、美操表演，組成一個(gè)正方形隊(duì)列，后來(lái)由于表演的需要，又增加一行一 歹U,增加的人數(shù)正好是 17人，那么原來(lái)準(zhǔn)備參加健美操表演的有多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】 可先讓學(xué)生自己畫(huà)圖實(shí)踐，從 3乘3的方陣變成4乘4的如何進(jìn)行，掌握畫(huà)法后再來(lái)思考這題.因增加的是一行一列，而行、列人數(shù)仍應(yīng)相等，但為什么增加的卻是17人，因有1人是既在他所在的行，又在他所在的列.若把它減掉，剩下人數(shù)恰是原兩行或兩列的人數(shù)，則原來(lái)一行或一列的人 數(shù)可求.參加健美操表演的人數(shù)可求.列式：（17 1）小2=16 +2 =8 （人）,8M8=64（人）.【答案】64人【鞏固】某部隊(duì)?wèi)?zhàn)士排成方陣行軍，另一

20、支隊(duì)伍共17人加入他們的方陣，正好使橫豎各增加一排，現(xiàn)共有多 少戰(zhàn)士？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】2星【題型】解答【解析】后來(lái)的戰(zhàn)士加入方陣時(shí)，是在原方陣外側(cè)橫豎方向各增加一排，那么有一個(gè)戰(zhàn)士要站在這兩排的交 界處，計(jì)算橫排豎排的人數(shù)時(shí)， 對(duì)他進(jìn)行了重復(fù)計(jì)算，也就是說(shuō)現(xiàn)在每一排實(shí)際人數(shù)是 （17+1廣2= 9 （人），因此可以求出總?cè)藬?shù)：9 M9=81 （人）.【答案】81人【例14】育新小學(xué)召開(kāi)秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，準(zhǔn)備在正方形的操場(chǎng)周?chē)迳喜势?如果4個(gè)角上都要插上一面彩旗，要使每邊有7面彩旗，那么一共要準(zhǔn)備多少面彩旗才行？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】2星【題型】解答解析】心急的學(xué)生會(huì)很配合的說(shuō) 28,此時(shí)

21、可提示他們想想，彩旗不夠，能不能少點(diǎn)？根據(jù)題目的要求畫(huà)出 示意圖：我們把這些彩旗按照?qǐng)D中所示的方式分成相等的4部分，可以看出每一部分都有 71 =6面旗.（7_1）父4=24（面），一共準(zhǔn)備 24面彩旗.答案】24面例15】某校五年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問(wèn)方陣外層每邊有多少人？這個(gè)方陣共有五年級(jí)學(xué)生多少人？考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】3星【題型】解答解析】根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)-4+1 ,可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了.所以方陣最外層每邊人數(shù)：60+4+1=16（人），整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：16M16 = 256（

22、人）.答案】方陣最外層每邊人數(shù) 16人，整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù) 256人.鞏固】 明在一個(gè)正方形的棋盤(pán)里擺棋子，他先把最外層擺滿，用了 40個(gè)棋子，求最外層每邊有多少棋子？如果他要把整個(gè)棋盤(pán)擺滿，還需要多少棋子？考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】3星【題型】解答解析】有前一題基礎(chǔ)，可讓學(xué)生自己思考解決.首先根據(jù) 每邊的個(gè)數(shù)=總數(shù) +4+1”求出每邊的棋子數(shù)：40 + 4+1=11 （個(gè)），根據(jù)”每向里一層每邊棋子數(shù)減少2”,求出最外面數(shù)第二層中每邊各有：11-2=9 （個(gè)）棋子，利用求實(shí)心方陣總個(gè)數(shù)的方法就可以求出還需：9X9=81 （個(gè)）棋子.答案】81個(gè)棋子鞏固】 校三年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外一層的人

23、數(shù)為36人，問(wèn)方陣外層每邊有多少人？這個(gè)方陣共有三年級(jí)學(xué)生多少人？考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】3星【題型】解答解析】引導(dǎo)學(xué)生找出與前四題區(qū)別，因?yàn)闂l件是方陣外層，所以有四個(gè)重復(fù)計(jì)算的人.（法1）方陣外層每邊有：（36+4） +4=10 （人），共10父10=100 （人）.（法2）方陣外層每邊有： 36-4+1=10 （人），共10父10=100 （人）.答案】100人鞏固】 三年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣進(jìn)行體操表演，最外一層的人數(shù)為32人，問(wèn)方陣外層每邊有多少人？這個(gè)方陣共有三年級(jí)學(xué)生多少人 ？考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】3星【題型】解答解析】 每邊：（32+4）+4 =9 （人），總?cè)藬?shù)：9M9=81 （人

24、）.答案】81人例16】新學(xué)期開(kāi)始，手持鮮花的少先隊(duì)員在一輛彩車(chē)四周?chē)闪嗣窟厓蓪拥姆疥嚕钔饷嬉粚用窟?3人,彩車(chē)周?chē)纳傧汝?duì)員有多少人？考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】3星【題型】解答解析】先讓學(xué)生自己思考，待大家都有結(jié)果后，讓學(xué)生思考一個(gè)問(wèn)題：相鄰兩層差幾個(gè)人.外層13M4-4=48 人，內(nèi)外相差8人（教師可舉例說(shuō)明），內(nèi)層48-8 =40人，共88人.答案】88人鞏固】 節(jié)日來(lái)臨，同學(xué)們用盆花在操場(chǎng)上擺了一個(gè)空心花壇，最外層的一層每邊擺了12盆花，一共3層，一共用去多少盆花？考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】3星【題型】解答解析】讓學(xué)生利用上題思考結(jié)果加以解決.（法1）不論是空心方陣還是實(shí)心方陣，每向里一層

25、，每邊的花盆就少2個(gè)，每層的花盆就少 8個(gè)，因此可以依次求出每層花盆的個(gè)數(shù).最外層有花盆 ：（12_1）父4=44（盆），第二層有：44_8 = 36（盆），第 三層有：368=28（盆），共有：44+36+28=108（盆）.（法2）將三層花盆分成四塊，形成四個(gè)相等的長(zhǎng)方形.它們的長(zhǎng)是（123）個(gè)，寬是3個(gè)，（12 3）父3 = 27 個(gè)，即每個(gè)長(zhǎng)方形中包括 27個(gè)花盆，再將結(jié)果乘以 4就得到總數(shù)是108個(gè)，于是我們可以總結(jié)為：空 心方陣中點(diǎn)的總個(gè)數(shù) 二（最外層每邊的個(gè)數(shù)-層數(shù)）雙數(shù)X4 .（法3）也可以將這種情況看作從一個(gè)大的實(shí)心方陣中取出一個(gè)小的實(shí)心方陣.【答案】108盆【鞏固】 曉曉愛(ài)

26、好圍棋，他用棋子在棋盤(pán)上擺了一個(gè)二層空心方陣，外層每邊有14個(gè)棋子，你知道他一共用了多少個(gè)棋子嗎？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】如圖所示，方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè).知道最外面一層每邊放 14個(gè)棋子，就可以求出第二層每邊的個(gè)數(shù).知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出總數(shù).（1 4- 1） 4= 5（2個(gè)）, （1421）父4 =44（個(gè)），52+44 =96（個(gè)），一共用了 96 個(gè)棋子.【答案】96個(gè)棋子【鞏固】晶晶用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子 14個(gè).晶晶擺這個(gè)方陣共用圍棋子多少個(gè)？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】方陣每向里面

27、一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè).知道最外面一層每邊放14個(gè)，就可以求第二層及第三層每邊個(gè)數(shù).知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出各層總數(shù).最外邊一層棋子個(gè)數(shù)：（141）乂4 = 52（個(gè)）, 第二層棋子個(gè)數(shù)：（142 1）父4=44（個(gè)），第三層棋子個(gè)數(shù)：（142黑21）父4=36（個(gè)）.擺這個(gè)方陣 共用棋子：52+44 +36 =132（個(gè)）.還可以這樣想：中空方陣總個(gè)數(shù)=（外層每邊個(gè)數(shù)一層數(shù)）點(diǎn)數(shù)4 進(jìn)行計(jì)算，得（143）M3M4=132（個(gè)）.【答案】132個(gè)【例17】在一次團(tuán)體操表演中，有一個(gè)空心方陣最外層有64人，最內(nèi)層有32人，參加團(tuán)體操表演的共多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】4星【題型】解

28、答【解析】根據(jù)最外層和最內(nèi)層人數(shù)，可以分別求出內(nèi)外層每邊的人數(shù)，一個(gè)空心方陣，可以看做從一個(gè)最外 層有64人的實(shí)心方陣中，減去了一個(gè)小方陣.外層每邊人數(shù)：64 + 4+1=17 （人）.內(nèi)層每邊人數(shù)：32 + 4+1=9 （人），空心方陣人數(shù)：17父17 （9 2）X（9 2）=240 （人）.【答案】240人【例18】120個(gè)棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最內(nèi)層每邊有多少棋子？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】棋子一共三層，容易知道外層比中層多 8個(gè)，內(nèi)層比中層少8個(gè)，因此中層的棋子數(shù)就是三層的平均 數(shù)為120+3=40（個(gè)），可以求出中層每邊的棋子數(shù)，向里一層，每邊棋子數(shù)又減少2

29、.中層總數(shù)120+3=40（個(gè)）.中層每邊個(gè)數(shù)：40+4+1=11（個(gè)），內(nèi)層每邊個(gè)數(shù)：112=9（個(gè)）.【答案】9個(gè)【鞏固】 將一個(gè)每邊16枚棋子的實(shí)心方陣變成一個(gè)四層的空心方陣，此空心方陣的最外層每邊有多少棋子？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】棋子總數(shù)為：16M16=256 （枚），由于空心方陣總個(gè)數(shù)=（每邊個(gè)數(shù)層數(shù)）混數(shù)X4,所以，每邊個(gè)數(shù)=空心方陣總個(gè)數(shù) 也數(shù)+4+層數(shù)，得出最外層每邊有 20枚棋子.【答案】20枚棋子【例19】一些棋子被擺成了一個(gè)四層的空心方陣（右圖是一個(gè)四層空心方陣的示意圖）.后來(lái)小林又添入 28個(gè)棋子，這些棋子恰好變成了一個(gè)五層的空心方陣（不能移動(dòng)

30、原來(lái)的棋子），那么最開(kāi)始最少有個(gè)棋子.【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級(jí)，初賽， 12題【解析】將四層空心方陣變成五層空心方陣有三種方法，一種是在最外層增加一圈（兩行兩列），第二種是在最內(nèi)層增加一圈（兩行兩列），第三種是在最內(nèi)層增加一行一列，在最外層的另外兩個(gè)方向也增加一 行一列.五層空心方陣的最外層至少有 40枚棋子，所以第一種情況不符合題意，如果是第二種情況，那么最外層應(yīng)該有28+8父4=60枚棋子，最開(kāi)始應(yīng)該有 60+52+44 + 36 = 192枚棋子.如果是第三種情況， 那么設(shè)五層方陣最內(nèi)圈邊長(zhǎng)為x ,那么最外圈邊長(zhǎng)為x +4乂2 = x +8 , 一

31、共增加的棋子數(shù)為2x3+2（x+8）1=4x+12枚，所以4x+12 = 28,解得x=4.五層方陣的最外層邊長(zhǎng)為 4 + 8 = 12, 原有棋子 122 （42 j 28=112枚.所以最開(kāi)始至少有112枚棋子.【答案】112枚【例20】同學(xué)們用64盆花排出一個(gè)兩層空心方陣，后來(lái)又決定在外面再增加一層成為三層方陣，還需多少 盆花？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】對(duì)于兩層方陣，外層比內(nèi)層多 8盆，兩層共64盆，利用和差問(wèn)題的解法，可以求出外層盆數(shù)是 （64+ +2=36（盆），從而得出需增加的盆數(shù)，36+8=44（盆）.【答案】44盆 【例21】有一群學(xué)生排成三層空心方陣，多 9人，如空心部分增加兩層，又少 15人，問(wèn)有學(xué)生多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】增加的兩層人數(shù)為：9+15=24 （人），這兩層人數(shù)之差是 8人，因此最里層有（24-8）+2=8 （人）， 現(xiàn)在的方陣共5層，那么最外層有8+8父4=40 （人），知道最外層人數(shù)及層數(shù)就不難求出總?cè)藬?shù)是105人.【答案】105人【鞏固】 為了準(zhǔn)備學(xué)校的集體舞比賽，四年級(jí)的學(xué)生在排隊(duì)形.如果排成3層空心的方陣則多 10人，如果在中間空心的部分接著