數(shù)學(xué)必修2第二章知識點(diǎn)小結(jié)及典型習(xí)題

1、數(shù)學(xué)必修2第二章知識點(diǎn)小結(jié)及典型習(xí)題第二章 點(diǎn)線面位置關(guān)系總復(fù)習(xí)1、（1）平面含義：平面是無限延展的，沒有大小，厚薄之分。另外，注意平面的表示方法。（2）點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作；點(diǎn)不在平面內(nèi)，記作點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線l上，記作：Al；點(diǎn)A在直線l外，記作Al；直線與平面的關(guān)系：直線l在平面內(nèi)，記作l ；直線l不在平面內(nèi)，記作l 。2、四個公理與等角定理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).LA·符號表示為AL BL L A B公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi).（只要找到直線的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)）C·B·

2、;A·（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線 => 有且只有一個平面，使A、B、C。公理2的三個推論：（1）：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個平面。（2）：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。（3）：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。 符號表示為：P =>=L，且PLP·L公理3說明：兩個不重合的平面只要有公共點(diǎn)，那么它們必定交于一條過該公共點(diǎn)的直線，且線唯一。公理3作用：判定兩個平

3、面是否相交的依據(jù)，是證明三線共點(diǎn)、三點(diǎn)共線的依據(jù)。即：判定兩個平面相交的方法。說明兩個平面的交線與兩個平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。可以判斷點(diǎn)在直線（交線）上，即證若干個點(diǎn)共線的重要依據(jù)。（4）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線acabcb強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。（表明空間中平行于一條已知直線的所有直線都互相平行）（5）等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).3、（1）證明共面問題：方法1是先證明由某些元素確定一個平面，在證明其余元

4、素也在這個平面內(nèi)。 方法2是先證明分別由不同元素確定若干個平面，再證明這些平面重合。（2）證明三點(diǎn)共線問題的方法：先確定其中兩點(diǎn)在某兩個平面的交線上，再證明第三點(diǎn)是這兩個平面的公共點(diǎn)，則第三個點(diǎn)在必然在這兩個平面的交線上。（3）證明三線共點(diǎn)問題的方法：先證明其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線也經(jīng)過這個點(diǎn)。4、異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線。（既不平行也不相交的兩條直線） 異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一

5、點(diǎn)O，分別引直線aa，bb，則把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。（兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形）說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無關(guān)。（3）求異面直線所成角步驟：（一作、二證、三計算）第一步作角：先固定其中一條直線，在這條直線取一點(diǎn)，過這個點(diǎn)作另一條直線的平行先；或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。第二

6、步證明作出的角即為所求角。第三步利用三角形邊長關(guān)系計算出角。（思路是把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角）5、空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系（1）空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。（2）直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種：直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點(diǎn)直線與平面相交 有且只有一個公共點(diǎn)直線在平面平行 沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示三種位置關(guān)系的符號表示：a aA a注意直線與平面的位置關(guān)系

7、其他分類：（1）按直線與平面的公共點(diǎn)數(shù)分類：（自己補(bǔ)充） （2）按直線是否與平面平行分類：（3）按直線是否在平面內(nèi)分類：（3）平面與平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：（按有無公共點(diǎn)分類）兩個平面平行沒有公共點(diǎn)；。兩個平面相交有一條公共直線；b。6、空間中的平行問題（1）線線平行的判定方法：線線平行的定義：兩條直線共面，但是無公共點(diǎn) 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行線面平行的性質(zhì)定理： 線面垂直的性質(zhì)定理： 面面平行的性質(zhì)定理： （2）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行證明線面平行，只要在平面內(nèi)找一

8、條直線b與直線a平行即可。一般情況下，我們會用到中位線定理、平行線段成比例問題、平行公理等。線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。 線面平行線線平行 性質(zhì)定理的作用：利用該定理可解決直線間的平行問題線面平行的判定方法： 線面平行的定義：直線與平面無公共點(diǎn) 判定定理： 面面平行的性質(zhì)： （3）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（線面平行面面平行），兩個平面平行的性質(zhì)定理與結(jié)論：如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行

9、）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。（面面平行線面平行）面面平行的判定方法：面面平行的定義：兩個平面無公共點(diǎn)。 判定定理： 線面垂直的性質(zhì)定理： 公理四的推廣： 7、空間中的垂直問題線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。（1）線線垂直的判定方法：線線垂直的定義：兩條直線所成的角是直角。（共

10、面垂直、異面垂直）線面垂直的性質(zhì)： 線面垂直的性質(zhì)： （2）線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。判定線面垂直，只要在平面內(nèi)找到 兩條相交直線 與已知直線垂直即可（注意：兩條直線必須相交）經(jīng)常用到的知識點(diǎn)有：等腰三角形三線合一（中線，角平分線，高），如果取等腰三角形底邊的中點(diǎn)，連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)的線既是中線也是高，所以，這條線垂直于底邊；正方形的對角線是互相垂直的；三角形勾股逆定理,可以推出a邊與b邊垂直；如果是要證異面垂直的兩條直線，一般采用線面垂直來證明一條線垂直于另一條線所在的平面，從而得到兩條異面直線垂直；采用三垂線定理

11、或者其逆定理得到兩條直線垂直。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。線面垂直的判定方法：線面垂直的定義 線面垂直的判定定理： 平行線垂直平面的傳遞性推論: 面面平行的性質(zhì)結(jié)論：面面垂直的性質(zhì)定理： （3）面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。面面垂直的判定方法面面垂直的定義：兩個平面相交所成的二面角是直二面角面面垂直的判定定理： 面面平行的性質(zhì)結(jié)論：AOB8、空間角問題 空間角的計算步驟：一作，二證，三計算（1）直線與直線所

12、成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為。兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角，的范圍為（0°，90°。注意：（1）異面直線所成的角：0°90°（銳角或者直角）（2）計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。 （3）角AOB的度數(shù)并不等于直線AO與直線BO所成的角。（2）直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為。平面的垂線與平面所成的角：規(guī)

13、定為。平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角，取值范圍為（0°，90°）。由直線與平面所成的角的范圍為0°，90°。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。關(guān)鍵的步驟是“作角”（斜線和射影所成的角）求線面角的方法（求一條直線與平面所成的角，就是要找這條直線在平面上的射影，射影與它的直線所成的角即為線面角，即作垂線，找射影）定義：斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）方法：作直線上任意一點(diǎn)到面的垂線，與線面交點(diǎn)相連，利用直角三角形

14、有關(guān)知識求得三角形其中一角就是該線與平面的夾角。在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：1、斜線上一點(diǎn)到面的垂線；2、過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角二

15、面角：二面角的平面角，0°180°求二面角的方法定義法：在棱上選擇一個特殊點(diǎn)，過這個點(diǎn)分別在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角為二面角的平面角垂線法：過二面角的一個面內(nèi)一點(diǎn)作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角。9、 “轉(zhuǎn)化思想”，要熟練他們之間的轉(zhuǎn)換線線垂直 線面垂直 面面垂直 線線平行 線面平行 面面平行 證明空間線面平行或垂直需要注意三點(diǎn)（1）由已知想性質(zhì)，由求證想判定。（2）適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。（3）使用定理時要

16、明確已知條件是否滿足定理?xiàng)l件，再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。10、鞏固專項(xiàng)練習(xí)1如圖，在三棱錐S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分別交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E- BD-C的度數(shù)。2、在棱長都為1的正三棱錐SABC中，側(cè)棱SA與底面ABC所成的角是_3、在正方體ABCD中，與平面所成的角的大小是_；與平面所成的角的大小是_；與平面所成的角的大小是_；與平面所成的角的大小是_；與平面所成的角的大小是_。4、已知空間內(nèi)一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC兩兩夾角為60°，試求OA與平面BOC所成的角的大小5、已知點(diǎn)是正三角形所在平面外的一

17、點(diǎn)，且，為上的高，、分別是、的中點(diǎn)，試判斷與平面內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明6、 已知正方體 ，求證7、已知直線PA垂直正方形ABCD所在的平面，A為垂足。求證：平面PAC平面PBD。 8、已知直線PA垂直于圓O所在的平面，A為垂足，AB為圓O的直徑，C是圓周上異于A、B的一點(diǎn)。求證：平面PAC平面PBC。 9.若m、n是兩條不同的直線，、是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是()A.若m，則m B.若m，n，mn，則C.若m，m，則 D.若，則10、設(shè)P是ABC所在平面外一點(diǎn)，P到ABC各頂點(diǎn)的距離相等，而且P到ABC各邊的距離也相等，那么ABC()A.是非等腰的直角三角形 B.是等腰直角三角

18、形C.是等邊三角形 D.不是A、B、C所述的三角形11、把等腰直角ABC沿斜邊上的高AD折成直二面角BADC，則BD與平面ABC所成角的正切值為 () 12、如圖，已知ABC為直角三角形，其中ACB90°，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于ACB所在平面，那么()A、PAPB>PC B、PAPB<PC C、PAPBPC D、PAPBPC13、正四棱錐SABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在表面上運(yùn)動，并且總保持PEAC，則動點(diǎn)P的軌跡的周長為.14、是兩個不同的平面，m、n是平面及之外的兩條不同直線，給出四個論斷：mn；n；m。以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：.15、如圖(1)，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60°，E是BC的中點(diǎn)，如圖(2)，將ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，連接BC，BD，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，P是棱BC的中點(diǎn).(1)求證：AEBD；(2)求證：平面PEF平面AECD；(3)判斷DE能否垂直于平面ABC并說明理由.16、17、如圖所示，已知BCD中，BCD90°，BCCD1，AB平面BCD，ADB60°，E、F分別是AC、AD上的動點(diǎn)，且(0<<