2009屆全國(guó)名校真題模擬專題訓(xùn)練數(shù)列解答題2數(shù)學(xué)

1、1于是J口 ki k23k 11 1 1f(_f(_f(_).2009屆全國(guó)名校真題模擬專題訓(xùn)練0303 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法三、解答題（二）1）已知函數(shù)f （x）在（-1,1）上有意義,fq）二-1,且任意的x + yy(-1,1)都有f(x) f(yrfr|巴卜：11 Xnx亠X）5后）Xn）恨）4曲丄區(qū)=2. f(Xn)是以-1 為首項(xiàng)，以 2 為公比的等比數(shù)列，故 f(XnH-2nJf(Xn)0 + 0(2)由題設(shè)，有f (0)f(0) = f (- -)= f(0),故 f(0) = 01+0又x (-1,1),有 f(x) f(-x)二 f(4)= f(0) =0,1 -x得f(-X)

2、二-f (x),故知f (x)在(-1,1)上為奇函數(shù).由2k 3k 1 (k 1)(k2)-11(k+1)(k+2)11 1 1得f(k3rnf(蘆)cf(廠51、（廣東省四校聯(lián)合體第一次聯(lián)考(1)1若數(shù)列Xn滿足X1匕，Xn.1尋(nN*),求f(xn).(2)求1f（）f（丄） f（5112) * f()的值-n 3n 1 n 2解:(11 x；_2|xn|(k 1)(k 2)=_k 1 k 21 (k1)(k52、（廣東省五校 2008 年高三上期末聯(lián)考）已知數(shù)列a.的前 n 項(xiàng)和Sn滿足：aSn(an-1)(a 為常數(shù)，且a =0,a =1) (I)求an的通項(xiàng)公式;a -12S（n

3、）設(shè)bnn1，若數(shù)列bn為等比數(shù)列，求 a 的值;an求證：T；In-13解：(I) S = (ai-1),二a2 (3一評(píng)+2 (孑亍)+ 川2 尹)1 1 1111=2n _(2時(shí)，由于a2- a - c,a3- a2- 2c,.an一a. 4= (n T)c，所以a*- 印二1 2川(n T)c =四 c。2又印=2,c=2，故a2 n(n -1) = n2- n 2(n =2,3,|l|).當(dāng) n=1 時(shí)，上式也成立，所以an= n2- n 2(n =1,2,|l|)理 8 分(文 12 分)(III ) bn=32n-2-3n-1+2, |imbnl=9.理 12 分n護(hù) bn54、

4、(安徽省合肥市 2008 年高三年級(jí)第一次質(zhì)檢)已知數(shù)列an中，1n*a1,anan 1=( ) ,(n N )2(1)求證：數(shù)列a2n與a2n(門(mén)，N)都是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an前2n的和T2n；(3)若數(shù)列an前2n的和為T(mén)2n，不等式64T2na2n(1 ka2n)對(duì)n N*恒成立,求k的最大值。解：(1)anan1=(1)n, 出詁2an21數(shù)列a1,a3,a2n，是以 1 為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列;211數(shù)列a2,a4,a2n,是以1為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列。221111_()n丄1_(丄門(mén)(2) En =佝a3p2n) V42n)牛 -212111(3)64T2na2nE3

5、(1-ka2n) =643-3( )n( )n乞33k()n222n642nn-16當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)取等號(hào)，所以64 16，即k-48 , k的最大值2為一 4855、(河北衡水中學(xué) 2008 年第四次調(diào)考)已知等差數(shù)列an的公差大于 0,且a3,a5是方程x2-14x 45 =0的兩根，數(shù)列bnl的前 n 項(xiàng)的和為Sn,且Sn=1-丄bn2(1)求數(shù)列an1, bn/的通項(xiàng)公式；(2)記cn anbn,求證：cn 1 -cn.解：(I)：a3,a5是方程x2-14x45 = 0的兩根，且數(shù)列an的公差 d0,- a3=5,a5=9,公差d = -5- = 2.5 3an二a5(n _5)d

6、=2n_1.3 分12又當(dāng) n=1 時(shí)，有 b1=S=1-d，二 d =231b1當(dāng)n2時(shí),有bn二Sn-Sn；(bn4- bn),1(門(mén)-2).20 一32n卑 _64 k2nbnJqZ =#.6分由知Cn心c2(2n 1)2(2n -1)8(1 _ n) .0Cn112 分56、（河北省正定中學(xué)高 2008 屆一模）設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意na； a；a； a；=S：，記S為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2） 若b3n- （-1）nJ 2an（ 為非零常數(shù)，n N）,問(wèn)是否存在整數(shù), 任意n N：都有bn+1b.解：（1）在已知式中，當(dāng)n=1 時(shí)，a；=

7、a；/a10 a1=1. 1 分當(dāng)n2 時(shí)，a；a；a；亠亠a；=S；33332aa2 a；an=Sn j-得，VWr-S Sn- Sn2an0an=SnSn4=2Sn anTa1=1 適合上式. 3 分.當(dāng) n 2 時(shí)，an=23-1 an-1an+an-10an an-1= 1數(shù)列an是等差數(shù)列，首項(xiàng)為 1，公差為 1,可得 an=n. 5 分nn_1annn_1n(2)an= n. bn=3(-1)，2n=3(-1)- 2n1nn1nn-1nbnbn-3(T) 2 -3(-1)2 -2 3n-3 (-1)心2n0n 4,3、nd數(shù)列bn是等比數(shù)列,bi匕2(2n1)3n1匚都有使得對(duì)一得

8、2 2an玄門(mén) =2(Sn Sn-1)an+an.7 分- (-1)七).23當(dāng)n=2k 1,k=1, 2, 3,時(shí)，式即為：(一)2k2依題意，式對(duì) k=1, 2, 3.都成立，二 入bn57、已知數(shù)列a.的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)一切正整數(shù)n,點(diǎn)匕(n,Sn)都在函數(shù)2f(x)=x2x的圖像上，且過(guò)點(diǎn)Pn(n ,Sn)的切線的斜率為kn(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.k(2)若bn2nan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.(3 )設(shè)Q=xx = kn, nN*, R=xx = 2an,n N *，等差數(shù)列cn的任一項(xiàng)5 Q R，其中G是QR中的最小數(shù)，110：C104n十.11 分12 分420 -4n

9、J)2(3)； Q =x x = 2n +2, nEN尊，R =x x = 4n +2, nEN尊，二Qc R = R又：Cn Q、R，其中c1是Q - R中的最小數(shù)，.G =6.是公差是 4 的倍數(shù)，.Go =4m 6(m N*).1104m + 6c115又?110 : C101J4n +1 _1 ,nEN*.21 , 1解:(1)f (an) =4：2 且 an0an 1an2an2 2an 1an1數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)an1= 1 公差 d=42an12an=1 4(n -1)(2)an 1- Tn=(4n -3)(n -1)若bn為等差數(shù)列，則Ti-1 =O,Ti=1即 d= 1bn

10、=8n _7 n N *22.4n -34n -3.4n 1.4n 1 - *4n -3- Sn二 a?an丄(、5 -1) (、9 - 5) 2+(J4n +1 _ J4n _3) =1寸 4n _ 1-121 _. 4n 1=1 nN* 262、(黑龍江省哈爾濱三中2008 年高三上期末)已知二次函數(shù)f(x)=ax2bx的圖象過(guò)點(diǎn)11若數(shù)列an滿足 二 f (),且 a1=4,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;an一1一(n N*)K -3(4 分)(2)由an=1= 16n28 n 34n -3 an得(4n _3)Tnj=(4n 1)Tn(4n - 3)(4n 1)TnTn1-n=14n 1 4n

11、 -312 分(-4n,0)且f(0)(1)求f(x)的解析式;2 212(2)an2n2nTn=1222* 42niTn=2 - (n 2),Tn=4 -nV（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列an,求證、：. akak 1：2.k42答案：(Df(x)詩(shī)2nxg N*)（2）an(3 )略63、（本題滿分 12 分）（黑龍江省哈爾濱三中 2008 年高三上期末1a.滿足印=2耳1= f傳）（nN*）（1）證明：0:an；：an D：1；JT4 - n（2）證明：an1an；44（3）設(shè)丁.是數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，判斷Tn與 n -3的大小，并說(shuō)明理由。答案：（1）略（2 ）略（3）Tc n -364

12、、（黑龍江省哈師大附中2008 屆高三上期末）已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 S,足 a1= 2,nan+1= Sn+ n（n + 1）.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an；a(2 )設(shè)為數(shù)列三的前n項(xiàng)和,求Tn.2解：(1)nan 1-(n-1)aan2n, ana2(n一2)a12,aS12, . aa2,所以a.等差 a2n哄評(píng)1,f (x),2sin( x)4a/ b，數(shù)列并且滿(na1a2an265、(黑龍江省哈師大附中2008 屆高三上期末)已知二次函數(shù) f(x) = ax2+ bx + c 的圖象31頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2, - 4，且 f(3) = 2(1 )求 y = f(x)的表達(dá)式，

13、并求出 f(1),f(2) 的值；(2)數(shù)列an, bn，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x 者 E 滿足 g(x) f(x) =anX + bn+xn半，n N*,其中g(shù)(x)是定義在實(shí)數(shù)集 R 上的一個(gè)函數(shù)，求數(shù)列an, bn的通項(xiàng)公式；(3) 設(shè)圓Cn:(x-an) +(y-bn) = & ,若圓 Cn與圓 5 申外切，&是各項(xiàng)都是正數(shù) 的等比數(shù)列，設(shè)Sn是前 n個(gè)圓的面積之和，求lim魚(yú).解:321(1)f(x) = a(x 一) 一一2431因?yàn)?f(3)=2,所以 a(3)2 =2 二 a=12431二 f(X)=(x-一)2-一 =X23x+2 幾 f (1) =0, f(2) =

14、024(2)令 x =1= an+bn+1 = 0, x =2n 2an+bn+ 2n* = 0,(._ n +則內(nèi)Jbn =2n_2(3)(an卅-an)2+(bn卅-bn)2=(2n-2)2+(2“ -2n41)2=22n432n 32n 5rn 1rn=22,rn 2*rn 1=22,= 2,Sn rn亠，2,2,22,?4,2(n4)rSn二二(rir2 rn)二二 ri1 q q q 1q2(nJ1)1-=兀-q2(2)42008 屆咼二上期末)已知數(shù)列an滿足 ai= 5,a2= 5,an+1= an+ 6an(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1111*(3)求證：(n N ).lim

15、% =lim :n)：:rn廠66、(黑龍江省哈師大附中-i(n 2 且 n N)4=Tl3(1)求出所有使數(shù)列an1* an成等比數(shù)列的值，并說(shuō)明理由;解：(1)an彳an= (1亠；.)an1 -an,1 乞八一2(2)an=3n-(-2)n(3)當(dāng) n =2k 時(shí),證明c2k2kc2k3234 32k一322k2_4k34k12k 2k322 32 2=22k(732k-622k)0(232k732k2 6 22k當(dāng) n = 2k 時(shí)”丄丄 -22k32k2 22k24+ c2k c2k3- 23an1 11當(dāng) n -2k - 1 時(shí)，丄.一_7一124an67、(湖北省八校高 2008

16、12 2. 819k:丄a1an 1第二次聯(lián)考a1=2,2an=1 a.an 1,bn=a -1，數(shù)列:b啲前 n 項(xiàng)和為求數(shù)列b 1 的通項(xiàng)公式;求證:Tn 1 *Tn；(出)求證:7n 11當(dāng) n 2 時(shí)，S2n12解：( 1)由 bn整理,分)442,S2n=S2n_S2n丄S?讓 _2 亠亠S2_S S = E2bT S 17由(2 )知 T2n1 T2n2 T2，:=:_，S=1T2-,2 2 72 127717n +11S2n=T2nLT2n?亠亠 T?T1S門(mén) _1T?T1S =12 n -1廠21Y2(14 分)68、(湖北省三校聯(lián)合體高 2008 屆 2 月測(cè)試)已知數(shù)列an

17、的首項(xiàng)印=1,a2=3，前n項(xiàng) 和為Sn，且Sn 1、Sn、Snl分別是直線I上的點(diǎn) A、B、C 的橫坐標(biāo)，點(diǎn) B 分AC所成的比2an1anbn 1=Iog2(an1) bn。 判斷數(shù)列an1是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論;bh 114n +n設(shè)cn，證明：Ck：1。anan*+1k耳12 分1由題意得匸違=江_!=an 1Sn- Sidan= 2an1an11 =2(an1)-數(shù)列an1是以a1 1 = 2為首項(xiàng),以 2 為公比的等比數(shù)列。nn則an1 = 2an= 2 -1(n N由an=2n-1及bn 1Tog2(an1) bn得bn 1=bnn二b十血也n2bn 1 -州4n+2n1

18、1則c :nanam(2n-1)(2n 1-1)2n-12n 1-110 分打M2 -12 1 丿 12-123-1 丿 i23-124-1 丿|_ 1 )”1 _2nU 丿綜合有，命題對(duì)任意nN 時(shí)成立，即1can2.下證an+an.69、(湖北省鄂州市 2008 年高考模擬)已知函數(shù)y =1的圖象按向量m = (2,1)平移后便得到函數(shù)f(x)的圖象，數(shù)列an滿足an= f(an(n2, n N)31（I）若a二3，數(shù)列bn滿足bn，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；5an -13（n）若，數(shù)列an中是否存在最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，若存在，求出最大項(xiàng)與最小項(xiàng),5若不存在，說(shuō)明理由；（川）若1：2，試證明：

19、1：a1：為：2.11 1*解：f(x)=11=2，則a.=2(n2,nN).x2+2x町(I)b11anb1-b b11(I)bn，bnj，bn -bnj1an一12 _1_1尋丄一1an一1弘一1亂一1an(n2,n芒 N).數(shù)列bn是等差數(shù)列.15（n）由（I）知，數(shù)列bn是等差數(shù)列，首項(xiàng) 6，公差為 1,則其通項(xiàng)a1-12公式bn- -5(n-1)1二n-7,221112由bn得an=11，故an=1 -an -1bnn _?2n -72727當(dāng)x時(shí)，y=11,且在（，匸）上遞減，故當(dāng)n =4時(shí)，bn取最大值=3故22x-72存在.1；：an；：2，再證明an1 ；：an.1當(dāng)n= 1

20、 時(shí)，1 y：2成立，2假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即1 :ak：2,1113則當(dāng)n=k+1時(shí)，1,ak勺=2(1)，則1：Q :2,故當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.2akak2綜合有，命題對(duì)任意nN 時(shí)成立，即1can2.下證an+an.（7,；）上為減函數(shù).2727當(dāng)x時(shí)，y =11,且在（-：,）上遞減，故當(dāng)n=3時(shí)，bn取最小值-1；22x-722構(gòu)造函數(shù)y =1-，則y2x7(2x - 7)2：函數(shù)y =1-在區(qū)間（_ ：廠） ,2x -72（川） 先用數(shù)學(xué)歸納法證明a1an=2 一an=2 - (a)：2 -2an0，an1:an-綜上所述：1：an 1：4：2-44Y an【總結(jié)點(diǎn)評(píng)】 本題集

21、數(shù)列、向量、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式于一體，充分展示了考試大綱 “構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問(wèn)題， 要注重問(wèn)題的多樣化，體現(xiàn)思維的發(fā)散性”的題 目這需要我們加強(qiáng)這一方面的訓(xùn)練，需要從多層次、多角度去思考問(wèn)題.70、(湖北省黃岡市麻城博達(dá)學(xué)校2008 屆三月綜合測(cè)試)把正奇數(shù)數(shù)列2n-1中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表：357911設(shè)aj是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)。(I)若amn=2007，求m, n的值；(n)已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)f(x) =8nx3(x 0)為，若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為bn,求數(shù)列Ifbn的前n項(xiàng)和Sn。解：(

22、I)T三角形數(shù)表中前m行共有1 2 3川m =m(m 1個(gè)數(shù)，2第m行最后一個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)是所給奇數(shù)列中第m(m 1)項(xiàng)，即2m(m 1)十m2m_1。因此，使得amn=2007的m是不等式m 5-1 2007的最小正整數(shù)解。,22一1 + J1 +8032由m2m -1 _2007得m2m -2008 _0,二m _ -m = 45。第 45 行第一個(gè)數(shù)是442+44 -1+2 =1981, n=+1=14.22第n行最后一個(gè)數(shù)是n n T,且有n個(gè)數(shù)，若n n -1將看成第n行第一個(gè)數(shù)，則第n行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列，故bn二n(n2 n -1)川.2二n3。/.=44。f4(xH8nx3(

23、x 0),f(x)綜合有，命題對(duì)任意nN 時(shí)成立，即1can2.下證an+50成立的正整數(shù)n的2最小值。22解牛：(1) +an1一an1an一2an=0,(an1 an)(a釘2an)=0,T數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，.(anan)0,. (an- 2an) = 0, 即ani.=2an( nN ).數(shù)列an是以 2 為公比的等比數(shù)列。pa32是a2,a4的等差中項(xiàng)，.a2a 2a34 .2a-8 印=8a-4r印=2,-數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =2n(2) 由( 1 )及bn二anlog1an,得bn二-n *2n,(6 分)2：Sn =bib2 .bn, Sn =-2 -2 *23 .2

24、3_4 .24_n *2n.2S* _ -22_2 *23-324_|( _(n -1)2n- n2n 1-得，.s2 22232 |2n-n2n(1 - n)2n1-2要使Sn- n *2n 150成立，只需2n1-2 50成立，即2n 152, n一5二Sn+ n2n+50成立的正整數(shù) n 的最小值為 5。( 12 分)72、(湖北省荊門(mén)市 2008 屆上期末)已知a 0，且a = 1，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為an_11滿足條件1.數(shù)列bn中，bn =anlgan。Sna(1) 求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn；(2) 若對(duì)一切n N*都有bn：bnd，求a的取值范圍。anT ,1 c a(an-1)

25、解：(1)1, &.Snaa 171、(湖北省黃岡市2 - 2an 1 Yn 1an-2an323,n2n。用錯(cuò)位相減法可求得Sn=2-(n 2)-1 n12丿2007 年秋季高三年級(jí)期末考試)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足=0(nN )且a32是a2、a4的等差中項(xiàng)Sn，它當(dāng)n=1時(shí)，a1=S=az=a.a 1/ n丄、/ n_1 .、an -SnSn j=a -1n /.an =a (n此時(shí)bn =anN )n n . nlg a alg a=n2.Tnb2.bn=(a 2a23n設(shè)un= a 2a 3a +nana3a3lga，.na ) Ig a.(1 -a)Un=a a2a3

26、+n an+Unn/ n八naa(a -1)n +2a -1(a -1)a(an-1)n-1na,a -1a(an-1) |ga廠1ga(a-1)(2)由bncbn*導(dǎo)nanlg a c(n +1)an*lg a可得lg a 0可得a ,n +110當(dāng)a 1時(shí)，由n*L1(n N),aha(a -1) a(a -1)na,兩式相減得1心一一4 ”*)1)4匕351n Tn(6n -5)45.974、(湖北省荊州市 2008 屆高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列an為等差數(shù)列，ai=2，且其.aJ 對(duì)一切n +1n N都成立，.此時(shí)的解為a 1.20當(dāng)0：a： ：nn 1N ),0 : a：1,0：a

27、：對(duì)一切由lg a : 0可得n (n 1)a, a :n N都成立,.此時(shí)的解為12 分由10,20可知，對(duì)一切n N都有bn: bn 1的a的取值范圍是73、（湖北省荊門(mén)市 2008 屆上期末）設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為a1二-aj f（1 ）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；10：a或a 1.2S=2n2,bn為等比數(shù)列，且a(2)設(shè)Cn1，求數(shù)列Cn的前 n 項(xiàng)和Tn。bn解：(1):當(dāng)n = 1 時(shí)，ai= S|= 2;當(dāng) n 一 2 時(shí),an=Sn-Sn=2n2-2(n -1)2故an的通項(xiàng)公式為an= 4n-2,即an是 a1二4n2,-2,公差 d = 4的等差數(shù)列.設(shè)bn的通項(xiàng)公式

28、為q,則b1qd二bd =4,. q故bn二 dqn1-2(2)-Cn1P,即 g的通項(xiàng)公式為 bn44n -22嚴(yán)Q Cn142嚴(yán)-anbn= (2n -1)4n:1 2= 1 3 45 4n1+(2 n1)4,Tn4Tn二1 4 3 425(2n 3)4n4(2n 1)4n前10項(xiàng)和為65，又正項(xiàng)數(shù)列bn滿足0=冒0；(nN“)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；比較0,b2,b3,b4的大小；求數(shù)列bn的最大項(xiàng)； 令Cn-lg an，數(shù)列Cn是等比數(shù)列嗎？說(shuō)明理由。10漢9解：設(shè)an的公差為d，則65=10d2且a1=2，得d = 1，從而an二n 1故bn =nJ孑1（3 分）a =、2=62 :6

29、3 =3b3= V? = 72 = b, b3= 4 =245254= V5 = b4b2d = b3b4（6 分）2 )猜想bn 1遞減，即猜想當(dāng)n2時(shí)，叮百-n2_2（8 分）ln x ,y（x e），當(dāng)xe時(shí)In x 1x1 -In x小y20 xIn x故y在（e,*：）上是減函數(shù)，而n，13 ex所以In（x 2） In（x 1）x+2 x+1于是猜想正確，因此，數(shù)列bn的最大項(xiàng)是b2=33考察函數(shù)（1分）6不是等比數(shù)列由Cn=lg an=lg(n 1)知2 2-lg (n 2)-C1 1故Cn不是等比數(shù)列75、（湖北省隨州市 2008 年高三五月模擬）已知函數(shù)f（X）= X X-3

30、+2x（xW R）n彳n求7 丄（nN）（、表示從 1 到 n 的所有項(xiàng)的和）V f（i）v若數(shù)列&匚滿足an1an二 f 佃）心“=0, n N ）,試求a1的值，使得數(shù)列匕昇成等差數(shù)列。19.jW(l)n = l時(shí)=4.丄丄(】廠4n=2時(shí)*F(2)=6,1_F于石當(dāng)詳3時(shí)(n) -n1112佗)若數(shù)列h.l成差敷列*設(shè)其公鑿為嘰V aB11= f( a,) (nGN+)且且.也一H %壬3)a4- - IaD-3丨+2 =、斗“.“*“*8分CnCn 2=lg(n 1)lg( n 3)：lg(n 1) lg(n 3)2lg(n 1)lg(n 3)2= lg(n 2)222(n=2

31、)11%5-0,所y蘭一nx + 3n表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,記Dn內(nèi)的格點(diǎn)(x,y) (x、y z)的個(gè)數(shù)為f (n)(nN).(I)求f(1),f (2)的值及f(n)的表達(dá)式；(U)記Tn二f (n)呼，若對(duì)于任意nN ”，總有Tnwm 成立，求實(shí)數(shù) m 的取值2范圍；(川) 設(shè)Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，其中bn=2f(n)，問(wèn)是否存在正整數(shù)n、t，使_tbnv丄成立？若存在，求出正整數(shù)n, t ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.）由（1 ）知Tn=9，則Tn-1-Tn=.當(dāng)n3時(shí)，1vTn.又T1= 9v T2=T3=空，所以Tnw空，故m27. 8 分22 2Sn 1- tbn 116解：（I）

32、f （1）=3,f （2）=6. 2 分由x0, 0vyw nx+3n，得 0vxv3,又xN+x= 1，或x= 2.當(dāng)x= 1, 0vyw2n時(shí)，共有 2n個(gè)格點(diǎn)；當(dāng)x= 2, 0vywn時(shí)，共有n個(gè)格點(diǎn).故f （n）二n 2n = 3n. 4 分（川）假設(shè)存在滿足題意的n和t，Sn-tbn8(8n-1)-7t-8nv丄Sn 1-tbn .1_8(8n1-1)-7t 8n116 1v8n(8- 7t )v15.由于n、t均為正整數(shù)，所以n=t= 1. 14 分附：Sn-tbn=8_t 8n-8,Sn4-tbn4 =8_t 8“ -8.n n7777當(dāng)t =1時(shí)，由Sn，bn!,得8n5,.

33、n=1.Sn* tbn卅16當(dāng)t-2時(shí)，Sn-tbn 2 時(shí)，ak和 bk滿足下列條件：aklbkAV0 時(shí)，akakJ bkj1印-2, a -2,a3,a4435b1曲4右爪8當(dāng)生 4。時(shí)，jf =知“）,bk = bk.(1)若 C =-2,R = 5，分別寫(xiě)出an、bn的前四項(xiàng).(2)證明數(shù)列ak bk是等比數(shù)列.(3)設(shè)n _2, n是滿足 b1 b2bn的最大整數(shù)時(shí)，用a1、b1表示 n 滿足的條件.（ii）由（i）得知bnanan 1(6n _ 5)6(n _1) _52 6n -51故(126n 1).-1)J -丄)(77136n -5 6n 1)1 19(1一6n 1).1

34、1m*因此，要使一（1） （nN ）成立的 m,必須且僅須滿足2 6n +1206n 11mb2 bn(n2)時(shí)，bk豐bk-1(2 k n).|1010由(2)知：生b1：:0不成立，也生12 2從而對(duì)于 2 k b2bn(n2)的最大整數(shù)矛盾a + b n 是滿足 巴 丄：0 的最小整數(shù)2：0= a14 一訕丄)：0二b2n.22q分)79、(湖南省雅禮中學(xué) 2008 年高三年級(jí)第六次月考)容器 A 內(nèi)裝有 6 升質(zhì)量分?jǐn)?shù)為 20%勺鹽 水溶液，容器 B 內(nèi)裝有 4 升質(zhì)量分?jǐn)?shù)為 5%勺鹽水溶液，先將 A 內(nèi)的鹽水倒 1 升進(jìn)入 B 內(nèi)， 再將 B 內(nèi)的鹽水倒1 升進(jìn)入 A 內(nèi)，稱為一次操

35、作；這樣反復(fù)操作n 次，AB 容器內(nèi)的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)分別為an, bn,(I )問(wèn)至少操作多少次，A、B 兩容器內(nèi)的鹽水濃度之差小于1%?(取 lg2=0.3010 ,lg3=0.4771 )lim an與lim bn的值.雅創(chuàng)教育網(wǎng)免費(fèi)注冊(cè)免費(fèi)下載n匸n匸解：(1)b1(14 ,a-( 51)5 52025bn 1 =% f,an 1= bn 1)5622-an 1-bn 1(an-bn), an-bn是q的等比數(shù)列,33o.anbna1bn1n丁 7(嚀.n log2. n 是滿足大于a1log2旦主的最小整數(shù)a1(13(n)求an、bn的表達(dá)式，并求5026an4030an-bnn -4

36、1100n -1 log15.7,lg3_lg2|1010-n-7,故至少操作7次;(2)+4bn,”：”bn申bn二。3 /2、n-?bn2-b1 (b2 d) *(b3 -b2)(bn bn)322251003(3)2(-(2)n工(3)100(3)50而bn 嚴(yán)(2)n上;.lim an二 lim bn50350n-*n 0故X0,或xw1.f(X)定義域?yàn)?.12 -,an+1=an+1,1U(0,+8)1nnI則an+1an= 于是有:an2 2 2an+1a1=an+1要證明1 -:丄(n 1)3-14只需證明：1n3_n21 1 1 - 4(n 1)3-1a1乞 2n3a2an(

37、*)F 面使用數(shù)學(xué)歸納法證明NT)在n= 1 時(shí)，a1= 1,aK 2,則n= 1 時(shí)(* )式成立.假設(shè)1k3豈ak乞2k3成立,2由a：.11丄_4kak要證明 :4k31k321乞4(k1)3只需 2k+1wk3(k 1)32an1k3豈2n3(n1,n= 4k321k3只需(2k+ 1)w8k(k+ 1)80、(湖南省岳陽(yáng)市 2008 屆高三第一次模擬)已知點(diǎn)(an,a.-1)在曲線a1= 1.(1)求f(x)的定義域;21 _ 1 1 1求證:-(n 1)3一14(n 1)3-1(nNT)4a1a?an求證：數(shù)列an前n項(xiàng)和&_ (3n_2)-n31藝只需 1W4 諄十比 而

38、朋十 2Q1 在時(shí)叵成立.干是曲*1 之二盤(pán)十 1 瀘于是22ok+L 2(上 +1)交口;M二口;十+-f要證；+-p at4刁4八三 斗只需證：k+2 Hk3(k+1)3,只需證：4k2+ 11k+ 8 0,而 4k2+ 11k+ 80 在k 1 時(shí)恒n1,nN*)3 分2121-2-成立于是：ak1_4(k1)3.因此(k T)3空ak心2(k T)3得證綜合可知(*)式得證，從而原不等式成立要證明：Sn乞(32)-3,由(2)可知只需證：2 23F；：(3n2)3n_3(n-1)-231(n 2)佇)F面用分析法證明44:(*) 式成立要使(*)成立，只需證：(3n 2)3n(3n 1

39、) 即只需證:(3n 2)3n(3n 1 (*)式得證1),只需證：2n 1.而 2n 1 在n1 時(shí)顯然成立,故于是由(*)式可知有：32 +33+3n2)-44因此有：Sn=a1+a2+ +an 1 + 2( 2 + - ； 3 + /n) =-381、 (湖南省株洲市 2008 屆高三第二次質(zhì)檢)假設(shè)A型進(jìn)口車關(guān)稅稅率在2002 年是 100%, 在2007 年是 25%, 2002 年A型進(jìn)口車每輛價(jià)格為 64 萬(wàn)元(其中含 32 萬(wàn)元關(guān)稅稅款).(1) 已知與A型車性能相近的B型國(guó)產(chǎn)車，2002 年每輛價(jià)格為 46 萬(wàn)元，若A型車的 價(jià)格只受關(guān)稅降低的影響，為了保證 2007 年B型

40、車的價(jià)格不高于A型車價(jià)格的 90%,B型 車價(jià)格要逐年降低，問(wèn)平均每年至少下降多少萬(wàn)元？(2)某人在2002 年將 33 萬(wàn)元存入銀行，假設(shè)銀行扣利息稅后的年利率為1.8 %( 5年內(nèi)不變)，且每年按復(fù)利計(jì)算(上一年的利息計(jì)入第二年的本金)，那么5 年到期時(shí)這筆錢連本帶息是否一定夠買按(1)中所述降價(jià)后的B型車一輛？解：(1) 2007 年A型車價(jià)為 32 + 32X25%= 40 (萬(wàn)元)設(shè)B型車每年下降d萬(wàn)元，2002 , 20032007 年B型車價(jià)格為：(公差為 -d)a1,a2a6二a6 40X90% 46-5d2 故每年至少下降 2 萬(wàn)元.6 分(2) 2007 年到期時(shí)共有錢33

41、 (11.8%) 33 (1 + 0.09 + 0.00324 +)=36.07692 36 (萬(wàn)元) 故 5 年到期后這筆錢夠買一輛降價(jià)后的B型車分82、(湖南省株洲市 2008 屆高三第二次質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,1，且同時(shí)滿足： 對(duì)任意X 0,1，總有f(x) _2,f(x1X2)- f(xj f(X2)-2.(1)(2)12f (1)= 3；若為 _0，x2_ 0且x1x1，則有(3)求f(0)的值；試求f (x)的最大值;設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1= 1, Sn求證：f (aj f (a?)f (an)2n2解：(1)令為=X2=0，則f (0)乞2，又由題意

42、,f(0) =2(2)任取且x1 X2，則 0Cn恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.解：(1)答案不唯一，例如an=2 n-4( nN ”),bn=2 n 2( nN ”)4 分(2)設(shè)數(shù)列 & lb 匚的公差分別是 d1,d2,五 對(duì)一切n，N”，有Sn3二Tn,1吩)十2(汁2中 2(3-(2n -1)(3廣121一(丄)心19 IL 3+ - -31、n 1-(2n-1)(-)2n2/1、n3)1叫)3n11 分86、(江蘇省常州市北郊中學(xué) 2008故fn(3H1屆高三第一次模擬檢測(cè))已知數(shù)列訂,滿足又n =1,2,3,12 分87、(江蘇省南京市 2008 屆高三第一次調(diào)研測(cè)試)設(shè)數(shù)列a

43、n,bn 都是等差數(shù)列，它們4 *3n -46 分22(n 3)31d2 .則Sn-3=(n 3)31(n 3)(n2)d1,Tnd1 25d2 21即：才n2(a1d1) n 3a13d1?n2(b1d2)nd1_d222d2= d151+dr=d -d2即a1=-d1. 8分223an2成立.證明：(1)當(dāng)n =5時(shí)，2552，結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)n = k(k N ”, k - 5)時(shí)，結(jié)論成立，即：2k- k2那么當(dāng)n =k 1時(shí)，左邊=2k 1= 2 2k. 2 k2=(k 1)2- (k2-2k -1)=(k 1)2(k -1 - .2)(k -V .2) (k 1)2=右邊.也

44、就是說(shuō)，當(dāng)n=k，1時(shí)，結(jié)論成立. . 6 分.由(1)、( 2)可知，不等式2nn2對(duì)n，N , n_5時(shí)恒成立.8 分.=4-(-1)n289、(江蘇省南通市 2008 屆高三第二次調(diào)研考試)已知數(shù)列a.中，a0=2,=3,a=6，且對(duì) n 3 時(shí)，有 an=(n 4)an -4na(4n 8)an衛(wèi).(I)設(shè)數(shù)列bn滿足 bn=an-門(mén) anJ, nN”，證明數(shù)列bn 12bn為等比數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;(D)記 n (n -1)(1 2 1 = n!,求數(shù)列na.的前n項(xiàng)和 $.(I)證明：由條件，得 an-nan丄a-(n -1 乩-4 也 -(n- 2)%衛(wèi),an 1(n1

45、)an=4annan丄一4an丄_(n-1)%_g.即 bn 1=4bn-40.又 b = 1 = 0 ,b2-2b.- -2 =0 .列.b2 2b.=-2，所以 bn勺2bn=2(b2-2bi)2n1n J 2)，令 6 二 an-2，貝UCn二 nCn .而 G = 1，Cn= n(n 1)|1)2 1G= n(n T)2 1 .nan=n n (n -1) fl| 2 1 n2n=(n 1)! - n! n 2n,S=(2! -1!)(3!-2!) 川(n 1)!-n! (1 22 2?山 n 2). . 14 分令Tn= 1 2 2 2Mll n 2n,則 2Tn= 1 222 23

46、川(n -1) 2n- n 2n 1.所以 bn. -26 =2(5 -26 丄)所以bn1-bn是首項(xiàng)為-，公比為兩bn 1A 1尹n2n12b1bn為以丄首項(xiàng),22丄為公差的等差數(shù)列.2nnd=nanA n2=n(a(D)an-2an=n(n -1)彳 1| 2 1 - 2n.12 分，得Tn= 2+22+(|+2n nx2n# ,Tn= (n 1)2 訐+2 .Sn=(n 1)! (n -1)2n 11 .評(píng)講建議：此題主要考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的通項(xiàng)求法、 數(shù)列前 n項(xiàng)和的求法，作新數(shù)列法，錯(cuò)項(xiàng)相消法，裂項(xiàng)法等知識(shí)與方法，同時(shí)考查學(xué)生的分析問(wèn)題與解決問(wèn)

47、題的能力，邏輯推理能力及運(yùn)算能力.講評(píng)時(shí)著重在正確審題，怎樣將復(fù)雜的問(wèn)題化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題， 本題主要將一個(gè)綜合的問(wèn)題分解成幾個(gè)常見(jiàn)的簡(jiǎn)單問(wèn) 題.事實(shí)上本題包含了好幾個(gè)常見(jiàn)的數(shù)列題.本題還有一些另外的解法，如第一問(wèn)的證明還可以直接代.90、（江蘇省前黃高級(jí)中學(xué) 2008 屆高三調(diào)研）設(shè)數(shù)列:a/?滿足：a1，且當(dāng)n- N”時(shí)，32an an(1 an .1) 1 =an 1（1）比較an與an .1的大小，并證明你的結(jié)論;16 分2n2an 1an若 bn=（1-字）丄，其中nN”，證明:解：（1）由于32an an(1 - an 1) 1二an 1，則a? a2 1 - ?1a2（2）由于32a

48、nan12ananan -an11 - a；123冋-；)：_24_ 2n0，an -1- anbn=(1V 1)an 1an，由（1）an 1- an，則2an2an20， an 1而an 1n ajla1 =1 0,則bn 0 , v bkb? |l| bn 0.又 bn二(1an 1an2 2an 1- an2anan 1(an 1an)(an 1 an)2an 1(an 1an)2anan 12anan 1-2(an 1-an).- bn一 -，b,3n爲(wèi)1：2（丄)an 1 bk：2（丄-丄）（丄-丄）川（丄k =1C *2a2a3-)anan 1n11、bk=bIbn2()，而an

49、1an，且a 1,故an .0k彳a1an 1-2-1 1 1 1n2nn八bk：，因此bk：2，從而0：、bk: 2.k 1aik JkJbx + c91、(江蘇省如東高級(jí)中學(xué)2008 屆高三四月份模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn),x + 1且關(guān)于點(diǎn)(1,1)成中心對(duì)稱.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；若數(shù)列an滿足：an 0, a1=1, an 1=f C an)2，求a?，a3，a的值，猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，并證明你的結(jié)論；(3)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，判斷Sn與bxf(x).x +1又函數(shù)f (x)=乞C= b -x+11+xb=1,f(x)二亠.x+1K的圖象關(guān)于點(diǎn)-1,1

50、成中心對(duì)稱,解：由題意有an1 =(-)Van+11 1 1即J . 1即1_:tan 1anan 1an1=11數(shù)列是以 1 為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列Ian1 11 (n-1) =-anana21 1 14，比 一9，a4- 16，an證明:當(dāng)k _2(k =2,3,4,n)時(shí),1% 一k2k(k -1)1k一11n-2-SnPa2十1(匕)(廠？(荷故Sn：292、 （江蘇省泰興市 20072008 學(xué)年第一學(xué)期高三調(diào)研）設(shè)x軸、y軸正方向上的單位向量 分別是?、j，坐標(biāo)平面上點(diǎn)An、Bnn N*分別滿足下列兩個(gè)條件：OA! =j且若四邊形AnBnBn 1An 1的面積是 務(wù)，求ann

51、，N的表達(dá)式;對(duì)于（n）中的an，是否存在最小的自然數(shù)M對(duì)一切n N都有務(wù) M成立？若存在，求M若不存在，說(shuō)明理由.H.144呻 叫OAn=0A AA川AnAn= j (n -1)(i j) =(n -1)i nj =(n -1,n)2i*222OBOB!BB2IIIBnB，3i (33i(33i(3)I2)2n3i = 9-9 ()n,03an=SAP2n+一SAPAnBn=10曠白山漢(n+!)- 10-9沃(n(2)23232 nVm(P ,. 10 分2n 12nan-an 1珂53(n -2)-5 3(n-1)(；)(3)33222=3(匚)2( n -2) -(n-1) (；)=(

52、 n - 4)(匚嚴(yán)333所以 ar-a?：0月2_a3：0忌_a4：0色_a5二 0月5_a60,a6_a70,等即在數(shù)列an中，aa58是數(shù)列的最大項(xiàng)，所以存在最小的自然數(shù)9M=6，對(duì)一切n，N*都有anM成立. . 16 分93、（江蘇省南通通州市 2008 屆高三年級(jí)第二次統(tǒng)一測(cè)試）第一行是等差數(shù)列 0,1,2, 3,2008，將其相鄰兩項(xiàng)的和依次寫(xiě)下作為第二行，第二行相鄰兩項(xiàng)的和依次寫(xiě)下作為第三行，(1)忌爲(wèi)且13丿n3?.求0人及OBn的坐標(biāo);(2)(3)解：（1）依此類推，共寫(xiě)出 2008 行.0, 1 , 2, 3，2005, 2006, 2007, 20081, 3, 5,，

53、4011, 4013 , 40154, 8,，8024, 8028（1）由等差數(shù)列性質(zhì)知，以上數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列。記各行的公差組成數(shù)列di（i =1,2,3,11（,2008）求通項(xiàng)公式di；（2） 各行的第一個(gè)數(shù)組成數(shù)列g(shù)（i =1,2,3，川,2008），求數(shù)列b所有各項(xiàng)的和。（1）di 1 =a（i1）（,k1）- a（i.1）k =ai（*1）ai（*.2）- ai k- ai（* .1）= a（,k .2）-ai= 2di,di 1i 1=2，則di是等比數(shù)列，di= d12 - = 2 -6di(2)bi廠ai1+ai2=ai1+ai1+4匚=241+2廠=26+22，二電占

54、+.224數(shù)列)是等差數(shù)列，牛=丄(i1)，所以 b =丄(i1)2 =(i1)2 口122244數(shù)列bi所有各項(xiàng)的和 SS=0+1+2X2+3X22+2007X22006用錯(cuò)位相減法，得到 S=1003X22008- 11694、(江蘇省鹽城市 2008 屆高三六校聯(lián)考)已知f (x) = (x-1)2, g(x) =10( x-1)，數(shù)列an滿足對(duì)任意 n N*有 /工 1 且a1=2,(anan)g(anT f(an0(1) 求證：an- 1是等比數(shù)列；9(2) 若bn(n 2)(an-1)，當(dāng) n 取何值時(shí)，bn取最大值，并求出最大值。10解：(1)T(an 1-an)g(an)f(a

55、n) =0-(an1-an)L10(an-1) (an-1)0 .3 分由an1 知EL 1 工 0 10an+1 10an+an 1=0- -10(an+1 1)=9(an 1)an 1 T _9an-1109 an 1是以a1 1=1 為首項(xiàng)公比為的等比數(shù)列 .7 分10Xn1 由知：an-仁(2 嚴(yán)=52)(-9-)n1bn1=2(110 n 2bn1)，當(dāng)b8n=7時(shí)，一=1, b7=b8b7K當(dāng) n7 時(shí),bn12 分當(dāng) n=7 或 8 時(shí)，bn取最大值為b7=b8=1014 分95、(江蘇省鹽城市 2008 屆高三六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(X)二a二是定義在R上的奇函X +c數(shù)，且當(dāng)X

56、=1 時(shí)f(X)取最大值 1.(1) 求出(2) 若X1a,b,c的值并寫(xiě)出f(x)的解析式； (0 , 1) ,Xn+1=f(Xn)，試比較Xn+1與Xn的大小并加以證明;J,Xnf(Xn)，求證2X1X2X2X3XA15.16f (x)二學(xué)匕的定義域?yàn)?R,.c0X2+c又f(x)為奇函數(shù)，ax b -ax b小 0 x2c解：f( -x)+f(x)=0二f (x)X2caxX2c，又 a=2,b=0,c=1,b=0c +1f(1)=1 ,a=1+c0，當(dāng)x0 時(shí)，f (x)=.c xX2xf(X)52Xxn，:X1 (0 , 1),Xn+1 Xn+10(n N*)又Xn 1 =f(Xn)

57、 -1 且 Xn 1=1，則 Xn=1 從而 X12人X13、-XnXnXn(1-Xn)(1 Xn)X21. Xn+1Xn。9 分Xn1109ii/9nAbn(n 2)L(茯)n1010 0Xk1,15 分xk 1 -xk -XkXk 1Xk 1 -Xk(Xk -1XkXk 1Xk1-Xk)8 XkXy11 分(X1 -x2)X.jX2(_X2- X3)(Xn 1 -xnXnXn 1X2X31 1 1 1)+( -)+111 +(-)X1X2X2X3XnXn 1(丄一.21 11丁(乙)1x2,xn1 xn2(兀兀丿2 k1XkXk 181:Xn 1: 1, 1：Xn +2(2 -1) 0,且

58、 aH1),設(shè) y3=18, y6=12,iog；n(1 )證明數(shù)列yn是等差數(shù)列并求前多少項(xiàng)和最大，最大值是多少?(2)試判斷是否存在自然數(shù) M 使得當(dāng) nM 時(shí)，Xn1 恒成立，若存在，求出相應(yīng)的M;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由10當(dāng)n=1 時(shí)，左邊=a1|，右邊=212112，命題成立.320假設(shè)n=kak2k；2k1；n=k+1時(shí)，ak 12k2k2k1 12 +1n=k+1 時(shí)，命題成立.f (aQ 二2akak12k 1T1當(dāng)由 10,- 8 分2n.2n1.= 2n,(n N*),亠=2,(n N*) bn公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn=2n.1 1占1),20可得，當(dāng)n N*時(shí)，

59、有ananT bnd1-an %是首項(xiàng)為2,2解法二： a2,3anf(an0 3n.111 1即丄一 1二丄(丄an 12 an即 bn 1 =2bn(n N )bn 12bn則數(shù)列 bn :是以 b1二 2 為首項(xiàng) 2 為公比的等比數(shù)列(川)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nn:：1+ - 1 + 1 2 +2Cn cn12n亠 1 2n 1-1 2n2n 1亠 2n 1-2n-12n21 1即Cn Cn歹盯-1)，12 分10 分,bn=2n,(n N )2n-2n1n n 110 分14 分283Xn十解:( 1)yn=2logaXn,yn+1=2logaXn+1yn+1 yn=2logaXn+1-lo

60、gaXn=2l0ga-Xnxxn為等比數(shù)，叮為定值,Xn又因?yàn)?y6y3=3d= 6d= 2S=22n+n(n一1)(_2)= n2+23n2故當(dāng) n=11 或 n=12 時(shí)，Sn取得最大值 132。/ 、12 n(2) yn=22+(n 1)( 2)=2logaXnxn=a 1當(dāng) a1 時(shí)，12 n0, n12 當(dāng) 0a12,所以當(dāng) 0aM 時(shí)，Xn1 恒成立。98、(山東省濟(jì)南市 2008 年 2 月高三統(tǒng)考)在數(shù)列an中，1(2)若an對(duì)任意n 2的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；an*(3)設(shè)數(shù)列bnan,bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：Tn一(-. 3n 1 -1).31 1解：(1)將3anan4- aan4=0(n_2)整理得