數(shù)學機械化方法在平面七桿機構(gòu)畢業(yè)設計論文 79頁

1、畢 業(yè) 設 計 (論 文)專專 業(yè)業(yè) 機械設計制造及其自動化機械設計制造及其自動化 班班 級級 0606 機械機械44班班 學生姓名學生姓名 學學 號號 課課 題題 數(shù)學機械化方法在平面七桿機構(gòu)數(shù)學機械化方法在平面七桿機構(gòu) 位置分析中的應用位置分析中的應用 指導教師指導教師 20102010 年年 6 6 月月 1010 日日數(shù)學機械化方法在平面七桿機構(gòu)位置分析中的應用數(shù)學機械化方法在平面七桿機構(gòu)位置分析中的應用摘摘 要要關于平面機構(gòu)的位置分析問題，過去已經(jīng)提出了很多有效的方法，但無論采用哪一種方法，得到的均為一組非線性方程組，其求解方法可以采用迭代法求數(shù)值解或解析法求封閉形式的解析解。傳統(tǒng)的

2、數(shù)值迭代法如牛頓-雷扶生法，需要給出好的初始值才能保證非線性方程組的收斂，同倫連續(xù)法可以克服上述缺點，并能獲得全部解，但仍需要較多的計算時間，并且不能確定參數(shù)對機構(gòu)位移分析的影響。本文基于數(shù)學機械化方法和計算機符號處理技術，對平面七桿機構(gòu)位置分析問題進行了符號求解，該法通過對變量的排序、多項式分組、約化、構(gòu)成基列、求余等運算，將一組非線性多項式方程化簡為一個同價的三角化方程組，導出了單變量的 8 次代數(shù)方程，得到了封閉形式的解析解，并給出一組數(shù)字實例來驗證這種方法的有效性。關鍵詞：平面七桿機構(gòu)；位置分析；數(shù)學機械化方法；計算機符號處理技術AbstractPosition analysis of

3、 planar mechanism problems have been proposed many effective methods, but no matter which method used, are of both a set of nonlinear equations, the iterative solving method can be used in numerical solution method or analytical method closed form analytical solution. Traditional numerical iterative

4、 method such as Newton - Rotary Method requires a good initial value is given to guarantee the convergence of nonlinear equations, homotopy continuation method can overcome these shortcomings and obtain all solutions, but still need more computing time, and can not determine the parameters on the an

5、alysis of displacement. This mechanical method based on mathematical and computer symbolic processing technology, on the planar seven-bar linkage position analysis of the symbols to solve problems, the act on the variable ordering, polynomial division, reduction, composition gilead, seeking more tha

6、n other operations, make a set of nonlinear polynomial equations simplified to a triangle with the price of equations, derived the eight single variable algebraic equation, make the closed form analytical solution, and gives a numerical example to verify this method.Key words : seven-bar linkage Mec

7、hanism； Displacement analysis； Wu Elimination Method； computer symbolic processing technology目目 錄錄摘摘 要要.1ABSTRACT.2第 1 章 引言.4課題背景.4本論文的主要內(nèi)容.4第 2 章 根底知識簡介.6機構(gòu)位置分析.6數(shù)學機械化方法.7多項式的根本術語.7吳方法簡介.82.3 MATLAB 知識簡介.112.3.1 MATLAB 概況.112.3.2 MATLAB 的優(yōu)勢和特點.122.3.3 MATLAB 的符號計算.13第 3 章 數(shù)學機械化方法在平面七桿機構(gòu)位置分析中的應用.17約

8、束方程組的建立.17應用數(shù)學機械化方法化簡方程，求符號解.21數(shù)字實例.27第 4 章 結(jié)論.30參考文獻.31致 謝.33附錄一 畢業(yè)設計任務書.34附錄二 應用 MATLAB 程序消元變元 X2 .37附錄三 英文科技文獻原文.43附錄四 英文科技文獻翻譯.63數(shù)學機械化方法在平面七桿機構(gòu)位置分析中的應用數(shù)學機械化方法在平面七桿機構(gòu)位置分析中的應用第 1 章 引言關于平面機構(gòu)的位置分析問題，過去已提出了很多有效的方法，但無論采用哪一種方法，得到的均為一組非線性方程組，其求解方法可以采用迭代法求數(shù)值解或解析法求封閉形式的解析解。傳統(tǒng)的數(shù)值迭代法如牛頓-雷扶生法，需要給出好的初始值才能保證非線

9、性方程組的收斂，最近出現(xiàn)的同倫連續(xù)法可以克服上述缺點，并能獲得全部解，但仍需要較多的計算時間，并且不能確定參數(shù)對機構(gòu)位移分析的影響。針對上述問題，本課題提出了采用數(shù)學機械化方法和計算機符號處理技術，對平面七桿機構(gòu)位置分析問題進行了符號求解，該法通過對變量的排序、多項式分組、約化、構(gòu)成基列、求余等運算，將一組非線性多項式方程化簡為一個同價的三角化方程組，導出了單變量的 8 次代數(shù)方程，從而可得到了平面七桿機構(gòu)封閉形式的解析解, 應用這種方法, 可以容易且方便地求得所有的解，并給出一個數(shù)字實例來說明這種方法。對于平面七桿機構(gòu)位置的分析，可以用一個基于消元過程的數(shù)字符號處理方法來解決其位置分析的應用

10、。先對平面七桿機構(gòu)進行位置分析，根據(jù)轉(zhuǎn)向條件，連桿參數(shù)，輸入角，進而即可得到一組非線性方程組，即為我們所求的目標方程。然后通過消元法來進行消元，得到一個只含有一個未知量的多項式方程，進而得到的即為問題的所有解。然而當模型的多元方程組消元到只剩有限個變量的時候，方程組的次數(shù)往往很高，通過繼續(xù)消元求解起來十分困難，這種情況在其項數(shù)很多的情況下更為顯著，且其解多為虛根或不在實際應用范圍內(nèi)，為此，本文提出了一種數(shù)學機械化方法，應用于解此類多項式方程組的全部解，也可應用于一般情況下方程組的求解。設計第一章為引言局部，主要介紹了課題的背景和主要內(nèi)容；第二章為根底知識簡介局部，在此章節(jié)中分別對機構(gòu)位置分析，

11、數(shù)學機械化方法，以及MATLAB 符號計算等問題進行了分析和闡述。第三章為數(shù)學機械化方法在平面七桿機構(gòu)位置分析中的應用問題的研究局部，基于數(shù)學機械化方法和計算機符號處理技術，提出了平面七桿機構(gòu)位置分析的符號解法，通過建立約束方程組，應用數(shù)學機械化方法化簡方程，求符號解，并在最后給出了數(shù)字實例來予以驗證。第四章為結(jié)論，通過研究說明，數(shù)學機械化方法在求解非線性方程組時是十分有效的。第 2 章 根底知識簡介2.1 機構(gòu)位置分析機構(gòu)的位置分析包括位置正解分析和位置反解分析。位置分析的約束方程通常為一組非線性方程，其求解方法有優(yōu)化方法與迭代法、區(qū)間分析法、連續(xù)法和消元法等。優(yōu)化方法和迭代法的優(yōu)點是編程容

12、易，已經(jīng)有很多比擬成熟的軟件，缺點是要有好的初始值才能保證收斂，且難于獲得全部解。區(qū)間分析法能在較大范圍內(nèi)收斂。可判斷在給定的區(qū)域內(nèi)有無解，假設有，有幾組解？并可以求出該區(qū)域內(nèi)的所有解。缺點是迭代計算量大，并要求 f(x)在區(qū)間向量 X 上具有包含單調(diào)性的區(qū)間擴張 F(X)。同倫連續(xù)法是近幾年開展起來的用于求解非線性方程組問題的一種有效的方法。其特點是不需要選取好的初值就能保證收斂，且能獲得全部解。缺點是需要花費較多的計算機機時。上述幾種求解非線性方程組的方法均為數(shù)值解法，雖然各有其優(yōu)點，但是求解速度均較慢，且不能獲得封閉形式的解析解。與上述幾種方法不同，消元法那么是通過選取適宜的廣義坐標建立

13、位置分析方程組，經(jīng)過適當?shù)淖儞Q將其化為多項式方程組后，再通過一定的消元步驟，得到僅含有一個變量的高次代數(shù)方程來進行求解。其特點是不需要選取初值就可以獲得全部解，且求解速度快，能獲得封閉形式的解析解。缺點是方程組維數(shù)較高、未知變量冪次較高時，消元過程繁鎖，有時甚至進行不下去。常用的消元方法有結(jié)式消元法、數(shù)學機械化方法和 Groebner 基法等。結(jié)式消元法是用于求解多項式方程組所有解的方法，通過一定的結(jié)式消元步驟設法獲得一元輸入輸出方程后，回代求解其余未知變量，從而獲得原方程組的所有解。其缺乏之處在于消元時技巧性較強和高階結(jié)式的展開較困難，從而影響了它在機器人結(jié)構(gòu)問題中的應用。Groebner

14、基法又稱 Buchberger 算法首先由 B. Buchberger 于 1965 年在他的博士論文中提出了有關 Groebner-bases(又稱標準基)的理論和方法，后來經(jīng)過等和他本人的進一步完善，使該方法成為用于求解非線性多項式方程組的全部解的有效方法，Groebner 基法的根本思想是在原非線性多項式系統(tǒng)所構(gòu)成的多項式環(huán)內(nèi)，通過對變量多項式的適當排序，求多項式的 s-多項式并進行約簡和消元，最后生成一個與原系統(tǒng)完全等價的且便于直接求解的三角化的標準基，從而防止了數(shù)值迭代解法的種種問題。Groebner 基法的主要缺乏是變量排序困難，有些排序甚至求不出標準基。另外在約簡過程中多項式的個

15、數(shù)會迅速增加，有時也會導致求不出標準基。數(shù)學機械化方法也是一種用于求解多項式方程組全部解的方法。它是由我國吳文俊教授創(chuàng)立的。該方法通過對變量的排序、多項式分組、約化、構(gòu)成基列、求余等運算，將一個非線性多項式方程組化簡為一個等價的三角化方程組，從而得到原方程組的封閉解。它除了具有結(jié)式消元法的優(yōu)點外，還有一個突出的特點，就是它的消元結(jié)果既不增根，也不減根。其主要缺乏是消元過程中多項式的個數(shù)會迅速膨脹，有時會導致消元運算中途夭折。由于機器人機構(gòu)中的非線性方程組大多數(shù)較復雜，從而影響了該法在機器人機構(gòu)領域中的應用和開展。由于上述幾種消元法均具有直接求解的特點，它們都可以對系數(shù)為符號的非線性方程組進行符

16、號法求解，這就為求解機器人機構(gòu)位置分析問題的封閉形式的解析解提供了可能。數(shù)學機械化方法 我國著名數(shù)學家吳文俊院士提出了多元多項式消元理論與方法，即吳文俊消元法吳方法 ，又稱數(shù)學機械化方法。這種方法可以準確判定一個非線性方程組有無解答，有否無窮多解。吳方法是一機械化算法，易于在計算機上實現(xiàn)。迄今為止，吳方法已在定理機器證明、數(shù)理科學、系統(tǒng)科學、理論物理、計算機科學等根底科學領域獲得成功應用。2.多項式的根本術語有限個單項式之和為多項式，設有多項式方程組，其表達式為，ipux0；為 r 個變元，為 n 個變元。T123uu ,u ,uur, . . . ,T123nxx ,x ,xx, . . .

17、 ,n 個多項式的集合可寫為：ipux0；123nPSpuxpuxpux .pux0；，；，；，；簡記為PS0假設多項式經(jīng)過某種消元后得到一個三角形型方程組，該三角形PS0方程簡記為: TS0假設多項式的解都是的解，和分別表PS0TS0Zero PSZero TS示方程組和的解集，也稱原方程組的類解析PS0TS0TS0PS0解。一個多項式中，實際變元出現(xiàn)的最大下標 m 稱為該多項式的秩， p x p x也稱為多項式的類，記作：。對于非零常數(shù)多項式， cls pm p xc0定義。多項式的類也成為多項式的秩。設多項式和是兩個 cls p0 p x g x非零多項式，較有較低的秩，記作：或。一個多

18、項 p x g x cls p cls gpg式中，變元的最高冪指數(shù)稱該多項式關于變元的度，記作： p xixid。iideg pxd，簡稱為多項式的度，即有關系式如下所示： cls pmmmdeg pxd，md p x。 mmdegdeg pxdp ，2.吳方法簡介.1 多項式的約化設有多項式和是兩個非零多項式，假設有，假設有 p x g x 0cls pi 關系如，那么稱為的約化多項式。 deg,deg pig x g x p x.2 初式設為一個非零多項式，那么多項式 f x 0cls fi deg0fm可表示為： f x 1210121.mmmiiimimf xf xf xf xfxf

19、式中，稱多項式為1231,.,0,1,2,.,jjiffx x xxjm001231,.,iffx x xx多項式的初式。顯然，是的約化多項式。 f x0ff.3 特征組設多項式組，假設 123,.,nPSpxpxpxpxmxRmn滿足以下關系： 1230.ncls pcls pcls pcls p那么稱為半特征組。假設對任意的，是PS1,2,3,.,1ij jn ipx的約化多項式，那么稱為一特征組。 jpxPS當時，假設多項式，mn 123,.,nPSpxpxpxpxmxR是一半特征組或特征組，那么該多項式組必是三角形多項式組。PS.4 偽除法偽除法是多項式間的求余運算，是吳方法中的根本運

20、算。設多項式和兩個非零多項式， f x g x 0cls fi deg0fm假設的初式為：，而是的未約化多項式， f x001231,.,iffx x xx g x f x即有：deg,ig xkm那么可表示為： g x 1210121.kkkiiikikg xg xg xg xgxg式中，且，是1231,.,0,1,2,., ,jjinggx x xxxjk ni00g 0g關于變元的初式。假設可用表示為，用求偽除法 g xix g x f x0sf gqfr求除的余式的約化過程如下： f x g x1000k mirf gg xf120 1100dmirf rr xf 1011,00jdm

21、jjjirr xf rrxf式中，是關于的初式，deg,llidr x0lrlrix1,2,3,.,1lj每作一次偽除法，余式中關于的度數(shù)至少降低 1 次。因此，最多作ix次偽除，就可以得到除的余式。1km f x g x r x.5 整序求給定多項式方程組：，且有，此多項式的解為 123,.,0nPSpxpxpxpxnxR的過程為整 112123123n12nTStxtxxtxxx.txx .x0，序。以下介紹整序的步驟：.5.1 基組BS的選取根據(jù)秩的大小，從多項式組中選取到 123,.,nPSpxpxpxpx的子多項式組稱為的一個基組。 BSPSPS步驟 1：令，在的其余 n 個多項式中

22、，選取一個秩最低 1PSPS1PS的多項式，設其為，除之外，在的其余個多 11bbx1bBS1b1PSn1項式中，找出所有與約化多項式。1b其集合為。假設， 2123r2222,.,nPSpxpxpxpx2PS 即，為所求基組。2r0 1bxPS 步驟 2：在的個多項式中，從中選取一個秩最低的多項式，其設為2PS2r，除外，在的其余個多項式中，找出所有與 22b =bx2bBS2b2PS2r1約化多項式。2b其集合為。假設， 3123r3333,.,nPSpxpxpxpx3PS 即，為所求基組，經(jīng)過有限步選取，可從中選3r0 12BSbxbx，PS出一個基組。BS.5.2 多項式對基組的余式設

23、是非零多項式，為一基組，假 g x 12iBSbxbxbx，. . . ，設為用偽除法求得的除的余式，為除的余式， 為除的余式，srsbgs-1rs-1bsr1r1b2r那么稱為多項式對基組的余式。 1rr x g xBS.5.3 整序算法把一多項式組化為一三角形組的過程，整序算法需交替選擇基組和求BS余式。稱此算法為格式。每進行一次選基組和求余式集，稱進行一次步。BRBR.5.4 多項式方程組的零點集在求解多項式方程組的過程中，多項式的因式分解很重要。在不斷求余的過程中經(jīng)常出現(xiàn)數(shù)百項、數(shù)千項的高次多元多項式。如果可1nR x .x， R x以分解為一些低次的，項數(shù)比擬少的多項式的乘積，將給

24、12R xRxRx計算機帶來極大的便利。零點集可以分為兩個零點集Zero PSR，和之并。所以此時，我們只是需要分別求解出多1Zero PSR，2Zero PSR，項式方程組：和即可獲得方程組的全部解。1PS=0R0，2PS=0R0，PS=0在許多實例的計算過程中，這一簡單的事實發(fā)揮了關鍵的作用。為了保證零點分解定理的精確性，目前多項式組特征列的計算采用符號計算。符號計算，即計算機代數(shù)，是伴隨著電子計算機的飛速開展而形成的一個新興的數(shù)學領域。它為科學工作者提供了計算機科學中的數(shù)學根底。尤其是以它為根底，編制了不同的數(shù)學軟件系統(tǒng)，為科學工作者在計算機上進行數(shù)學演算、推導、證明，提供了有力的工具。

25、繼承和開展了中國古代數(shù)學的傳統(tǒng)即算法化思想 ，轉(zhuǎn)而研究幾何定理的機器證明，徹底改變了這個領域的面貌，是國際自動推理界先驅(qū)性的工作，被稱為“吳方法，產(chǎn)生了巨大影響。 MATLAB 知識簡介 MATLAB 概況MATLAB 是矩陣實驗室Matrix Laboratory之意。除具備卓越的數(shù)值計算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。 MATLAB 的根本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式與數(shù)學，工程中常用的形式十分相似，故用 MATLAB 來解算問題要比用 C，F(xiàn)ortran 等語言完相同的事情簡捷得多。在新的版本中也參加了對 C，F(xiàn)ortran， C+ ，用

26、戶也可以將自己編寫的實用程序?qū)氲?MATLAB 函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的 MATLAB 愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶可以直接進行下載就可以用，非常的方便。 MATLAB 的根底是矩陣計算，但是由于他的開放性，并且 mathwork 也吸收了像 maple 等軟件的優(yōu)點，使 MATLAB 成為一個強大的數(shù)學軟件(Toolbox)。工具包又可以分為功能性工具包和學科工具包、功能工具包用來擴充 MATLAB的符號計算，可視化建模仿真，文字處理及實時控制等功能。學科工具包是專業(yè)性比擬強的工具包,控制工具包,信號處理工具包，通信工具包等都屬于此類。 ，所有 MATLAB 主包文件和各

27、種工具包都是可讀可修改的文件，用戶通過對源程序的修改或參加自己編寫程序構(gòu)造新的專用工具包。 MATLAB 的優(yōu)勢和特點1友好的工作平臺和編程環(huán)境 隨著 MATLAB 的商業(yè)化以及軟件本身的不斷升級，MATLAB 的用戶界面也越來越精致，更加接近 Windows 的標準界面，人機交互性更強，操作更簡單。而且新版本的 MATLAB 提供了完整的聯(lián)機查詢、幫助系統(tǒng)，極大的方便了用戶的使用。簡單的編程環(huán)境提供了比擬完備的調(diào)試系統(tǒng)，程序不必經(jīng)過編譯就可以直接運行，而且能夠及時地報告出現(xiàn)的錯誤及進行出錯原因分析。 2簡單易用的程序語言 Matlab 一個高級的距陣/陣列語言，新版本的 MATLAB 語言是

28、基于最為流行的 C語言根底上的，因此語法特征與 C語言極為相似，而且更加簡單，更加符合科技人員對數(shù)學表達式的書寫格式。使之更利于非計算機專業(yè)的科技人員使用。而且這種語言可移植性好、可拓展性極強，這也是 MATLAB能夠深入到科學研究及工程計算各個領域的重要原因。 3強大的科學計算機數(shù)據(jù)處理能力Matlab 是一個包含大量計算算法的集合。其擁有 600 多個工程中要用到的數(shù)學運算函數(shù)，可以方便的實現(xiàn)用戶所需的各種計算功能。函數(shù)中所使用的算法都是科研和工程計算中的最新研究成果，而前經(jīng)過了各種優(yōu)化和容錯處理。在計算要求相同的情況下，使用 MATLAB 的編程工作量會大大減少。4出色的圖形處理功能MA

29、TLAB 自產(chǎn)生之日起就具有方便的數(shù)據(jù)可視化功能，以將向量和距陣用圖形表現(xiàn)出來，并且可以對圖形進行標注和打印。高層次的作圖包括二維和三維的可視化、圖象處理、動畫和表達式作圖?？捎糜诳茖W計算和工程繪圖。新版本的 MATLAB 對整個圖形處理功能作了很大的改良和完善，使他不僅在一般數(shù)據(jù)可視化軟件都具有的功能例如二維曲線和三維曲面的繪制和處理等方面更加完善，而且對于一些其他軟件所沒有的功能例如圖形的光照處理、色度處理以及四維數(shù)據(jù)的表現(xiàn)等，MATLAB 同樣表現(xiàn)了出色的處理能力。5應用廣泛的模塊集合工具箱 MATLAB 對許多專門的領域都開發(fā)了功能強大的模塊集和工具箱。目前，MATLAB 已經(jīng)把工具箱

30、延伸到了科學研究和工程應用的諸多領域。6實用的程序接口和發(fā)布平臺新版本的 MATLAB 可以利用 MATLAB 編譯器和 C/C+數(shù)學庫和圖形庫，將自己的 MATLAB 程序自動轉(zhuǎn)換為獨立于 MATLAB 運行的 C 和 C+代碼。允許用戶編寫可以和 MATLAB 進行交互的 C 或 C語言程序。MATLAB 的一個重要特色就是他有一套程序擴展系統(tǒng)和一組稱之為工具箱的特殊應用子程序。7應用軟件開發(fā)包括用戶界面在開發(fā)環(huán)境中，使用戶更方便地控制多個文件和圖形窗口；在編程方面支持了函數(shù)嵌套，有條件中斷等；在圖形化方面，有了更強大的圖形標注和處理功能，包括對性對起連接注釋等；在輸入輸出方面，可以直接向

31、 Excel 和HDF5。.3 MATLAB 的符號計算MATLAB 數(shù)值運算的操作對象是數(shù)值，而 MATLAB 符號運算的操作運算的操作對象那么是非數(shù)值的符號對象。通過 MATLAB 的符號運算功能，可以求解科學計算中符號數(shù)學問題的符號解析表達精確解，這在自然科學與工程計算的理論分析中有著極其重要的作用與實用價值。2.3.3.1 符號對象的創(chuàng)立與使用符號對象symbolic object是 Symbolic Math Toolbox 定義的一種新的數(shù)據(jù)類型sym 類型 ，用來儲存代表非數(shù)值的字符符號。符號對象可以是符號常量、符號變量、符號函數(shù)以及各種符號表達式等。MATLAB 提供了兩個建立

32、符號對象的函數(shù)：sym 和 syms，兩個函數(shù)的用法不同。sym 函數(shù)用來建立單個符號量，一般調(diào)用格式為：sym(a)，sym(x)該函數(shù)可以建立一個符號量，符號字符串可以是常量、變量、函數(shù)或表達式。syms 函數(shù)一次可以定義多個符號變量，syms 函數(shù)的一般調(diào)用格式為：syms a x用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符串分界符()，變量間用空格而不要用逗號分隔。當符號表達式中含有多個變量時，只有一個變量是自變量。假設不指定哪個變量為自變量，在 Symbolic Math Toolbox 中，確定自變量的規(guī)那么是：1只對除 i，j 之外的單個小寫字母進行檢索；2小寫字母 x 是首選的

33、自變量；3其余小寫字母被選為自變量的次序：在英文字母表中，靠近“x“的優(yōu)先，在“x“之后的優(yōu)先。.2 符號表達式的簡化當因式分解時運用 factor(s)：對符號表達式 s 分解因式，輸入變量 s 為一符號矩陣，函數(shù)將因式分解矩陣的各個元素。符號表達式的展開運用 expand(s)：對符號表達式 s 進行展開。符號表達式的同類項合并運用 collect(s)：對符號表達式 s 的各個元素按由findsym 函數(shù)返回的變量進行同類項合并；collect(s,v)：對符號表達式 s 的各個元素按變量 v 進行同類項合并。符號表達式的化簡函數(shù)有：simple(s)：調(diào)用 MATLAB 的其他函數(shù)對表

34、達式進行綜合化簡，并顯示化簡過程。r,how=simple(s)：對符號表達式 s 嘗試不同的化簡算法，返回參數(shù) r 為表達式的簡化形式，how 為使用的化簡方法。how 其含義為：1simplify 函數(shù)對表達式進行化簡； 2radsimp 函數(shù)對含有根式的表達式進行化簡；3combine 函數(shù)對表達式中以求和、乘積。冪運算等形式出現(xiàn)的項進行合并；4collect 函數(shù)實現(xiàn)合并同類項；5factor 函數(shù)實現(xiàn)因式分解；6convert 函數(shù)完成表達式形式的轉(zhuǎn)換。N,D=number(A)：把 A 的各元素轉(zhuǎn)換為分子和分母都是整系數(shù)的最正確多項式型。當需要符號變量替換時，能夠運用 subs(s

35、,old,new)：將符號表達式 s 中的 old變量替換為 new 變量；subs(s, new)：功能是將符號表達式 s 中的自變量替換為new 變量。當符號與數(shù)值之間進行轉(zhuǎn)換時，digits(n)含義為函數(shù)設置有效數(shù)字個數(shù)為 n的近似解精度；vpa(s) 含義為符號表達式 s 在由 digits 函數(shù)設置的精度下的數(shù)值解；vpa(s,n) 是指符號表達式 s 在 digits(n)精度下的數(shù)值解；n=numeric(s)指將不含自由變量的符號表達式轉(zhuǎn)換為數(shù)值形式，其效果與 n=double(sym(s)相同。.3 符號函數(shù)的運算Matlab 能夠求解符號矩陣 A 與 B 的和，差，乘積，

36、右除。運用函數(shù)還能夠求解 A 的冪指數(shù)。.4 符號函數(shù)的微積分運算符號函數(shù)可以求解復合函數(shù)與反函數(shù)，compose(f,g)函數(shù)是指返回當 f=f(x)和 g=g(y)時的復合函數(shù) f(g(y)，x 為 findsym 確定的 f 的自變量，y 為 findsym 確定的 f 的自變量；compose(f,g,z)使得返回的復合函數(shù)以 z 為自變量；compose(f,g,x,z)使返回的復合函數(shù) f(g(z)，且使得 x 為 f 的自變量；compose(f,g,x,y,z)使返回的復合函數(shù) f(g(z)，且使得 x 為 f 的自變量，y 為 g 的自變量。g=finverse(f)是求符號

37、函數(shù) f 的反函數(shù)，自變量為 x；g=finverse(f) 是求符號函數(shù) f 的反函數(shù)，自變量為 v。在符號代數(shù)方程的求解上，有 solve 函數(shù)來解決。當求解符號微分方程時，dsolve(eq1,eq2,)就是以微分方程及初始條件的符號方程為輸入變量，多個方程或初始條件可在一個輸入變量內(nèi)聯(lián)立輸入，且以逗號分隔。除此之外，符號極限那么是利用函數(shù) limit 來表達，符號微分由函數(shù) diff 表達，符號積分由函數(shù) int()表達，符號級數(shù)求和那么用函數(shù) symsum()表達,泰勒級數(shù)展開的問題那么用函數(shù) taylor()解決。.5 符號函數(shù)的圖形同時，MATLAB 也能夠利用函數(shù) ezplot

38、 或 fplot 來繪制二維函數(shù)，利用czpolar 來繪制極坐標函數(shù)，利用 ezplot3 繪圖三維簡易函數(shù)等。第 3 章 數(shù)學機械化方法在平面七桿機構(gòu)位置分析中的應用3.1 約束方程組的建立數(shù)字機械化方法應用在平面七桿機構(gòu)位置分析中的問題，即為運用數(shù)字機械化方法對平面七桿機構(gòu)所求的一組非線性方程組進行求解，并取得非線性方程組的全部解析解。根據(jù)下面圖 1 所示，坐標系中七桿機構(gòu)的各個桿長，輸入角，以及各點的坐標位置之間的關系，能夠求得一等式組，即一組非線性方程組。其具體的求解過程如下所述：G A FE D C HX XYy l1l2 l3l5 l4 l6l10 l8 l9 l7B圖 1 平面

39、七桿機構(gòu)如圖 1 所示，其為一平面七桿機構(gòu)，GA 和 BH 為兩個輸入構(gòu)件, 設和1分別表示兩個輸入構(gòu)件 GA 和 BH 的轉(zhuǎn)角，且 GXY 為固定坐標系，其坐標系2的 X 軸與 GH 重合，各個構(gòu)件的長度分別為 li (i= 1, 2, , 8)和固定鉸銷 G、C 及 H 點的坐標均是的。為了便于消元計算，此時我們選擇另外一個坐標系，令其坐標原點位Axy于 A 點，且 Axy 坐標系的 x 軸通過 B 點，根據(jù)位置關系，我們可以列出以下兩個約束方程： 222FAFA2222EBEB6x -xy -ylx -xy -yl1且式中有：AAAx =0 y0 z0根據(jù)坐標 D，E 和 F 三點在坐標

40、系中的位置坐標，即可得一組方程，可以表Axy示如下：DC81xxl cosDC81yyl sin ED42xxl cos2ED42yyl sinFD32xxl cos FD32yyl sin三角恒等式： 2ii2i1xcos1xii2i2xsin1x將等式組2和三角恒等式代入方程組1 ，并進行化簡，即可得到兩個代數(shù)方程：222222j1j212j213j24j215j216j27j18j19jPa x xa x xa xa x xa x xa xa xa xaj=1,2 3式中，所有系數(shù)是幾何參數(shù)和輸入轉(zhuǎn)角的函數(shù)，未知量i1,2，. . . . , 9, j =1, 2為和。1x2x通過用 m

41、atlab 計算不能得出上式結(jié)構(gòu)形式，對下面的計算會帶來不便，那么采用直接計算法，在后文中闡述計算結(jié)果。對于式，此時有：222FAFA2x -xy -yl Ax0Ay0進而等式1中的式：222FAFA2x -xy -yl即可化簡為： 222FF2xyl3 此時，令，將等式組2以及三角恒等式代入上述等式i1,2j =1，. . . . , 93 ，即可得：222C8132C81322xl cosl cosyl sinl sinl化簡上式，得：22222C81C8132222C8132C81222C8132C81322xl cos2xl cosl cos2 xl cosl cosyl sin2yl

42、 sinl sin2 yl sinl sinl進而得到：2222221112121213124121512161271181191Pa x xa x xa xa x xa x xa xa xa xa其中，有：2222211CC382C 83CC3 8axylll2x l2lx cosy sin2l l cos21C 83 8a4y l4l l sin2222231CC382C 83CC3 8axylll2x l2lx cosy sin2l l cos413CC3 8a4ly cosx sin4l l sin513 8a8l l cos613CC3 8a4ly cosx sin4l l sin2

43、222271CC382C 83CC3 8axylll2x l2lx cosy sin2l l cos81C 83 8a4y l4l l sin2222291CC382C 83CC3 8axylll2x l2lx cosy sin2l l cos將已求解的代入到多項式方程，整理即可得到： i1a1P22222221CC382C 83CC3 8212C 83 821222222CC382C 83CC3 8223CC3 8213 8213Pxylll2x l2lx cosy sin2l l cosx x4y l4l l sinx xxylll2x l2lx cosy sin2l l cosx4ly

44、cosx sin4l l sinx x8l l cosx x4lCC3 82222222CC382C 83CC3 81C 83 8122222CC382C 83CC3 8y cosx sin4l l sinxxylll2x l2lx cosy sin2l l cosx4y l4l l sinxxylll2x l2lx cosy sin2l l cos即為一多項式方程組。而對于式，且此時方程中有：222EBEB6x -xy -ylBy0得到等式1中的式即可化簡為： 222EBEB6x -xy -yl 222EBE6x -xyl4此時，令，將方程組2以及三角恒等式代入上述等式i1,2j =2，.

45、. . . , 94 ，即可求得： 222C8142BC81426xl cosl cosxyl sinl sinl化簡上式，得： 22222C81C 8142B 422222C8142BBC81222C8142C81426xl cos2x l cosl cos2x l cos2 x +l cosl cosxxyl sin2yl sinl sin2 yl sinl sinl進而得到：2222222122122213224221522162272182192Pa x xa x xa xa x xa x xa xa xa xa其中，有：22222212CC486BBCC 84CB4 8B 8axyl

46、llx2x x2x l2lxx2l l2x l22C 8a4y l22222232CC486BBCC 84BC4 8B 8axylllx2x x2x l2lxx2l l2x l42C 4a4y l524 8a8l l62C 4a4y l22222272CC486BBCC 84BC4 8B 8axylllx2x x2x l2lxx2l l2x l82C 8a4y l22222292CC486BBCC 84BC4 8B 8axylllx2x x2x l2lxx2l l2x l將已求解的代入到多項式方程，整理即可得到：i2a2P222222222CC486BBCC 84CB4 8B 8212C 82

47、12222222CC486BBCC 84BC4 8B 822C 4214 821C 42222222CC486BPxylllx2x x2x l2lxx2l l2x lx x4y lx xxylllx2x x2x l2lxx2l l2x lx4y lx x8l lx x4y lxxylllx2x2BCC 84BC4 8B 81C 81222222CC486BBCC 84BC4 8B 8x2x l2lxx2l l2x lx4y lxxylllx2x x2x l2lxx2l l2x l即為另一多項式方程組。至此，平面七桿機構(gòu)位置分析所需要的兩個約束方程已經(jīng)求解得出，如上所示。應用數(shù)學機械化方法化簡方

48、程，求符號解將上章節(jié)所求解得出的一組非線性方程組(3)，記為 PS1，即得：PS1 =12PP，再應用數(shù)學機械化方法中的分組、構(gòu)成三角化組、構(gòu)成基列、求余等運算步驟進行消元，目的是將所求的非線性多項式方程組化簡為一個等價的三角化方程組，從而得到原方程組的封閉解。由于方程組(3)均為一類，即： j = jcls P21，2故方程組 PS1 分為一組, 容易得到三角化組和基列：BS1= 1P將方程組 PS1 對基列求余，它們可表示為 j = j1j1PRRemdP1，2上述等式中，通過運用 matlab 軟件來進行消元計算消1111PRRemd0P除 x2 ，即可得出所求結(jié)果：2121PRS1=R

49、 =RemdP運用 matlab 軟件，進行對 x2 的消元計算，其具體編程如下所示：syms l2 l3 l4 l6 l8 x1 x2 xB xC yC alpha;P1=(xC2+yC2+l32+l82-l22-2*xC*l8-2*l3*(xC*cos(alpha)+yC*sin(alpha)+2*l3*l8*cos(alpha)*x22*x12+(4*yC*l8-4*l3*l8*sin(alpha)*x22*x1+(xC2+yC2+l32+l82-l22+2*xC*l8-2*l3*(xC*cos(alpha)+yC*sin(alpha)-2*l3*l8*cos(alpha)*x22+(4

50、*l3*(yC*cos(alpha)-xC*sin(alpha)-4*l3*l8*sin(alpha)*x2*x12+8*l3*l8*cos(alpha)*x2*x1+(4*l3*(yC*cos(alpha)-xC*sin(alpha)+4*l3*l8*sin(alpha)*x2+(xC2+yC2+l32+l82-l22-2*xC*l8+2*l3*(xC*cos(alpha)+yC*sin(alpha)-2*l3*l8*cos(alpha)*x12+(4*yC*l8+4*l3*l8*sin(alpha)*x1+xC2+yC2+l32+l82-l22+2*xC*l8+2*l3*(xC*cos(a

51、lpha)+yC*sin(alpha)+2*l3*l8*cos(alpha);P2=(xC2+yC2+l42+l82-l62+xB2-2*xB*xC-2*xC*l8+2*l4*(xB-xC)+2*l4*l8+2*xB*l8)*x22*x12+(4*yC*l8)*x22*x1+(xC2+yC2+l42+l82-l62+xB2-2*xB*xC+2*xC*l8+2*l4*(xB-xC)-2*l4*l8-2*xB*l8)*x22+4*yC*l4*x2*x12+8*l4*l8*x2*x1+4*yC*l4*x2+(xC2+yC2+l42+l82-l62+xB2-2*xB*xC-2*xC*l8-2*l4*(

52、xB-xC)-2*l4*l8+2*xB*l8)*x12+4*yC*l8*x1+(xC2+yC2+l42+l82-l62+xB2-2*xB*xC+2*xC*l8-2*l4*(xB-xC)+2*l4*l8-2*xB*l8);P10=(xC2+yC2+l32+l82-l22-2*xC*l8-2*l3*(xC*cos(alpha)+yC*sin(alpha)+2*l3*l8*cos(alpha)*x12+(4*yC*l8-4*l3*l8*sin(alpha)*x1+(xC2+yC2+l32+l82-l22+2*xC*l8-2*l3*(xC*cos(alpha)+yC*sin(alpha)-2*l3*l

53、8*cos(alpha);P20=(xC2+yC2+l42+l82-l62+xB2-2*xB*xC)-2*xC*l8+2*l4*(xB-xC)+2*l4*l8+2*xB*l8)*x12+(4*yC*l8)*x1+(xC2+yC2+l42+l82-l62+xB2-2*xB*xC)+2*xC*l8+2*l4*(xB-xC)-2*l4*l8-2*xB*l8;r12=P10*P2-P20*P1;R12=simplify(r12);collect(R12,x2)將上述的編程運算，運用 matlab 軟件，進行符號求解，即可得其結(jié)果，如下所示：ans = -4*l22*l4*xC+4*yC2*l4*l8+

54、12*xC2*l4*l8+4*x14*xC3*l4-4*l82*l4*xB+4*l32*l4*l8+4*l22*l4*xB-4*l32*l4*xB+12*l82*l4*xC-4*yC2*l4*xB+4*yC2*l4*xC+4*l32*l4*xC-4*xC2*l4*xB-4*x14*l83*l4-4*l22*l4*l8+12*x14*l3*xC2*cos(alpha)*l8-4*x14*l3*xC*cos(alpha)*xB2-4*x14*l3*yC*sin(alpha)*l42+8*l3*yC*sin(alpha)*xB*l8-4*x14*l3*xC*cos(alpha)*yC2+(8*x12

55、*yC3*l4+4*l32*yC*l4+4*x14*yC3*l4+4*l82*yC*l4+4*xC2*yC*l4+4*l62*l3*yC*cos(alpha)-4*l62*l3*xC*sin(alpha)+8*xB*l82*l3*sin(alpha)+8*l4*l82*l3*sin(alpha)+8*x14*l4*xB*l3*xC*sin(alpha)+16*x13*xB*xC*l3*l8*cos(alpha)+8*x13*l62*l3*l8*cos(alpha)-16*x13*xB*l82*l3*cos(alpha)-4*x14*l42*l3*yC*cos(alpha)+4*xB2*l3*x

56、C*sin(alpha)-4*x14*xC*l82*l3*sin(alpha)-4*yC2*l3*l8*sin(alpha)-16*xC*l82*l3*cos(alpha)*x1-4*xB2*l3*l8*sin(alpha)-4*x14*l62*l3*l8*sin(alpha)-16*yC*l82*x1*l3*sin(alpha)+4*yC3*l4-8*l4*xB*l3*yC*cos(alpha)+4*l42*l3*xC*sin(alpha)+16*yC*l82*x13*l3*sin(alpha)-4*l22*yC*l4-8*x14*l4*xC2*l3*sin(alpha)-4*l42*l3*

57、yC*cos(alpha)+8*yC2*x12*l3*xC*sin(alpha)-24*yC2*l8*x13*l3*cos(alpha)+8*l62*l3*l8*cos(alpha)*x1+8*xB*xC*l3*yC*cos(alpha)+4*x14*xC3*l3*sin(alpha)+4*x14*l42*l3*xC*sin(alpha)+8*l83*l4*x1+8*x14*xB*l82*l3*sin(alpha)+4*l62*l3*l8*sin(alpha)+4*x14*l42*l3*l8*sin(alpha)-8*l4*xB*l3*l8*sin(alpha)-4*x14*xC2*l3*yC

58、*cos(alpha)+16*l4*xB*x12*l3*xC*sin(alpha)-16*l4*xB*x12*l3*yC*cos(alpha)-8*x14*xB*xC2*l3*sin(alpha)-8*l42*x12*l3*yC*cos(alpha)-8*l42*l3*l8*cos(alpha)*x1+8*x13*l83*l4-8*xB2*l3*l8*cos(alpha)*x1+4*xC3*l3*sin(alpha)-4*yC3*l3*cos(alpha)-4*l83*l3*sin(alpha)+8*x12*xC2*yC*l4+4*x14*xC2*yC*l4+8*x13*xC2*l4*l8+2

59、4*x13*yC2*l4*l8+8*x12*l32*yC*l4+4*x14*l32*yC*l4+8*x13*l32*l4*l8+40*x12*l82*yC*l4+4*x14*l82*yC*l4-8*x12*l22*yC*l4-4*x14*l22*yC*l4-8*x13*l22*l4*l8-16*x13*xC*l82*l4+24*yC2*l8*x1*l4+8*xC2*l4*l8*x1+8*l32*l4*l8*x1-8*l22*l4*l8*x1+8*xC*l8*yC*l4+16*xC*l82*l4*x1-4*l42*l3*l8*sin(alpha)-8*l4*xC2*l3*sin(alpha)-8

60、*x13*l83*l3*cos(alpha)-4*l82*l3*yC*cos(alpha)+4*xC2*l8*l3*sin(alpha)-8*xB*xC2*l3*sin(alpha)+4*x14*l83*l3*sin(alpha)+4*yC2*l3*xC*sin(alpha)-4*xB2*l3*yC*cos(alpha)+8*xC3*x12*l3*sin(alpha)-8*l83*l3*cos(alpha)*x1-8*l3*yC2*sin(alpha)*l4-8*yC3*x12*l3*cos(alpha)-4*xC*l82*l3*sin(alpha)-4*xC2*l3*yC*cos(alpha