高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)經(jīng)典例題及詳解

1、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)專題復(fù)習(xí)考試要求三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù)。本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生在用銳角三角函數(shù)刻畫直角三角形中邊角關(guān)系的基礎(chǔ)上，借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性（對稱性）、單調(diào)性和最大（小）值等性質(zhì)；探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系；利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題。內(nèi)容包括：角與弧度、三角函數(shù)概念和性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角恒等變換、三角函數(shù)應(yīng)用。（1） 角與弧度了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性。（2） 三角函數(shù)概念和性質(zhì)借助單位圓理解任意角

2、三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，能畫出這些三角函數(shù)的圖象，了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（?。┲?。借助單位圓的對稱性，利用p定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（ 2 ， 的正弦、余弦、正切）。第21頁共21頁借助圖象理解正弦函數(shù)在、余弦函數(shù)0,2 p 上、正切函數(shù)在(-pp,) 上的性質(zhì)。22結(jié)合具體實(shí)例，了解 y = A sin(wx +j) 的實(shí)際意義；能借助圖象理解參數(shù)，A的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響。（3） 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2（4） 三角恒等變換x + cos2x = 1,sin x cos x= tan x 。經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程，

3、知道兩角差余弦公式的意義。能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶）。（5） 三角函數(shù)應(yīng)用會用三角函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題，體會可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型經(jīng)典題 型一、求值化簡型這類問題常常用到的公式包括三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和差倍公式、降冪公式、輔助角公式1、公式運(yùn)用【例】（ 1 ） 已知 tan =3, 求：2 sin 2 a +cos 2 a 的值。134（ 2 ） 已 知 tan +s

4、in =m, tan -sin =n ( a kp , k Z ) , 2求證： cosa =m - n.m + n2 sin 21a = - 1 (1 - 2sin 2 a) + 1 + 1 (2 cos2 a -1) + 1 = - 1 cos 2a + 1 cos 2a + 113433883824a +cos2（1）解： 2 sin 2 a + 1 cos2 a = - 1 (1 - 2sin 2 a) + 1 + 1 (2 cos2 a -1) + 1 = - 1 cos 2a + 1 cos 2a + 11 3433883824sin 2a) + 1 + 1 (2 cos 2a -

5、1) + 1 = - 1 cos 2a + 1 cos 2a + 11= - 5 cos2 a - sin 2 a + 11 =- 5 1co-st2aan 2-asi+n 21a1=+ 511 =388382424 cos2 a + sin 2 a2424 1co+st2aan 2+asin 22a4824（2）證明：兩式相加，得tana = m + n = sina2cosa兩式相減，得sina =m - n2所 以 cosa =【舉一反三】p2sina = m - n m + nm + np1pp【練】已知sin(4+ 2a) sin(4- 2a) =,a (,), 求2 sin 2 a

6、 + tana - cota - 1 的值.442解：由sin(p + 2a) sin(p - 2a) = sin(p + 2a) cos(p+ 2a)44441p=sin(+ 4a) =1 cos 4a = 1 ,2224得cos 4a =1 .又a (p , p ), 所以a = 5p .24212sin 2 a - cos2 a- 2 cos 2a于是2sin 2 a + tana - cota -1 = -cos 2a +sina cosa= -cos 2a +sin 2a3= -(cos 2a + 2 cot 2a) = -(cos 5p + 2 cot 5p ) = -(- 23)

7、 = 53.6622【練】如圖，在直角坐標(biāo)系 xOy 中，角a 的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，始邊與 x 軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn) A ，且a ( p , p) 將角a 的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)p ，交單位圓于點(diǎn)B 記623A(x , y11), B(x , y ) 22（）若 x1= 1 ，求 x；32（）分別過 A, B 作 x 軸的垂線，垂足依次為C, D 記 AOC的面積為 S1， BOD 的面積為 S2若 S1= 2S2，求角a 的值（）解：由三角函數(shù)定義，得 x1= cosa ， x2= cos(a + p) 3a (p p因?yàn)?) ， 62cosa = 1 ，31- cos2 a22所 以

8、sina =3所以x= cos(a + p) =1 cosa -sina =31- 2623226（）解：依題意得y1= sina ， y2= sin(a + p)3所 以 S= 1 x y= 1 cosa sina =1 sin 2a ，12 1 124S= 1 | x | y222= 1 -cos(a + p)sin(a + p) = - 1 sin(2a + 2p) 223343依題意得 sin 2a = -2sin(2a + 2p)，3整理得 cos2a = 0 因?yàn)閜 a p， 所 以p 2a 0 ）的最小正周期為 2 （）求w 的值；2 （）求函數(shù) f (x) 在區(qū)間0， 上的取值

9、范圍3 33解：（） f (x) = 1- cos 2wx +sin 2wx =sin 2wx - 1 cos 2wx + 122222= w 1sin 2x - 6 + 2 解 : (I)f (x) =3 sin x - 1 cos x + 1 cos x +3 sin x =22223 sin x f (a) =3 sina = 353 . sina = 3 ,a (0, p ) cosa = 4 ,且g(a) = 2sin2 a = 1- cosa = 152525(II) f (x) g(x) 3 sin x 1- cos x 3 sin x + 1 cos x = sin(x + p

10、 ) 12262 x + p 2kp + p ,2kp + 5p x 2kp,2kp + 2p , k Z6663因?yàn)楹瘮?shù) f (x) 的最小正周期為 ，且w 0 ，所以 2 = ，解得w = 12w（）由（）得 f (x) = sin 2x - + 1 62因?yàn)? x 2 ，3所以- 2x - 7 ，666- 1 所以2sin 2x - 6 1，0 1 33 因此sin 2x - 6 + 22 ，即f (x) 的取值范圍為0， 2 【舉一反三】【練】已知函數(shù) f (x) = cos(2x - p ) + 2sin( x - p )sin( x + p )344（）求函數(shù) f (x) 的最小正

11、周期和圖象的對稱軸方程（）求函數(shù) f (x) 在區(qū)間-pp, 上的值域122ppp解：（1）f (x) = cos(2x -) + 2sin( x -)sin( x +)3443= 1 cos 2x +sin 2x + (sin x - cos x)(sin x + cos x) 223= 1 cos 2x +sin 2x + sin 2 x - cos2 x223= 1 cos 2x +sin 2x - cos 2x 22= sin(2 x - p )6周期T =2p = p2由2x -p = kp6+ p (k Z ), 得x = 2kp + p (k Z ) 23 函數(shù)圖象的對稱軸方程為

12、 x = kp + ppx -123(k Z )ppp5p（2）因?yàn)?f (x) = sin(2 x -所以當(dāng) x =, 2x -, 2636ppppp) 在區(qū)間-, 上單調(diào)遞增，在區(qū)間, 上單調(diào)遞減， 612332p時， f (x) 取最大值 1333pp1p又f (-) = - f () =，當(dāng) x = -時， f (x) 取最小值-12222122所 以 函數(shù)f (x) 在區(qū)間-pp, 上的值域?yàn)?13-1222二次函數(shù)型【例】求函數(shù) y = 7 - 4sin x cos x + 4cos 2x - 4cos 4x 的最大值與最小值?！窘狻浚?y = 7 - 4sin x cos x +

13、 4cos 2 x - 4cos 4 x()= 7 - 2sin 2x + 4cos 2 x 1- cos2 x= 7 - 2sin 2x + 4cos 2 x sin 2 x= 7 - 2sin 2x + sin 2 2x= (1 - sin 2x )2 + 6由于函數(shù) z = (u -1)2 + 6 在-1，1中的最大值為 z= (-1-1)2 + 6 = 10max最小值為 z= (1-1)2 + 6 = 6min故當(dāng)sin 2x = -1時 y 取得最大值10 ，當(dāng)sin 2x =1 時 y 取得最小值62、求單調(diào)區(qū)間【例】已知函數(shù) f(x) 3x.sin(1) 求 f(x)的單調(diào)遞增

14、區(qū)間；(2) 若 是第二象限角，f4 4cos 2，求 cos sin 的值 3 5cos 4 解：(1)因?yàn)楹瘮?shù) ysin x 的單調(diào)遞增區(qū)間為2k 2k，kZ，2 由 2 2k3x 4 2 2k，kZ， 2k 2k， 2 得 4 3x12 3，kZ.所以，函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 2k 2k，kZ. 4 3，12 34(2)由已知，得 sin 4 5cos 4 (cos2sin2)，所以 sin cos 4cos sin (cos2 sin2 )，cos 4 sin 4 5cos 4sin 4 即 sin cos 4(cos sin )2(sin cos )5當(dāng) sin cos 0

15、時，由 是第二象限角，3得 4 2k，kZ，此時，cos sin 2.當(dāng) sin cos 0 時，(cos sin )2542 .由 是第二象限角，得 cos sin 0，此時 cos sin 52 .綜上所述，cos sin 2或 5【舉一反三】【練】已知函數(shù) f(x)3 sin(wx + j) - cos(wx + j)(0 j 0) 為偶函數(shù)，且函數(shù)yf(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為 .2（）求f（ 8 ）的值；（）將函數(shù) yf(x)的圖象向右平移 6 個單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)舒暢長到原來的 4 倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間. 解：

16、（）f(x)3 sin(wx + j) - cos(wx + j)3 2sin(wx + j) - 1 cos(wx + j) 222sin(wx + j - )6因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以對 xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-wx + j - ）sin(wx + j - ).66即-sinwx cos(j - )+coswx sin(j - )=sinwx cos(j - )+coswx sin(j - ),6666整理得sinwx cos(j - )=0.因?yàn)閣 0，且xR,所以cos（j - ）0.66又因?yàn)?j ，故j - .所以f(x)2sin(wx + )=2cosw

17、x .2p由題意得w= 2 p2622,所以w2.故f(x)=2cos2x.pp因?yàn)閒 () = 2 cos84=2.pp（）將 f(x)的圖象向右平移個 6個單位后，得到 f (x -6 ) 的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)p伸長到原來的 4 倍，縱坐標(biāo)不變，得到 f (- p ) 的圖象.p所以g(x) = f (- p ) =46p - p )= 2 cos f (p- p ).462 cos2( 46 23p當(dāng)2k2- p 2 k+ (kZ),3即4k2p8px4k+(kZ)時，g(x)單調(diào)遞減.33因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為4kp + 2p ,4kp + 8p 33 (kZ)3、圖像型【

18、例】已知函數(shù) f (x) = Asin(x +j)( A 0，0 j ) ， x R 的最大值是 1，其圖像經(jīng)過 1 點(diǎn) M ， 32 （1）求 f (x) 的解析式；（2）已知a，b ，且 f (a ) =3 ， f (b ) = 12 ，求 f (a - b) 的值 0， 2 513p1pj1【解】（1）依題意有 A = 1，則 f (x) = sin(x +j ) ，將點(diǎn) M (,) 代入得sin(+) =，3232p而0 j 0 ）的最小值正周期是p2 （）求w 的值；（）求函數(shù) f (x) 的最大值，并且求使 f (x) 取得最大值的 x 的集合解 ： （）f (x)= 2 1 +

19、cos 2wx + sin 2wx + 12= sin 2wx + cos 2wx + 2=wp + cos 2wx sin p + 22sin 2x cos44 = wp 2sin 2x + + 24 由題設(shè)，函數(shù) f (x)的最小正周期是p ，可得 2p = p ，所以w = 2 22w2（）由（）知， f (x)=p 2+sin 4x2 ppp4 kp ()p 當(dāng)4x +=+ 2kp ，即x =+k Z時，sin 4x + 取得最大值 1，所以函數(shù)421624 f (x)的最大值是2 +，此時 x 的集合為x | x =p + kp, k Z 2162【練】已知函數(shù) f (t) =1-

20、t , g(x) = cos x f (sin x) + sin x f (cos x), x (p, 17p ).1+ t12（）將函數(shù) g(x) 化簡成 Asin(wx +j) + B （ A 0 ， w 0 ，j 0,2p) ）的形式；1+ sin x1- sin x + sin x1- cos x1+ cos x（）求函數(shù) g(x) 的值域. 解：（） g(x) = cos x(1- sin x)2 + sin x(1- cos x)2 cos2 xsin2 x= cos x1- sin x + sin x 1- cos x .cos xsin x= cos xx p, 17p , c

21、os x = - cos x, sin x = -sin x,12 1- sin x + sin x 1- cos x-cos x-sin x g(x) = cos x= sin x + cos x - 22sin x +p - 2.4 （）由px 17p，得 5px + p 5p .12443sin t 在 5p , 3p 上為減函數(shù)，在 3p , 5p 上為增函數(shù)，又sin 42 23 5psin 5p ,3ppsin sin(x +)5p17p3424sin（當(dāng) x p,42 ），22即-1 sin( x + p)-2 ，- 2 sin( x + p) - 2- 3，424故 g(x)的

22、值域?yàn)? 2, - )23 .xxx3【練】已知函數(shù) f (x) = 2sincos- 23 sin2+444（）求函數(shù) f (x) 的最小正周期及最值；（）令 g(x) = f x + ，判斷函數(shù) g(x) 的奇偶性，并說明理由3 xxxx x 解：（）f (x) = sin+3(1- 2sin 2) = sin+3 cos 2422= 2sin +23 f (x) 的最小正周期T = 2 = 4 12當(dāng)sin x + = -1時， f (x) 取得最小值-2 ；當(dāng)sin x + = 1 時， f (x) 取得最大值 2 23 23 （）由（）知 f (x) = 2sin x + 又 g(x

23、) = f x + 23 3 g(x) = 2sin 1 x + = 2sin x + = 2cos x 2 3 3 22 2+g(-x) = 2cos - x = 2cos x = g (x) 22函數(shù) g(x) 是偶函數(shù)三、解三角形型1、求基本元素【例】在ABC 中， cos B = - 5 ， cos C = 4 135（）求sin A 的值；（）設(shè)ABC 的面積S ABC= 33 ，求 BC 的長2. 解：（）由cos B = -5 ，得sin B = 12 ，1313由cos C = 4 ，得sin C = 3 55所以sin A = sin(B + C) = sin B cos C

24、 + cos B sin C = 33 65（）由S= 33 得 1 AB AC sin A = 33 ， ABC由（）知sin A =22233，65故 AB AC = 65 ，AC =AB sin B =20 AB ，又sin C132013故AB2 = 65 ， AB =132BC =AB sin A= 11 所以3舉一反三sin C2【練】在DABC中，角A, B, C所對應(yīng)的邊分別為a, b, c，a = 2，tanA + B + tan C22= 4,2sin B cosC = sin A，求 A, B 及b, ctanA + B + tan CC= 4 得cotC+ tan= 4

25、解：由2222CCcos2 +sin2 =1= 4CCsincos224CCsincos221p5p sin C =，又C (0,p ) C =，或C =266由2sin B cosC = sin A得 2sin B cos B = sin(B + C) 即sin(B - C) = 0 B = C ， B = C = p6A = p - (B + C) = 2p3231abcsin B=得b = c = a= 23 = 2由正弦定理sin Asin Bsin Csin A22、求范圍均值定理型【例】設(shè)ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊長分別為a，b，c ，且a cos B - b cos A

26、 =（）求tan Acot B 的值；（）求tan( A - B) 的最大值3 c 5解析：（）在ABC 中，由正弦定理及a cos B - b cos A = 3 c5可得sin A cos B - sin B cos A = 3 sin C = 3 sin( A + B) = 3 sin Acos B + 3 cos Asin B5555即sin Acos B = 4cos Asin B ，則tan Acot B = 4 ；（）由tan Acot B = 4 得tan A = 4tan B 0tan( A - B) =tan A - tan B =3tan B=3 31+ tan A ta

27、n B1+ 4 tan2 Bcot B + 4 tan B4當(dāng)且僅當(dāng)4 tan B = cot B, tan B =1 , tan A = 2 時，等號成立，2故當(dāng)tan A = 2, tan B = 1 時， tan( A - B) 的最大值為 3 .24【舉一反三】【練】 ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c.(1) 若 a，b，c 成等差數(shù)列，證明：sin Asin C2sin(AC)；(2) 若 a，b，c 成等比數(shù)列，求 cos B 的最小值 16解：(1)a，b，c 成等差數(shù)列，ac2b. 由正弦定理得 sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)s

28、in(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)a，b，c 成等比數(shù)列，b2ac.a2c2b2a2c2ac2acac1由余弦定理得cos B2ac2ac 2ac2，當(dāng)且僅當(dāng)ac 時等號成立，cos B1.的最小值為2二次函數(shù)型【例】在ABC 中,角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c,已知 cosC+(conA-3sinA)cosB=0.(1) 求角 B 的大小;(2) 若 a+c=1,求 b 的取值范圍。解:(1)由已知得- cos( A + B) + cos A cos B -3 sin A cos B = 0即有sin A sin B -3 sin A cos B = 03因

29、為sin A 0 ,所以sin B -3 cos B = 0 ,又cos B 0 ,所以tan B =,p又0 B p ,所以 B =.3(2)由余弦定理,有b2 = a2 + c2 - 2ac cos B .因?yàn)閍 + c = 1,cos B =11,有b22= 3(a -11)2 + 1 .24又0 a 1,于是有43.求面積 b2 1 ,即有2 b 1.p【例】在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 對邊的邊長分別是a，b，c ，已知c = 2 ， C =33（）若ABC 的面積等于，求a，b ；（）若sin C + sin(B - A) = 2sin 2 A ，求ABC 的面積3解：（）由余弦

30、定理及已知條件得， a2 + b2 - ab = 4 ，又因?yàn)锳BC 的面積等于，所以 1 ab sin C =32，得ab = 4 a2 + b2 - ab = 4，聯(lián)立方程組ab = 4，解得a = 2 ， b = 2 （）由題意得sin(B + A) + sin(B - A) = 4sin A cos A ， 即sin B cos A = 2sin Acos A ，當(dāng)cos A = 0 時， A =p ， B =2p ， a =6， b =，432333當(dāng)cos A 0 時，得sin B = 2sin A ，由正弦定理得b = 2a ，2343a2 + b2 - ab = 4，聯(lián)立方程組

31、b = 2a，解得a =， b =3323所以ABC 的面積 S = 1 ab sin C =23四、與向量結(jié)合型【例】已知向量 m=(sinA,cosA),n= (3, -1)，mn1，且 A 為銳角.（）求角 A 的大??；（）求函數(shù) f (x) = cos 2x + 4cos Asin x(x R) 的值域.解：（）由題意得m n =3 sin A - cos A = 1,pp12sin( A -) = 1,sin( A -) =.662ppp由 A 為銳角得 A -=, A =.663（）由（）知cos A = 1 ,213所以 f (x) = cos 2x + 2sin x = 1-

32、2sin 2x + 2sin s = -2(sin x -)2 +.22因?yàn)閤R，所以sin x -1,1，因此，當(dāng)sin x = 1 時，f(x)有最大值 3 .22當(dāng) sinx=-1 時，f(x)有最小值-3，所以所求函數(shù)f(x)的值域是-3, 3 .2 【舉一反三】【練】已知向量a = (cos x, - 1 ), b = (3sin x,cos2 x), x R , 設(shè)函數(shù) f (x) = ab .2() 求 f (x)的最小正周期.() 求 f (x) 在0, p 上的最大值和最小值.2 解:()f (x)= ab = cos x 3 sin x - 1 cos 2x =sin 2x

33、 - 1 cos 2x = sin(2x - p ) .322262p最小正周期T = p .2p所以 f (x) = sin(2x -6), 最小正周期為p .()ppp5pp5p當(dāng)x 0,時，(2x -) -,，由標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)y = sin x在-,上的圖像知，.266666ppp1f (x) = sin(2x -) f (-), f () = -,1 .6622所以,f (x) 在0, p 上的最大值和最小值分別為1,- 1 .2 2【舉一反三】【練】平面直角坐標(biāo)系有點(diǎn)P(1, cos x) ， Q(cos x,1) ， x - p , p 44（）求向量OP 和OQ 的夾角q 的余弦用 x

34、 表示的函數(shù) f ( x);（）求cosq 的最值.OPOQ解 ：() OP OQ = 2cos x= 1 + cos2 xOP OQcosq = OP OQ=2 cos x= f (x) 1 + cos2 x() cosq = f (x) =2 cos x=1 + cos2 x2cos x +132cos xpp 21且 x -,44 cos x 2,12 cos x +cos x2223223 f (x) 1即 cosq 1223所以cos q 的最大值為 1，最小值為a + b = c ,求a, b【練】已知a(cosa,sin a )，b = (cos b,sin b) , 0 b a

35、 p . (1)若| a - b |=2 ,求證: a b ;(2)設(shè)c = (0,1),若的值.2【答案】解:(1)| a - b |=()| a - b |2= 2即 a - b 2 = a 2 - 2ab + b2= 2 ,又 a 2=| a |2 = cos2 a + sin 2 a = 1, b2=| b |2 = cos2 b + sin 2 b = 1 2 - 2ab = 2 ab = 0 a b(2) a + b = (cosa + cosb,sina + sin b) = (0,1)cosa + cos b = 0cosa = -cos b sina + sin b = 1即

36、sina = 1 - sin b兩邊分別平方再相加得:1 = 2 - 2 sin b sin b = 12 sina = 12 0 b a pa = 5 p, b = 1 p66【例】在DABC 中， BAC = 120 ， AB = AC = 2 .C（）求 AB BC 的值；（）設(shè)動點(diǎn) P 在以 A 為圓心， AB 為半徑的劣弧 BC 上運(yùn)動，求 BP CPAB AC = 2的最小值.AB解：（）由已知2 cos120 = -2 .AB BC = AB ( AC - AB)AB AC - AB 2=y= -2 - 4 = -6C（）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則 A(0,0) ，PB(2,0) ，因?yàn)锽AC = 120 ， AC = 2 ，根據(jù)三x角函數(shù)定義， C(-1,3) ，AB點(diǎn) P 在以 A 為圓心， AB 為半徑的劣弧 BC 上運(yùn)動，可設(shè) P(2cos a,2sin a) ，其中a 0, 2p .3BP CP = (2cos a - 2, 2sin a) (2cos a +1,2sin a -3)= 4cos 2 a - 2cos a - 2 + 4sin 2 a - 23 sina= -2cos a - 23 sina + 2= -4sin(a + p) + 2 .6a 2papp 5pap1因?yàn)?, ，所以+,， sin(+) ,1，當(dāng)