九年級數(shù)學(xué)上冊專題突破講練相似三角形的性質(zhì)試題(新版)青島版

1、相似三角形的性質(zhì)【重點(diǎn)難點(diǎn)易錯宜點(diǎn)點(diǎn)精謹(jǐn)】相似三角形的性質(zhì)1.相似三角形的對應(yīng)角相等；2.相似三角形的對應(yīng)邊成比例；3.相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)周長的比等于相似比。方法歸納：（或技巧歸納）當(dāng)你發(fā)現(xiàn)問題中出現(xiàn)以下情況時，很可能是借助相似來解決：1比或比例；示例：平行四邊形 ABCD 中，E 在 DC 上，若 DE EC=1: 2，貝 U BF: EF=_n解析：此題主要考查了平行四邊形、相似三角形的性質(zhì).由題可知ABFACEF 然后根據(jù)相似比求解.答案：3： 2 解：TDE EC=1： 2;二 EC CD=2 3 即 EC AB=2: 3,vAB/ CDABFACEF BF

2、：EF=AB EC=3 2.2線段的積；示例：四邊形中，AC 平分/ DAB / AD（=ZACB=90，求證：AC2= ABjAD解析：由 AC 平分/ DAB / ADC=/ ACB=90，可證得厶 ADCAACB 然后由相似三角形 的對應(yīng)邊成比例，證得 AC=AB?AD證明：/ AC 平分/ DAB DACMCABv/ADCMACB=90 , ADCAACB - AD AC=AC AB,. ACf=AB?AD3邊或角所在三角形與已知的邊或角所在三角形不全等。示例：如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , AB=5 AC=4 AB 的垂直平分線 DE 交 BC 的延 長線于點(diǎn) E,

3、則 CE 的長為_ .AC2解析：本題主要考查直角三角形性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用 及方程的數(shù)學(xué)思想解決此題需要我們利用線段的垂直平分線的性質(zhì)和三角形相似進(jìn)行計 算.答案：7解：/ ACB=90 , AB=5, AC=4,根據(jù)勾股定理得：BC=365而 AB 的垂直平分線 DE 交 BC 的延長線于點(diǎn) E,. BD=t，/ BDE=90，又 B=ZB,225ACBAEDB BC BD=AB BE,又 BC=3 AB=5,. BE=,6從而得到 CE=B BC=76總結(jié)：1.掌握相似三角形的性質(zhì)；2.能利用相似三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)或線段的長度、線段之間的關(guān)系等。例題 1

4、如圖，在RtAABC中，/C= 90,翻折/C,使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為EF(點(diǎn)E、F分別在邊AC BC上)。若厶CEF-與ABC相似。(1)當(dāng)AC= BC=2 時，求AD的長；當(dāng)AC=3,BC=4 時，分兩種情況：(I)若CE CF=3: 4,如答圖 2 所示，此時EF/ AB CD為AB邊上的高；(II)若CF：CE=3：4,如答圖 3 所示。由相似三角形角之間的關(guān)系，可 以推出/A=ZECD與/B=ZFCD從而得到CD= AD= BD即D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)。答案：若厶CEF-與ABC相似。(1)當(dāng)AC= BC=2 時，ABC為等腰直角三角形，如答圖 1 所示。此時D為AB邊中點(diǎn)

5、,答圖12AD=AC,.ACt-22AC=2。(2)當(dāng)AC=3,BC=4 時，有兩種情況：(I)若CE CF= 3： 4,如答圖 2 所示。(2)當(dāng)AC=3,BC=4 時，求AD的長。3邊上的高。在RtABC中,AC=3,BC=4,.AB=5。：/ADG=ZACB=90。且/A=ZA,ACD ABC二AC= AC即AD|,二AD=5； (II)若CF CE=3: 4，如答圖 3 所示。CFEACAB/CEF=ZB由折疊性質(zhì)可知，/CEFbZECD=90，又A+ZB15=90, /A=ZECD - AD= CD同理可得：ZB=ZFCD CD= BD,此時AD=B=95綜上所述,當(dāng)AC= 3 ,B

6、C=4 時，AD的長為三或52點(diǎn)撥：本題是幾何綜合題，考查了幾何圖形折疊問題和相似三角形的判定與性質(zhì)。第（2）問需要分兩種情況分別計算，此處容易漏解，需要引起注意。DE= DE=AE1=X,T DF!AB/ACB=90,ZA=ZA,.AABSAAFD - AD AC= DF BC即2X：8=DF：6，解得DF= 1.5X,在RtDEF中，EF=DF+DE2= 3.25X2，又T BE=AB AE= 1 03X,E FAE BF,-E1F:AE1=BE:EF,.EF=AE?BE,即卩3.25X2=X(103X),解得X=1.6 , AD的長為 2X1.6 = 3.2。答案：3.2點(diǎn)撥：本題是一道

7、綜合性難題，主要考查軸對稱變換、折疊、勾股定理、相似三角形的/ CECD為AB角形、四邊形等知識，特別是在中考試題中經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，這類問題時通常利用相似三角形對應(yīng)邊成比例或勾股定理等列方程， 度。有時難度較大。 解答 用代數(shù)方法求線段的長滿分訓(xùn)練如圖，直角三角形 一點(diǎn)D作DF丄AB交AC于點(diǎn)F。為A；AD的中點(diǎn)ABC中,/ACB=90,AB=10,現(xiàn)將ADF沿DF折疊，使點(diǎn)A落在線段DB上，對應(yīng)點(diǎn)記解析：/ACB=90,AB=10,BC=6,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)， 將ADF沿DF折疊，-AC=ABBC=10 6 = 8，設(shè)AD=2x,A對應(yīng)點(diǎn)記為A,點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為, AE=c【拓展總結(jié)+

8、提升茹分強(qiáng)讀】利用相似三角常常綜合考查勾股定理、等腰三BC=6， 在線4對應(yīng)邊成比例。利用勾股定理列式求出AC設(shè)AD=2X，得到AE= DE= DE=AE=X,然后求 出BE,再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出DF,然后利用勾股定理列式求出EF,然5后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解得到x的值，從而得出AD的值。、選擇題1.如圖，ABC中,DE/ BCB. 3 21A.-2DE=1,AD=2,DB=3,C.5BC的長是(7D.-2*2.如圖所示，在平行四邊形延長交DC于點(diǎn)F,貝U DF FC=A. 1 : 4B. 1 : 3CABCDh AC與BD相交于點(diǎn)O E為OD的中點(diǎn)，連接AE并)D

9、. 1 : 2C. 2 : 3*3.如圖所示，AD/ BC與厶PBC相似，則這樣的點(diǎn)A. 1 個B. 2,DC=7,AD=2,BC=3。若在邊DC上有點(diǎn)P使厶PAD)C. 3 個D. 4 個C/D= 90P有(個*4. 如圖，在厶ABC中,AB= AC= a,BC= b( ab)。在厶ABC內(nèi)依次作/CBD=ZA, /DCE=ZCBD/EDF=ZDCE貝U EF等于()b4C.3ab3A.2a3aB.a24aD.3b67、填空題5.在平行四邊形ABCDh E在DC上，若DE EC=1: 2，則BF: BE=_AD6.如圖，在平行四邊形ABCDK E在AB上,CEBD交于F,若AEBE=4：3，

10、且BF=三、解答題*9.如圖，在平行四邊形ABCDKZABC的平分線BF分別與AC AD交于點(diǎn)E、F。(1) 求證：AB= AF;AE(2) 當(dāng)AB=3、BC=5 時，求AC勺值。2,則DF=*7.如圖,如圖,*8.長線于點(diǎn) E,在RtABC中,ZACB=90,BC=3,AC=4,AB的垂直平分線DE交BC的延則CE的長為在邊長為OC8*10.如圖，在平行四邊形ABCDL過點(diǎn)A作AE! BC垂足為E,連接DE F為線段DE11.9上一點(diǎn)，且/AFE=ZBo(1) 求證：ADFADEC(2) 若AB=8,AD=6 3AF= 4 J3，求AE的長。*11.(1)B如圖，四邊形ABCDK AC平分/

11、DAB/ADC=ZACB=90,E為AB的中點(diǎn),求證：AC=AB?AD求證：CE/ AD10(2)【提出問題】 如圖 1, 以AM為邊作等邊【類比探究】（2）如圖2,*12.(1)在等邊ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B C）,連結(jié)AMAMN連結(jié)CN求證：/ABC=ZACN在等邊ABC中，點(diǎn)M是BC延長線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)0，其它條件不變，（1）中結(jié)論/ABC=/ACF還成立嗎？請說明理由?！就卣寡由臁浚?）如圖 3，在等腰厶ABC中,BA= BC點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B C）, 連結(jié)AM以AM為邊作等腰AMN使頂角/AMI4ZABC連結(jié)CN試探究/ABC與/ACN的數(shù)

12、量關(guān)系，并說明理由。(3)11.11AD AB1.C解析：T DE/ BCADEAABC則龍=BC T DE=1,AD= 2,DB=3,.AB=A內(nèi)DB=5,.BO號=5。故選C。ABCDK AB/ DC則厶DF0ABAE二DF=DEAB EB線的交點(diǎn)，DO= BQ又E為OD勺中點(diǎn)，DE=1DB則DE EB=1: 3,.DFAB=1： 3,/ DC= ABDF：DC=1： 3,.DF：FC=1: 2。故選D。PD PC x 7_ x143.C解析：設(shè)PD=乂，則(1)若厶APDTAPBC則AD=麗即 2 =丁，解之得x= -5；PD BC x3(2)若厶PADBPC則77=67，即云=，解之得

13、X1= 1,X2= 6。綜上所述，存在三個AD PC27x點(diǎn)巳使厶PAD與PBC相似。4.C解析：/AB= AC/ABC=ZACB又CBD=ZA, ABGABDC同理可得:AB BC CDDE EF DEABCABDQACDEDFE - BC=CD BD=而 苗CE且BD= BC, CE= CD解得：EF=號。故選 Co/ DE EC=1：2, ECCD=2：3 即ECAB=2：3,/AB/CDABFACEF - BF：EF=AB：EC=3： 2 BF BE=3： 5。146. 解析：四邊形ABCDi平行四邊形， AB/ CD AB= CD T AE BE= 4： 3, BE3AB=3：7,B

14、E CD=3：7T AB/ CDBEFADCF - BF：DF=BE CD=3：7,即 2：14DF= 3： 7,DF=。7. 7 解析：ABC是 等邊三角形，/B=/C= 60,AB= BC - CD= BC_BD=9 _ 3=6; /BADFZADB=120,T/ADE=60,ADBFZEDC=120,DAB=ZEDCAB DC96又T/B=/C= 60,.AABBADCE則BD=CE即 3=CE解得：CE=2,故AE= AC-CE=9-2 = 7。758. 解析：在RtAABC中,T BC=3,AC=4,.AB=5,BD=-。易知AB&AEBD62AB BE口 5BE252572

15、.D解析：在平行四邊形 O為對角23b bCD=aDE=孑，5. 3: 5 解析：12AD/ BC/ 2 = /3T BF是/ABC(2)T/AEF=/CEB/ 2 = / 3 ,9.解：的平分線，/1 =/ 2c/ 1 =/ 3cAB=AF。AE AF3 AEFACEB =；=;= ,EC BC510.解：(1)證明：在平行四邊形=/DECT/AF內(nèi)/AFE=180,/AFD=/C(1)證明：如圖，在平行四邊形ABCD中,AE=3AC= 8。ABCD AB/ CD/AFE=/B,/AFD=/0在厶ADF與DEC中,AD/ BC/C+/B= 180, /ADFIADF=/ DEC二A ADFA

16、DEC( 2)解：T平行四邊形ABCD-CD= AB=8。由(1)知BC=BD即 3= 21, BE=_6, CE=BEBC=E_3=6。11.13ADFADEC：DD CD二DE= ADAECD宣3= 12。在RtADE中，由勾股定理得:DE CDAF4AE=JDEADi:l2 ( 6,3)2=6。11.解：(1 )證明：TAC平分/DABDAC=ZCABv/ADC=ZACB=90,ADQAACB AD AC=AC AB： AC=ABAD(2)證明：vE為AB的中點(diǎn)，二CE1 ”=2AB= AE/EAC=/ECAv/DAC=/CAB /DA=/ECA -CE/ AD (3)解：vCE/ AD114AF ACAFDACFEAD CE= AF CF,vCE AB - CE x6=3, vAD= 4, =, 223CF AF7=4。12.解： (1)證明： ABCAMN是等邊三角形， AB= AC AM= AN, /BAC=/MAN JrAB=AC=60,BAM=/CANv在厶BAMKACAN中, /BAM=/CAt, BAIWCAIN SAS,AM= AN /ABC=/ACN(