第九章 連分式new

1、 但有理分式 卻能很好地反映函數(shù)在x附近無界，并且也保證了當x時趨于某個定值A。而且，用有理分式逼近一個函數(shù)，或者用有理分式作為工具構造算法，其效果（如精度與計算工作量）有時要比用多項式好。xBAx 在某些場合下，用多項式作為工具就不一定合適。例如，某個函數(shù)在x附近無界，或者當x時趨于某個定值，此時如果用多項式來逼近這個函數(shù)，其效果不會很理想。這是因為多項式不可能反映函數(shù)的這些性質(zhì)。第9章 連分式及其新計算法 9.1 連分式 9.1.1 連分式的基本概念 現(xiàn)在，如果將式(9.1.1)的右端代入右端中的y，并且連續(xù)做下去，就可以得到如下的式子：由此可以看出，函數(shù) 不僅可以展開成冪級數(shù)，還可以展開

2、成如下連分式： x1在式(9.1.2)中，如果取x1，則有 由上面的例子可以看出，一個函數(shù)或常數(shù)除了可以用冪級數(shù)表示外，還可以用連分式表示。下面給連分式下一個一般的定義。 定義9.1 表達式 稱為連分式。其中 稱為連分式(9.1.3)的第k節(jié)，ak1與bk稱為連分式第k節(jié)的兩個項。a0，a1，a2，稱為連分式的部分分子；b0稱為連分式的常數(shù)項，b1，b2，稱為連分式的部分分母。k1kba 對于有限連分式來說，其值是通過對各項的有限次運算而得到。如果有限連分式的部分分子和部分分母的各項（包括常數(shù)項b0）均為實數(shù)，則有限連分式的值也為實數(shù)；如果有限連分式中的各項為有理數(shù)，則其連分式值也為有理數(shù)。

3、對于無限連分式來說，與無窮級數(shù)的情形相似，在其收斂性未得到證實之前，不能隨意認為它代表某個數(shù)值，它只是一種數(shù)學形式的記號而已。當然，無限連分式的收斂性問題也是值得研究的，這里不作詳細的討論。9.1.2 連分式的主要性質(zhì) 定理9.1 （漸近分式關系）設 P11，P0b0 PkbkPk1ak1Pk2，k1 Q10，Q01 QkbkQk1ak1Qk2，k1則 定理9.2 （相鄰漸近分式之間的關系）定理9.3 連分式(9.1.3)可以變換成等價的級數(shù)形式 其中 Q10，Q01 QkbkQk1ak1Qk2，k19.2 函數(shù)連分式 9.2.1 函數(shù)連分式的基本概念 與連分式的定義相似，函數(shù)連分式的定義如下

4、。定義9.2 設表達式(9.2.1) 如果表達式 中的各結點xk(k0，1，)與x均屬于區(qū)間a，b，則稱 為定義在區(qū)間a，b上的一維函數(shù)連分式。)x()x(其中 稱為函數(shù)連分式(9.2.1)的第k節(jié)，xxk1與bk稱為函數(shù)連分式第k節(jié)的兩個項。xx0，xx1，xx2，稱為函數(shù)連分式的部分分子，并且為變數(shù)；b0稱為連分式的常數(shù)項，b1，b2，稱為連分式的部分分母，通常為實常數(shù)。k1kbxx9.2.2 函數(shù)連分式的主要性質(zhì) 對于函數(shù)連分式，同樣有漸近分式關系以及相鄰兩漸近分式之間的關系。并且與一般連分式一樣，也可以將函數(shù)連分式變換成級數(shù)，以及將函數(shù)連分式變換成偶數(shù)節(jié)或奇數(shù)節(jié)漸近分式的級數(shù)。9.2.

5、3 函數(shù)連分式的計算9.3 變換級數(shù)為連分式 定理9.7 設冪級數(shù)為 P(x)a0a1xa2x2anxn (9.3.1)則可以將式(9.3.1)變換成等值的連分式，即 P(x)a0a1xa2x2anxn9.4 連分式插值法 9.4.1 連分式插值的基本概念 9.4.2 連分式插值函數(shù)的構造 9.5 方程求根的連分式解法 一般來說，對于非線性方程 f(x)0 (9.5.1) 假設已經(jīng)得到了前n次迭代值x0，x1，xn1,并且計算出非線性方程(9.5.1)左端函數(shù)f(x)在這n個迭代值點上的函數(shù)值ykf(xk)(k0，1，n1)。現(xiàn)在要求確定一個函數(shù)關系，根據(jù)n個已知數(shù)據(jù)點(xk，yk)(k0，1

6、，n1)來確定第n次迭代值xn，即 xnF(y0，y1，yn1)并且使迭代次數(shù)盡量的少。這個函數(shù)F可以取連分式函數(shù)。 求解非線性方程(9.5.1)的步驟如下 取三個初值x0，x1和x2，并分別計算出 y0f(x0)，y1f(x1)，y2f(x2)然后根據(jù)三個數(shù)據(jù)點(y0，x0)，(y1，x1)，(y2，x2)確定函數(shù)連分式中的參數(shù)b0，b1，b2。 對于k3，4，作如下迭代： (1) 計算新的迭代值，即(2) 計算非線性方程(9.5.1)左端函數(shù)f(x)在xk點的函數(shù)值，即 ykf(xk)此時，如果|yk|，則迭代結束，xk即為方程根的近似值。(3) 根據(jù)新的數(shù)據(jù)點(yk，xk)，用遞推計算公

7、式 遞推計算出一個新的bk，使連分式插值函數(shù)再增加一節(jié)，即 然后轉(1)繼續(xù)迭代。上述過程一直做到|yk|為止。 9.6 一維積分的連分式解法 如果用通常的近似積分法（如變步長求積法），為了要得到較精確的積分值，就必須將積分區(qū)間a，b分得很細，步長h要足夠的小。但由此帶來的問題是項數(shù)增加，將導致嚴重的誤差積累。為了解決這個問題，在逐步分割積分區(qū)間的過程中，首先由式(9.6.2)（即變步長梯形求積法）算出積分近似值序列sk(k0，1，j)。然后根據(jù)這個積分近似值序列（它們對應的步長序列為hk ，k0，1，j），確定出參數(shù)b0，b1，bj，構造出函數(shù)連分式(9.6.3)。此后再由式(9.6.5)算出進一步的積分近似值S(j)。k2ab 在以上過程中，可以將式(9.6.5)看成是對近似積分值序列sk(k0，1，j)的校正。利用變步長梯形法則計算得到的第j次近似值sj可能不滿足精度要求，而通過式(9.6.5)校正后得到的近似值S(j)將會比sj更接近積分的準確值。這就避免了由于步長過小而引起的積累誤差的增加，同時，在保證精度要求的前提下，這種方法也減少了計算工作量，即它的收斂速度比通常的近似積分法要快得多。用連分式方法計算一維積分的基本步驟如下