量子力學(xué)導(dǎo)論期末考試試題內(nèi)含答案

1、量子力學(xué)試題(1)(2005)姓名 學(xué)號(hào) 得分 一. 簡(jiǎn)答題（每小題5分，共40分）1. 一粒子的波函數(shù)為，寫(xiě)出粒子位于間的幾率。2. 粒子在一維勢(shì)阱 中運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)為，寫(xiě)出的躍變條件。3. 量子力學(xué)中，體系的任意態(tài)可用一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)展開(kāi)：，寫(xiě)出展開(kāi)式系數(shù)的表達(dá)式。4. 給出如下對(duì)易關(guān)系： 5. 何謂幾率流密度？寫(xiě)出幾率流密度的表達(dá)式。6. 一維運(yùn)動(dòng)中，哈密頓量，求7. 一質(zhì)量為的粒子在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，寫(xiě)出其狀態(tài)波函數(shù)和能級(jí)表達(dá)式。8. 已知厄米算符、互相反對(duì)易：；是算符的本征態(tài)：，本征值。求在態(tài)中，算符的平均值。二. 計(jì)算和證明題1. 設(shè)粒子限制在長(zhǎng)、寬、高分別為的箱內(nèi)

2、運(yùn)動(dòng)，試用量子化條件求粒子能量的可能取值。2. 考慮如下一維波函數(shù)： ， 其中為已知常數(shù)。利用薛定諤方程求位勢(shì)和能量。對(duì)于它們，該波函數(shù)為一本征函數(shù)（已知當(dāng)）。3.一質(zhì)量為的粒子沿正方向以能量向處 的勢(shì)階運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，該勢(shì)為；當(dāng)時(shí)，該勢(shì)為 。問(wèn)在處粒子被反射的的幾率多大？（15分） 0 4.設(shè)粒子處于狀態(tài)下，1)證明在的本征態(tài)下，。（提示：利用， 求平均。）2)求和(附加題)5. 設(shè)是的整函數(shù)，證明整函數(shù)是指可以展開(kāi)成。量子力學(xué)試題(1)(2005)姓名 學(xué)號(hào) 得分 一、 簡(jiǎn)答題（每小題5分，共40分）1. 一粒子的波函數(shù)為，寫(xiě)出粒子位于間的幾率。解： 。2. 粒子在一維勢(shì)阱 中運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)為，

3、寫(xiě)出的躍變條件。解： 。3. 量子力學(xué)中，體系的任意態(tài)可用一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)展開(kāi)：，寫(xiě)出展開(kāi)式系數(shù)的表達(dá)式。解： 。4. 給出如下對(duì)易關(guān)系： 解： 5. 何謂幾率流密度？寫(xiě)出幾率流密度的表達(dá)式。解：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)與粒子前進(jìn)方向垂直的單位面積的幾率稱(chēng)為幾率流密度。 6. 一維運(yùn)動(dòng)中，哈密頓量，求 解：7. 一質(zhì)量為的粒子在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，寫(xiě)出其狀態(tài)波函數(shù)和能級(jí)表達(dá)式。解： 8. 已知厄米算符、互相反對(duì)易：；是算符的本征態(tài)：，本征值。求在態(tài)中，算符的平均值。解： ， 。但，從而有，即在態(tài)中，算符的平均值為零。二. 計(jì)算和證明題1.設(shè)粒子限制在長(zhǎng)、寬、高分別為的箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，試用量子化

4、條件求粒子能量的可能取值。解：除了與箱壁碰撞外，粒子在箱內(nèi)作自由運(yùn)動(dòng)。假設(shè)粒子與箱壁碰撞不引起內(nèi)部激發(fā)，則碰撞為彈性碰撞。動(dòng)量大小不改變，僅方向反向。選箱的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向?yàn)檩S方向，把粒子沿軸三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)分開(kāi)處理。利用量子化條件，對(duì)于x方向，有即 （：一來(lái)一回為一個(gè)周期）,同理可得， , ,粒子能量 2. 考慮如下一維波函數(shù)： ， 其中為已知常數(shù)。利用薛定諤方程求位勢(shì)和能量。對(duì)于它們，該波函數(shù)為一本征函數(shù)（已知當(dāng)）。解: 定態(tài)S.eq為 ， （2）對(duì)題給求導(dǎo)： （3） （4）從式（2）和（4）中消去，得 （5）當(dāng)，所以 （6）代回式（5），解得 3一質(zhì)量為的粒子沿正方向以能量向處 的勢(shì)階運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，該勢(shì)為；當(dāng)時(shí)，該勢(shì)為 。問(wèn)在處粒子被反射的的幾率多大？（15分） 0 解：S.eg為 其中 方程的解為：處，分別連續(xù)，給出解得 ，反射系數(shù) 。4.設(shè)粒子處于狀態(tài)下，1)證明在的本征態(tài)下，。（提示：利用， 求平均。）證：設(shè)是的本征態(tài)，本征值為，即，同理:利用. 有：。2)求和解：記本征態(tài)為，滿足本征方程，將上式在態(tài)下求平均，因作用于或后均變成本征值，使得后