概率論和數(shù)理統(tǒng)計之隨機變量及其分布

1、概率論和數(shù)理統(tǒng)計之隨機變量及其分布例 總機某段時間內接到的 次數(shù)， 可用一個變量 X 來描述：X = 0，1，2， 例 檢測檢測一件產品可能出現(xiàn)的兩個結果一件產品可能出現(xiàn)的兩個結果 ， 也可以用一個變量來描述也可以用一個變量來描述: 正正品品次次品品,0,1)(X 例 考慮考慮“測試燈泡壽命測試燈泡壽命”這一試驗，以這一試驗，以 X 記燈泡的壽命（以小時計）則：記燈泡的壽命（以小時計）則：X = t， ( t0 )設 S 是隨機試驗E的樣本空間， 若定義定義SX() 按按一一定定法法則則實實數(shù)數(shù)則稱 S 上的單值實值函數(shù) X ( )為隨機變量隨機變量一般用大寫英文字母X， Y ，Z ， 或小寫

2、希臘字母 ， ， ，表示隨機變量 是SR上的映射， 此映射具有如下特點:v 定義域定義域 事件域 S ；v 隨機性隨機性 隨機變量 X 的可能取值不止一個， 試驗前只能預知它的可能的取值但不能預知取哪個值；v 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某個值或某些 值 。 引入隨機變量的意義引入隨機變量的意義 有了隨機變量，隨機試驗中的各種事件，就有了隨機變量，隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關系式表達出來。可以通過隨機變量的關系式表達出來。 如：單位時間內某如：單位時間內某 交換臺收到的呼叫次數(shù)用交換臺收到的呼叫次數(shù)用 X 表示，它是一個隨機變量。表示，它是一個隨機變量。 收到不少于收到

3、不少于1次呼叫次呼叫 X1 沒有收到呼叫沒有收到呼叫 X =0 可見，隨機事件這個概念實際上是包容在可見，隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念內。也可以說，隨機隨機變量這個更廣的概念內。也可以說，隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，就象數(shù)學分析中常變量則是一種動態(tài)的觀點，就象數(shù)學分析中常量與變量的區(qū)別那樣。量與變量的區(qū)別那樣。 非非離離散散型型隨隨機機變變量量隨隨離離散散型型隨隨機機變變量量機機變變量量隨機變量分類所有取值所有取值可以逐個可以逐個一一列舉一一列舉全部可能取值不僅全部可能取值不僅無窮多，而且還

4、不無窮多，而且還不能一一列舉。能一一列舉。 連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量X 的可能取值為：的可能取值為：解：解：4000，400，40，4，0 。 若隨機變量若隨機變量 X 的可能取值是有限個的可能取值是有限個或可列個，或可列個， 則稱則稱 X 為離散型隨機變量。為離散型隨機變量。定義描述描述X 的概率特性常用概率分布列或分布列的概率特性常用概率分布列或分布列kkP( Xx )p , k1,2, X 12kxxxp 12kppp即即或1) kp0, k1,2,非負性非負性2) 1p1kk 正則性正則性概率分布的特征例例1 1 一批產品的次品率為一批產品的次品率為8% ，從中抽取，從中抽取1件件

5、進行檢驗，令進行檢驗，令 寫出寫出 X 的分布律的分布律. 1,X0, 次次品品正正品品X 的分布律為的分布律為: X 10p 08. 092. 0概率分布圖概率分布圖 : 0.080 1 x y0.92 解：解：兩點分布( 01分布) 只取兩個值的概率分布分布律為： X 1 0pk p 1 - p0 p 11,0k,)p1(p)kX(Pk1k 或應用場合 凡試驗只有兩個可能結果，常用0 1分布描述，如產品是否合格， 人口性別統(tǒng)計， 系統(tǒng)是否正常， 電力消耗是否超標等。1010件產品中，有件產品中，有3 3件次品，任取兩件，件次品，任取兩件，X是是“抽得的次品數(shù)抽得的次品數(shù)”，求分布律。，求分

6、布律。X 可能取值為可能取值為 0，1，2。P X0 P X1 例例2解：解：76710915 27210CC 2174515 1137210C CC P X2 115所以，所以，X的分布律為：的分布律為：注 求分布律，首先弄清 X 的確切含義及其所有可能取值。例例3 上海的“天天彩”中獎率為p ，某人每天買 1 張， 若不中獎第二天繼續(xù)買 1張， 直至中獎為止。求該人購買次數(shù) X 的分布律。X= k 表示購買了表示購買了 k 張，張， 前前 k-1張都未張都未中獎，中獎， 第第 k 張中了獎。張中了獎。 ,2,1k)p1( p)kX(P1k 幾何分布適用于試驗首次成功的場合適用于試驗首次成功

7、的場合解：解：1 2 3 k-1 k 例例4 一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設有一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號它信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等燈顯示的時間相等. 以以 X 表示該汽車首次遇到紅表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)，求燈前已通過的路口的個數(shù)，求 X 的概率分布。的概率分布。Ai = 第第 i 個路口遇紅燈個路口遇紅燈 ， i=1，2，3解解:設設依題意，依題意， X 可取值可取值 0，1，2，3。 P X=0 =P (

8、A1 ) =P X1路口路口3路口路口2路口路口112P( A A )1(1p)p4路口路口3路口路口2路口路口1p =1 / 2 ， P X2 123P( A A A )21(1p) p8路口路口3路口路口2路口路口1P X3123P( A A A )31(1p)8路口路口3路口路口2路口路口1概率分布：二項分布貝努里概型和二項分布例例 設生男孩的概率為設生男孩的概率為p，生女孩的概率為，生女孩的概率為q=1-p，令令X表示隨機抽查出生的表示隨機抽查出生的4 4個嬰兒中個嬰兒中“男孩男孩”的個數(shù)。的個數(shù)。我們來求我們來求X的概率分布。的概率分布。X表示隨機抽查的表示隨機抽查的4 4個嬰兒中男

9、孩的個數(shù)，個嬰兒中男孩的個數(shù)，生男孩的概率為生男孩的概率為 p.04C04p (1p) 14 1p (1p) 14C34C24C44C24 2p (1p) X=0X =1X =2X =3X =434 3p (1p) 44 4p (1p) kk4 k4P(Xk)C p (1p)k0,1,2, 3,4 設試驗設試驗 E 只有兩個結果：只有兩個結果：和和 ，記記: :將將 E 獨立地重復獨立地重復 n 次，則稱這一串重次，則稱這一串重復的獨立試驗為復的獨立試驗為 n 重貝努利重貝努利( Bernoulli )試試驗，簡稱為貝努利驗，簡稱為貝努利( Bernoulli )試驗試驗P( A)p,P( A

10、)1pq(0p1)A在在n重貝努利試驗中重貝努利試驗中，事件，事件A可能發(fā)生可能發(fā)生0, 1,2, n 次次kkn knP(Xk)C p (1p)k0,1,2,n L L稱稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p 的二項分布的二項分布( (binomial) )。X B( n, p )記作：記作： 當當n=1時，時， P(X=k) = pk (1-p)1-k k = 0,1 即即0-1分布分布（2）每次試驗只考慮兩個互逆結果）每次試驗只考慮兩個互逆結果A或或 ， A 貝努里概型對試驗結果沒有等可能的要求，貝努里概型對試驗結果沒有等可能的要求，但有下述要求：但有下述要求：（1）每次試驗條件相同；）每次試

11、驗條件相同； 且且P(A)=p ， ； P( A)1p（3）各次試驗相互獨立。）各次試驗相互獨立。二項分布描述的是 n 重貝努里試驗中出現(xiàn)“成功”次數(shù) X 的概率分布。 二項分布二項分布 的分布特點：的分布特點： XB(n,p) 當當(n+1)p為整數(shù)時，二項概率為整數(shù)時，二項概率P(X=k) 在在 k=(n +1)p 和和 k =(n+1)p-1 處達到最大值；處達到最大值；當當(n+1)p不為整數(shù)時，二項概率不為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在在 k=(n+1)p 達到最大值。達到最大值。計算計算例例5 已知已知100個產品中有個產品中有5個次品，現(xiàn)從中個次品，現(xiàn)從中有放回地取有放回地取3次

12、，每次任取次，每次任取1個，求在所取個，求在所取的的3個中恰有個中恰有2個次品的概率。個次品的概率。解解:依題意，依題意，p = 0.05設設 X 為所取的為所取的3個中的次品數(shù)。個中的次品數(shù)。則則 X B( 3, 0.05 ) ,于是，所求概率為于是，所求概率為：2213P X=2= C 0.05 0.950.007125 計算計算例例6設有設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設備，且一臺設備的故障能由一個人處理?？紤]兩種配備維修的故障能由一個人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，其一是由工人的方法

13、，其一是由4人維護，每人負責人維護，每人負責20臺；其二是由臺；其二是由3人共同維護人共同維護80臺。試比較這兩臺。試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率大小。率大小。 kP Xk 1 1=0=0=1-=1-002011192020C0.01 0.99C0.01 0.99 =1-=1-X = 第第1人維護的人維護的20臺中同一時刻故障臺數(shù)；臺中同一時刻故障臺數(shù)；Ai ：第：第i人維護的人維護的20臺故障不能及時維修臺故障不能及時維修” （i1， 2， 3， 4）；）；1234P( AAAA ) P X21P( A ) =0 0169. .解：解

14、： 按第一種方法。按第一種方法。而而Xb（20， 0.01），），故有故有80臺中發(fā)生故障而不臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：能及時維修的概率為：計算計算 P Y4 設：Y=80臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)；按第二種方法。按第二種方法。0.0087 k80 kk800.010.99k 3 3=0=0=1-=1- N ) N) 300kk300 k300kN1C( 0.01) ( 0.99 ) k3300kN13 ek! n大，大， p小，小， np=3，用用 =np=3的泊松近似的泊松近似 我們求滿足我們求滿足k3kN13 e0.01k! 的最小的的最小的N.查泊松分布表得查泊松分布表得3k

15、k 9e30.0038,k! 3kk 8e30.012,k! N+1 9，即即N 8即至少需配備即至少需配備8個維修人員個維修人員.計算計算x定義 設 X 為隨機變量， x 是任意實數(shù) ， 稱函數(shù)xxF()P()xX, 為X 的分布函數(shù)。幾何意義：Xx分布函數(shù)的基本性質1. 單調性單調性1212xxF( x )F( x )有有2. 有界性有界性1x0F( x )1有有F()0F()1 且且，3. 右連續(xù)性右連續(xù)性000 xxxlim F( x )F( x )， 有有鑒別一個函數(shù)是否是某隨機變量的分布函鑒別一個函數(shù)是否是某隨機變量的分布函數(shù)的充分必要條件。數(shù)的充分必要條件。x 由定義知 X 落在

16、區(qū)間( a ，b 里的概率可用分布函數(shù)來計算：P(aXb) P( Xb) P( Xa) F(b)F(a) baaxP( X)a P( Xa)?PaxXa x0 limP( Xa) F(a)F(a0 ) aa-xxF(a)F(ax ) x0 limXa1P() 1F(a ) 用分布函數(shù)表示概率P( aXb )F( b )F( a ) P( Xa)F(a)F(a0 )P(aXb)P(aXb)P(aXb)請?zhí)羁誇(b)F(a0 )F(b0 )F(a)F(b0 )F(a0 )解 ：X 的分布律為 例例1 1 求例2中的分布函數(shù) 并作圖. F(x)012x715115 分布函數(shù)為 F(x) PXx 0

17、x0 70 x115 141x215 1x2 xxxx012x1F(x)的圖形為:)(xF7/157/151/15一般情形為:F( x)P( Xx) x2x1x1xnxkpkp2p1pnxkkk: xxp kkk: xxP( Xx ) U U例2 設隨機變量設隨機變量 X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為:F xABxx ( )arctan ,試求：（試求：（1）系數(shù)）系數(shù) A， B ; （2）X落在（落在（-1，1）內的概率）內的概率解：由性質解：由性質F()0, F()1 AB()0 ,AB()12211A,B2 P 1X1F(1)F( 1) 111p=arctan( )-arctan(- )12

18、柯西分布函數(shù)離散隨機變量的分布函數(shù) F( x) 是分段階梯函數(shù)，是分段階梯函數(shù)， 在在 X 的可能取值的可能取值 xk 處處發(fā)生間斷，發(fā)生間斷， 間斷點為第一類跳躍間斷點，間斷點為第一類跳躍間斷點， 在間斷在間斷點處有躍度點處有躍度 pkkkk: xxF( x)P( Xx)p kkkk 1pP(Xx )F(x ) F(x) xyy = f(x)F(x)PxX xf tt ( )dxf tt ( )dxX返回返回 對任意實數(shù) x ， 若隨機變量 X 的分布函數(shù)可寫成：定義定義2.3xF xf ttx ( )( )d其中其中 ，則稱，則稱 X 是連續(xù)型隨機是連續(xù)型隨機變量，稱變量，稱f ( x )

19、為為X 的概率密度函數(shù)，的概率密度函數(shù)， 簡簡稱為密度函數(shù)或概率密度。稱為密度函數(shù)或概率密度。 記為記為:f( x )0 X f(x)概率密度概率密度 f(x) 的性質的性質常利用這兩個性質檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)。f( x )0 1.f tt1 ( )d2.3. 在在 f (x) 的連續(xù)點處有的連續(xù)點處有f( x)F ( x) 4. 對連續(xù)型隨機變量對連續(xù)型隨機變量 X 有：有：P(aXb) 1.P(Xa)F(a) F(a 0) 0 P(aXb) P(aXb) baf(t)dt F(b)F(a) P(aXb)2.P xXxxf xxd ( )d3.圖形

20、圖形例例1 1 已知某型號電子管的使用壽命 X 為連續(xù)隨機變量， 其密度函數(shù)為：2cf ( x ),x1000 x0 其其他他(1) 求常數(shù)求常數(shù) c ； (2) 計算P( X17001500X2) ;000 (3) 已知一設備裝有3個這樣的電子管， 每個電子管能否正常工作相互獨立， 求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率。解：解：(1) 令令21000cf(xxxx1 )dd1000cx c = 1000(2) P( X17001500X2000 ) P( X1700,1500X2000) P(1500X2000) P(1500X1700) P(1500X2000) 170021500

21、1000 xx d2000215001000 xx d451162451 c1000(3)設設A 表示一個電子管的壽命小于表示一個電子管的壽命小于1500小時小時15000P(A)P 0X1500f xx ( )d15002100010001xx3 d設在使用的最初設在使用的最初1500小時三只晶體管中小時三只晶體管中損壞的只數(shù)為損壞的只數(shù)為Y1 B ( 3 ,)313 1134911P(Y1)C133 20,x0F( x )x ,0 x11,x1 例例2 設隨機變量設隨機變量 X 的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：(1) 求求X取值在區(qū)間取值在區(qū)間 (0.3，0.7)的概率；的概率；(2) 求求X

22、的概率密度。的概率密度。解解: (1) P(0.3X0.7）= 0.72- 0.32 = 0.4=F(0.7)-F(0.3)20,x0F( x )x ,0 x11,x1 例例3 設隨機變量設隨機變量 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F xxd( )d解解: (2) f(x)=注意到F(x)在x=1處導數(shù)不存在，根據(jù)改變被積函數(shù)在個別點處的值不影響積分結果的性質，可以在 沒意義的點處，任意規(guī)定 的值。F ( x ) F ( x ) 2x,0 x10, 其其它它若隨機變量若隨機變量 X 的的密度函數(shù)為：密度函數(shù)為：1axbf ( x )ba0 其其他他xf ( x)ab則稱 X 服從區(qū)間 a ， b

23、上的均勻分布。均勻分布。X U(a,b )記作記作均勻分布例例4 4 若X U( a,b )，求 F (x) 。解：解：xF xf tt ( )( )dxf ( x)abx 1xb xaaxbba 0 x 0為未知參數(shù)，則稱為未知參數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)服從參數(shù)為為，的正態(tài)分布，記為：的正態(tài)分布，記為：2X N (,) 正態(tài)分布 正態(tài)分布有廣泛的應用，如地區(qū)的年降雨量正態(tài)分布有廣泛的應用，如地區(qū)的年降雨量, ,在正常條件下各種產品的質量指標，如零件的尺在正常條件下各種產品的質量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農作物的產量，小麥的寸；纖維的強度和張力；農作物的產量，小麥的穗長、株高；測量誤

24、差，射擊目標的水平或垂直穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。布。0-+1222( x)12ye xy正態(tài)分布密度函數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)00.20.40.60.811.21.40.512動態(tài)動態(tài)演示演示,當=0, =1時當=0, =1時稱 X 服從標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布概率密度函數(shù)為：概率密度函數(shù)為：2x21( x )e2 分布函數(shù)為：分布函數(shù)為：2tx21( x )edt2 ( x ) 的函數(shù)值可查正態(tài)分布表。的函數(shù)值可查正態(tài)分布表。例：例：X N(0,1)P X1 求求P X1 (1) 查表查表0.

25、8413記為：記為：X N(0,1 )1( x ) (x ) 對標準正態(tài)分布，有：對標準正態(tài)分布，有：0 x-x2X N(,) 一一般般，ZFZ( x )證：的分布函數(shù)為：證：的分布函數(shù)為：引理：2.XX N(,)ZN(0,1) : :若若，則則P Xx22( t)x21edt2 tutudtdu 令令或或2ux21edu2 ( x ) XP ZxPx 2X N(,) 若若XxP XxPxF()ZxxP ZF ()x() 于是：2211F( xP xXx)F( x12xx()()例例3：2X N(,)1 ) P X2 ) P X23 ) P X3 設設求求：P X1 ) 解解：()() (1

26、)(1 ) PX PXF()F()20.841368.26%1 2(1)1 2 )PP X22X2 2()2() ( 2 )(2 )2( 2 )121 095.44%.9772 P2X2 F(2)F(2)3 )PP X33X3 ( 3 )(3 )2( 3 )121 099.74%.9987 這在統(tǒng)計學上稱作這在統(tǒng)計學上稱作“3 “3 準則準則” （三倍標準差原則）。）。可以認為，可以認為，Y 的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在3,3 區(qū)間內區(qū)間內. . 分位點分位點2X N(,) 設設zP Xz 若若滿滿足足條條件件：則則 稱為標準正態(tài)分布的上稱為標準正態(tài)分布的上 分位點。分位點。 z

27、0 z 1z 1zz 常用 值：z z 問題的提出 在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣更感興趣.例如，已知例如，已知 t=t0 時刻噪聲電壓時刻噪聲電壓 V 的分布，的分布，t0t0求功率求功率 W = V 2/R 的分布的分布 設隨機變量設隨機變量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (設設g是連續(xù)函數(shù)），如何由是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分的分布？布？ 這個問題無論在實踐中還是在理論上這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的。都是重要的。下面進行討論。下面進行討論。例例 離散型隨機變量函數(shù)的分布離散型隨機變量函數(shù)的

28、分布求求 Y 1= 2X 1 與與 Y 2= X 2 的分布律的分布律解:Y 1= 2X 1 的分布律的分布律:解:Y 2= X 2 的分布律的分布律:結論設隨機變量設隨機變量 X 的分布律為：的分布律為：kkP( Xx )p , k1,2, L L由已知函數(shù)由已知函數(shù) g( x)可求出隨機變量可求出隨機變量 Y 的所有的所有可能取值，則可能取值，則 Y 的概率分布為：的概率分布為：kiikk: g( x ) yP(Yy )p , i1,2, L L連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布分布函數(shù)法分布函數(shù)法問題：XYXf ( x )Yg( X ),Yf ( y) 已知：隨機變量的概率密度函數(shù)為已知：隨機變量的概率密度函數(shù)為隨機變量求 的概率密度函數(shù) 隨機變量求 的概率密度函數(shù) YYYF ( y),Yf ( y)先求出 的分布函數(shù)先求出 的分布函數(shù)再求 的概率密度函數(shù) 再求 的概率密度函數(shù) 方法：例例2 設隨機變量設隨機變量X具有概率密度具有概率密度Xf ( x )x, ， -， -2YYXf ( y) 求的概率密度函數(shù) 求的概率密度函數(shù) 解：解：YF ( y )PYy Q Qy 0PyXy XXF (y )F (y )yxy yyy2P Xy XXY1 f (y )f (y )y02yf ( y )0y0 XX11f (y )f (y