現(xiàn)代信號(hào)處理第5章-非平穩(wěn)信號(hào)處理方法_第1頁
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文檔簡介

1、2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室1第五章第五章 非平穩(wěn)信號(hào)處理方法非平穩(wěn)信號(hào)處理方法 經(jīng)典的傅里葉分析能夠完美地描繪平穩(wěn)的正弦信號(hào)及其組合,經(jīng)典的傅里葉分析能夠完美地描繪平穩(wěn)的正弦信號(hào)及其組合,但不能恰當(dāng)?shù)胤从撤瞧椒€(wěn)信號(hào)的特征。但不能恰當(dāng)?shù)胤从撤瞧椒€(wěn)信號(hào)的特征。 許多隨機(jī)過程從本質(zhì)上來講是非平穩(wěn)的,例如語音信號(hào)、沖許多隨機(jī)過程從本質(zhì)上來講是非平穩(wěn)的,例如語音信號(hào)、沖擊響應(yīng)信號(hào)擊響應(yīng)信號(hào) 、機(jī)組啟、停機(jī)信號(hào)等。、機(jī)組啟、停機(jī)信號(hào)等。 必須尋找既能夠反映時(shí)域特征又能夠反映頻域特征的新方法。必須尋找既能夠反映時(shí)域特征又能夠反映頻域特征的新方法。本章介紹短時(shí)傅里葉變換、小波變換和小波包分析等

2、非平穩(wěn)本章介紹短時(shí)傅里葉變換、小波變換和小波包分析等非平穩(wěn)信號(hào)分析方法的原理、特點(diǎn)及其在工程中的應(yīng)用信號(hào)分析方法的原理、特點(diǎn)及其在工程中的應(yīng)用。2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室2第五章第五章 非平穩(wěn)信號(hào)處理方法非平穩(wěn)信號(hào)處理方法 5.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 5.2 小波變換小波變換 5.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè) 5.4 工程應(yīng)用工程應(yīng)用 2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室3第五章第五章 非平穩(wěn)信號(hào)處理方法非平穩(wěn)信號(hào)處理方法 5.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 5.2 小波變換小波變換 5.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波包信

3、號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè) 5.4 工程應(yīng)用工程應(yīng)用 2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室45.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù)傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù) ,通過內(nèi)積,通過內(nèi)積運(yùn)算去變換信號(hào)運(yùn)算去變換信號(hào) ,得到其頻譜,得到其頻譜 。(5.1.1)v 這一變換建立了一個(gè)從時(shí)域到頻域的譜分析通道。這一變換建立了一個(gè)從時(shí)域到頻域的譜分析通道。v 頻譜頻譜X(f) 顯示了用正弦基函數(shù)分解出顯示了用正弦基函數(shù)分解出x(t) 中任一正弦頻率中任一正弦頻率f 的總強(qiáng)度。的總強(qiáng)度。v 傅里葉譜分析提供了平均的頻譜系數(shù),只與頻率傅里葉譜分析提供了平均的頻譜系數(shù),只與頻

4、率f 有關(guān),而與時(shí)間有關(guān),而與時(shí)間t無關(guān)。無關(guān)。v 傅里葉分析還要求所分析的隨機(jī)過程是平穩(wěn)的傅里葉分析還要求所分析的隨機(jī)過程是平穩(wěn)的. . 1946年年Gabor提出了窗口傅里葉變換,稱為短時(shí)傅里葉提出了窗口傅里葉變換,稱為短時(shí)傅里葉變換變換(Short Time Fourier Transform, STFT)。)。 ftje 2)(tx( )X f2 2 2 ( )( )( )() d( ), jftjftjftX fx t edtx t etx te 2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室55.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 由加窗信號(hào)由加窗信號(hào) 的傅里葉變換產(chǎn)生短時(shí)傅里葉變換。的

5、傅里葉變換產(chǎn)生短時(shí)傅里葉變換。(5.1.2) 是中心位于是中心位于 ,高度為,高度為 1、寬度有限的時(shí)窗函數(shù),通過、寬度有限的時(shí)窗函數(shù),通過 所觀察到的信所觀察到的信號(hào)號(hào) 的部分是的部分是 。 是是 STFT的基函數(shù)。的基函數(shù)。 )()(thtxftjftjftjxethtxtethtxtethtxfSTFT2 22*)(),(d)()(d )( )() ,()(th0)(th)(tx)()(thtxtx(t)h(t)h(t-)x(t)h(t)01ftjeth2)( 2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室65.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 窗函數(shù)窗函數(shù) 的選取是關(guān)鍵。的選取是關(guān)鍵。最優(yōu)

6、窗函數(shù)是高斯函數(shù)。最優(yōu)窗函數(shù)是高斯函數(shù)。 (5.1.3) 高斯窗函數(shù)的形狀是:高斯窗函數(shù)的形狀是: 1 ,1/4 ,1/16 )(th4221)(tGeth02022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室75.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換給定窗函數(shù)給定窗函數(shù) 和它的傅里葉變換和它的傅里葉變換 ,則帶寬,則帶寬 為為 (5.1.4)STFT的頻率分辨率是的頻率分辨率是 。兩個(gè)正弦波之間的頻率間隔。兩個(gè)正弦波之間的頻率間隔大于大于 ,則可區(qū)分這兩個(gè)正弦波。,則可區(qū)分這兩個(gè)正弦波。STFT的時(shí)間分辨率是的時(shí)間分辨率是 ,有,有(5.1.5)兩個(gè)脈沖的時(shí)間間隔大于兩個(gè)脈沖的時(shí)間間隔大于 ,則可區(qū)分這兩

7、個(gè)脈沖。,則可區(qū)分這兩個(gè)脈沖。 )(th)( fHfffHffHffd)(d)()(2222ffttthtthttd)(d)()(2222t2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室85.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換時(shí)間分辨率時(shí)間分辨率 和頻率分辨率和頻率分辨率 不可能同時(shí)任意小,根據(jù)不可能同時(shí)任意小,根據(jù)Heisenberg不確定性原理,有以下限制不確定性原理,有以下限制(5.1.6)上式中,當(dāng)且僅當(dāng)采用了高斯窗函數(shù),等式成立。上式中,當(dāng)且僅當(dāng)采用了高斯窗函數(shù),等式成立。時(shí)間分辨率和頻率分辨率一旦確定,則時(shí)間分辨率和頻率分辨率一旦確定,則STFT在整個(gè)時(shí)頻在整個(gè)時(shí)頻平面上的時(shí)頻分辨率保持

8、不變。平面上的時(shí)頻分辨率保持不變。短時(shí)傅里葉變換能夠分析非平穩(wěn)動(dòng)態(tài)信號(hào),其基礎(chǔ)是傅里短時(shí)傅里葉變換能夠分析非平穩(wěn)動(dòng)態(tài)信號(hào),其基礎(chǔ)是傅里葉變換,更適合分析準(zhǔn)平穩(wěn)葉變換,更適合分析準(zhǔn)平穩(wěn)(quasi-stationary)信號(hào)。信號(hào)。反映信號(hào)高頻成份需要用窄時(shí)窗,而反映信號(hào)低頻成份需反映信號(hào)高頻成份需要用窄時(shí)窗,而反映信號(hào)低頻成份需要用寬時(shí)窗。短時(shí)傅里葉變換不能同時(shí)滿足這些要求。要用寬時(shí)窗。短時(shí)傅里葉變換不能同時(shí)滿足這些要求。 ft41ft2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室9第五章第五章 非平穩(wěn)信號(hào)處理方法非平穩(wěn)信號(hào)處理方法 5.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 5.2 小波變換小波變換

9、5.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè) 5.4 工程應(yīng)用工程應(yīng)用 2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室105.2 小波變換小波變換近年來在工具和方法上有重大突破的小波變換,為非平穩(wěn)近年來在工具和方法上有重大突破的小波變換,為非平穩(wěn)信號(hào)分析展示了美好的前景。信號(hào)分析展示了美好的前景?!靶〔ㄐ〔ā本褪切〉牟ㄐ?。所謂就是小的波形。所謂“小小”是指局部非零,波形是指局部非零,波形具有衰減性;具有衰減性;“波波”則是指它具有波動(dòng)性,包含有頻率的則是指它具有波動(dòng)性,包含有頻率的特性。特性。小波分析的思想來源于伸縮和平移方法。小波分析的思想來源于伸縮和平移方法。 1910年年

10、A. Haar提出的規(guī)范正交系提出的規(guī)范正交系 1984年,年,J. Morlet在分析地震數(shù)據(jù)的局部性時(shí)引進(jìn)了小波概念。在分析地震數(shù)據(jù)的局部性時(shí)引進(jìn)了小波概念。 1986年,年,Y. Meyer構(gòu)造出二進(jìn)伸縮、平移小波基函數(shù),掀起小波研究熱潮。構(gòu)造出二進(jìn)伸縮、平移小波基函數(shù),掀起小波研究熱潮。 1987年,年,S. G. Mallat將多分辨思想引入小波分析,提出快速塔形算法。將多分辨思想引入小波分析,提出快速塔形算法。 1988年,年,I. Daubechies構(gòu)造了緊支集正交小波基,完善小波理論體系。構(gòu)造了緊支集正交小波基,完善小波理論體系。 1989到到1991年,年,R. R. Co

11、ifman、M. V. Wickerhauser等提出小波包及算法。等提出小波包及算法。 1997年,年,W. Sweldens提出第二代小波變換的概念和算法。提出第二代小波變換的概念和算法。w近一個(gè)世紀(jì),特別是近二十年來,小波理論和算法發(fā)展突近一個(gè)世紀(jì),特別是近二十年來,小波理論和算法發(fā)展突飛猛進(jìn)。為信號(hào)處理領(lǐng)域里各自獨(dú)立開發(fā)的方法建立了一飛猛進(jìn)。為信號(hào)處理領(lǐng)域里各自獨(dú)立開發(fā)的方法建立了一個(gè)統(tǒng)一的框架個(gè)統(tǒng)一的框架2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室115.2 小波變換小波變換由基本小波或母小波由基本小波或母小波 通過伸縮通過伸縮 a 和平移和平移 b 產(chǎn)生一個(gè)函數(shù)產(chǎn)生一個(gè)函數(shù)族族 稱為

12、小波。有稱為小波。有(5.2.1) 式中式中 是尺度因子,是尺度因子, , 是時(shí)移因子。是時(shí)移因子。 ,波形收縮;,波形收縮; ,波形伸展。,波形伸展。 保證在不同的保證在不同的 值下,即在小波函數(shù)的伸縮過程中能量保持相等。值下,即在小波函數(shù)的伸縮過程中能量保持相等。w信號(hào)信號(hào) 的小波變換為的小波變換為(5.2.2)小波變換是用小波基函數(shù)小波變換是用小波基函數(shù) 代替傅里葉變換中的基函數(shù)代替傅里葉變換中的基函數(shù) 以及短時(shí)傅里葉變以及短時(shí)傅里葉變換中的基函數(shù)換中的基函數(shù) 而進(jìn)行的內(nèi)積運(yùn)算。而進(jìn)行的內(nèi)積運(yùn)算。 w小波變換的實(shí)質(zhì)就是以基函數(shù)小波變換的實(shí)質(zhì)就是以基函數(shù) 的形式將信號(hào)的形式將信號(hào) 分解為分

13、解為不同頻帶的子信號(hào)。不同頻帶的子信號(hào)。 ( ) t)( ,tab abtatab2/1 ,)(a0ab1a1a)(tx2/1aa( ) tftje2ftjeth2)( )(txabt)( ),(d)()() ,(,*2/1ttxtabttxaabWTabx2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室125.2 小波變換小波變換對(duì)信號(hào)對(duì)信號(hào) 進(jìn)行小波變換相當(dāng)于通過小波的尺度因子和時(shí)進(jìn)行小波變換相當(dāng)于通過小波的尺度因子和時(shí)移因子變化去觀察信號(hào)。移因子變化去觀察信號(hào)。小波變換的局部化是變化的,在高頻處時(shí)間分辨率高,頻小波變換的局部化是變化的,在高頻處時(shí)間分辨率高,頻率分辨率低;在低頻處時(shí)間分辨率低,

14、頻率分辨率高,即率分辨率低;在低頻處時(shí)間分辨率低,頻率分辨率高,即具有具有“變焦變焦”的性質(zhì),也就是具有自適應(yīng)窗的性質(zhì)。的性質(zhì),也就是具有自適應(yīng)窗的性質(zhì)。 )(tx尺尺度度 時(shí)寬減小(頻寬增大時(shí)寬減?。l寬增大) 時(shí)寬增大(頻寬減小時(shí)寬增大(頻寬減?。﹖平平 移移 bccdda2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室135.2 小波變換小波變換式式(5.2.2) 通過變量置換可改寫為通過變量置換可改寫為(5.2.3)隨著尺度因子隨著尺度因子 的改變,通過一個(gè)恒定的濾波器的改變,通過一個(gè)恒定的濾波器 觀察到被伸展或壓縮了的信號(hào)波形觀察到被伸展或壓縮了的信號(hào)波形 。尺度因子解釋了信號(hào)在變換過程中

15、尺度的變化,用大尺度尺度因子解釋了信號(hào)在變換過程中尺度的變化,用大尺度可觀察信號(hào)的總體,用小尺度可觀察信號(hào)的細(xì)節(jié)??捎^察信號(hào)的總體,用小尺度可觀察信號(hào)的細(xì)節(jié)。式式(5.2.3)解釋了為什么在解釋了為什么在S. G. Mallat的小波信號(hào)分解塔形的小波信號(hào)分解塔形快速算法中,始終使用同樣的低通與高通濾波器的道理??焖偎惴ㄖ?,始終使用同樣的低通與高通濾波器的道理。 a)/(abt )(atx)( ),(d)()() ,(2/1*2/1abtatxatabtatxaabWTx2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室145.2 小波變換小波變換小波函數(shù)族還可采用如下定義:小波函數(shù)族還可采用如下定義

16、: (5.2.4)優(yōu)點(diǎn)是在不同尺度下可以保持各優(yōu)點(diǎn)是在不同尺度下可以保持各 的頻譜中幅頻特性的頻譜中幅頻特性大小一致。因?yàn)榇笮∫恢隆R驗(yàn)?設(shè)設(shè) 的傅里葉變換是的傅里葉變換是 ,則,則 的傅里葉變換是的傅里葉變換是與與 相比,只有頻率坐標(biāo)比例變化,幅度沒有變化。相比,只有頻率坐標(biāo)比例變化,幅度沒有變化。 參見參見p48p48性質(zhì)性質(zhì)(4)(4) abtatab1)(,)(,tab)(t)()()(1aaaa)()/(1ata2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室155.2 小波變換小波變換式式(5.2.2)的內(nèi)積運(yùn)算可以用卷積運(yùn)算來表示。這是因?yàn)榈膬?nèi)積運(yùn)算可以用卷積運(yùn)算來表示。這是因?yàn)閮?nèi)積:

17、內(nèi)積: 5.2.4) 卷積:卷積: 或記作或記作 兩式相比較,只是將兩式相比較,只是將 改成改成 ,即,即 首尾對(duì)調(diào)。首尾對(duì)調(diào)。如果如果 是關(guān)于是關(guān)于 的對(duì)稱函數(shù),則計(jì)算結(jié)果無區(qū)別;的對(duì)稱函數(shù),則計(jì)算結(jié)果無區(qū)別; 如果是非對(duì)稱,在計(jì)算方法上也無本質(zhì)區(qū)別。如果是非對(duì)稱,在計(jì)算方法上也無本質(zhì)區(qū)別。tttxttxd)()()( ),(*d)()()()(*txttxtttxd)()(*)(t)()(tt)(t)(t0t2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室165.2 小波變換小波變換當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時(shí),信號(hào)所包含機(jī)器不同零部件的故障特當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時(shí),信號(hào)所包含機(jī)器不同零部件的故障特征頻率分布在不

18、同的頻帶里。征頻率分布在不同的頻帶里。如何提取這些被淹沒的微弱信息而實(shí)現(xiàn)故障的早期診斷問如何提取這些被淹沒的微弱信息而實(shí)現(xiàn)故障的早期診斷問題,往往使傳統(tǒng)的信號(hào)分析技術(shù)無能為力。題,往往使傳統(tǒng)的信號(hào)分析技術(shù)無能為力。 小波變換能夠?qū)崿F(xiàn)信號(hào)在不同頻帶、不同時(shí)刻的合理分離。小波變換能夠?qū)崿F(xiàn)信號(hào)在不同頻帶、不同時(shí)刻的合理分離。這種分離相當(dāng)于同時(shí)使用一個(gè)低通濾波器和若干個(gè)帶通濾這種分離相當(dāng)于同時(shí)使用一個(gè)低通濾波器和若干個(gè)帶通濾波器而不丟失任何原始信息。波器而不丟失任何原始信息。為機(jī)器零部件故障特征頻率的分離、微弱信息的提取以實(shí)為機(jī)器零部件故障特征頻率的分離、微弱信息的提取以實(shí)現(xiàn)早期故障診斷提供了高效、有

19、力的工具?,F(xiàn)早期故障診斷提供了高效、有力的工具。特別要強(qiáng)調(diào),這些優(yōu)點(diǎn)來自小波變換的多分辨分析和小波特別要強(qiáng)調(diào),這些優(yōu)點(diǎn)來自小波變換的多分辨分析和小波基函數(shù)的正交性?;瘮?shù)的正交性。2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室175.2 小波變換小波變換5.2.1 多分辨分析及其工程意義在平方可積實(shí)數(shù)空間在平方可積實(shí)數(shù)空間 的多分辨分析是指存在一系列的閉的多分辨分析是指存在一系列的閉子空間子空間 ,(,( 代表分辨率為代表分辨率為 的多分辨分析子空間)的多分辨分析子空間) 是是 在在 中的正交補(bǔ)空間。這些子空間具有以下性質(zhì):中的正交補(bǔ)空間。這些子空間具有以下性質(zhì):1) 1) 一致單調(diào)性:一致單調(diào)性

20、: (5.2.7)性質(zhì)性質(zhì)1)表明分辨率為表明分辨率為 的子空間的子空間 中的逼近信號(hào)包含了分辨率為中的逼近信號(hào)包含了分辨率為 的的子空間子空間 的信息以及分辨率低于的信息以及分辨率低于 的所有信息。這也稱為因果性質(zhì)。的所有信息。這也稱為因果性質(zhì)。2) 2) 漸近完全性:漸近完全性: (5.2.8)性質(zhì)性質(zhì)2)表明所有子空間組成表明所有子空間組成 函數(shù)空間。隨著分辨率的提高,逼近信號(hào)函數(shù)空間。隨著分辨率的提高,逼近信號(hào)就更接近原始信號(hào);反之,隨著分辨率的降低,逼近信號(hào)所包含的信息就就更接近原始信號(hào);反之,隨著分辨率的降低,逼近信號(hào)所包含的信息就越來越少。因此,在以分辨率為越來越少。因此,在以分

21、辨率為 時(shí)得到的逼近信號(hào)與原始信號(hào)相比較,時(shí)得到的逼近信號(hào)與原始信號(hào)相比較,將會(huì)丟失部分信息。將會(huì)丟失部分信息。)(2RL ZjjV jWjV1jV;101VVVjVj212j1jVj2jVj2);(2RLVZjj ;0ZjjV)(2RLj22022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室185.2 小波變換小波變換5.2.1 多分辨分析及其工程意義3) 3) 伸縮規(guī)則性:伸縮規(guī)則性: (5.2.9)性質(zhì)性質(zhì)3)表明所有的子空間可以由一個(gè)基本空間通過尺度的伸縮變化得到,表明所有的子空間可以由一個(gè)基本空間通過尺度的伸縮變化得到,在不同的分辨率時(shí),逼近運(yùn)算相同。在不同的分辨率時(shí),逼近運(yùn)算相同。4) 4)

22、 平移不變性:平移不變性: (5.2.10)性質(zhì)性質(zhì)4)表明子空間信號(hào)在時(shí)間上平移,信號(hào)仍在該子空間,分辨率不變。表明子空間信號(hào)在時(shí)間上平移,信號(hào)仍在該子空間,分辨率不變。5) 5) 正交補(bǔ)全性:正交補(bǔ)全性: (5.2.11) 符號(hào)符號(hào) 表示表示 “ “正交和正交和”。 是尺度函數(shù)空間,是尺度函數(shù)空間, 是小波函數(shù)空間,它們是小波函數(shù)空間,它們相互正交,即相互正交,即 。 , 尺度函數(shù)尺度函數(shù) 與與 小波函數(shù)小波函數(shù) 正交正交, ,內(nèi)內(nèi)積積 (5.2.13)反復(fù)使用式反復(fù)使用式(5.2.11)和關(guān)系和關(guān)系 ,得到小波逼近空間表達(dá)式,得到小波逼近空間表達(dá)式 (5.2.13); ,)2()(1Zj

23、VtxVtxjj; ,)()(ZjVktxVtxjj; ,1ZjWVVjjjjVjWjVjW0j0V)(t0W)(t)()(),(lkktltjVjWjZjWWWWRL1012)(2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室195.2 小波變換小波變換5.2.1 多分辨分析及其工程意義6)6)Riesz基存在性基存在性: :存在存在 , ,使使 是是 的的Riesz基?;?。 同樣使同樣使 構(gòu)成構(gòu)成 的的Riesz基基 (5.2.12)性質(zhì)性質(zhì)6)指存在正常數(shù)指存在正常數(shù) , 有有 , 對(duì)于任意序列對(duì)于任意序列 ( 表示所有雙無限平方可求和序列空間)滿足表示所有雙無限平方可求和序列空間)滿足 (5

24、.2.15) 上式是上式是 的有界性條件,的有界性條件, A和和B分別稱為分別稱為Riesz基下界和上界。基下界和上界。 根據(jù)式根據(jù)式(5.2.9) 的伸縮規(guī)則性,如果的伸縮規(guī)則性,如果 是空間是空間 的的Riesz基,則基,則 是空間是空間 的的Riesz基。基。 Riesz基的特點(diǎn)是它的元素線性獨(dú)立,沒有冗余的元素基的特點(diǎn)是它的元素線性獨(dú)立,沒有冗余的元素 。就能保證小波。就能保證小波 的冗余度盡可能小,這對(duì)信號(hào)的特征提取十分有利。的冗余度盡可能小,這對(duì)信號(hào)的特征提取十分有利。 0)(Vt Zkkt )(0VZkjkt )2(jVBA ,2 lcZkk2lZkZkkZkkkcBktccA2

25、222 )( BA0Zkkt )(BA0Zkkt )(0VZkjkt )2(jV)(,tkj2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室205.2 小波變換小波變換5.2.1 多分辨分析及其工程意義基于多分辨分析逼近空間基于多分辨分析逼近空間 和細(xì)節(jié)空間和細(xì)節(jié)空間 的頻帶范圍。設(shè)的頻帶范圍。設(shè) 空間中信號(hào)空間中信號(hào) 屬于子空間屬于子空間 , 的頻譜的頻譜 區(qū)間為區(qū)間為 , ,則則 小波變換的多分辨分析將信號(hào)小波變換的多分辨分析將信號(hào) 分解到互相銜接的頻帶分解到互相銜接的頻帶 和和 中。中。 選定選定 或或 子空間中的分解信號(hào),相當(dāng)于獲得了濃縮的故障診斷信子空間中的分解信號(hào),相當(dāng)于獲得了濃縮的故障

26、診斷信 息,具有理想的工程實(shí)用價(jià)值。息,具有理想的工程實(shí)用價(jià)值。 )(2RL0V)(txjVjW)(X)(tx , 0 , 0 , 0)(| ),()(20XRLtxV2/ , 0 , 0)(| ),()(21XRLtxV , 2/ , 0)(| ),()(21XRLtxWmmXRLtxV2/ , 0 , 0)(| ),()(2122/ ,2/ , 0)(| ),()(mmmXRLtxWjVjW)(txjVjW2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室215.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取在機(jī)械動(dòng)態(tài)分析與監(jiān)測(cè)診斷過程中,希望盡可能減少小波在機(jī)械動(dòng)態(tài)分析與監(jiān)測(cè)

27、診斷過程中,希望盡可能減少小波基的冗余性,期望小波函數(shù)線性獨(dú)立,即希望小波函數(shù)是基的冗余性,期望小波函數(shù)線性獨(dú)立,即希望小波函數(shù)是一個(gè)一個(gè)Riesz基。基。由于正交性能夠保證獨(dú)立性,正交基是完備的內(nèi)積空間由于正交性能夠保證獨(dú)立性,正交基是完備的內(nèi)積空間(Hilbert空間空間)最理想的基函數(shù),所以我們最感興趣于尋找最理想的基函數(shù),所以我們最感興趣于尋找小波函數(shù)小波函數(shù) 是正交基是正交基。定義定義 5.2.1 (正交小波)(正交小波)定理定理 5.2.1 (標(biāo)準(zhǔn)正交基和尺度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正交基和尺度函數(shù) )定理定理 5.2.2 (由正交尺度基函數(shù)構(gòu)造出正交小波基函數(shù)(由正交尺度基函數(shù)構(gòu)造出正交小波基函

28、數(shù) ) kj , 2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室225.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取從包容關(guān)系從包容關(guān)系 ,有,有 ,所以,所以 可以可以利用利用 子空間的尺度基函數(shù)子空間的尺度基函數(shù) 展開,展開展開,展開系數(shù)為系數(shù)為 。由于由于 ,小波基函數(shù),小波基函數(shù) ,這一包,這一包容關(guān)系表明容關(guān)系表明 可以用可以用 中的尺度基函數(shù)中的尺度基函數(shù) 展展開,展開系數(shù)為開,展開系數(shù)為 ,有雙尺度關(guān)系,有雙尺度關(guān)系(5.2.19)10VV )(0, 0t10VV 1V)()(0, 0tt)2(2)(2/1, 1nttnZnnh 001WVV100 , 0)()

29、(VWtt)(t1V)2(2)(2/1, 1nttnZnng nnnnntgtntht)2(2)()2(2)(2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室235.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取根據(jù)式根據(jù)式(5.2.19)表示的雙尺度關(guān)系,表示的雙尺度關(guān)系, 中的尺度函數(shù)中的尺度函數(shù) 和和 中的小波函數(shù)中的小波函數(shù) 均可由均可由 中的尺度函數(shù)中的尺度函數(shù) 給出。給出。設(shè)設(shè) ,尺度函數(shù),尺度函數(shù) 和小波函數(shù)和小波函數(shù) 分別為分別為(5.2.20) (5.2.21)(5.2.20)jV)(tjjW)(tj1jV)(1tj)(t0j)(t01)(t其它10 t011)

30、(t其它12/12/10tt(d)t10(2t)1/21t10(2t-1)1/21t10(t)1/21-1t10(t)1(a)(b)(c) 12()2()() 12()2()(tttttt2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室245.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取序列序列 , 稱為正交鏡像濾波器稱為正交鏡像濾波器 (Quadrature Mirror Filters,QMF),有,有 , 。 和和 是是QMF的頻域形式。的頻域形式。由尺度函數(shù)由尺度函數(shù) 和小波函數(shù)和小波函數(shù) 的正交性及雙尺度方程得的正交性及雙尺度方程得(5.2.27)(5.2.28)(5

31、.2.29)構(gòu)造正交小波時(shí)濾波器和必須滿足以上三個(gè)條件,它們分構(gòu)造正交小波時(shí)濾波器和必須滿足以上三個(gè)條件,它們分別來自尺度函數(shù)的正交性、小波函數(shù)的正交性以及尺度函別來自尺度函數(shù)的正交性、小波函數(shù)的正交性以及尺度函數(shù)與小波函數(shù)之間的正交性。數(shù)與小波函數(shù)之間的正交性。Znnh Znng kjknjnhh ,22 2nh)(H)(G)(t)(t1)()(22HH1)()(22GG0)()()()(GHGH2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室255.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取小波系數(shù)小波系數(shù) 與尺度系數(shù)與尺度系數(shù) 之間的關(guān)系之間的關(guān)系 由式由式(5.2.2

32、8)和和(5.2.29),可得到,可得到 (5.2.30) 由上式及由上式及(5.2.26)可得到兩個(gè)濾波器系數(shù)之間的關(guān)系可得到兩個(gè)濾波器系數(shù)之間的關(guān)系 (5.2.31)w比較最后兩個(gè)等式兩邊比較最后兩個(gè)等式兩邊 的系數(shù),可以得到的系數(shù),可以得到(5.2.32) 若若 是實(shí)序列,共軛符號(hào)是實(shí)序列,共軛符號(hào) 省略。省略。 Znnh )()(HeGjkkjkkkjkkkkjkkkkjkjegeheheheG2/1112/1)1(2/1)(2/12) 1(2 ) 1(22)(kjekkkhg11) 1(Zk ngnh2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室265.2 小波變換小波變換5.2.2 正

33、交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取構(gòu)造滿足正交三條件的濾波器構(gòu)造滿足正交三條件的濾波器 和和 方法方法 1、設(shè)計(jì)滿足式、設(shè)計(jì)滿足式(5.2.27)的濾波器的濾波器 ,再根據(jù)式再根據(jù)式(5.2.30)設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì)濾波器 。2、由、由 得到得到 ,再由式,再由式(5.2.32)直接得到直接得到 。wS. G. Mallat基于基于2p+1階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式樣條函數(shù)構(gòu)造出樣條函數(shù)構(gòu)造出 (5.2.33)由式由式(5.2.23),有關(guān)系,有關(guān)系 ,可得到,可得到 根據(jù)式根據(jù)式(5.2.24)和和(5.2.30),得到,得到 。 (5.2.34)(H)(G)(H)(G)(HZnnh Znng )( nnn

34、njnne2 2 2 )2/(2 )2/()()2/()( )(1)( knnk )2(1)( 22 pn)( )()2( HnnnH2 22 )2(2)()()( )(H2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室275.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取當(dāng)當(dāng) ,則,則 , 尺度函數(shù)及其傅尺度函數(shù)及其傅 里葉變換、小波里葉變換、小波 函數(shù)函數(shù) 及其傅里葉及其傅里葉 變換變換 如圖所示。如圖所示。 允許正頻率通過的允許正頻率通過的區(qū)間是區(qū)間是 ,而,而 允許正頻率通過的區(qū)間允許正頻率通過的區(qū)間是是 ,二者在,二者在0到到 區(qū)間恰好正交互補(bǔ)。區(qū)間恰好正交互補(bǔ)。獨(dú)立化

35、提取信息。獨(dú)立化提取信息。 系數(shù)見表系數(shù)見表5.2.1。)( 1p4n)( ) , 0)2 ,2Znnh 2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室285.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取有了低通、帶通濾波序列有了低通、帶通濾波序列 和和 ,就能方便地通過,就能方便地通過小波變換進(jìn)行信息獨(dú)立化提取。小波變換進(jìn)行信息獨(dú)立化提取。 設(shè)設(shè) 是多分辨向量空間是多分辨向量空間 中的線性投影算子,以分辨率中的線性投影算子,以分辨率 逼近逼近能量有限可測(cè)信號(hào)能量有限可測(cè)信號(hào) 。 與與 最相似。最相似。 由于由于 ,得到唯一的表達(dá)式,得到唯一的表達(dá)式 (5.2.36) 稱稱

36、為逼近信號(hào),為逼近信號(hào), 是分辨率為是分辨率為 的細(xì)節(jié)信號(hào),它包含的細(xì)節(jié)信號(hào),它包含 和和 之間的信息差。重復(fù)式之間的信息差。重復(fù)式(5.2.36)過程,可得過程,可得(5.2.37)Znnh Znng jAjV)(2RLj2)(tx)(2RL)(txAj)(tx11jjjWVV)()()(11txDtxAtxAjjj)(txAj)(1txDjj2)(txAj)(1txAj)()()()( )()()( )()()(1112211txDtxDtxDtxAtxDtxDtxAtxDtxAtxAjMjMjMjjjjjjj2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室295.2 小波變換小波變換5.2.2

37、 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取設(shè)離散采樣信號(hào)為設(shè)離散采樣信號(hào)為 , ,數(shù)據(jù)長度為,數(shù)據(jù)長度為 ,其分辨率,其分辨率是是 ,將信號(hào)表示為,將信號(hào)表示為 。得到相應(yīng)的分解表達(dá)式。得到相應(yīng)的分解表達(dá)式(5.2.43) Mallat在文獻(xiàn)在文獻(xiàn)13里給出里給出 的實(shí)系數(shù)值,式的實(shí)系數(shù)值,式(5.2.43)可寫成可寫成 (5.2.44) 和和 是隔二抽取結(jié)果,數(shù)據(jù)長度分別是信號(hào)是隔二抽取結(jié)果,數(shù)據(jù)長度分別是信號(hào) 的數(shù)據(jù)之半。的數(shù)據(jù)之半。 信號(hào)重構(gòu)表達(dá)式為信號(hào)重構(gòu)表達(dá)式為(5.2.45)kx Zk N021kxA0kkjnknjkkjnknjxAgxDxAhxA 2121Jj , , 1 , 0Zn

38、nh kkkjnkkjknnjkkkjnkkjknnjxAgxAgxDxAhxAhxA221221mmhhmmggnjxA1njxD1kjxAnnjnknnjnkkjxDgxAhxA1212220 , 1 , ,Jj2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室301 信號(hào)處理的內(nèi)積與基函數(shù)信號(hào)處理的內(nèi)積與基函數(shù) )(tx)(tyttytxtytxd)()()( ),()(txftjftjetxtetxfX22 ),(d)()()( ),(d)()(),( , ,2/1ttxtttxabaWTbabax2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室31kja,kjd,kjkjkjkjxdxa, , ,

39、ZkkjnkZkkjkjnjnjZkkjnkZkkjkjnjnjgh,2, 1, 1,2, 1, 1,kj,kj,nkh2nkg22022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室32ZkkjnknjZkkjnknjagdaha,2, 1,2, 1 , kjZkkjnjkjZkkjnjnj, 1, 1, 1, 1,kjZkknkjZkknnjgh, 12, 12,kjZkknkjZkknnjdgaha, 12, 12,2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室335.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取Mallat塔形算法塔形算法,不涉及尺度函數(shù)不涉及尺度函數(shù) 和小波函數(shù)

40、和小波函數(shù) ,直接直接運(yùn)用運(yùn)用 和和 參與運(yùn)算,運(yùn)算量正比于參與運(yùn)算,運(yùn)算量正比于 。每次分解所得到的逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)的數(shù)據(jù)長度是上一每次分解所得到的逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)的數(shù)據(jù)長度是上一次逼近信號(hào)數(shù)據(jù)長度的一半。當(dāng)次逼近信號(hào)數(shù)據(jù)長度的一半。當(dāng) 次分解后,逼近信號(hào)和次分解后,逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)的數(shù)據(jù)長度縮減為原始信號(hào)數(shù)據(jù)長度細(xì)節(jié)信號(hào)的數(shù)據(jù)長度縮減為原始信號(hào)數(shù)據(jù)長度 的的 。在重構(gòu)計(jì)算的每一步中,先在數(shù)據(jù)之間插補(bǔ)零后再參與同在重構(gòu)計(jì)算的每一步中,先在數(shù)據(jù)之間插補(bǔ)零后再參與同低通、帶通濾波器系數(shù)的運(yùn)算,結(jié)果重構(gòu)數(shù)據(jù)長度加倍。低通、帶通濾波器系數(shù)的運(yùn)算,結(jié)果重構(gòu)數(shù)據(jù)長度加倍。Mallat的塔形算法在小

41、波分析中的地位就相當(dāng)于快速傅里的塔形算法在小波分析中的地位就相當(dāng)于快速傅里葉算法在傅里葉變換中的地位。葉算法在傅里葉變換中的地位。正交小波變換將原始信號(hào)分解到各自獨(dú)立的頻帶中,正交正交小波變換將原始信號(hào)分解到各自獨(dú)立的頻帶中,正交性保證了這些狀態(tài)信息無冗余、無疏漏,排除了干擾,濃性保證了這些狀態(tài)信息無冗余、無疏漏,排除了干擾,濃縮了監(jiān)測(cè)診斷信息??s了監(jiān)測(cè)診斷信息。NZnnh Znng )log(O2NN)(t)(tJJ22022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室34第五章第五章 非平穩(wěn)信號(hào)處理方法非平穩(wěn)信號(hào)處理方法 5.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 5.2 小波變換小波變換 5.3 小波包

42、信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè) 5.4 工程應(yīng)用工程應(yīng)用 2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室355.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波變換對(duì)信號(hào)的分解都是對(duì)低頻逼近信號(hào)小波變換對(duì)信號(hào)的分解都是對(duì)低頻逼近信號(hào) 進(jìn)行再分解,進(jìn)行再分解,不再對(duì)高頻細(xì)節(jié)信號(hào)不再對(duì)高頻細(xì)節(jié)信號(hào) 進(jìn)行分解。進(jìn)行分解。小波變換分解方式,高頻頻帶信號(hào)的時(shí)間分辨率高而頻率分小波變換分解方式,高頻頻帶信號(hào)的時(shí)間分辨率高而頻率分辨率低,低頻頻帶信號(hào)的時(shí)間分辨率低而頻率分辨率高。辨率低,低頻頻帶信號(hào)的時(shí)間分辨率低而頻率分辨率高。小波包小波包(wavelet packet)提高

43、高頻頻帶信號(hào)的頻率分辨率。提高高頻頻帶信號(hào)的頻率分辨率。 信號(hào)的小波分解信號(hào)的小波分解 信號(hào)的小波包分解信號(hào)的小波包分解 kjxAkjxD)(txxA1xD1xA2xD2xA3xD3)5(x)8(x)9(x)10(x)11(x)12(x)13(x)14(x)15(x)4(x)6(x)7(x)1()(xtx)2(x)3(x2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室365.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)設(shè)序列設(shè)序列 滿足滿足 (5.3.1) 現(xiàn)定義一組遞歸函數(shù)現(xiàn)定義一組遞歸函數(shù) , , n =1, ,它們由尺度函數(shù),它們由尺度函數(shù) 和和小波函數(shù)小波函數(shù) 產(chǎn)生,有關(guān)系產(chǎn)

44、生,有關(guān)系 和和(5.3.2)式中式中 ,兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當(dāng),兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當(dāng) 時(shí),上式的時(shí),上式的 和和 分別對(duì)應(yīng)于分別對(duì)應(yīng)于 和和 。定義定義5.3.1 由式由式(5.3.2)產(chǎn)生的序列產(chǎn)生的序列 稱為由基函數(shù)稱為由基函數(shù) 確定的小波包。確定的小波包。Znnh 2/1 ,222 , nnlknlnknhhhnw)(2RL , 2)(t)(t),( ),()(10twttwknknknknktwgtwktwhtw)2(2)( )2(2)( 2/1122/12kkkhg1) 1(0n)(0tw)(1tw)(t)(tZnntw)()()(0ttw2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所

45、動(dòng)態(tài)室375.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)根據(jù)多分辨分析關(guān)系根據(jù)多分辨分析關(guān)系 ,用,用 代替代替 ,得到小波包子空間得到小波包子空間 中的分解關(guān)系中的分解關(guān)系(5.3.13) 小波包對(duì)小波子空間小波包對(duì)小波子空間 進(jìn)行逐步分解,令進(jìn)行逐步分解,令 n =1, 2,;j =1, 2,,得到如下的分解表示得到如下的分解表示 (5.3.14) 的分解可用的分解可用 來表示,分解信號(hào)為來表示,分解信號(hào)為 , m=0, 1, 2, ZjWRLj,)(2njW1njU1ZjUUUWnjnjnjnj ,12211jW72625242312111jjjjjjjjjUUUUUU

46、UWW121221 kkkkjkjkjUUU120120201 jjjUUU; 12 ,kjWmkjkU2)2(mkx2022年4月7日機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室385.3 小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波包信號(hào)分解是正交分解,能量守衡,有如下關(guān)系小波包信號(hào)分解是正交分解,能量守衡,有如下關(guān)系(5.3.18)這里這里 表示信號(hào)的能量。表示信號(hào)的能量。 數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)為 ,能量為,能量為(5.3.19)歸一化相對(duì)能量表示。第歸一化相對(duì)能量表示。第 m 頻帶分解信號(hào)相對(duì)能量為頻帶分解信號(hào)相對(duì)能量為(5.3.20)根據(jù)能量守衡原理,顯然有根據(jù)能量守衡原理,顯然有(5.3.21)120 ,120)2(1202)()()()(kkkkkmmknmmnmmkjnni

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