模糊聚類案例分析

1、模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用論文題目：模糊聚類方法案例分析小組成員：王季光宋申輝蘭潔陳倩蕓肖侖楊洋吳云峰2013年10月27日模糊聚類分析方法1.1 距離和相似系數(shù)為了將樣品（或指標(biāo)）進(jìn)行分類，就需要研究樣品之間關(guān)系。目前用得最多的方法有兩個(gè)：一種方法是用相似系數(shù)，性質(zhì)越接近的樣品，它們的相似系數(shù)的絕對(duì)值越接近1,而彼此無(wú)關(guān)的樣品，它們的相似系數(shù)的絕對(duì)值越接近于零。比較相似的樣品歸為一類，不怎么相似的樣品歸為不同的類。另一種方法是將一個(gè)樣品看作P維空間的一個(gè)點(diǎn)，并在空間定義距離，距離越近的點(diǎn)歸為一類，距離較遠(yuǎn)的點(diǎn)歸為不同的類。但相似系數(shù)和距離有各種各樣的定義，而這些定義與變量的類型關(guān)系極大，因此先介紹

2、變量的類型。由于實(shí)際問(wèn)題中，遇到的指標(biāo)有的是定量的（如長(zhǎng)度、重量等），有的是定性的（如性別、職業(yè)等），因此將變量（指標(biāo)）的類型按以下三種尺度劃分：間隔尺度：變量是用連續(xù)的量來(lái)表示的，如長(zhǎng)度、重量、壓力、速度等等。在問(wèn)隔尺度中，如果存在絕對(duì)零點(diǎn)，又稱比例尺度，本書并不嚴(yán)格區(qū)分比例尺度和問(wèn)隔尺度。有序尺度：變量度量時(shí)沒(méi)有明確的數(shù)量表示，而是劃分一些等級(jí)，等級(jí)之間有次序關(guān)系，如某產(chǎn)品分上、中、下三等，此三等有次序關(guān)系，但沒(méi)有數(shù)量表示。名義尺度：變量度量時(shí)、既沒(méi)有數(shù)量表示，也沒(méi)有次序關(guān)系，如某物體有紅、黃、白三種顏色，又如醫(yī)學(xué)化驗(yàn)中的陰性與陽(yáng)性，市場(chǎng)供求中的“產(chǎn)”和“銷”等。不同類型的變量，在定義距離

3、和相似系數(shù)時(shí)，其方法有很大差異，使用時(shí)必須注意。研究比較多的是間隔尺度，因此本章主要給出間隔尺度的距離和相似系數(shù)的定義。設(shè)有n個(gè)樣品，每個(gè)樣品測(cè)得p項(xiàng)指標(biāo)（變量），原始資料陣為x1x2xpXix11x12x1pX2x21x22x2pXXnxn1Xn2xnp其中Xj（i1,1）n；j1,L，p）為第i個(gè)樣品的第j個(gè)指標(biāo)的觀測(cè)數(shù)據(jù)。第i個(gè)樣品Xi為矩陣X的第i行所描述，所以任何兩個(gè)樣品XK與XL之間的相似性，可以通過(guò)矩陣X中的第K行與第L行的相似程度來(lái)刻劃；任何兩個(gè)變量xK與xL之問(wèn)的相似性，可以通過(guò)第K列與第L列的相似程度來(lái)刻劃。1.2 F相似關(guān)系1.2.1 定義設(shè)RF（UU）,如果具有自反和對(duì)

4、稱關(guān)系，則稱R為U上的一個(gè)F相似關(guān)系（F表示模糊）當(dāng)論域U為有限時(shí)，F(xiàn)相似關(guān)系可以用F矩陣表示。具有F相似關(guān)系的矩陣，稱為F相似矩陣。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常只能得到自反矩陣和對(duì)稱舉證，即相似矩陣?，F(xiàn)在的問(wèn)題是對(duì)具有相似關(guān)系的元素怎樣進(jìn)行分類，也就是如何將相似矩陣改造為等價(jià)矩陣。1.2.2 定理若RtR,則稱R為對(duì)稱矩陣。（1）若R1（I是單位矩陣），則稱R為自反矩陣。（2）2若RR,則稱R為傳遞的F關(guān)系。（3）若滿足上面三點(diǎn)則稱為等價(jià)矩陣。定理1：相似矩陣RUnn的傳遞閉包是等價(jià)矩陣，且RRn。證只需要證明R是自反的、對(duì)稱的。n2ruRkRn因R是自反的，故R1,RR。不難得到Rn不減，因此k1:

5、即R是自反的。因?yàn)閞rt,（RT（RYRn,故R是對(duì)稱的。有定理1可見(jiàn)，要想將相似矩陣改變?yōu)榈葍r(jià)矩陣，只需求相似矩陣的傳遞閉包。定理2：設(shè)RUnn是自反矩陣，則任意自然數(shù)mn,者B有RRm證由R自反性推得RR2.Rn.當(dāng)mn時(shí)，有RRnRmURkRk11.3聚類分析所謂聚類分析，就是用數(shù)學(xué)的方法對(duì)事物進(jìn)行分類，它有廣泛的實(shí)際應(yīng)用。在模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生之前，聚類分析已是數(shù)理統(tǒng)計(jì)多元分析的一個(gè)分支，然而現(xiàn)實(shí)的分類問(wèn)題往往伴有模糊性。例如，環(huán)境污染分類、春天連陰雨預(yù)報(bào)、臨床癥狀資料分類、巖石分類，等等。對(duì)這些伴有模糊性的聚類問(wèn)題，用模糊數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)更為自然。模糊聚類分析的步驟：第一步：數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)矩陣

6、設(shè)論域UXl，X2，Lxn為被分類的對(duì)象，每個(gè)對(duì)象由m個(gè)指標(biāo)表示其性狀，即Xi（X1,Xi2,.,Km）于是得到原始數(shù)據(jù)矩陣為X11X12LXmX21X22LX2mMMMXn1Xn2LXnm數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化在實(shí)際問(wèn)題中，不同的數(shù)據(jù)一般有不同的量綱。為了使有不同的量綱的量也能進(jìn)行比較，通常需要對(duì)數(shù)據(jù)作適當(dāng)?shù)淖儞Q。但是，即使這樣，得到的數(shù)據(jù)也不一定在區(qū)間0,1上。因此，這里說(shuō)的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，就是要根據(jù)模糊矩陣的要求，將數(shù)據(jù)壓縮到區(qū)間0,1上。通常需要作如下集中變換。1）平移？標(biāo)準(zhǔn)差變換2）平移？極差變換3）對(duì)數(shù)變換第二步標(biāo)定（建立模糊相似矩陣）設(shè)U（U1,U2,4為待分類的全體。其中每一待分類對(duì)象由一組數(shù)

7、據(jù)表征如下：Ui（Xi1，Xi2，.,Xim）現(xiàn)在的問(wèn)題是如何建立“和山之間的相似關(guān)系。這有許多方法（這里選一些,列在下面），我們可以按照實(shí)際情況，選其中一種來(lái)求口與5的相似關(guān)系R（U,Uj）j(1)形似系數(shù)法數(shù)量積法1rj1mXik.XjkM其中M為一適當(dāng)選擇之正數(shù)，滿足mMmax（Xk-Xjk）hjk1夾角余弦法mmIxikxillXjkxjIk1rij'm-2.（XikXi）2.k1m（XjXj）2其中最大最小法ml-11，XjmJrrjmmin（XiXjk）k1mmaX（Xk,Xjk）k1算術(shù)平均最小法r.rjmmin（XiXjk）k11m,、-（XikXjl2k1幾何平均最小

8、法rrjmmin（XiXjk）k1m.Xk.Xjkk1絕對(duì)值指數(shù)法Ixikxjkl1ek1絕對(duì)值減數(shù)法1當(dāng)ijriim一1c|凡Xj"當(dāng)ijk1其中，c適當(dāng)選取，使0rij1。（2）距離法1）直接距離法海明距離歐幾里得距離切比雪夫距離2）倒數(shù)距離法3）指數(shù)距離法選擇上述哪一個(gè)方法好，要按實(shí)際情況而定。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，最好采用多種方法，選取分類最符合實(shí)際的結(jié)果。第三步聚類（求動(dòng)態(tài)聚類圖）。由第一步得到的矩陣R一般只滿足自反性和對(duì)稱性，即R是相似矩陣，需將它改造成模糊等價(jià)矩陣。為此，采用平方法求出R的傳遞閉包口，口便是所求的模糊等價(jià)矩陣。通過(guò)口便可對(duì)U進(jìn)行分類。實(shí)際應(yīng)用具體問(wèn)題如下：X1:

9、地區(qū)生產(chǎn)總值（當(dāng)年價(jià)格）（億元）；X2:第一產(chǎn)業(yè)增加值；X3：第二產(chǎn)業(yè)增加值；X4：第三產(chǎn)業(yè)增加值；X5：地方財(cái)政一般預(yù)算內(nèi)收入；X6：工業(yè)企業(yè)數(shù)（個(gè)）；X7：工業(yè)總產(chǎn)值（當(dāng)年價(jià)格）（萬(wàn)元）；X8：從業(yè)人員年平均人數(shù)（萬(wàn)人）；X9：流動(dòng)資產(chǎn)年平均余額（萬(wàn)元）；X1°：主營(yíng)業(yè)務(wù)收入（萬(wàn)元）為1：利潤(rùn)總額（萬(wàn)元）；X:移動(dòng)電話年末用戶數(shù)（萬(wàn)戶）；X13：國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)用12戶數(shù)（戶）；Xi公路里程；X'普通中學(xué)學(xué)生數(shù)（萬(wàn)人）；Xt醫(yī)院、衛(wèi)生院數(shù)（個(gè)）；X17：醫(yī)生數(shù)（執(zhí)業(yè)醫(yī)師+執(zhí)業(yè)助理醫(yī)師）（個(gè)）。17項(xiàng)指標(biāo)來(lái)描述江西省11各市區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平情況?，F(xiàn)將11個(gè)不同經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的市區(qū)進(jìn)行聚類人10.85730.68530.662030.61440.56360.49690.48620.45270.431601110,987654321352681147910分類數(shù)111098.765.4321標(biāo)準(zhǔn)差變換下一一相關(guān)系數(shù)法構(gòu)造相似矩陣R采用傳遞閉包法進(jìn)行聚類，得到的動(dòng)態(tài)聚類圖如下：入1924567810311分類數(shù)10.95260.8720.86840.85720.84080.83730.827350.754910.7165入1235478910116分類數(shù)10.89040.86440.83940.83760.78380.773310.77190.