第九章 非線性控制系統

1、第九章第九章 非線性控制系統非線性控制系統9.1 概述概述 9.2 相平面法相平面法 9.3 描述函數法描述函數法 9.4 利用利用MATLAB分析非線性控制系統分析非線性控制系統9.5 小結小結 9.1 概述概述常見的非線性常見的非線性特性及類型特性及類型非線性控制系統非線性控制系統穩(wěn)定性及特性穩(wěn)定性及特性非線性控制系統非線性控制系統分析分析二階：相平面法二階：相平面法二階以上高階：二階以上高階：描述函數法描述函數法MATLAB應用應用本章知識體系：9.1 概述概述在反饋控制系統中，引起非線性現象的原因除了對象本身的非線在反饋控制系統中，引起非線性現象的原因除了對象本身的非線性外還可能包括：

2、性外還可能包括： 控制器控制器中的放大器在其線性區(qū)外呈現的飽和現象中的放大器在其線性區(qū)外呈現的飽和現象 傳感器傳感器中的不靈敏區(qū)中的不靈敏區(qū) 執(zhí)行機構執(zhí)行機構中不可避免的靜摩擦導致的不靈敏中不可避免的靜摩擦導致的不靈敏 以及機械傳動元件之間的間隙等等以及機械傳動元件之間的間隙等等 總之，總之，非線性因素可出現在控制器、執(zhí)行機構、傳感器和被控對非線性因素可出現在控制器、執(zhí)行機構、傳感器和被控對象中的任何一個環(huán)節(jié)象中的任何一個環(huán)節(jié)。為了改進控制系統品質，有時也需要在控制系統中人為引入非線為了改進控制系統品質，有時也需要在控制系統中人為引入非線性特性，從而對非線性現象加以利用。性特性，從而對非線性現

3、象加以利用。 常見的非線性控制系統的結構可分為常見的非線性控制系統的結構可分為兩個部分兩個部分：一個部分是系統：一個部分是系統中實現了非線性建模的中實現了非線性建模的非線性特性環(huán)節(jié)非線性特性環(huán)節(jié)，另一個部分為系統中可，另一個部分為系統中可實現線性化建模的所有實現線性化建模的所有線性環(huán)節(jié)線性環(huán)節(jié)，這也是本章所涉及的非線性控，這也是本章所涉及的非線性控制系統的主要結構類型。制系統的主要結構類型。 9.1 概述概述9.1.1 非線性特性的類型 （a）為繼電器非線性特性：（b）為放大器飽和非線性特性；（c）和（d）為靜摩擦或者不敏感死區(qū)非線性特性；9.1 概述概述（e）為具有滯環(huán)的非線性特性，（f）為

4、間隙非線性特性說明：1）所給出的典型非線性特性均是分段或者分區(qū)段線性的，實際中是常見的，也是將非線性特性曲線進行分段線性化處理得到的類型 。2）當df/dx=+或df/dx=0時，泰勒級數展開線性化近似的局限。9.1 概述概述9.1.2 非線性控制系統的穩(wěn)定性及特性 1非線性控制系統的穩(wěn)定性 對于線性控制系統，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性就意味著與初始狀態(tài)無關的全局穩(wěn)定性，也就是有系統穩(wěn)定性的概念； 對于非線性控制系統，平衡狀態(tài)常不止一個，每個平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性只是一種與初始狀態(tài)有關的局部穩(wěn)定性概念，不能代表系統的全局動態(tài)性質，也就沒有系統穩(wěn)定性的籠統概念。 2非線性控制系統的特性 線性疊加原理不適用。 正

5、弦信號輸入激勵的輸出響應可含有輸入信號中沒有的高次諧波。 在沒有外部作用的情況下，也可能出現一種持續(xù)等幅振蕩現象，稱為自持振蕩。9.1 概述概述9.1.3 非線性控制系統的分析與綜合1非線性控制系統的分析 非線性系統的分析沒有統一的方法。一般針對不同的典型系統，研究建立相應的非線性系統分析方法。因此對于一種典型系統，常常就有一種對應的方法，但各種方法也有一個基本共性，就是通常他們都是以某種形式的線性化來建立相應的非線性分析方法。1）相平面法 相平面法是針對二階非線性控制系統的一種精確的圖解分析方法。盡管總是可以直接繪出非線性控制系統的相平面圖來進行分析，但在滿足分析精度要求的前提下，實際的做法

6、通常是采用分區(qū)線性化近似方法。 相平面法只適用于二階非線性系統。 9.1 概述概述2) 描述函數法 一種近似的分析方法，它用一次諧波線性關系來替代原來的非線性特性關系，在所考慮的一次諧波上實現了線性化，故又稱為諧波線性化方法或者諧波平衡方法。線性化的精確程度需要系統具備一定的條件才能保證。 該法可方便分析高階非線性控制系統的穩(wěn)定性和自持振蕩。2非線性控制系統的綜合綜合問題的具體形式主要有：1）選擇一定的系統結構，通過選取或者優(yōu)化待定參數來達到系統的設計要求。 2）當選取參數不足以達到系統的控制品質要求時，可進一步引入校正裝置或者校正內回路，通過改變原來系統的結構以實現系統的設計要求。9.2 相

7、平面法相平面法 考慮二階非線性系統的狀態(tài)微分方程 )1-9()(),()()(),()(21222111 txtxftxtxtxftx非線性解析函數 )2-9(),()(),()(02010220201011 txxtxtxtxxtxtx若在初始時刻t0時的初始狀態(tài)為x1(t0), x2(t0)，則方程的解為： 描述的運動是以時間t為參數的曲線相平面法：根據已知的非線性解析函數，狀態(tài)x1和, x2取相變量時，在相平面x1- x2上獲得通過建立解的曲線（幾何形象）來分析和獲得運動性質的方法。x1(t)x2(t)x2(t)x1(t)相點：相平面上滿足(9-5)式子的點P(x, ) ；相軌跡：解(x

8、, )在相平面上隨時間t變化的運動軌跡。 量微分方程式：量微分方程式：，則將上式改寫為相變，則將上式改寫為相變設設x yx 9.2.1 相平面法的基本概念 研究二階非線性系統，一般形式為： )3-9(),(0),(xxfxxxfx 或或者者)49( ),( yxfyyx)59( ),( xxfxxx 1相點與相軌跡 箭頭表示時間增加時狀態(tài)運動的方向9.2 相平面法 x 2相軌跡的微分方程與相平面圖 )59( ),( xxfxxx )6-9(),(txxxfdxxddtdxdtxdxx 方方程程：，得得到到系系統統相相軌軌跡跡微微分分對對于于上上式式，消消去去時時間間)7-9(0),( Cdxx

9、xfxdx該該方方程程的的一一般般解解為為： 當相變量初始值不同時，積分常數C不同 方程的解描述了一族曲線，即相軌跡方程的積分曲線9.2 相平面法相平面法 繪有系統相軌跡族的相平面稱為系統的相平面圖，有時也簡稱為相圖。 例9-1 二階系統方程相軌跡)8-9(02 xx )9-9(2 xxxx 相相變變量量微微分分方方程程：解解：首首先先將將方方程程改改寫寫為為)10-9(0)0(2)0(2122222020 xxxxxdxxdxtt ：對對應應相相軌軌跡跡方方程程的的解解為為xxdxxddtdxdtxdxx 2 1)0()0()0()0(2222222 xxxxxx 整整理理得得：以(0,0)

10、為中心，長半徑為b，短半徑為a的橢圓(當1時)。ba12222 bxax9.2 相平面法相平面法 (9-11)3. 相平面圖的性質 (1) 相軌跡上的斜率xxxfdxxddtdxdtxdxx ),( 足足相相軌軌跡跡方方程程相相軌軌跡跡上上的的任任意意點點均均滿滿)12-9(),(),()x,x(P00000000 xxxxxxxxxxxxxxxfdxxdxxk 處的斜率為：處的斜率為：因此在因此在(2) 相軌跡的常點和奇點 為奇點。其它為常點。為奇點。其它為常點。稱稱處的斜率處的斜率在在)x,x(P00),(),()x,x(P0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxfdxxdxx

11、k9.2 相平面法相平面法 (3) 相軌跡的對稱性條件對對稱稱。軸軸x x的的奇奇函函數數，相相軌軌跡跡關關于于是是關關于于，: :條條件件的的軸軸x x對對稱稱x),(),(),(),(),(xxfxxxfxxxfdxxdxxfxxf 對對稱稱。x x軸軸的的偶偶函函數數，相相軌軌跡跡關關于于x x是是關關于于，: :條條件件的的對對稱稱x x軸軸)()(),(),()()(xx,fxxxfxxxfdxxdxx,fxx,f 稱稱。此此時時相相軌軌跡跡關關于于原原點點對對，: :對對稱稱條條件件原原點點)(),(),(),(),(xxxfxxxfdxxdxxfxxf 在(x,x)與(x,-x)

12、點的斜率相等，符號相反。在(x,x)與(-x, x)點的斜率相等，符號相反。在(x,x)與(-x, -x)點的斜率相等，符號相同。9.2 相平面法相平面法 （4）相軌跡的走向 向向左左轉轉移移。故故狀狀態(tài)態(tài)沿沿相相跡跡曲曲線線由由右右即即x x0 0, ,x x下下半半平平面面, ,向向右右轉轉移移; ;故故狀狀態(tài)態(tài)沿沿相相跡跡曲曲線線由由左左, ,即即x x0 0, ,x x上上半半平平面面, ,上上根根軌軌跡跡的的走走向向：在在相相平平面面, （5）相軌跡通過x軸的斜率 軸。軸。下通過下通過相軌跡垂直向上或者向相軌跡垂直向上或者向，時，有時，有當當x0),(),(0000000 kxxxx

13、fdxxdxxkxxxxxxxxxxxx軸軸。垂垂直直通通過過，相相軌軌跡跡不不能能確確定定是是否否且且不不能能確確定定斜斜率率，此此時時軸軸上上，故故奇奇點點總總在在和和奇奇點點發(fā)發(fā)生生時時同同時時有有xx0 x0)x, x( f 9.2 相平面法相平面法 9.2.2相平面圖的繪制 繪制相平面圖的常用方法： 解析法：直接方法，通過解系統相軌跡的微分方程獲得積分曲線族的方法。比較復雜，難以求解。 等傾線法：圖解法，用足夠短的直線近似逼近相軌跡；只要選用的等傾斜線分布疏密程度適合，就可以滿足所需相平面圖的精度要求，因而是最常用的圖解法。 圓弧近似算法：圖解法，用足夠短的圓弧來近似逼近相軌跡。9.

14、2 相平面法相平面法 等傾斜線法的步驟如下：（1）將相軌跡走向相同的相點，即斜率相同的相點，連接起來畫出等傾斜線。顯然，等傾斜線滿足方程)13-9(tan),(kxxxf )14-9(),(xbkaxxbaxxxf 其其等等傾傾線線方方程程為為：，對對于于線線性性系系統統有有 為相軌跡切線與x軸的夾角，將滿足方程（9-13）的點連接成等傾線 取不同的角(相軌跡切線斜率)，可畫出不同的等傾線線性系統的等傾線為通過原點、斜率為-a/(k+b)的直線9.2 相平面法相平面法（2）在等傾斜線上各點用一個斜率為k的帶小箭頭的短線畫出相軌跡的切線方向，從而建立一個表示相軌跡走向的方向場。（3）按方向場指出

15、的方向，在等傾斜線的各點勾劃出相軌跡。軌跡軌跡小段直線作為過B相小段直線作為過B相x x) )x xf(xf(x然后過B作斜率然后過B作斜率),),x x, ,直線向右轉移至B(x直線向右轉移至B(x斜率為斜率為故狀態(tài)應由A點沿作故狀態(tài)應由A點沿作0,0,x x如如跡.跡.軌軌小段直線作為相小段直線作為相x x) )x xf(xf(x率率過A作斜過A作斜),),x x設給定初態(tài)A(x設給定初態(tài)A(xB BB BB,B,B BB BA AA AA AA,A,A AA,A, kkkBAA斜率為kA9.2 相平面法相平面法跡。跡。試繪出系統的一條相軌試繪出系統的一條相軌考慮系統考慮系統 ,),(xb

16、axxxf )15-9()( )1(: xbaxxxx 為為：系系統統的的相相變變量量微微分分方方程程解解關關于于原原點點對對稱稱。，因因),(),()2(xxfxxf )16-9()3(xbkax 等等傾傾線線方方程程為為：取a=b=1斜率為kB=-1.2等傾線斜率-a/(kB+b)=5例9-29.2 相平面法相平面法例9-3 。試試繪繪出出系系統統的的相相平平面面圖圖考考慮慮非非線線性性系系統統 , 0 axxbx )18-9(0, 00, 0)1( xaxxbxxaxxbx 上述方程可轉化為：上述方程可轉化為：解：解：(2) 對稱于x軸，可先畫出上半部分，再對稱繪出下半部分。取a=b=1

17、，畫出系統的相平面圖如圖9-8所示。的的偶偶函函數數。x x是是關關于于，)()(x-x,fxx,f 9.2 相平面法相平面法例9-4 繪出非線性系統 的相平面圖。 042 xxx )20-9()(41 2 xxxxx 系統的相變量方程為：系統的相變量方程為：解：解：044)(22 xxkxxxxk等等傾傾線線方方程程為為：)21-9(0)4()2(22 kxkx 即即 等傾線不是直線而是拋物線，拋物線的頂點位于相平面的(4k2,2k)處。 將拋物線上的短線按方向場指出的方向連接起來即可勾劃出相軌跡。 9.2 相平面法相平面法在繪制過程中，除了采用等傾線法計算外，還可利用相軌跡形在繪制過程中，

18、除了采用等傾線法計算外，還可利用相軌跡形狀的特征：狀的特征：相對原點、坐標軸的對稱性。相對原點、坐標軸的對稱性。水平等傾線：水平等傾線：豎直等傾線：豎直等傾線：直線相軌跡：直線相軌跡：相軌跡漸近線：斜率等于向軌跡斜率的等傾斜線。相軌跡漸近線：斜率等于向軌跡斜率的等傾斜線。奇點類型。奇點類型。閉合軌跡：極限環(huán)。閉合軌跡：極限環(huán)。斜率的正負區(qū)域。斜率的正負區(qū)域。以上這些定性特從幾何結構（相軌跡的的類型、相對位置、形以上這些定性特從幾何結構（相軌跡的的類型、相對位置、形狀分布等）意義上說是準確的，甚至是近似計算結果所不及的。狀分布等）意義上說是準確的，甚至是近似計算結果所不及的。只要恰當利用這些特長

19、，就可以快速地繪出足夠滿意的相平面只要恰當利用這些特長，就可以快速地繪出足夠滿意的相平面圖。圖。0),( xxf。0 x 為為常常數數。xxxf / ),( 9.2 相平面法相平面法9.2.3線性系統的相平面圖分析二階線性系統的相變量微分方程)22-9()( xbaxxxx )23-9(02 abss其其特特征征方方程程為為：。于于奇奇點點趨趨向向振振蕩蕩方方式式非非相相軌軌跡跡以以為為負負實實根根，- -，- -系系統統特特征征根根( (1 1) )穩(wěn)穩(wěn)定定節(jié)節(jié)點點1 1)0 , 0(pp2。散散出出振振蕩蕩方方式式從從奇奇點點非非相相軌軌跡跡以以為為正正實實根根，- -，- -系系統統特特

20、征征根根穩(wěn)穩(wěn)定定節(jié)節(jié)點點不不( (2 2) )1 1)0 , 0(pp2。于奇點于奇點相軌跡以振蕩方式趨向相軌跡以振蕩方式趨向為負實部共軛復數為負實部共軛復數- -，- -系統特征根系統特征根(3)穩(wěn)定焦點(3)穩(wěn)定焦點1 1)0 , 0(pp29.2 相平面法相平面法。散散出出點點相相軌軌跡跡以以振振蕩蕩方方式式從從奇奇為為正正實實部部共共軛軛復復數數- -，- -系系統統特特征征根根穩(wěn)穩(wěn)定定焦焦點點不不( (4 4) )1 1)0 , 0(pp2線。線。）的環(huán)環(huán)相套的封閉曲）的環(huán)環(huán)相套的封閉曲0 0圍繞奇點（圍繞奇點（軌跡為軌跡為系統兩個共軛虛根，相系統兩個共軛虛根，相(5)中心點(5)中

21、心點,0。動動附附近近的的呈呈現現馬馬鞍鞍形形狀狀運運相相軌軌跡跡在在奇奇點點為為一一正正一一負負實實根根，- -，- -系系統統特特征征根根鞍鞍點點( (6 6) )1 1 )0 , 0(pp2當a=0時，特征方程（9-23）出現零特征根，此時在整個x軸上有 和 ，故此時x軸又稱為奇線，這是上述六種類型未包括的特殊情況。只要用等傾斜線法繪出這種特殊情況的相平面圖，即可進行分析，此處從略。0 xbax0 x 9.2 相平面法相平面法9.2.4非線性系統的相平面圖分析1奇點 設所考慮奇點為原點(不在原點的奇點可坐標平移移到原點)。此時，奇點處有f(0,0)=0，也是系統的平衡點。 )24-9()

22、,(),(),(),(00000000 xbaxxxxxfxxxxfxxfxxfxxxxxx 略略掉掉最最高高次次項項，得得：）附附近近泰泰勒勒級級數數展展開開，在在（)25-9(),(,),(, 0),(000000 xxxxxxxxxfbxxxfaxxf利用線性系統標準相圖來分析奇點(0,0)附近的類型特征；對多個奇點情況，可分別在不同的奇點鄰域線性化后分析；在奇點小鄰域之外，高次項不可忽略。9.2 相平面法相平面法例9-5 試研究如下二階非線性系統的奇點和穩(wěn)定性。)26-9(0sin2 xxx )sin2),(xxxxfx （解解：都都為為系系統統奇奇點點。軸軸上上點點，有有即即對對于于

23、所所有有，此此時時，（時時，有有令令)0 ,(0)0 ,(.2, 1, 0,0sinx00)sin20),( ixifiixxxxxxf zzzzzzfzzzzffzzlzzzzfzlllzzzz 20),(),()0, 0()0 , 0(),()2sin(2),()0,2(x2xz)0,2(10000處處附附近近泰泰勒勒級級數數展展開開，在在坐坐標標平平移移到到原原點點，即即軸軸上上奇奇點點將將方方程程在在變變換換，：奇奇點點為為情情況況 3229. 15 . 0275 . 028112, 1jjp 02 zzz 特特征征方方程程為為：（2l, 0）均為穩(wěn)定焦點。 9.2 相平面法相平面法z

24、zzzzzfzzzzffzzlzzzzfzlllzzzz 20),(),()0, 0()0 , 0(),()12(sin(2),()0,)12(x)12(xz)0,)12(20000處處附附近近泰泰勒勒級級數數展展開開，在在坐坐標標平平移移到到原原點點，即即軸軸上上奇奇點點將將方方程程在在變變換換，：奇奇點點為為情情況況 02 zzz 特特征征方方程程為為： 2123128112, 1pMatlab仿真圖（(2l+1), 0）均為鞍點。 9.2 相平面法相平面法2極限環(huán) (1) 穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內外兩側的相軌跡均呈螺旋狀地漸近地趨近極限環(huán)，對應于系統的自持振蕩。極限環(huán)是相平面圖中一條孤立的封

25、閉相軌跡，有三種類型：(2) 不穩(wěn)定極限環(huán)：環(huán)內外兩側的相軌跡均呈螺旋狀地從極限環(huán)離開，這種極限環(huán)是不穩(wěn)定的 9.2 相平面法相平面法(3)半穩(wěn)定極限環(huán)：環(huán)內外一側相軌跡漸近地趨近極限環(huán)，而另一側的相軌跡從極限環(huán)離開。9.2 相平面法相平面法9.2.5非線性控制系統的分區(qū)線性化法例9-6 考慮含有飽和非線性特性的控制系統， T0, K0，試分析階躍輸入作用下系統的運動。解： (1) 飽和非線性特性的數學描述：)27-9(III, 1,3II, 1,3I, 1,3 區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)eeeex(2) 線性環(huán)節(jié)的微分方程為)28-9(KxyyT )29-9(0, 0)( 1)( rrTKxeeTyrer

26、rtRtr ，又由于又由于設階躍輸入為：設階躍輸入為： 9.2 相平面法相平面法I區(qū) 區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)III, 1,3II, 1,3I, 1,3eeeex033 KeeTx 時時， )3(1KeTeee 相相變變量量方方程程：)32-9(31eKeTdeed 相相軌軌跡跡方方程程：13)6e)53 3 , 0)4, 0)3e0)203)1 kTKeKeeKeeeKe等等傾傾斜斜線線方方程程為為：果果，形形狀狀相相同同。動動的的結結都都是是某某一一相相軌軌跡跡水水平平移移無無關關，所所有有相相軌軌跡跡相相軌軌跡跡與與時時，斜斜率率為為負負時時，斜斜率率為為正正下下半半平平面面斜斜率率為為負負上上半半

27、平平面面軸軸；時時，相相軌軌跡跡垂垂直直通通過過當當，直直線線；時時，斜斜率率為為當當分分析析：系統在I區(qū)無奇點9.2 相平面法相平面法II區(qū)033 KeeeTex 時時， )3(1KeeTeee 向變量方程：向變量方程：eKeeTdeed31 相相軌軌跡跡方方程程：)36-9(13)2(ekTKe 等等傾傾斜斜線線方方程程為為：),(),()0 , 0()1(eefeef 原原點點對對稱稱，奇奇點點標標準準的的線線性性系系統統相相圖圖，分分析析：)37-9(03)3(2 KsTs特特征征方方程程為為：KTTTTKTp1212121212112, 1 )0 , 0(12/1)()0 , 0(1

28、21)(焦焦點點以以振振蕩蕩方方式式接接近近于于穩(wěn)穩(wěn)定定，時時，實實部部為為負負的的共共軛軛根根當當定定節(jié)節(jié)點點以以非非振振蕩蕩方方式式接接近近于于穩(wěn)穩(wěn)跡跡時時，兩兩個個負負實實根根，相相軌軌當當 KTbKTa9.2 相平面法相平面法III區(qū)033)1( KeeTx 時時， )3(1)2(KeTeee 向向變變量量方方程程：)41-9(31)3(eKeTdeed 相軌跡方程：相軌跡方程：原原點點對對稱稱。區(qū)區(qū)的的相相軌軌跡跡關關于于區(qū)區(qū)與與區(qū)區(qū)的的相相軌軌跡跡方方程程比比較較：與與IIII31)(3)(1I)4(eKeTeKeT )42-9(13)5( kTKe 等等傾傾斜斜線線方方程程為為：

29、系統在III區(qū)無奇點9.2 相平面法相平面法例9-7 不靈敏區(qū)的存在導致帶有死區(qū)的飽和非線性特性情況(T0, K0) ，試分析階躍輸入作用下系統的運動。)43-9(V,1,3IV,1, )(3III,0II,1, )(3I,1,3 區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)數學描述為：數學描述為：解：系統非線性部分的解：系統非線性部分的eeeeeeexI、II、IV和V區(qū)的情況分析與例9-6類似，這里考慮III區(qū)的情況。)44-9(0 eeT 系系統統方方程程為為：)45-9(1 eTeee 系統相變量方程為：系統相變量方程為：Tdeed1 相軌跡方程為：相軌跡方程為：系統在III區(qū)無奇點，相軌跡均為斜率為-1/T

30、的直線9.2 相平面法相平面法例9-8 考慮具有滯環(huán)繼電器非線性特性的控制系統，T0,K0,d0,試分析斜坡輸入作用下系統的運動 。)47-9(I, 0,3II, 0,3II, 0,3I, 0,3: 區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)描述為描述為解：系統的非線性部分解：系統的非線性部分edeedeedeedex)49-9(y-re 0rvrvtr)48-9(e-3x3vrrTKxeeTKxyyT-dedx ，且且，時，有時，有當當：線性環(huán)節(jié)的微分方程為線性環(huán)節(jié)的微分方程為一條折線。一條折線。；整個轉換線為；整個轉換線為；下半平面轉換線為；下半平面轉換線為上半平面轉換線為上半平面轉換線為：將相平面分成兩個區(qū)段將相

31、平面分成兩個區(qū)段和和9.2 相平面法相平面法I區(qū) x=3 03 vKeeT 系系統統方方程程為為： )3(1vKeTeee 相變量方程為：相變量方程為：evKeTdeed 31相相軌軌跡跡方方程程為為：區(qū)內無奇點區(qū)內無奇點系統在系統在等傾斜線方程為：等傾斜線方程為：各相軌跡形狀相同。各相軌跡形狀相同。無關，無關，區(qū)內與區(qū)內與相軌跡斜率在相軌跡斜率在斜率為負斜率為負斜率為正斜率為正區(qū)內有區(qū)內有下半平面下半平面斜率為負斜率為負區(qū)內有區(qū)內有上半平面上半平面軸；軸；時，相軌跡垂直通過時，相軌跡垂直通過當當，直線；，直線；時，斜率為時，斜率為當當分析：分析：I)713)6eI)5 ),3( ),3( ,

32、I)4,I)3e 0)20 3)1 kTvKevKevKededeevKe9.2 相平面法相平面法區(qū)內無奇點區(qū)內無奇點系統在系統在等傾斜線方程為：等傾斜線方程為：各相軌跡形狀相同。各相軌跡形狀相同。無關，無關，區(qū)內與區(qū)內與相軌跡斜率在相軌跡斜率在斜率為正斜率為正區(qū)內有區(qū)內有下半平面下半平面斜率為正斜率為正斜率為負斜率為負區(qū)內有區(qū)內有上半平面上半平面軸；軸；時，相軌跡垂直通過時，相軌跡垂直通過當當，是直線；，是直線；時，斜率為時，斜率為當當分析：分析：II)713)6eII)5,II)4 ,3 ,3 ,II)3 0)20 3)1 kTvKedevKevKedeeevKeII區(qū) x=-3 03 v

33、KeeT 系系統統方方程程為為： )3(1vKeTeee 相變量方程為：相變量方程為：evKeTdeed 31相軌跡方程為：相軌跡方程為：9.2 相平面法相平面法9.2.6利用非線性特性改進控制系統的動態(tài)性能例9-9 考慮控制器含有非線性增益的控制系統，T0,K0，試確定k的取值范圍，并分析恒值控制和速度隨動控制兩種情況下系統的運動。 )58-9(II,I,300 區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)描描述述為為：解解：非非線線性性部部分分的的數數學學eekeeeex)60-9( II )59-9(3 Iy-rerrTKkeeeTrrTKeeeTKxyyT 區(qū)內系統誤差方程：區(qū)內系統誤差方程：在在區(qū)內系統誤差方程：區(qū)內系

34、統誤差方程：在在，：線性環(huán)節(jié)的微分方程為線性環(huán)節(jié)的微分方程為9.2 相平面法相平面法，獲獲得得快快速速性性。使使系系統統具具有有較較小小的的阻阻尼尼益益，時時，選選擇擇較較大大的的系系統統增增）（01ee )61-9(032 KsTs系系統統的的閉閉環(huán)環(huán)特特征征方方程程：為穩(wěn)定焦點；為穩(wěn)定焦點；對應的奇點對應的奇點，應使應使已選定的關系已選定的關系，)0 , 0(1121312 32 KTexTTKnn . 320 kee調調，要要求求臨臨界界阻阻尼尼，防防止止過過大大超超益益，使使系系統統接接近近時時，選選擇擇較較小小的的系系統統增增）（)62-9(02 KksTs系系統統的的閉閉環(huán)環(huán)特特征

35、征方方程程：KTkKkTKTkTTKknn4/13).0 , 0(141,4/112 2 趨趨近近于于穩(wěn)穩(wěn)定定節(jié)節(jié)點點，根根軌軌跡跡以以非非振振蕩蕩方方式式特特征征方方程程有有兩兩個個負負實實根根，有有，可可取取， 9.2 相平面法相平面法對于恒值控制情況，設階躍輸入r(t)=R1(t)。 ）（）（系系統統方方程程為為：64-9 ;, 063-9 ;,3, 0300eekexKkeeeTeeexKeeeT 分析可知，上述兩式分別對應穩(wěn)定焦點(0,0)和穩(wěn)定節(jié)點(0,0)對于速度隨動控制情況，設階躍加斜坡輸入r(t)=R1(t)+vt。 )659( ,I,3, 03330 區(qū)區(qū)，系統方程為：系統

36、方程為：eeexKveKeeTvKeeeT )669( ,II, 00 區(qū)區(qū)，eekexKkveKkeeTvKkeeeT 9.2 相平面法相平面法I區(qū)相圖是系統（9-63）的相圖向右平移v/3K個單位;II區(qū)相圖是系統（9-64）的相圖向右平移v/Kk個單位9.2 相平面法相平面法)/(II)669(00TkveKkvKkev穩(wěn)穩(wěn)定定節(jié)節(jié)點點為為區(qū)區(qū)奇奇點點可可實實現現，即即時時，當當 點點接接近近。的的交交點點逐逐漸漸向向轉轉換換線線與與橫橫軸軸區(qū)區(qū)之之間間往往返返并并區(qū)區(qū)與與跡跡在在軌軌方方程程奇奇點點不不可可實實現現，相相。兩兩個個即即時時，當當)0 ,(III330000eKkveKv

37、KevKke 實實現現?？煽善嫫纥c點狀狀態(tài)態(tài)時時，當當)0 ,3/()659(30KvKev 9.3 描述函數法描述函數法 相平面法是一種精確的二階非線性系統圖解分析方法，但不能處理高于二階的非線性系統。 描述函數法適用于高階的非線性系統，可分析的問題也較為全面，如穩(wěn)定性、自振、甚至綜合問題等等。 描述函數法是一種一次諧波近似方法，因而本質上是一種頻域方法，它幾乎全面推廣了線性系統的理論、方法和結果，但僅進行一次諧波近似難免會喪失一些非線性信息，需要一定的條件來保證結果的合理性。盡管如此，這一近似方法已是工程中常用的實用方法。 9.3 描述函數法描述函數法 9.3.1 描述函數與諧波線性化1描

38、述函數的定義 假設非線性特性是對稱于原點的，X表示零相位正弦輸入x(t)=Xsin(t)的振幅，Y1表示輸出信號中一次諧波分量的振幅，1表示輸出信號一次諧波分量的相位移，那么非線性元件的描述函數N定義為 11XYN)679(11 XYN對于不包含儲能元件的非線性元件，描述函數只是輸入振幅的函數，記為N(X)；否則，描述函數是輸入振幅和頻率兩者的函數，記為N(X, )，本章不做考慮。9.3 描述函數法描述函數法 1010)sin()sin()cos()()Xsin(x(t)kkkkkktkYAtkBtkAAtyt 輸出：輸出：輸入：輸入：的輸入和輸出分別為：的輸入和輸出分別為：非線性元件非線性元

39、件非線性元件的描述函數N定義為)71-9(arctan11212111BAXBAXYN )72-9()0(111時時 XAjXBN非線性特性對稱于原點，則A0=0，)70-9()sin()sin()cos()(11111 tYtBtAty一次諧波分量：一次諧波分量： kkkkkkkkBABAYttdktyBttdktyAarctan)(sin)(1)(cos)(1222020 9.3 描述函數法描述函數法2諧波線性化原理 非線性元件在正弦信號輸入作用下的輸出被一次諧波響應完全替代，實現了非線性特性的線性化近似，這種線性化稱為諧波線性化。下面說明諧波線性化原理的物理基礎。 考慮一個非線性控制系統

40、如下：G(s)為線性部分，外部輸入為零，系統內存在一個周期為T的自持振蕩，繼電器輸出y(t)=f(x(t)為奇函數方波，而G(s) 的輸出x(t)是一個周期為T的函數。9.3 描述函數法描述函數法奇函數方波y(t) 可展開為傅里葉級數：)73-9()(3sin)sin()(31 tytyty )74-9(, 5, 3, 1),(sin)( kkjGtkkjG 而線性部分G(s)輸出為下列各項之和：)76-9()()()sin()()sin()(y(t) ),( )sin()(759 )759(, 5, 3,)(01txxNtXXNtytytxtXtxkkjG 可可近近似似為為則則方方波波來來替

41、替代代此此條條件件可可用用）稱稱為為濾濾波波條條件件。滿滿足足條條件件（都都可可忽忽略略，分分的的輸輸出出幾幾乎乎不不響響應應而而部部此此時時高高次次諧諧波波因因對對線線性性為為足足夠夠小小的的正正數數，且且有有若若9.3 描述函數法描述函數法采用描述函數法條件：（1）原點對稱條件 系統的非線性部分的特性必須是原點對稱的，如滿足的奇函數等，使得輸出沒有直流分量，即A0=0。（2）濾波條件 系統的線性部分需要滿足式（9-75）給出的濾波條件。在實際系統中，系統線性部分都具有低通性，因而濾波條件一般都是成立的，這使得諧波線性化方法一般能給出可靠的近似結果。)()(txftxf 9.3 描述函數法描

42、述函數法9.3.2典型非線性特性的描述函數例9-10 試推導圖9-25（a）所示的雙位理想繼電器特性的描述函數。 110)sin()sin()cos()(kkkkktkBtkBtkAAty 解：由于雙位非線性特性是奇函數因此在上述傅里葉級數展開式中，對所有k (k=0, 1, 2.)，Ak=0,)77-9()sin()(11tBty 一一次次諧諧波波分分量量：)78-9(4)()sin(2)()sin()(10201 MtdtMtdttyB )79-9(40)(1XMXBXN 9.3 描述函數法描述函數法例9-11 試推導死區(qū)非線性特性的描述函數。為為：，輸輸出出在在區(qū)區(qū)間間)(0tyt )8

43、0-9(, 0),sin(;0, 0)(1111 ttttttXktttyy(t)為奇函數，故在傅里葉級數展開式中無余弦項，一次諧波分量為 )sin()(11tBty 110)sin()sin()cos()(kkkkktkBtkBtkAAty 9.3 描述函數法描述函數法)81-9(1arcsin22)()sin()sin()()(sin4)()sin()sin()sin(4)()sin()sin(4)()sin()(12221222012020111XXXXktdtttdtXktdttXtXktdttXktdttyBtt 死區(qū)非線性特性的描述函數為)82-9(1arcsin20)(221 X

44、XXkkXBXN 9.3 描述函數法描述函數法例9-12 試推導死區(qū)加滯環(huán)繼電器特性的描述函數為為：，輸輸出出在在區(qū)區(qū)間間)(0tyt )83-9(, 0,;0, 0)(2211 tttttMttty死區(qū)加滯環(huán)繼電器特性是原點對稱的，故在其輸出傅里葉級數展開式中有A0=0。)84-9(arctan),sin(sincos)(11112121111BAtBAtBtAty 1)sincos()(kkktkBtkAty 一次諧波分量為：9.3 描述函數法描述函數法12)sin()sin(2)(sin(2)()cos(2)()cos()(1122012121 mXMdttMtdMtdtMtdttyAt

45、ttt 22122212201112)(sin1)(sin12)cos()cos(2)(cos(2)()sin(2)()sin()(12121XdXmdMttMttMtdMtdtMtdttyBtttt )87-9(12112)(222 mXMdjXdXmdXMXN 描描述述函函數數為為：9.3 描述函數法描述函數法）（87-9 12112)(222 mXMdjXdXmdXMXN 述述函函數數）化化為為理理想想繼繼電電器器的的描描式式（87-9 , 0)1 d)88-9(4)(XMXN 描描述述函函數數）化化為為三三位位置置繼繼電電器器的的式式（87-9 , 1)2 m述述函函數數）化化為為滯滯

46、環(huán)環(huán)繼繼電電器器的的描描式式（87-9 , 1)3 m)89-9(,14)(2dXXMXN )90-9(414)(22XMdjXdXMXN 9.3 描述函數法描述函數法一些典型非線性特性的描述函數（表9-3）理想繼電器XM 4三位置繼電器 XXXM,1422 滯環(huán)繼電器dXXMdjXdXM ,41422 死區(qū)加滯環(huán)繼電器dXmmXMdjXdXmdXM , 10 12112222 9.3 描述函數法描述函數法變增益非線性死區(qū)非線性飽和非線性間隙非線性dXXdXdXdkkk ,1arcsin)(222212 XXXXkk,1arcsin222 dXXdXdXdk ,1arcsin222 dXXXd

47、kdjXdXdXdXXdXk 2)(41)2(22arcsin2 9.3 描述函數法描述函數法9.3.3非線性環(huán)節(jié)的串聯與并聯非線性環(huán)節(jié)的描述函數常常可以通過串聯或者并聯兩個典型非線性特性的描述函數來求取。求取方法：串聯：將兩個環(huán)節(jié)視為一個整體來推導描述函數等效為)91-9(,1422 XXXM 查表9-3得9.3 描述函數法描述函數法并聯：合并兩個環(huán)節(jié)的一次諧波 XXXXXMXXMXN,4,4)(22 92)-9(sin)(sin)()()sin()sin()(21212111111tXXNtXXNXNtYtYty 93)-(9)()()(21XNXNXN 查表9-3得9.3 描述函數法描述

48、函數法9.3.4非線性控制系統的描述函數分析方法考慮非線性系統)94-9()()(1)()()()()( jGXNjGXNjRjCjT 系系統統閉閉環(huán)環(huán)頻頻率率特特性性：)95-9(0)()(1 jGXN閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征方程：)96-9()(1)(XNjG )()()(1XjQXPXN 稱為負倒描述函數 給定X，即可確定復平面上的點 ，根據奈奎斯特穩(wěn)定性判據，此點就是系統出現臨界振蕩的臨界點。當G(j)的奈奎斯特曲線穿過此點時，系統出現極限環(huán)。)(),(XQXP9.3 描述函數法描述函數法1穩(wěn)定性的判定 穩(wěn)定判據：設非線性控制系統的線性部分G(s)在s平面右半面無極點。若以X為參數的-1

49、/N(X)的曲線沒有被以為參數的G(j)的曲線包圍，則系統穩(wěn)定。上述穩(wěn)定性意味著系統沒有極限環(huán)。p 若-1/N(X)的曲線被G(j)的曲線包圍，則系統不穩(wěn)定。p 若-1/N(X)的曲線與G(j)的曲線相交，可能是穩(wěn)定的極限環(huán)，也可能是不穩(wěn)定的極限環(huán)，兩條曲線的相交點就確定了極限環(huán)的振幅和頻率(X*, *)。9.3 描述函數法描述函數法2自持振蕩的確定相交點A：當有小擾動X0時， 根據奈氏判據，N(X*-X)時系統穩(wěn)定，而 N(X*+X)時系統不穩(wěn)定， 后一種情況振幅逐步增加直到相交點 B；相交點B：當有小擾動X0時，據奈氏判據， N(X*-X)時系統不穩(wěn)定，而 N(X*+X)時系統穩(wěn)定，兩種情

50、況都退回到B點。設X0為微小的擾動。極限環(huán)穩(wěn)定性判據為 若N(X*+X)時得到的線性化系統是穩(wěn)定的，而N(X*-X)時得到的系統是不穩(wěn)定的，則極限環(huán)(X*, *)是穩(wěn)定的； 反之N(X*+X)時得到的線性化系統不穩(wěn)定， N(X*-X)是穩(wěn)定的，則極限環(huán)(X*, *)是不穩(wěn)定。9.3 描述函數法描述函數法例9-13 已知一個非線性控制系統的線性部分的傳遞函數為)97-9()136)(1(12)136)(1(12)(22 jjssssGjsjs考慮（1）理想繼電器（2）滯環(huán)繼電器，試確定自持振蕩。A: (X*,*)=(1.27, 4.36)A: (X*,*)=(2.32, 3.2)N(X*+ X)

51、沒被G(j)包圍，穩(wěn)定；N(X*- X)被G(j)包圍，不穩(wěn)定；兩個交點A確定的極限環(huán)穩(wěn)定，系統穩(wěn)定的自持振蕩分別為：)2 . 3sin(32. 3)()36. 4sin(27. 1)(ttxttx 和和9.3 描述函數法描述函數法9.3.5綜合問題舉例例9-14 考慮如圖9-33(a)所示的非線性三階控制系統。)98-9(1,14)(,)1)(5 . 1(10)(22 XXXXNjjjjG 分析系統存在的自振，并設計串聯校正裝置消除系統的自振，從而使系統穩(wěn)定。解: 在復平面上繪出-1/N(X)和G(j)23. 1,05. 1(),(* X)23. 1,23. 3(),(* X不穩(wěn)定穩(wěn)定，有自

52、持振蕩 9.3 描述函數法描述函數法)99-9()04. 0)(2()16. 0)(7 . 0()( jjjjjGc引入校正環(huán)節(jié)：引入校正環(huán)節(jié)：)100-9()04. 0)(2()16. 0)(7 . 0()1)(5 . 1(10)( jjjjjjjjG校正后的線性系統為：校正后的線性系統為：校正后的系統中沒有自持振蕩，并且系統是穩(wěn)定的。9.4 利用利用MATLAB分析非線性控制系統分析非線性控制系統求解微分方程可調用的函數ode45(), 格式如下：tout, yout=ode45(odefun, tspan, y0)例9-15 考慮如圖所示有死區(qū)加滯環(huán)的繼電器特性的非線性系統, 其中, d=4,m=0.25,M=1,K=1,T=1.25，試用 MATLAB輔助分析系統在階躍信號r(t)=101(t)作用下的運動。解：具有死區(qū)加滯環(huán)的繼電器特性如下： 區(qū)區(qū)區(qū)III, 0;,II, 0;,I, 0;, 0,0mdeedeMmdeedeMmdededemdeu9.4.1 繪制非線性控制系統的相軌跡和相平面圖9.4 利用利用MATLAB分析非線性控制系統分析非線性控制系統KxyyT 系系統統微微分分方方程程為為：0 KxeeT