2024年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試卷試題真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)北京大學(xué)2024年強(qiáng)基計(jì)劃筆試數(shù)學(xué)試題1．求模7的余數(shù).2．求.3．求的排列的個(gè)數(shù)，使得排列中沒(méi)有出現(xiàn)連續(xù)的.4．已知數(shù)列，求第2024項(xiàng)模5的余數(shù).5．求四元組的個(gè)數(shù)，使得，且.6．求上方程的解的個(gè)數(shù).7．求上方程的解的個(gè)數(shù).8．求上方程的解的個(gè)數(shù).9．在體積為的正方體內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)作三個(gè)平行于正方體面的平面，將正方體分為個(gè)長(zhǎng)方體，求這些小長(zhǎng)方體中體積不大于的長(zhǎng)方體個(gè)數(shù)的最小值.10．在離心率為的橢圓中，是兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，求.11．用表示正整數(shù)的數(shù)碼和，求滿(mǎn)足與均為5的倍數(shù)的的最小值.12．稱(chēng)正整數(shù)為好數(shù),當(dāng)它各位數(shù)字均不相同，且對(duì)于所有正整數(shù)滿(mǎn)足，都有，求最大好數(shù)的范圍（

）A.

B.

C.

D.以上均不對(duì)13．在中，求的最小值或下確界.14．在中，若邊上的高為，求的范圍.15．在中，若在上，比較與的大小.16．在中，若為形外一點(diǎn)，滿(mǎn)足，線(xiàn)段與線(xiàn)段交于，且，，求.17．在中，若在上，平分的內(nèi)心與的外心重合，求.18．在中，若在上，平分，求的周長(zhǎng).19．在中，求的最大值的取等條件.20．，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，并用表示小數(shù)部分，已知：，，求

.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．1【分析】只要注意到19與20的相鄰關(guān)系，容易將高斯取整寫(xiě)成普通的計(jì)算式，剩下就只需要對(duì)冪次進(jìn)行常規(guī)的同余計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所以，上述中用到，，所?2．【分析】由，化簡(jiǎn)得到，，化簡(jiǎn)得到，從而將原式化簡(jiǎn)為，利用，求出，即可求解.【詳解】因?yàn)?，從而得到：，則由于，，所以，因?yàn)橐驗(yàn)樗?，即，解得：?舍去)所以3．【分析】先考慮包含連續(xù)的排列對(duì)應(yīng)的七個(gè)集合，計(jì)算它們通過(guò)取交得到的集合的元素個(gè)數(shù)，然后利用容斥原理得到不滿(mǎn)足條件的排列數(shù)，再用總排列數(shù)與該數(shù)相減即得答案.【詳解】對(duì)有限集合，記其元素個(gè)數(shù)為.在的所有排列中，設(shè)為所有包含連續(xù)的的排列構(gòu)成的集合，這里.則對(duì)而言，集合中的所有排列，都相當(dāng)于在將需要相鄰的數(shù)進(jìn)行捆綁以后，個(gè)整體元素的全排列，從而.故由容斥原理即得.這就表明出現(xiàn)了連續(xù)的中之一的排列有個(gè)，所以不出現(xiàn)連續(xù)的的排列有個(gè).故所求排列的個(gè)數(shù)為.4．4【分析】設(shè)，可得，從而得到，即可求解【詳解】設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：，，，，，，，，，，，設(shè)，所以，，則，故所以64模5余數(shù)為45．25【分析】根據(jù)，可得可能的取值，再利用排列組合求得四元組的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，且，所以的取值有三種不同的組合：或或，即，當(dāng)時(shí)，四元組有個(gè)，當(dāng)時(shí)，四元組有1個(gè)當(dāng)時(shí)，四元組有個(gè)，故滿(mǎn)足題意的四元組的個(gè)數(shù)為個(gè).6．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)可得只能，分別比較和時(shí)，的大小關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)和的凹凸性即可得解.【詳解】由，只能，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)是凹函數(shù)，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，所以函數(shù)是凸函數(shù)，所以函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，即上方程的解的個(gè)數(shù)為個(gè).7．【分析】用反證法證明原方程的解都滿(mǎn)足，即，然后逐一代入驗(yàn)證即可.【詳解】一方面，假設(shè)原方程有一個(gè)滿(mǎn)足的根，則.令，則.對(duì)，有，故；對(duì)，有，故.所以對(duì)，都有，從而由知，矛盾.所以無(wú)解，故原方程的解，只有滿(mǎn)足，即，直接驗(yàn)證即知都是原方程的解.所以原方程一共有個(gè)解.8．【分析】由得，由得，解得的范圍，得可能取值為，代入計(jì)算檢驗(yàn)即可.【詳解】由得，所以，因?yàn)?，所以，得，解得，此時(shí)可能取值為，分別代入計(jì)算可得，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意，故方程的解只有4個(gè).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)得不等式組，進(jìn)而得可能取值為，代入計(jì)算可得.9．【分析】先通過(guò)不等式方法證明這個(gè)長(zhǎng)方體中至少有個(gè)的體積不超過(guò)，再說(shuō)明當(dāng)，，時(shí)，這個(gè)長(zhǎng)方體中恰有個(gè)的體積不超過(guò)，即可說(shuō)明這些小長(zhǎng)方體中體積不大于的長(zhǎng)方體個(gè)數(shù)的最小值為.【詳解】設(shè)該正方體的長(zhǎng)寬高分別被切成長(zhǎng)度為和，和，和的兩段，這里，且根據(jù)據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可不妨設(shè).此時(shí)，個(gè)長(zhǎng)方體的體積分別是.由，可知，.由于，故.而，故和中至少有一個(gè)數(shù)不超過(guò)，所以這個(gè)長(zhǎng)方體中至少有個(gè)的體積不超過(guò).當(dāng)，，時(shí)，個(gè)長(zhǎng)方體的體積分別是，此時(shí)這個(gè)長(zhǎng)方體中恰有個(gè)的體積不超過(guò).綜上，這些小長(zhǎng)方體中體積不大于的長(zhǎng)方體個(gè)數(shù)的最小值為.10．【分析】根據(jù)離心率確定，根據(jù)橢圓定義及求出，在中，由余弦定理求得，再計(jì)算面積即可.【詳解】由題意得，即，由橢圓定義知，，又，所以，在中，由余弦定理得，解得，所以.

11．49999【分析】利用的必要條件為得到最小為4,得到最后的結(jié)果.【詳解】設(shè)的末尾有個(gè)9,即,所以,此時(shí)必要條件為,所以最小為4,當(dāng)時(shí)不符合題意,所以最小可能為五位數(shù),經(jīng)檢驗(yàn)最小值為49999.12．D.【分析】利用題目給的“好數(shù)”的定義，設(shè)，結(jié)合由，得到的最大可能值為4，從而求出最大的好數(shù)為3570.【詳解】設(shè),由可得，其中,所以的最大可能值為4.當(dāng),由,得,有,解得,經(jīng)檢驗(yàn)最大的好數(shù)為3570.故選：D.13．【分析】要使最小，則為鈍角三角形，不妨假設(shè)為鈍角，可得，利用余弦值的范圍可得，即可得到答案.【詳解】在中，要使最小，則為鈍角三角形，不妨假設(shè)為鈍角，則，，所以，則，，，所以則則，當(dāng)為等腰三角形，且無(wú)限接近于時(shí)，無(wú)限接近于，即的下確界為14．【分析】利用三角形面積公式和余弦定理得到，從而表達(dá)出，求出，結(jié)合基本不等式求出，得到結(jié)論.【詳解】由三角形面積公式得，即，由余弦定理得，故，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故.15．【分析】由余弦定理求出三角形每個(gè)內(nèi)角的余弦值，從而求出對(duì)應(yīng)正弦，在和分別利用正弦定理得到：和，化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】在中，若在上由余弦定理可得：，同理：，，在中，，，所以，，設(shè)，，則，在，由正弦定理可得：，同理在，，所以，所以16．【分析】使用平面幾何知識(shí)證明點(diǎn)是外接圓的圓心，然后利用圓的相交弦定理即得結(jié)果.【詳解】由于線(xiàn)段與線(xiàn)段有交點(diǎn)，故點(diǎn)和點(diǎn)一定在線(xiàn)段的同側(cè)（否則線(xiàn)段和整體各位于線(xiàn)段的兩側(cè)且端點(diǎn)不同，不可能有交點(diǎn)）.而，，且和在的同側(cè)，故由圓心角是圓周角的2倍，可知點(diǎn)一定是外接圓的圓心.記的外接圓為，并設(shè)為在上的對(duì)徑點(diǎn)，則根據(jù)相交弦定理有.再由已知有，故.17．【分析】利用與全等，得到求出【詳解】設(shè)題中的內(nèi)心和外心為，即圖中兩點(diǎn)，一方面在的角平分線(xiàn)上，又所以與為等腰三角形，又所以所以所以得到.另一方面,所以,綜上可得.18．【分析】設(shè)，先利用角平分線(xiàn)定理得出的關(guān)系，再利用雙余弦定理求出，即可得解.【詳解】設(shè)，由角平分線(xiàn)定理可得，則，由余弦定理得，即，將代入化簡(jiǎn)得，即解得或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)只能，所以的周長(zhǎng)為.19．，【分析】先分析得最大，再利用和差化積公式得到，再利用換元法構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究得最大值，從而得解.【詳解】顯然要使取最大值，則最大，所以，都為銳角，，，由于，所以，則，當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；令，，構(gòu)造函數(shù)，，所以，令