很詳細的快速冪算法

1、快速冪取模算法在網站上一直沒有找到有關于快速冪算法的一個詳細的描述和解釋，這里，我給出快速冪算法的完整解釋，用的是C語言，不同語言的讀者只好換個位啦，畢竟讀C的人較多所謂的快速冪，實際上是快速冪取模的縮寫，簡單的說，就是快速的求一個冪式的模(余)。在程序設計過程中，經常要去求一些大數對于某個數的余數，為了得到更快、計算范圍更大的算法，產生了快速冪取模算法。有讀者反映在講快速冪部分時有點含糊，所以在這里對本文進行了修改，作了更詳細的補充，爭取讓更多的讀者一目了然我們先從簡單的例子入手：求= 幾。算法1.首先直接地來設計這個算法：int ans = 1;for(int i = 1;i<=b;

2、i+)ans = ans * a;ans = ans % c;這個算法的時間復雜度體現在for循環(huán)中，為O（b）.這個算法存在著明顯的問題，如果a和b過大，很容易就會溢出。那么，我們先來看看第一個改進方案：在講這個方案之前，要先有這樣一個公式：.這個公式大家在離散數學或者數論當中應該學過，不過這里為了方便大家的閱讀，還是給出證明：引理1：上面公式為下面公式的引理，即積的取余等于取余的積的取余。證明了以上的公式以后，我們可以先讓a關于c取余，這樣可以大大減少a的大小，于是不用思考的進行了改進：算法2：int ans = 1;a = a % c; /加上這一句for(int i = 1;i<

3、=b;i+)ans = ans * a;ans = ans % c;聰明的讀者應該可以想到，既然某個因子取余之后相乘再取余保持余數不變，那么新算得的ans也可以進行取余，所以得到比較良好的改進版本。算法3：int ans = 1;a = a % c; /加上這一句for(int i = 1;i<=b;i+)ans = (ans * a) % c;/這里再取了一次余ans = ans % c;這個算法在時間復雜度上沒有改進，仍為O(b)，不過已經好很多的，但是在c過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們推出以下的快速冪算法?？焖賰缢惴ㄒ蕾囉谝韵旅黠@的公式，我就不證明了。有了上述兩個公式后

4、，我們可以得出以下的結論：1. 如果b是偶數，我們可以記k = a2 mod c，那么求(k)b/2 mod c就可以了。2. 如果b是奇數，我們也可以記k = a2 mod c，那么求(k)b/2 mod c × a ) mod c =(k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。那么我們可以得到以下算法：算法4：int ans = 1;a = a % c;if(b%2=1)ans = (ans * a) mod c; /如果是奇數，要多求一步，可以提前算到ans中k = (a*a) % c; /我們取a2而不是afor(int i = 1;i<=b/2;i+)a

5、ns = (ans * k) % c;ans = ans % c;我們可以看到，我們把時間復雜度變成了O(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令k = (a * a) mod c時，狀態(tài)已經發(fā)生了變化，我們所要求的最終結果即為(k)b/2 mod c而不是原來的ab mod c，所以我們發(fā)現這個過程是可以迭代下去的。當然，對于奇數的情形會多出一項a mod c，所以為了完成迭代，當b是奇數時，我們通過ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項，此時剩余的部分就可以進行迭代了。形如上式的迭代下去后，當b=0時，所有的因子都已經相乘，算法結束。于是便可以在O（

6、log b）的時間內完成了。于是，有了最終的算法：快速冪算法。算法5：快速冪算法int ans = 1;a = a % c;while(b>0)if(b % 2 = 1)ans = (ans * a) % c;b = b/2;a = (a * a) % c;將上述的代碼結構化，也就是寫成函數：int PowerMod(int a, int b, int c)int ans = 1;a = a % c;while(b>0)if(b % 2 = = 1)ans = (ans * a) % c;b = b/2;a = (a * a) % c;return ans;本算法的時間復雜度為O（logb），能在幾乎所有的程序設計（競賽）過程中通過，是目前最常用的算法之一。以下內容僅供參考：擴展：有關于快速冪的算法的推導，還可以從另一個角度來想。=？ 求解這個問題，我們也可以從進制轉換來考慮：將10進制的b轉化成2進制的表達式：那么，實際上，.所以注意此處的要么為0，要么為1，如果某一項，那么這一項就是1，這個對應了上面算法過程中b是偶數的情況，為1對應了b是奇數的情況不要搞反了，讀者自己好好分析，可以聯系10進制轉2進制的方法，我們從依次乘到。對于每一項的計算，計算后一項的結果時用前一項的結果的平方取余。對于要求的結果而言，為時ans不用把