回旋曲線坐標(biāo)計(jì)算事例

1、一、回旋線的基本特征及坐標(biāo)計(jì)算 回旋線上，任意一點(diǎn)的曲率半徑 與該點(diǎn)至曲線起點(diǎn)的曲線長 l 之積為一常數(shù) ( 圖 1) 即 l =A2(1) 或 式中， A 2 為回旋曲線常數(shù)，表征回旋曲線曲率變化緩急程度的量，稱 A 為回旋曲線參數(shù)。 圖 1 1. 回旋曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算 由圖 1( 曲線右旋 ) ，取回旋線的起始點(diǎn) ZH 處的切線方向?yàn)?x 軸，法線方向?yàn)?y 軸，任意一點(diǎn)的 切線方向方位角為緩和曲線角 。在緩和曲線上對任意一點(diǎn) P 取微分 dl=d dx=dlcos dy=dlsin 考慮式 (1) 對 或 l 在區(qū)間 0 ， 或 0 ， l 上積分后有下列關(guān)系式成立 l 2 2A2

2、 (2) (3) (4) 或者 (5) (6) 對于公路平面線形的基本形，其緩和曲線始于直線終于圓曲線，故緩和曲線的曲率半徑 變化于 R ( 圓曲半徑 ) 。設(shè)緩和曲線段長度為 ls, 則 (7) (8) 2. 回旋線的幾何要素 見圖 1 ，回旋線的幾何要素計(jì)算公式如下：任意點(diǎn) P 處的曲率半徑 ( 由式 (1) 和式 (2) (9) P 點(diǎn)的回旋曲線長 (10) P 點(diǎn)的緩和曲線角 ( 切線方位角，由 (9) 式 ) (11) 上面導(dǎo)出了當(dāng)參數(shù)分別為 和 l 時(shí)的右旋緩和曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)和幾何要素公式。顯然，緩和曲線左旋時(shí) ( 圖 2) ，與右旋相比， x 坐標(biāo)公式一致，而 y 、 反號。

3、若令 sign=1 ，緩和曲線右旋時(shí)取 sign=1 ，左旋時(shí)取 sign=-1 ，則坐標(biāo)和方位角等符號量可統(tǒng)一 表示為： (12) 圖 2 3. 回旋曲線的基本特征 1. 幾何特性。回旋曲線隨著曲線長度的增加，曲率按線性函數(shù)增加。起點(diǎn)處 l =0 ，曲率 l / 0 ，終點(diǎn)處 l =ls ，曲率 l /p 常數(shù) 2. 相似性?；匦€的形狀只有一種，回旋曲線參數(shù) A 即為放大系數(shù)。 二、卵形曲線形式及其緩和曲線段坐標(biāo)計(jì)算 按直線 - 緩和曲線 (A1)- 圓曲線 (R1)- 緩和曲線 - 圓曲線 (R2)- 緩和曲線 (A2)- 直線的順序組合構(gòu)成的平面線形形式 (R1R2) ，稱為卵形曲線

4、 ( 圖 3) 。卵形曲線中，顯然圓曲線 - 緩和曲線 - 圓曲線段的緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算是新的課 題，它成為整個(gè)卵形曲線計(jì)算的瓶頸。解決了這個(gè)問題，其他平面線形形式的曲線坐標(biāo)計(jì)算 也就迎刃而解了。 圖 3 解決問題的關(guān)鍵在于對兩圓曲線之間的緩和曲線的正確認(rèn)識： (1) 兩不等圓曲線之間的緩和 曲線仍是回旋線； (2) 該回旋線是沒有起點(diǎn) ( 0) 的回旋線段。 于是，解決問題的方案是：第一，仍須確定哪端為回旋曲線的起點(diǎn) ( 0) 端；第二，假定緩和曲線起點(diǎn)而套用平面曲線基本形計(jì)算回旋曲線任意一點(diǎn)坐標(biāo)及其方位角；第三，坐標(biāo)變換為大地 ( 或施工區(qū) ) 坐標(biāo)形式，而這正是高效測設(shè)曲線的現(xiàn)代發(fā)展所需要

5、的坐標(biāo)形式。 我們知道，回旋曲線起點(diǎn)處曲率半徑 = ，隨著離曲線起點(diǎn)的曲線長度增加，曲率半徑由大變小。因此，卵形曲線兩圓之間回旋線的起點(diǎn)必在相接圓半徑較大的圓曲線那一端。由此再確定回旋線的右或左旋形式以確定獨(dú)立坐標(biāo)公式 (sign 的值 ) 的使用。根據(jù)回旋線上特征點(diǎn)的已知大地坐標(biāo)和獨(dú)立坐標(biāo)，可計(jì)算出坐標(biāo)變換參數(shù)，從而得到回旋線上任意一點(diǎn)的大地坐標(biāo)及其切向、法向方位角。 以圖 3 為例，因?yàn)?R 1 R2 ，可見回旋線的起點(diǎn)在 R 1 圓曲線的那一端，顯然，該回旋線右旋。設(shè)回旋曲線起點(diǎn)為 O ，起點(diǎn)處切線方向?yàn)?x 軸，法線方向?yàn)?y 軸，建立獨(dú)立坐標(biāo)系。 O-YH 弧長： l 1 A 2 /

6、R1 O-HY 弧長： ls=l1+l0 A 2 /R2這里， l 0 =lYH-HY 為緩和曲線段長度。 緩和曲線上任意點(diǎn) P 至起點(diǎn) O 的弧長為 l l 1 +l這里， l 為 P 至圓緩點(diǎn) YH 的弧長。 將 l 1 ,ls,l 分別替代 l 代入式 (7) 、式 (8) 得到圓緩點(diǎn) YH 、緩圓點(diǎn) HY 、任意點(diǎn) P 獨(dú)立坐 標(biāo)系坐標(biāo) xYH,yYH,xHY,yHY,xP,yP( 注意，計(jì)算時(shí)式中 R R 2 ) 。 設(shè)獨(dú)立坐標(biāo)系 xOy 原點(diǎn) O 的大地坐標(biāo)為 (X0,Y0) ， x 軸的大地方位角為 0 ，由 YH 、 HY 點(diǎn)的大地坐標(biāo)和獨(dú)立坐標(biāo)可分別反算直線 YH-HY 的坐

7、標(biāo)方位角 1 ,2 ，則 0 =1-2(13) 于是，獨(dú)立坐標(biāo)系中任意一點(diǎn) P (x,y) 的大地坐標(biāo) X ， Y 為 X X 0 +xcos0-ysin0(14) Y Y 0 +xsin0+ycos0(15) 這里， X 0 ,Y0 可由點(diǎn) YH 或 HY 已知坐標(biāo)數(shù)據(jù) ( 大地、獨(dú)立 ) 用上兩式求得。 P 點(diǎn)切線大地方位角 =0+sign(16) 法線大地方位角 (-sign90)180 (17) 三、算例 廣東某高速公路一段卵形曲線設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)的特征點(diǎn)大地坐標(biāo)見表 1 ，緩和曲線參數(shù) A 30 0 ，緩和曲線長度 l 0 =157.50 m ，兩相接圓曲半徑見圖 4 。求緩和曲線內(nèi)兩里程樁

8、號點(diǎn)的大地坐標(biāo)及法向方位角。 圖 4 表 1 部分設(shè)計(jì)數(shù)據(jù) 點(diǎn)號 )/( 里程樁號 )/(X/m)/(Y m)/( 其他數(shù)據(jù) 圓緩點(diǎn) (YH)/(K0+327.43)/(3 961.506)/(4 033.679)/(T1=59.95 交點(diǎn) (JD)/(K0+387.38)/(3 998.132)/(3 986.223)/(T2=97.98 緩圓點(diǎn) (HY)/(K0+484.93)/(4 071.589)/(3 921.382)/( 105413 簡要計(jì)算如下： 因 R 2 R1 ，可見回旋線起點(diǎn)在 R 2 端且左旋 (sign=-1) ，建立獨(dú)立坐標(biāo)系如圖 4 。則 l 1 =A2/R2=30 mls=l1+l0=A2/R1 187.50 m由此代入式 (7) 、式 (8) 并注意到 R R 1 =480 得 HY ， YH 點(diǎn)獨(dú)立坐標(biāo)為 由直線 HY-YH 的大地方位角 1 和獨(dú)立方位角 2 得獨(dú)立坐標(biāo)軸 x 的大地方位角 =1-2 1385105 則 X 0 4 094.145 Y 0 3 901.605 于是緩和曲線上點(diǎn) K 0 +420 處、 K 0 +380 處坐標(biāo)與方位角數(shù)據(jù)可得 K 0 +420 ： (l=l1+484.93-420=94.93) x =94.906 y =-1