D6_3曲面及其方程

1、四、二次曲面四、二次曲面第三節(jié)一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面 三、柱面三、柱面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 曲面及其方程 第六六章 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的等距離的點(diǎn)的222)3()2() 1(zyx07262zyx化簡得即說明說明: 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面的垂直平分面. .引例引例: :222)4() 1()2(zyx解解: :設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為, ),(zyxM,BMAM 則軌跡方程. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 曲面在空間

2、解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡1、顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, 2、不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.定義定義1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的的圖形圖形.兩個(gè)基本問題兩個(gè)基本問題 : :(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何

3、形狀( 必要時(shí)需作圖 ). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）故所求方程為,),(為球面上任意一點(diǎn)設(shè)zyxM特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解解:RMM0即依題意xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: :,21|0MMMO根據(jù)題意有,21432222222zyxzyx.911634132222zyx所求方程為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 研究方程042222

4、yxzyx解解: : 配方得配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:說明說明: : 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.的曲面. . 表示怎樣半徑為的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心為 5)2() 1(222zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義2. . 一條平面曲線一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其所在平面上一條繞其所在平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸 . .例如例如 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 旋轉(zhuǎn)曲線

5、叫做旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)曲線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線母線. .建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為, ),(zyxM當(dāng)繞當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)軸旋轉(zhuǎn)時(shí), ,0),(11zyf,), 0(111CzyM若點(diǎn)給定 yoz 面上曲線 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz則有0),(22zyxf則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到0),(zyfozyxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考：思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 結(jié)論：結(jié)論：求旋轉(zhuǎn)曲面方程時(shí)求旋轉(zhuǎn)曲面方程時(shí),平面曲線繞某坐標(biāo)軸

6、旋轉(zhuǎn)平面曲線繞某坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn),則該坐標(biāo)軸則該坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)的變量不變對(duì)應(yīng)的變量不變,而曲線方程中另一變量而曲線方程中另一變量寫成寫成該變量與第三個(gè)變量平方和的正負(fù)平方根該變量與第三個(gè)變量平方和的正負(fù)平方根.xyzO解解: 在在yoz面上直線面上直線L 的方程為的方程為cotyz 繞繞z z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)軸旋轉(zhuǎn)時(shí), ,圓錐面的方程為圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令兩邊平方機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 L), 0(zyMxy例例5. 求坐標(biāo)面求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線上的雙曲線12222czax分別繞分別繞 x軸和軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的

7、旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222czayx這兩種曲面都叫做這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面. .所成曲面方程為所成曲面方程為z機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面）旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面）(旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面）旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面）122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz三、柱面三、柱面引例引例. 分析方程分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程222Ryx解解: :在在 xoy 面上面上，表示圓C, 222Ryx

8、222Ryx沿曲線沿曲線C平行于平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面軸的一切直線所形成的曲面稱為稱為圓圓故在空間222Ryx過此點(diǎn)作柱面柱面. .對(duì)任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示表示圓柱面圓柱面oC在圓C上任取一點(diǎn) , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyzxyzo定義定義3. 平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. 表示表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的軸的平面平面.

9、0 yx表示母線平行于 C(且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線.xyzoo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 lxzy2l一般地一般地, ,在三維空間在三維空間柱面柱面, ,柱面柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.母線表示表示柱面柱面, ,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線表示方程同理0 ),( ,zyG表示方程0),(xzHxyz3l機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz1l從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：5x922 yx1 xy斜率為1的直

10、線平面解析幾何中空間解析幾何中方 程平行于 y 軸的直線 平行于 yoz 面的平面 圓心在(0,0)半徑為 3 的圓以 z 軸為中心軸的圓柱面平行于 z 軸的平面思考思考指出下列方程的圖形:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為的圖形通常為二次曲面二次曲面. FzxEyzDxyCzByAx 2220JIzHyGx(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 相應(yīng)地，平面被稱為相應(yīng)地，平面被稱為一次曲面一次曲面 用坐標(biāo)面

11、和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌解曲面的全貌1. 橢圓錐面橢圓錐面),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或或 y 方向的方向的伸縮變換伸縮變換得到, 見書 P223 )xyz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyx2. 橢球面橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczby

12、ax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz 同樣與平面)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù))機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 z橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化. .橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面1

13、2222 czax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成z旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別區(qū)別：122222 czayx方程可寫為方程可寫為與平面與平面 的交線為圓的交線為圓. .1zz )| (1cz .)(12122222 zzzccayx截面上圓的方程截面上圓的方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx 方程可寫為方程可寫為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2222xyzab(1) 橢圓拋物面橢圓拋物面(2) 雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面）2222xyzab 特別,當(dāng)a = b時(shí)為繞 z 軸的旋

14、轉(zhuǎn)拋物面.xyzxyz3. 拋物面拋物面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 雙曲面雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓橢圓.時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 雙曲線雙曲線: 虛軸平行于x 軸）by 1)2時(shí), 截痕為0czax)(bby或by 1)3時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于z 軸;1yy zxyzxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 相交直線相交直線:

15、雙曲線雙曲線: 0(2) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面P18 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 空間曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面如, 曲線00),(xzyf繞繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面軸的旋轉(zhuǎn)曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母線平行表示母線平行 z 軸的柱面軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 二次曲面三元二次方程 橢球面