數(shù)形結合思想在解題中的應用

1、- 數(shù)形結合思想在解題中的應用摘 要數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的學科，數(shù)和形是數(shù)學研究的兩個重要方面，在研究過程中，一方面，許多數(shù)量關系的抽象概念和解析式，假設賦予幾何意義，往往變得非常的直觀形象，另一方面，一些圖形的屬性又可以通過數(shù)量關系的研究使得圖形的性質更豐富、更準確、更深刻，這種“數(shù)與“形的信息轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學問題開辟了一條重要的途徑。 數(shù)形結合包含“以形助數(shù)和“以數(shù)助形兩個方面，在高中階段用的較多的是以形助數(shù)。數(shù)量關系如果能有效地結合圖形，往往會使抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，巧妙地應用

2、數(shù)形結合的思想方法來處理一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，到達優(yōu)化解題途徑的目的，在選擇題，填空題中，數(shù)形結合更能顯示出其簡捷的優(yōu)越性。關鍵詞：數(shù)形結合 思想方法 應用解題緒 論 數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中空間形式與數(shù)量關系的一門學科，故數(shù)學的研究是圍繞數(shù)和形展開的，而數(shù)形結合的實質在于數(shù)量關系決定著幾何圖形屬性，幾何圖形的屬性反映著數(shù)量關系1。在現(xiàn)代數(shù)學研究中，數(shù)形結合既是一種常用的數(shù)學方法又是一種數(shù)學思想。由此可見，在高中階段，掌握并熟練運用這一思想是十分必要的。本文針對數(shù)形結合思想的形成和演進，數(shù)形結合思想解題能力的培養(yǎng)，以及在高中數(shù)學解題中的應用圍和數(shù)形結合思想在解題中的實際應用做了

3、淺顯成述。第二章 數(shù)形結合思想的概述和歷史演進2.1數(shù)形結合思想的概述 數(shù)學的兩個最古老、最普遍的研究對象是數(shù)、形，在*些條件的作用下，兩者可以相互轉化。中學數(shù)學研究的對象可以分為數(shù)和形兩大局部，數(shù)與形的聯(lián)系則稱作數(shù)形結合，它包含“以形助數(shù)和“以數(shù)助形兩個方面1。以形助數(shù)，即借助形的直觀性來說明數(shù)之間的關系；以數(shù)助形，即借助數(shù)的準確性來說明形的*些屬性。2.2數(shù)形結合思想的歷史演進隨著時間的推移，數(shù)學得到了不斷的拓展和充實，數(shù)學中最原始的研究對象數(shù)與形也在不斷地變化，從最初因需要而產生數(shù)到歐幾里德撰寫的?幾何原本?，再到從笛卡爾創(chuàng)立平面直角坐標系到近、現(xiàn)代數(shù)學研究，數(shù)形結合一直伴隨其行。在古希

4、臘數(shù)學時期，畢達哥斯拉學派在研究數(shù)學時，就借助形來歸納數(shù)的性質，這便是早期的“數(shù)與“形結合的表達。數(shù)軸的建立使人類對數(shù)與形的統(tǒng)一有了初步的認識，把實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應起來，數(shù)可視為點，點可當作數(shù)，點在直線上的位置關系可以數(shù)量化，而數(shù)的運算可以幾何化。1637年，笛卡爾在其?幾何學?中，首次提出了點的坐標和變數(shù)的思想，并借助坐標系用含有數(shù)的代數(shù)方程來表示和研究曲線2。笛卡爾把數(shù)軸一維擴展到平面直角坐標系，把有序數(shù)對與平面上的點一一對應起來，從而使得平面曲線的點集與二元方程組的解集一一對應起來。于是就可以用代數(shù)方法來研究幾何圖形的性質，把幾何研究轉換成對應的代數(shù)的研究。第三章 淺談數(shù)形結合思想

5、解題能力的培養(yǎng)“數(shù)和“形兩者是嚴密聯(lián)系的。我們在研究“數(shù)的時候，往往要借助于“形，而在探討形的性質時，又離不開“數(shù)的支撐?，F(xiàn)階段使用的教材，“代數(shù)與“幾何融和為一門數(shù)學學科，更表達了“數(shù)與“形的結合，因此教師在教學中要做好“數(shù)與“形關系的提醒與轉化，運用數(shù)形結合的方法，幫助學生類比、開掘，剖析其所具有的幾何模型，這對于幫助學生深化思維，擴展知識，提高能力都有很大的幫助。在教學過程中教師應有目的、有方案地進展數(shù)形結合思想的教學，使學生逐步有數(shù)形結合思想這一思想理念，并使之成為解決數(shù)學問題的工具。3.1在教學過程中適時滲透數(shù)形結合思想 在教學過程中要盡量擺脫對代數(shù)問題的抽象討論。更多地把代數(shù)里的東

6、西用圖形表示出來。如相反數(shù)、絕對值的幾何解釋，乘法公式的面積法的驗證等等，將較難、抽象的概念、定理具體化。在幾何圖形的一些根本性質的教學時，多讓學生動手量一量，自己發(fā)現(xiàn)圖形中的數(shù)量關系，對一些特殊的幾何圖形，還可以賦值研究。3.2通過典型例題的分析講解突出數(shù)形結合思想的指導 在教學過程過對例題的實際講解，凸顯出數(shù)形結合的優(yōu)越性，使學生將這一思想由一種方法提升為一種系統(tǒng)的解題理論。例1二次函數(shù)的圖象大致如圖1所示，試確定、與的符號。二次函數(shù)(0)中的、決定函數(shù)的形狀和位置，判別式的符號把拋物線與軸的位置關系和一元二次方程的根聯(lián)系在一起，表達了數(shù)形結合的思想。 圖1第四章 數(shù)形結合思想的應用圍數(shù)形

7、結合思想方法是數(shù)學教學容的主線之一，在高中數(shù)學中，應用數(shù)形結合的思想，可以解決諸多的問題：4.1集合問題在集合運算中借助與數(shù)軸、維恩圖來處理集合的交集、并集、補集等運算，從而是問題簡單，運算快捷。4.2函數(shù)問題 借助圖形研究函數(shù)的性質、最值等問題。4.3方程與不等式問題處理方程時，把方程的問題看做兩函數(shù)圖形的交點問題；處理不等式時，從所給條件和結論出發(fā)，聯(lián)系相關函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形中找解題思路。4.4三角函數(shù)問題三角函數(shù)的單調區(qū)間確實定，比較三角函數(shù)值的大小等問題，都借助于單位圓或三角函數(shù)表達來處理，數(shù)形結合思想是處理三角函數(shù)問題的有效的方法。4.5數(shù)列問題數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)

8、列的通項公式以及前項和公式可以看做是一個關于正整數(shù)的函數(shù)。用數(shù)形結合的思想解決數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖形進展直觀的分析，從而把數(shù)列的有關問題轉化為函數(shù)問題，從而進展解決。4.6立體幾何問題立體幾何中用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質及其相互關系進展研究，可將抽象的幾何問題轉化純粹的代數(shù)運算。第五章 數(shù)形結合思想解題的實際應用5.1集合中的數(shù)形結合 在集合問題中，對一些較抽象的問題，在解決時假設借助數(shù)軸、維恩圖或者圖像等數(shù)形結合的思想方法，可以使問題直觀化、形象化，從而快捷、準確地獲得結論。例2. 集合 則 解析：通過解不等式可知，M可以表示成，此時在數(shù)軸上作出M和N，結果一目了然。 圖2 5

9、.2方程與函數(shù)中的數(shù)形結合 函數(shù)的圖形是函數(shù)關系的直觀表現(xiàn)形式之一，他用“形來刻畫函數(shù)的變化規(guī)律3。函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質，為研究數(shù)量關系提供了“形的直觀性，函數(shù)的圖象和解析式是函數(shù)關系的主要表現(xiàn)形式，在解決函數(shù)問題時兩者經常要相互轉化，針對繁瑣的問題時要充分發(fā)揮圖象的直觀作用，如求解函數(shù)的值域時。可以針對*些代數(shù)式賦一定的幾何意義2。如求直線的斜率、線段的長度兩點間的距離等，把求最值問題轉化為幾何問題，實現(xiàn)數(shù)形的轉換。方程的解的個數(shù)可以轉化為函數(shù)與的圖形的交點個數(shù)問題。對求不等式的解集可以轉化為函數(shù)的圖形與函數(shù)的圖形上方的那局部點的橫坐標的集合3。例3. 在平面直角坐標系中，求函數(shù)

10、，的圖形與直線的交點個數(shù)。解析: 在直角坐標系中作出函數(shù) ，與的圖象，結果顯而易見。5.3數(shù)列中的數(shù)形結合 在數(shù)列問題中，一些量可以當做以為變量的函數(shù)。通常等差數(shù)列的通項可以看成自然數(shù)的“一次函數(shù)前項和可以看成自然數(shù)的“二次函數(shù)，等比數(shù)列的通項可以看成的“指數(shù)函數(shù)。因此在解決數(shù)列問題時可借助相應的函數(shù)圖象來解決。例4.數(shù)列是等差數(shù)列， 則解析：假設，在等差數(shù)列中，關于的圖象是一條直線上均勻排列的一群孤立的點，故三點， 共線，則，即，解得即 圖35.4不等式與極值中的數(shù)形結合對于不等式不等式組的求解和求代數(shù)極值的問題，都存在著圖形背景，借助圖形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法，通過圖形給問題以幾何的描述，從數(shù)形結合中找出問題的邏輯關系，是問題迎刃而解。例5. 不等式的解集為 解析：令，在同一坐標系中作出的圖象如圖4，令，即，可求得，由圖象可以看出不等式的解集為-1,圖4 例6. 求函數(shù)的最值。 解析：構造一長方體如圖5,，為棱上的任意一點，且設 則 于是在中，。在中，可見取得最小值，從長方體的側面展開圖可以看出，當且僅當、三點共線時，有最小值，此時由幾何關系不難求出，故當時，有最小值。即圖5第六