傳球問題的探究性學(xué)習(xí)

1、.裊蒞蕆蟻膃莄薀袇聿莃螞蝕羅蒂莂裊袁聿蒄蚈螇肈薆袃肆肇莆蚆肂肆蒈羂羈肅薀螄襖肄蚃薇膂肅莂螃肈肅蒅薆羄膂薇螁袀膁芇薄螆膀葿蝿膅腿薁螞肁膈蚄袈羇膇莃蝕袃膇蒆袆蝿膆薈蠆肇芅羋襖羃芄莀蚇衿芃薂袃裊節(jié)蚄螅膄芁莄薈肀芁蒆螄羆芀蕿薆袂荿羋螂螈莈莁薅肇莇蒃螀羃莆蚅薃罿莆蒞衿裊蒞蕆蟻膃莄薀袇聿莃螞蝕羅蒂莂裊袁聿蒄蚈螇肈薆袃肆肇莆蚆肂肆蒈羂羈肅薀螄襖肄蚃薇膂肅莂螃肈肅蒅薆羄膂薇螁袀膁芇薄螆膀葿蝿膅腿薁螞肁膈蚄袈羇膇莃蝕袃膇蒆袆蝿膆薈蠆肇芅羋襖羃芄莀蚇衿芃薂袃裊節(jié)蚄螅膄芁莄薈肀芁蒆螄羆芀蕿薆袂荿羋螂螈莈莁薅肇莇蒃螀羃莆蚅薃罿莆蒞衿裊蒞蕆蟻膃莄薀袇聿莃螞蝕羅蒂莂裊袁聿蒄蚈螇肈薆袃肆肇莆蚆肂肆蒈羂羈肅薀螄襖肄蚃薇膂肅莂

2、螃肈肅蒅薆羄膂薇螁袀膁芇薄螆膀葿蝿膅腿薁螞肁膈蚄袈羇膇莃蝕袃膇蒆袆蝿膆薈蠆肇芅羋襖羃芄莀蚇衿芃薂袃裊節(jié)蚄螅膄芁莄薈肀芁蒆莁薃袇膆膄葿袆袆荿蒞羅羈膂蚄羅肀莈薀羄膃膀薆羃羂蒆蒂羂肅艿螁羈膇蒄蚆羀艿芇薂罿罿蒂蒈蚆肁芅莄蚅膄蒁蚃蚄袃芄蠆蚃肅蕿薅蚃膈 傳球問題的探究性學(xué)習(xí) 山東省臨沭縣實驗中學(xué) 李錦旭（276700） 一 問題背景山東臨沂市2006年1月份高三模擬考試卷中有一道關(guān)于傳球問題的試題：三人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方法的種數(shù)是（ ）(A) 6 （B） 8 （C）10 （D）16本題主要考查排列組合中的計數(shù)問題，當時我校學(xué)生的得分情況

3、并不理想：筆者所任教班級為實驗班（學(xué)生的成績普遍較好），但是選擇正確答案（C）的僅為30%，其余選項基本平均！進一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)同學(xué)沒有明確的解題思路：有的根本就不理解題意；有的只會使用列舉法進行直觀列舉，但不能按一定順序?qū)⑺星闆r一一窮盡，有遺漏現(xiàn)象；選（C）的同學(xué)中也有是蒙對的，其實并不真正理解題意；絕大多數(shù)同學(xué)沒有轉(zhuǎn)化問題的意識，不能通過聯(lián)想已經(jīng)解決的熟悉問題來建立數(shù)學(xué)模型求解，表現(xiàn)出抽象思維的貧乏與薄弱。事實上，對這種似乎是非常規(guī)性的問題，往往難以用常規(guī)題型的通常解法去順利解答；我們有些老師做起來也不容易盡快找到切入點，評講時就難以點撥到位.我感覺這是一道極具思維訓(xùn)練價值的好題，值

4、得深入研究，于是組織學(xué)生進行研究性學(xué)習(xí)。二 分組討論 多向求解 師 （簡要介紹做題情況與試題特點后）這真是一道難題嗎？同學(xué)們能用所學(xué)過的相關(guān)知識與方法來求解嗎？（留給學(xué)生充分獨立思考、探索和自由交流討論的時空）甲乙丙甲甲甲丙乙乙丙丙乙乙丙圖1丙 將學(xué)生討論的結(jié)果歸類如下： 1將傳球路線一一列舉，進行直觀求解：生1 考慮傳球次數(shù)不多，可用枚舉法畫出詳細樹狀圖（圖1），甲先傳球給乙（上面的一條道路）到最后回到甲手中，共有五種傳球方法；同理甲先傳球給丙，由對稱性可知也有五種傳球方法；故共有10種傳球方法.甲非12甲甲甲非非非非22111111圖2生2 由于球開始和結(jié)束都在甲手中，因此球第一次傳出后及

5、最后一次傳出前必須不在甲手中，不妨把乙、丙統(tǒng)稱為“非”（意為非甲），故只要確定中間幾次傳球的情況即可.傳球線路如圖2，圖中“”表示傳球方向，“”之上所附數(shù)字表示對應(yīng)于此步的傳球方法數(shù).所以，本題傳球的不同方法數(shù)是+=10. 2與已有知識結(jié)構(gòu)聯(lián)系，廣泛聯(lián)想與想象，進行發(fā)散思維，建模求解：生3 聯(lián)想到2003年新課程卷文科高考試題第16題：34圖31256將3種作物種植在并排的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共有 種.可以將本題進行等價轉(zhuǎn)化為涂色模型：相當于給圖3六個方格涂紅、黃、藍三種顏色，要求第1、6兩格涂紅色，每個方格涂一種顏色，并且相鄰的兩個方格

6、涂不同的顏色的方法種數(shù).分類討論如下：針對紅色還可涂在3或4當中，分三種情況：（1）若3涂紅色，則4、5只能涂黃、藍兩色，有種方法，而2只能選擇黃、藍兩色之一，有種方法，由乘法原理知有=4種方法；（2）若4涂紅色，同理有4種方法；（3）3、4都不涂紅色，則只能在2、4 選涂一種顏色，在3、5涂另一種顏色，有種方法；綜上，共有2+=24+2=10種方法.生4 改變問題的敘述形式，就成為很熟悉的排數(shù)模型： 用1、2、3三個數(shù)字排成6位整數(shù)，要求首位和末位排1，且任意相鄰的兩個數(shù)碼不相同，可以得到多少個不同的6位整數(shù)？（解略）三 進一步探究師 上述4位同學(xué)的4種解法都具有一定的代表性，如何將問題及其

7、解答向一般情況推廣，來進一步揭示問題的規(guī)律，認識問題的本質(zhì)呢？生5 將此問題向一般情況引申，有 推廣1 甲乙丙三個人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過次傳球后，球又回到甲手中，則不同的傳球方法有多少種？ 問題一經(jīng)引向一般，上述4種具體解法就難以完全套用！但是可以受其方法的啟發(fā)-引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題背后的規(guī)律： 生6 設(shè)經(jīng)過次傳球后，球在甲手中的不同方法有種，球不在甲手中的不同方法有種，則有：，經(jīng)過次傳球后共有種不同的傳球方法；經(jīng)過次傳球后球要么在甲手中，要么不在，可得=+；第次傳球后，球在甲手中，則下一次必不在甲手中（甲傳出去有兩種可能）；第次傳球后，球不在甲手中，則下一次可以傳到甲手

8、中（乙可以傳給甲或丙，丙可以傳給甲或乙，各有兩種可能）；經(jīng)過次傳球后，球在甲手中有種方法，等于第次傳球后球不在甲手中的方法數(shù)，即=，且.所以（i）。這是此數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合可得，于是數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，即 =，解得.評注： 對（i）式學(xué)生出現(xiàn)多種轉(zhuǎn)化方式，如 （a）變形為即則是以為公比以為首項的等比數(shù)列。 （b）由（i）式可得（ii），兩式相減得再分奇偶項求解后合成即可。原題的解即為.當然，也可推知球不在甲手中有種方法；根據(jù)等可能性，傳到乙、丙手中各有11種情況.近閱文1，正好是上述推廣1，所給解法是上述（a），容易看出：其法沒有生6的解法簡捷！生7 若從概率的等可能性和互斥角

9、度來理解，下面的解法別有趣味：由于球由某人手中向下一個目標傳遞有2種方法，經(jīng)過次傳球后共有種不同的傳球方法，這些方法是等可能的，且任意兩種不同傳球是互斥的.球在甲手中的不同方法有種，不在甲手中的不同方法有種，記為經(jīng)次傳球回到甲手中的事件，則，且，+=1，=（由=易得）. 整理為，顯然是首項為，公比為的等比數(shù)列，即 =，解得=，由，得.生8 改進生3的涂色模型，把圖361中 粘起來，并作推廣，如圖4： 傳球從甲開始，相當于區(qū)域1只涂固定顏色（如紅色），現(xiàn)假設(shè)可任意涂色，則區(qū)域1可有3種涂法，其它區(qū)域都各有2種涂法，但區(qū)域與區(qū)域1有兩種情況：同色與異色。同色相當于合并，為，異色正好為。故=即（下略

10、）評注：生6，7，8的解法均較為簡捷，建模意識強，確有創(chuàng)意！生9 將此問題再推廣，可有 推廣2 甲乙丙丁四個人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過次傳球后，球又回到甲手中，則不同的傳球方法有多少種？生10 直觀列舉，歸納概括找規(guī)律： 列出傳球的樹狀圖如圖1，觀察此圖易得如下結(jié)論： 次數(shù)甲乙丙丁一次0111二次3222三次6777四次21202020五次60616161 觀察上表，可總結(jié)概括傳球規(guī)律：下一次某人的種數(shù)為他前邊另幾人傳球種數(shù)之和。于是對于甲來說，其傳接球規(guī)律為次數(shù) 經(jīng)次傳球后回到甲手中的方法數(shù)一次二次三次四次五次 綜上可得結(jié)論：當為偶數(shù)時，即；當為奇數(shù)時，即 于是有 評注

11、：這位學(xué)生雖未給出證明，不是很嚴格，但能夠進行如上的直觀列舉，并借此較容易地發(fā)現(xiàn)問題背后的規(guī)律，實已屬難得！生11 由傳球規(guī)律可知：要使第次傳球后球回到甲手中，則第次傳球后球必不在甲手中，易得于是，進行迭代求解，有 當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時， 綜上，有生12 （歸納猜想證明）3次傳球后，若球傳回甲手中，則第1，2次接球的是乙丙丁三人中的兩人，且有次序，故；經(jīng)4次傳球后，若球傳回甲手中，則有以下兩種情況：第2次沒有傳給甲：第2次傳給甲：故 ，猜想： 證明 用數(shù)學(xué)歸納法：(1) 當時 ，由知結(jié)論成立；(2) 假設(shè)當時命題成立，即則當時，傳第次回到甲的手中，不管第次是否傳到甲的手中，共有種方法。但事實

12、上，第次不可能傳到甲的手中，而第次傳到甲的手中的方法種數(shù)恰好為，于是 即猜想對也成立。 由（1）（2）兩步可知，猜想對任意都成立。 生13 將此問題一般化，有 推廣3 （）人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方法的種數(shù)是多少？ 簡析 由上述“研究”過程作基礎(chǔ)，不難得到.并且出現(xiàn)了猜證法、建立遞推關(guān)系式后用多種方法求、類似于生7的概率模型法等多種證法；這里摘取并不“簡捷”卻有趣味的幾種解法： 生14 甲傳給非甲的情況共有種，非傳給非有種，非傳給甲只有1種，如圖： 按照在這次傳球過程中甲總共觸球的次數(shù)進行分類，可有以下情況：（1）甲共觸球2次即只有

13、第一次傳出和最后一次接球（中間不接傳），這時非與非共傳球次，可得傳球次數(shù)為；(2)甲共觸球3次,即除首末兩次外，中間多了一次觸球機會，這相當于用甲去替換其中一個“非”，當然，兩頭的“非”除外，而中間非與非之間共進行次相互傳球，所以可以看成有個“非”在中間位置上，故甲可以替換的“非”有個，即這時情況總數(shù)為；(3)甲共觸球4次，當傳球次時，從個位置中選2個甲，但得排除甲兩兩相鄰的情況種，故這時的情況數(shù)為于是總數(shù)為 所以，當為奇數(shù)時，甲最多觸球次，這時總數(shù)為；當為偶數(shù)時，甲最多觸球次，這時總數(shù)為 于是，傳球的總方法種數(shù)為， 這個和式的通項公式為可以證明，（略）評注：生14的解法確實不夠簡捷，但卻提供

14、了另一類解決此問題的思路，構(gòu)建的數(shù)列也有一定的實用價值。生15 采用逆推法并通過建立遞推關(guān)系式來求解： 為方便于進行直觀地量化表述，將問題符號化：用表示甲，表示另m-1人，傳球過程可圖示如下： 設(shè)第次傳球時，球從手中傳出后，再經(jīng)過次傳球又回到手中的不同傳球方式種數(shù)依次為。 由于第次傳球后球要回到手中，所以第次傳球時球只能從手中傳出直接回到手中，此時由上圖可知：，（1）若n=2，由上圖知傳球次數(shù)=m-1；（2）若n=3，由上圖知傳球次數(shù)=（m-1）（m-2）；(3)若，由于在第次傳球時球可以從中任一人手中傳出，且，所以當時由上圖可知 由（1）得（3），把（3）代入（2）得（4），所以，進而可得于

15、是（5）又，由（5）式遞推得 ， (6) 又由上圖知，由第一次傳球經(jīng)過次傳球后球又回到手中的不同傳球方法種數(shù)等于球從之一手中第二次傳出后，再經(jīng)過次傳球，球又回到手中的不同傳球方法種數(shù)的和，即，而，于是得 上式對也成立，因此所求總傳球數(shù)為 評注：生15采用逆推法并通過引入二元符號建立遞推關(guān)系式進行嚴密地推導(dǎo)，思路新穎別致，充分體現(xiàn)了其深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。生16 借鑒生3、生8的方法建立涂色模型如圖4：個人種不同顏色，傳次球在個彼此相連的區(qū)域1，2，3，內(nèi)涂色，且任何相鄰的2個區(qū)域涂不同色。則可將推廣3改述為推廣 用種不同的顏色，給圖4中個區(qū)域涂色，要求任意2個相鄰區(qū)域涂不同顏色，且規(guī)定區(qū)域1只涂一種

16、指定顏色（如紅色），則不同的涂色方法有多少種？簡析 可以推測 事實上，假設(shè)區(qū)域1不固定只涂一種顏色，可任意選涂，記符合要求的涂色方法為種，則區(qū)域1有種涂法，其它區(qū)域均各有種涂法。分成兩類：是區(qū)域與區(qū)域1涂同色，相當于將這2個區(qū)域合并成1個區(qū)域共個區(qū)域，這樣符合要求的涂色種數(shù)為；是區(qū)域與區(qū)域1涂不同色，則有種，故有于是求和得， 由得即注： 2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題：如圖5，在正六邊形的6個區(qū)域栽種觀賞植物，要求同一區(qū)域種同一種植物，相鄰的2個區(qū)域種不同植物?，F(xiàn)有4種不同植物可供選擇，則有種栽法。是推廣的特例：進一步，受推廣啟發(fā)，有推廣4 用種不同的顏色，給圖6中個區(qū)域涂色，要求任意2個相鄰區(qū)

17、域涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？簡析 設(shè)符合要求的涂色種數(shù)為，則區(qū)域有種涂法，其它個區(qū)域均與區(qū)域不同色，只有種顏色供選涂，由推廣知有種，故有注：2003年新課程卷高考題（理科）：某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖7），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種1種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有種。此題是推廣4的特例： 生17 聯(lián)想我曾經(jīng)遇到過的一個問題：正四面體的四個頂點記為1，2，3，4，從一點出發(fā)，等可能到其他3點，求從點1出發(fā)走7步又回到1的概率。正好與傳球問題等價：可以將其推廣到一般情況：對于任意一個由m個點組成的網(wǎng)絡(luò)，如果對于這m個點中的任意一

18、個點都與另外的m-1個點相連，那么從其中任意一個點A出發(fā)，每次都等可能地選擇一條道路到達另外一點，則經(jīng)過n步后又回到點A的概率是多少？我們能夠得到如下概率遞推式：，且由遞推數(shù)列的有關(guān)知識可得 所以于是從點A出發(fā)經(jīng)n步后又回到點A的方法種數(shù)為 評注：生17的做法值得借鑒的地方主要有兩點:一是又聯(lián)想了一個等價的網(wǎng)絡(luò)模型,進一步擴大了傳球問題的應(yīng)用范圍;二是對本問題的解決方法特別:考慮運用遞歸思想方法建立概率型遞推數(shù)列，簡捷明快! 參考文獻 1 華東師大數(shù)學(xué)教學(xué)2004年第12期數(shù)學(xué)問題第630題。 薅蚄裊蒃莈羃襖膃薃衿羃芅莆螅羂莇薁蟻羈肇莄蚇羀艿蝕羅羀莂蒃袁罿蒄蚈螇羈膄蒁蚃羇芆蚆蕿肆莈葿袈肅肈蚅螄肄膀蕆螀肄莂螃蚆肅蒅薆羄肂膄莈袀肁芇薄螆肀荿莇螞腿聿薂薈膈膁蒞袇膈芃薁袃膇蒆蒃蝿膆膅蠆蚅膅羋蒂羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅節(jié)膂蚅蟻衿芄蒈薇袈蒆蚄羆袇膆薇袂袆羋螂螈裊莁薅蚄裊蒃莈