彈塑性力學論文

1、彈塑性力學彈塑性力學緒論：彈性力學也稱彈性理論，主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，從而解決結(jié)構(gòu)或機械設(shè)計中所提出的強度和剛度問題。在研究對象上，彈性力學同材料力學和結(jié)構(gòu)力學之間有一定的分工。材料力學基本上只研究桿狀構(gòu)件；結(jié)構(gòu)力學主要是在材料力學的基礎(chǔ)上研究桿狀構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，即所謂桿件系統(tǒng)；而彈性力學研究包括桿狀構(gòu)件在內(nèi)的各種形狀的彈性體。彈塑性力學是固體力學的一個重要分支，是研究彈性和塑形物體變形規(guī)律的一門學科。它推理嚴謹，計算結(jié)果準確，是分析和解決許多工程技術(shù)問題的基礎(chǔ)和依據(jù)。在彈塑性力學中，我們可以看到很多學習材料力學、結(jié)構(gòu)力學等學科所熟知的參數(shù)和

2、變量，一些解題的思路也很類似，但是我們不能等同的將彈塑性力學看成材料力學或者是結(jié)構(gòu)力學來學習。材料力學和結(jié)構(gòu)力學的研究對象及問題，往往也是彈塑性力學所研究的對象及問題。但是，在材料力學和結(jié)構(gòu)力學中主要采用簡化的初等理論可以描述的數(shù)學模型；在彈塑性力學中，則將采用較精確的數(shù)學模型。有些工程問題（例如非圓形斷面柱體的扭轉(zhuǎn)、孔邊應(yīng)力集中、深梁應(yīng)力分析等問題）用材料力學和結(jié)構(gòu)力學的方法求解，而在彈塑性力學中是可以解決的；有些問題雖然用材料力學和結(jié)構(gòu)力學的方法可以求解，但無法給出精確可靠的理論，而彈塑性力學則可以給出用初等理論所得結(jié)果可靠性與精確度的評價。在彈塑性力學分析中，常采用如下簡化假設(shè)：連續(xù)性假

3、設(shè)、均勻各向同性、小變形假設(shè)、無初應(yīng)力假設(shè)等假設(shè)。彈塑性力學基本方程的建立需要從幾何學、運動學和物理學三方面來研究。在運動學方面，主要是建立物體的平衡條件，不僅物體整體要保持平衡，而且物體內(nèi)的任何局部都要處于平衡狀態(tài)。反映這一規(guī)律的數(shù)學方程有兩類，即運動微分方程和載荷的邊界條件。以上兩類方程都與材料的力學性質(zhì)無關(guān)，屬于普適方程。在物理學方面，則要建立應(yīng)力與應(yīng)變或應(yīng)力與應(yīng)變增量之間的關(guān)系，這種關(guān)系常稱為本構(gòu)關(guān)系，它描述材料在不同環(huán)境下的力學性質(zhì)。在彈塑性力學中，本構(gòu)關(guān)系的研究是非常重要的。由于自然界中物質(zhì)的性質(zhì)是各種各樣的，而且它們所處的工作環(huán)境又是不同的，因而研究物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系是一件復(fù)雜但卻具

4、有根本意義的工作。由于物體是連續(xù)的，因而在變形時各相鄰小單元都是相互聯(lián)系的，通過研究位移與應(yīng)變之間的關(guān)系，可以得到變形的協(xié)調(diào)條件。反映變形連續(xù)規(guī)律的數(shù)學表達方式有兩類，即幾何方程和位移邊界條件。在求解一個彈塑性力學問題時，需要給出物體的形狀和物體各部分材料的本構(gòu)關(guān)系和物理常數(shù)，說明物體所受的荷載以及和其他物體的連接情況，即邊界條件。對于動力學問題，還要給出初始條件。求解彈塑性力學問題的數(shù)學方法，就是根據(jù)幾何方程、物理方程和運動方程以及力和位移的邊界條件和初始條件，解除位移、應(yīng)變和應(yīng)力等函數(shù)。用這種方法求解一些較為簡單的問題是十分有效的。在這一領(lǐng)域中，有兩類方法：精確解法（能滿足彈塑性力學中全部

5、方程的解）和近似解法（根據(jù)問題的性質(zhì)，采用合理的簡化假設(shè)從而獲得近似結(jié)果）。隨著計算機的發(fā)展而不斷開拓的有限元數(shù)值分析方法對彈塑性力學的發(fā)展提供了極為有利的條件。它一般不受物體或構(gòu)件幾何形狀的限制，對于各種復(fù)雜物理關(guān)系都能算出正確的結(jié)果。塑性力學是一門很廣泛的學科，理論研究很有必要，與我們現(xiàn)實生活息息相關(guān)。不管你走在城市中還是鄉(xiāng)村街道，不管你走路還是開車，不管你使用電腦還是手機等等，幾乎各個方面都要涉及到材料的強度、剛度和穩(wěn)定性，而研究這些問題就需要使用力學知識來解決，我們就需要用到彈塑性力學的知識。它不但涉及面很廣，而且內(nèi)容也很豐富。你要描述一片森林，你不可能把每棵樹木都涉及到，你寫一條河流

6、，不可能把每一滴水都寫上，你描述一座山，不可能把每一個石頭都畫上，你只能挑一個方面，一個角度來描述。彈塑性力學也是這樣，它是一片森林，一條河流，一座山峰，要想把它全部涉及到，你不可能把它的方方面面都涉及到，你只能挑一個角度來描寫。利用塑性力學的基本理論，可以求解塑性力學問題。由于塑性力學基本方程的復(fù)雜性，一般的彈塑性力學邊值問題的求解是相當困難的，但對于某些簡單彈塑性問題，即未知量較少和邊界條件較簡單的彈塑性問題，有可能克服數(shù)學上的困難而獲得解析解。下面我們只是通過一個矩形梁的例子來說明塑性力學所涉及到的一個方面。§10-1梁的彈塑性彎曲1 .假設(shè)和屈服條件這里研究的梁其橫截面具有兩

7、個對稱軸，載荷作用于縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。仍采用材料力學中梁彎曲理論的一般假設(shè)：變形前垂直于梁軸的平面，在變形后仍保持為垂直于彎曲梁軸的平面，即平截面假設(shè)；不計各層間的相互擠壓；小變形，即撓度比橫截面的尺寸小得多。梁長比橫向尺寸大得多。根據(jù)上述假設(shè)，只考慮梁橫截面上正應(yīng)力(7X對材料屈服的影響。因此，Tresca和Mises屈服條件均為o-X=(TS(10-1)2 .梁的純彎曲如圖101所示，研究橫截面具有兩個對稱軸的等截面梁，設(shè)V、z為橫截面的對稱軸，x為梁的縱軸，xoy為彎曲平面。圖10-1梁的純彎曲(1)理想彈塑性材料純彎曲時，隨著彎矩M的增加，塑性變形由梁截面邊緣對稱地向內(nèi)部發(fā)展，在梁的任一

8、橫截面上彈性區(qū)和塑性區(qū)是共存的。在彈性區(qū)應(yīng)力按線性分布，在塑性區(qū)按(Tx=(r=(|)(e)分布，而在兩者的交界處，正應(yīng)力0應(yīng)等于屈服應(yīng)力(TS。對于理想彈塑性材料，在塑性區(qū)=(>()=(7S,則沿梁橫截面高度，應(yīng)力分布-CTs(-h/2<y<-Ys)0(y)=恒(ys<y<ys)ys(10-2)Os(ys<y<h/2)式中ys為橫截面的中性層到彈、塑性分界面的距離。應(yīng)力分布情況如圖102所示。圖10-2理想彈彈性彎曲應(yīng)力分布純彎曲時橫截面上正應(yīng)力應(yīng)滿足軸力為零的條件，即h/2-h/2二ybydy=0由于z軸為橫截面的一對稱軸，則式(10-3)103)

9、自動滿足。否則，將由這個h/22/2二yybydy=M條件確定中性軸的位置。橫截面上正應(yīng)力還應(yīng)滿足條件:(10-4)：sys2h/2M=2ybydy2二sybydyysysM可以簡寫成(10-5)ysh/2I"2"bydySp=2ybydy式中e0y'為彈性區(qū)對中性軸的慣性矩，ys為塑性區(qū)對中性軸的靜矩。或者ys=ys(M)0因此，式(105)確定了彎矩M和彈性區(qū)高度ys的關(guān)系M=M(ys)關(guān)于梁的撓度，對彈性區(qū)而言，有在彈性區(qū)白邊界上y=ys處，(r=(7s,代入上式得梁軸曲率半徑為(10-6a)考慮到梁的曲率與梁撓度v的關(guān)系，有1d2v則得梁軸的撓曲線方程為,2

10、一dx2Eysdv-s(10-6b)現(xiàn)取梁的橫截面是高為h,寬為b的矩形，則有Ie2h3a3Sp=b2-Vs將它們代入(105)式，則得出M=bh-i-4(a)在上式中令Vs2,即得梁剛開始產(chǎn)生塑性變形時的彈性極限彎矩為Mebh26(b)如果令Vs=0,即表示梁截面全部進入塑性狀態(tài)，此時的彎矩稱為塑性極限彎矩:Msbh2；：s4(c)而有Ms-=1.5Me(d)說明梁截面由開始屈服到全部屈服，還可以繼續(xù)增加50%的承載能力，由此也可以看出按塑性設(shè)計可以充分發(fā)揮材料的作用。利用式（b）,可以將式（a）改寫為=1一ys丫I設(shè)與Me相應(yīng)的梁的曲率半徑為pe,止匕時ys=2,由式（106a）得Eh；/

11、''Eysh/2：e2；s-'sys將式（f）代入式（e）即得(g)這就是純彎梁屈服以后曲率半徑P與彎矩M之間的關(guān)系。而在屈服前，它們服從線性的彈性關(guān)系，即：eM(h)由式（h）和（g）可以繪出彎矩與曲率的變化曲線，如圖103所示。如果梁在達到塑性極限彎矩以后全部卸載，則在梁內(nèi)存在殘余應(yīng)力。應(yīng)用卸圖10-3曲率與彎矩的關(guān)系*定律，可以計算此殘余應(yīng)力。卸載過程bh2中彎矩改變值為70s，利用此值按彈性計算即得應(yīng)力改變量為bh?=31sy/h12卸載前的應(yīng)力(T=±(TS則殘余應(yīng)力為g*=ct-A(t=±o-s-3o-sy/h。cM3-2Meus前正負號

12、：y>0時取正，y<0時取負。殘余應(yīng)力沿截面高度分布情況如圖10-4所示。圖10-4殘余應(yīng)力分布(2)線性強化彈塑性材料強化階段則有圖10-5線性強化彈塑性材料若梁為圖10-5(a)所示的線性強化彈塑性材料,CT:=網(wǎng)名"二+曰(”%)=演+且IE(|£|>£S)根據(jù)平截面假設(shè)應(yīng)有_y_ys將此式代入前式，則梁內(nèi)應(yīng)力分布為-a1sysks1十巨EJI-h/2<y_Vs(-ys-V-ys)Vs三yEh/2(10-7)如圖10-5（b）所示。將（10-7）式代入（10-4）式，則得ys與M的關(guān)系式M=；飛-|ysIef1-旦Sp旦Ip.EpEy

13、sp(10-8)式中：Ie-20ybydy彈性區(qū)對中性軸慣矩;h/2Sp=2ybydyys整個塑性區(qū)對中性軸靜矩;h/22Ip=2ybydy乂整個塑性區(qū)對中性軸慣矩O如果梁橫截面為bxh的矩形，則有Ie2b3八ys，Sp=b3pJ;將它們代入（10-8）式，則有E1h212b：E4飛+E1h312Eys(10-9)即為矩形截面線性強化彈塑性梁M與ys的關(guān)系式。3.梁的橫力彎曲梁在橫向載荷作用下的彎曲較純彎曲復(fù)雜。采用上述的假設(shè)和屈服條件，針對純彎曲導出的有關(guān)結(jié)果基本上仍然可用。但應(yīng)注意的是橫力彎曲情況下，彎矩M不是常量，而是沿梁軸向變化的，即M=M（x）。這樣，應(yīng)力不僅沿截面高度變化，還沿梁軸

14、變化，即（t=（t（y,x）0彈性區(qū)高度ys,也沿梁軸變化，即ys=ys（x）純彎曲中的公式（10-3）、（10-4）應(yīng)改寫為h/2(10-10)，y,xbydy=0-h/2h/2/2二y，xybydy=Mx-3-：橫力彎曲圖10-6卜面以受均布載荷作用理想彈塑性材料的矩形截面為例，進行具體討論。如圖10-6所示，由于材料是理想彈塑性的，截面上的應(yīng)力在彈性區(qū)成線性分布，在塑性區(qū)均等于crs,即-：sysysx二s-h/2_y_ys(-ys-y一ys)ys_y_h/2它使式(10-10)包得到滿足。將上式代入式(10-11)左側(cè)，則有h/2h/2I，.，y,xybydy=2bi，.，y,xydy

15、2b-=2bysy2h/2二sdy'.，sydy|=)ysysbh2:s4式(10-11)的右側(cè)即為均布載荷q在x截面所產(chǎn)生的彎矩M(x)式(j)(k)ysIh21ql222-x經(jīng)過整理，上式可以寫成22也-工=1A2B2(10-12)式中:hqAa,3-2qeB=l_3qe-1.1.2q而其中的qe為梁跨中截面開始屈服時的載荷，即梁的彈性極限載荷，可令h(l)式中的x=0和ys=2而得至ij,即qebh20s3l2(m)式(10-12)表明梁中的彈、塑性區(qū)交界線是一雙曲線，如圖10-6(a)所示。在梁跨中截面全部進入塑性狀態(tài)時，如圖10-6(b)所示，產(chǎn)生無限制的塑性流動，相當于在跨

16、中安置了一個較，稱為塑性較。塑性錢的出現(xiàn)，梁成為幾何可變的，使梁喪失了繼續(xù)承載的能力。此時對應(yīng)的載荷稱為塑性極限載荷。在式(1)中令x=0及ys=0,即得簡支梁受均布載荷時的塑性極限載荷為qsbh2二s212(n)(m)式比較，顯然有qsqe=1.5圖10-7梁的彈塑性撓度塑性較與結(jié)構(gòu)較還存在一定的區(qū)別：塑性錢的出現(xiàn)是因截面上的彎矩達到了塑性極限彎矩Ms,并由此而產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，即塑性較與彎矩大小有關(guān)，而在結(jié)構(gòu)較處總有M=0,不能傳遞彎矩；結(jié)構(gòu)較為雙向較，即可以在兩個方向上產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動，而塑性較處的轉(zhuǎn)動方向必須與塑性極限彎矩的方向一致，所以塑性較為單向錢；卸載后塑性較消失，由于存在殘余變形，結(jié)構(gòu)不能

17、恢復(fù)原狀。4.梁的彈塑性撓度由前面的分析可知，按塑性極限狀態(tài)設(shè)計梁可以充分發(fā)揮材料的潛力。但梁是否會因變形過大而不能使用，這就需要研究梁在彈塑性階段的變形。這時整個梁的變形受到彈性區(qū)的限制，因此塑性區(qū)的變形是處于約束變形階段。以理想彈塑性材料矩形截面(bxh)梁為例，橫力彎曲時仍僅考慮彎矩引起的變形。將純彎曲時的式(e)和(10-6b)用于橫力彎曲，則有1雪w2和3dx二sEysx一一將后式代入前式，可以得出d2vdx22二sEh(10-13)現(xiàn)在以圖10-7所示懸臂梁為例，設(shè)梁處于塑性極限狀態(tài)，固定端彎矩為Ms；x=a截面彎矩為Me從而有L=%=3即aMe2a=3l（1）彈塑性段撓度MxMs

18、x3x在彈塑性段（a0xWl）撓曲線方程為（10-13）式，將MeMel2l代入,則有d2v_.20sdx233xEh,22l將上式積分。在梁剛開始進入塑性極限狀態(tài)瞬時,仍采用固定端處撓度和轉(zhuǎn)角為零的邊界條件，得1620sl23PX=27Eh2一33xI21(p)（2）彈性段撓度在彈性段（0&x<a）,撓曲線方程為d2v_MxPxdx2EIEI將上式積分,利用梁撓曲線的連續(xù)性條件，即當x=a=3l時的撓度和轉(zhuǎn)角分2l別與彈塑性段x=3處的撓度和轉(zhuǎn)角相等。再考慮到bh2Pl=Ms=；s413bh和I=122cslxEh,2400slI''27Eh可以得出“L-s3V

19、eX=X2EhlVePm,.2400sl2ax27Eh(r)當梁處于彈性極限狀態(tài)，即固定端彎矩為bh2s-Mmax=Pl=Me=6時,其自由端處的撓度為Pl320sl2"emax=3Ei-=3Eh(s)倍。將式（r）與（s）比較，可得Vep20max=一=2.22Vemax9從這個例題可以看出，按塑性力學得到的極限撓度為彈性極限撓度的2.22彈性力學的柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲問題屬于僅在端面上受力的柱體平衡問題。按彈性力學方法得到嚴格滿足邊界條件的解是很困難的。為此，利用圣維南原理，將邊界條件放松，即認為離端面足夠遠處的應(yīng)力僅與端面上外力的合力及合力矩有關(guān)。這種放松了邊界條件的問題稱為圣維南問題。根據(jù)實驗，圣維南假設(shè)，柱體縱向纖維之間的作用力為零。圣維南問題的解是唯一的，對大部分問題，解可以通過間接或近似方法求出。間接方法主要有兩類：一類是半逆解法，即先在應(yīng)力分量或位移分量中假設(shè)一部分未知函數(shù)的形式，然后將所假設(shè)的未知函數(shù)代入基本方程，由此求得另外一部分未