1987----2005年考研線性代數(shù)試題匯編

1、1987-20051987-2005年考研線性代數(shù)試題匯編題后方寸S號內(nèi)口的數(shù)字分別表示數(shù)學(xué)（一），數(shù)學(xué)（二），數(shù)學(xué)（三），數(shù)學(xué)（四）。例如一， 表示此題在數(shù)學(xué)（一），數(shù)學(xué)（二）中均有。19871987年試題一填空題（每小題3分）（1）設(shè)三維向量空間的一組基底為由=（1,1,0）,口2=（1,0,1）,口3=（0,1,1）,則向量P=（2,0,0）在此基底下的坐標(biāo)是選擇題（每小題3分）（1）設(shè)n階方陣A的伴隨矩陣為A*且冏=a*0,則|A|=(A)a(B)1(C)an,(D)aa三本題滿分4分301設(shè)AB=A+2B，且A=110,求B。014_四本題滿分8分X+X2+X3+X4=0Xc+2x_

2、+2x,=1問a,b為何值時，線性方程組234無解，有唯一解，有無窮多解；并求_x+(a-3)X2-2X4b3x1+2X2+X3+aX4=-1有無窮多解時的通解19881988年試題一填空題（每小題3分）（1）由4維列向量構(gòu)成4階方陣A=（%2,尸314）,B=（PJ2J3/4）且|A|=4,|B|=1,WJ|A+B|=.。二選擇題（每小題3分）（1）n維向量組42,1Ms（3sn）線性無關(guān)的充要條件是-。(A)存在一組不全為零的數(shù)ki*2,ks,使k%+k2a2+ks0fs豐0(B)ai,2,.,ccs中的任意兩個向量均線性無關(guān)(C)四戶2，,冬中存在一個向量不能用其余向量線性表示(D)口1

3、,口2，9s中的任意一個向量都不能用其余向量線性表示三(本題滿分6分)四(本題滿分8分)010相似，求(1)x,y的值；(2)滿足P,AP=B的可逆陣P11989年試題一填空題(每小題3分)300100(1)設(shè)矩陣A=140,1=010,則逆矩陣(A-2I)-1=。一003-P01_二選擇題(每小題3分)(1)設(shè)A是4階矩陣，且A的行列式|A|=0,則A中-。(A)必有一列元素全為0(B)必有兩列元素對應(yīng)成比例(C)有一列向量是其余向量的線性組合(D)任一列向量是其余向量的線性組合一三(本題滿分6分)問K為何值時，線性方程組XIX3=0)通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型f=y：+2y22+5y32,求參

4、數(shù)a及所用的正交變換矩陣。四(本題滿分6分)(D)4：一，二組線性無關(guān)。五（本題滿分5分）已知R3的兩個基為:二1994年試題一填空題（每小題3分）1 1（1）已知口=（1,2,3）,P=（1,），設(shè)A=口P,其中支是ot的轉(zhuǎn)置，則A=02 3二選擇題（每小題3分）（1）已知向量組2p3,口4線性無關(guān)，則向量組。（A）%十12,口2十口3,口3十口444+5線性無關(guān)（B）%-2,2-3,3-4,4“線性無關(guān)（A）%+“2,豆2十口343+a4,口4一支1線性無關(guān)（A）%+12,%+口3尸3一口444一%線性無關(guān)一三（本題滿分8分）設(shè)四元組線性齊次方程組（I）為x1+x2=0,又已知某線性齊次方

5、程組（R）的通解為、x2-x4=0k1（0,1,1,0）+k2（1,221）。（1）求線性方程組（I）的基礎(chǔ)解系；（2）問線性方程組（I）和（II）是否有非零公共解？若有則求出所有的非零公共解；若沒有則說明理由。一設(shè)A是nxm矩陣，B是mxn矩陣，其中nm,I是n階單位矩陣，若AB=I,證明B的列向量，二JJ一11-111Jj-11Jj-21一 31口102,口3到基3,22,P3的過渡矩陣四（本題滿分6分）設(shè)A是n階非零方陣，A*是A的伴隨矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣,填空題（每小題3分）一二則必有a11a12a131一a21a22a23-0101一1001(1)設(shè)A=a21a22a23,B=a

6、11a12a13,P1=100,P2二=0101a31a32a33_a31*a11a32.a12a33*a13_00 1-101-選擇題（每小題3分)當(dāng)A=AT時，證明冏*0。一1995年試題（1）設(shè)三階方陣A,B滿足關(guān)系式ABA=6A+BA,且A=B=o一1(2)設(shè)A=2-3010,A是A的伴隨矩陣，則(A四,五（本題滿分7分）(A)AP1P2=B(B)AP2Pl=B(C)P1P2A=B(D)P2P1A二B，二(2)設(shè)矩陣Am珀的秩為R（A）=mn,Im為m階單位陣,下屬結(jié)論中正確的是(A) A的任意m個列向量必線性無關(guān)(B) A的任意一個m階子式不等于零(C) 若矩陣B滿足BA=0,則B=

7、0(D)A通過初等行變換，必可化為（4。）的形式(E) 非齊次線性方程組AX力一定有無窮多組解四，五設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值為7M=-1,九2=九3=1,對應(yīng)于兒的特征向量為s1=(0,1,1)T,求Ao一，二四(本題滿分6分)設(shè)A是n階矩陣，滿足AAT=I(I是n階單位陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣)，|A|0,求|A+I|。一,二五(本題滿分7分)x13x22x3x4=1設(shè)x2+ax3-ax4=-1問a為何值時方程組有解？并在有解時求出方程組得通解。二x12x23x4=3六(本題滿分8分)7Ml+x2+x3=九-3對于線性方程組及1+九x2+x3=-2，討論人取何值時，方程組無解，有唯一解和有無

8、窮多x1x2入9-2組解。在方程組有無窮多組解時，試用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解。四七(本題滿分8分)設(shè)三階矩陣A滿足A5=i%(i=1,2,3)，其中列向量%=(1,2,3)T,%=(2,-2,1)T網(wǎng)=(-2,-1,2)T,試求矩陣A。四八(本題滿分9分)已知向量組(I)%,戊2,%;(II)%,儀203,儀4;(III)%,值2。3,外,如果各向量組的秩分別為R=R(II)=3,R(III)=4。證明：向量組ot1P2p3，口5-口4的秩為4。五九(本題滿分10分)已知二次型f(XI,X2,X3)=4x22-3x324XIX2-4XIX38x2x3(1)寫出二次型f的矩陣表達(dá)式；(2)

9、用正交變換把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出相應(yīng)的正交矩陣。五1996年試題一填空題(每小題3分)(1)設(shè)A是4父3矩陣，且A的秩r(A)=2,則r(AB)=。一，二一111.11一XII一11a1a2a3anX212a12a22a32an,X=X3,B=1.9a2a3.aniixn1-10(2)設(shè)A=B的解是0022103-1而B=0ATX其中aiwaj,(i*j;i,j=1,2,， 可， 則線性方程組四(3)五階行列式D=1a-1000a1-a-100選擇題(每小題3分)(1)四階行列式a100b40b2a30(A)aa2a3a4-bb2b3b4(B)aa2a3a4b1b2b3b4(C)(a-b

10、b2)(a3a4-b3b4)(D)(a2a3-b2b3)(a1a4-bh)(2)(A)(C)a-10b100a4a1-a-1的值等于-。，二設(shè)n階矩陣A非奇異(n2),An22(A)WA|二A是矩陣A的伴隨矩陣, 則-。(B)(D)(3)設(shè)有任意兩個n維向量組，m(A*)*=|A|n1An=2(A)=|A|2A四，五和3,Pm，若存在兩組不全為零的數(shù)九,勾和燈*2，km,使(%+k1)c(1+(*+km內(nèi)m+(A-kJP1十十(院一心凡=0,則(A)%,0m和瓦,及都線性相關(guān)(B)%,Ctm和Bi,除都線性無關(guān)(CCti+%,1+Bm,%一。，,CCm線性無關(guān)(D)%+Bi,Ctm+%,%一4

11、,小一心線性相關(guān)四，五三(本題滿分6分)設(shè)A=I-ssT,其中I是n階單位矩陣，s是n維非零列向量，sTs=1時，A是不可逆矩陣。一，二四(本題滿分8分)已知二次型f(xi,X2,X3)=5x：十5x22+cx32-2x1X2+6x1X36x2X3的秩為2。(1)求參數(shù)c及此二次型對應(yīng)矩陣的特征值；(2)指出方程f(x=x2,X3)=1表示何種二次曲線一，二五(本題滿分6分)X1X2X5=0求齊次線性方程組以1+X2-X3=0的基礎(chǔ)解系X3+X4+X5=0二六(本題滿分8分)0、，-,1設(shè)矩陣A=001000000y1012(1)已知A的特征值為3,試求V；(2)求矩陣P,使(AP)T(AP)

12、為對角矩陣。四七(本題滿分8分)設(shè)向量%,4,%是齊次線性方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系，向量P不是方程組AX=0的解,即APW。,試證明：向量組口，B+%,B,，P+5線性無關(guān)。四八(本題滿分9分)x1x2-2x33x4=02x1x2-6x34x4口已知線性方程組12343x12x2px37x4x1_x2-6x3_x4=t有解時，試用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解。-1討論參數(shù)P，t取何值時，方程組有解,一無解；當(dāng)九(本題滿分7分)設(shè)有4階方陣A滿足條件|3I+A|=0,AAT矩陣A*的一個特征值。1997填空題(每小題12(1)設(shè)A=4t3-13分)-231五=2I,|A|0,其中I是4階單位去

13、陣，求方陣A的伴隨五年試題,B為三階非零矩陣，且AB=0則1=一(2)已知向量組1=(1,2,-1,1),2=(2Q,t,0)3=(0,4,5,2)的秩為2,則t=(3)若二次型f(X1,X2,X3)=2X12x2+x32+2x1x2+tx2x3是正定的，則t的取值范圍是(4)設(shè)n階矩陣A一。111111三,則|A|二四選擇題(每小題13分)(1)設(shè)巴a2a31一bb2”31C1C2,則三條直線31a1xb1yC1a2xb2yC2a3xb3yC3二0二0二0(其中ai2+bjw0,i=1,2,3)點的充要條件是(A)%,%,。3線性相關(guān)(B)%,%,。3線性無關(guān)(C)秩(4,”與)=秩(61，

14、。2)(D)口1,口2,儀3線性相關(guān)，口1,豆2，汽3線性無關(guān)(2)設(shè)向量組,口203線性無關(guān)，則下列向量組中，線性無關(guān)的是(A):,一 0二Q-：-.112123131(B)?1?2,：2：3,：-12：23(C);i2：2,2：23：3,3：311(D):1卜二2-二321-31222:3,3：15:2-5：3(3)設(shè)A,B為同階可逆矩陣，則(A)AB=BA(B)存在可逆矩陣P,使P。AP-B(C)存在可逆矩陣C,使CTAC=B(A) r=m時，方程組AX=b有解(B) r=n時，方程組AX=b有唯一解(C) m=n時，方程組AX=b有唯一解(D) r3)階方陣，A*(A)kA(B)kn-

15、1A*重合異面是其伴隨矩陣,又k為常數(shù)，且吐0,1,則必有(kA)=(C)knA*(D)k-1A*(3)齊次線性方程組81XI+入x2+x3=0的系數(shù)矩陣記為則-。(A)九=-2且|B|=0(B)兒=2且|B|W0(C)-=1且|B|=0(D)九=1且|B戶0(4)設(shè)n(n3)階矩陣A(A)(B)(C)-1(5)(A)(B)(C)(D)A,若存在三階矩陣Bw0使得AB=0一1a若矩陣A的秩為n-1,則a必為1-n1(D)n-1若向量組u,PG線性無關(guān);U必可由P,工6線性表示P必不可由3J8線性表示6必可由a,P,線性表示6必不可由口，P線性表示(本題滿分6分)jPM線性相關(guān)，則四已知二次曲面

16、方程x2ay2z22bxy-2xz-2yz=4可以經(jīng)過正交變換|yzJ化為橢圓柱面方程”2+4，=4,求a,b的值和正交矩陣Po四(本題滿分4分)設(shè)A是n階矩陣，若存在正整數(shù)k,使線性方程組Akx=0有解向量a,且Ak%W0,證明向量組5A%,Ak%是線性無關(guān)的五(本題滿分5分)aiXi+a2X2+.+a1，2nx2n=0已知線性方程組(I)a1+a22X2.*a2,2nX2n=的一個基礎(chǔ)解系為01瓦,.,“,一,ian1X1*an2X2+an,2nx2n=0(b2i,b22,.,b2,2nF,.,(bn1,bn2,.,bn,2n)T。試寫出線性方程組(II)上1以1+b12y2+.+b1，2

17、ny2n=0b21y1b22y2.b2,2ny2n=0bn1y1bn2y2.bn,2ny2n=0的通解，并說明理由。六(本題滿分5分)設(shè)(2ECB)AT=C,其中E是4階單位矩陣,八(本題滿分9分)設(shè)向量a=(a1,a2,.,an)T,B=(b1,b2,.,bn)T都是非零向量，且滿足條件邛=0,記n階矩陣A=uPT,求(1)A2;(2)矩陣A的特征值和特征向量。九(本題滿分7分)AT是4階矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。B=一1002100-3210-2_321C=一10210002101021七(本題滿分8分)(1,4,0,2)T,：2=(2,7,1,3):、=(0,1,1,a)T,P=(3,10,b,

18、4)T,問(1)a,b取何值時,口不能由%,CC2P3線性表示?(2)a,b取何值時,口可由%,口2,外線性表示？并寫出此表示式。，四101設(shè)矩陣A=020,矩陣B=(kE+A)2,其中k為實數(shù)，E為單位矩陣，求對角矩陣A,使-101一B與八相似，并求k為何值時，B為正交矩陣。十(本題滿分7分)已知下列非齊次線性方程組(I),(II)。Xxix2-2x4-6Xxi,mx2_x3_x4=-5(I)14x1-x2-x3-x4=-1(II)4nx2-x32x4=-113x1一x2-x3=3x3_2x4=t+1J(1)求解方程組(I),用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解。(2)當(dāng)方程組(II)中的參數(shù)m,n

19、,t為何值時，方程組(I)與(II)同解。四19991999年試題一填空題(每小題3分)(1)設(shè)n階矩陣A的元素全為1,則A的n個特征值是()101(2)設(shè)A=020Mn2為正整數(shù)，則An-2An-1=()：10L1-20(3)已知AB-B=A,其中B=210，則A=()002_二選擇題(每小題3分)(I)設(shè)A是mXn矩陣，B是nXm矩陣，則(A)當(dāng)mn時，必有行列式|AB|w0(J)當(dāng)mn時，必有行列式|AB|二0(K)當(dāng)nm時，必有行列式|AB|w0(D)當(dāng)nm時，必有行列式|AB|=0 x2x-1x2x32x_22x_12x_22x_3一三四(2)記行列式3為f(x),則方程f(x)=0

20、的根的個數(shù)為()3x-33x-24x-53x54x4x-35x-74x-3(A)1(B)2(C)3(D)4二(3)設(shè)向量P可由向量組ai,a2,，am線性表示，但不能由向量組(i)a1,a2,，a付線性表示，記向量組(ii)a1,a2,，am-1,0,則(E)am不能由(i)線性表示，也不能由(ii)線性表示；(F)am不能由(i)線性表示，但可由(ii)線性表示；(G)2可由(1)線性表示，也可由(ii)線性表示；(H)2可由(1)線性表示，但不可由(ii)線性表示；三，四三(本小題滿分8分)a-1c設(shè)矩陣A=5b3，其行列式冏=-1，又A的伴隨矩陣A有一個特征值入0,屬于入0的1c0-a一

21、個特征向量為=(-1,-1,1)T,求 a,b,ca,b,c 和入O的值四(本小題滿分6分)設(shè)A為m階實對稱陣且正定，B為mXn實矩陣，BT為B的轉(zhuǎn)置矩陣,試證：BTAB為正定矩陣的充分必要條件是B的秩r(B)=n11-1五(本小題滿分6分)設(shè)矩陣A=-111，矩P$X滿足A*X=A-1+2X,其中A*是A的伴隨J_11_矩陣，求矩陣X。二六(本小題滿分8分)設(shè)向量組a1=(1,1,1,3)T,a2=(-1,-3,5,1)T,a3=(3,2,-1,p+2)T,a4=(-2,-6,10,p)T(1) p為何值時，該向量組線性無關(guān)？并在此時將向量a=(4,1,6,10)T用a1,a2,a3,a4線

22、性表出；(2) p為何值時，該向量組線性相關(guān)？并在此時求出它的秩和一個極大線性無關(guān)組。二七(本小題滿分7分)設(shè)A為mXn實矩陣，E為n階單位矩陣，已知矩陣B=Ae+ATA,試證:當(dāng)A0時，矩陣B為正定矩陣一，三一三32-2八(本小題滿分7分)設(shè)矩陣A=k1k,問當(dāng)k為何值時，存在可逆陣P,使得P1AP,42一3一為對角陣？并求出P和相應(yīng)的對角陣。四x1+x2+x3=0九(本小題滿分9分)已知線性方程組4axi+bx2+cx3=02,.2,2八ax1+bx2+cx3=0(1)a,b,c滿足何種關(guān)系時，方程組僅有零解。(2)a,b,c滿足何種關(guān)系時，方程組有無窮多組解，并用基礎(chǔ)解系表示全部解。四2

23、0002000年試題一填空題(本小題3分)3,若四階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為JJJ,則行列式|B-1-E|=-。三2345-4,設(shè)a=(1,0,-1)T,矩陣A=aaT,n為正整數(shù)，則|aE-An|=。四5,已知四階矩陣A相似于B,A的特征值為2,3,4,5,E為4階單位矩陣，|B-E|二()二選擇題(每小題3分)1,設(shè)n維列向量組a1,am(mn)線性無關(guān)，則n維向量組01,0m線性無關(guān)的充分必要條件()(A)向量組a1,，am可由向量組儲，Bm線性表示；(B)向量組B1,Bm可由向量組a1,，am線性表示；(C)向量組a1,，am與向量組B1,Bm等價；(D)矩陣A=(a1,，am

24、)與夕g陣B=(01,0m)等價。2,設(shè)a1,a2,a3是四元非齊次線性方程組AX=bl三個解向量，且秩(A)=3,a1=(1,i,已知方程組一12-1iirxii?1x2=3無解，則a=2,設(shè)A=一1-2I003-40005-60007,E為4階單位矩陣，且B=(E+A)-1(E-A),則(E+B)-1=二（本題滿分6分）（2）驗證1J|4L0=:是A的兩個線性無關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值；一1一1_11當(dāng)1U2時,求產(chǎn)。-）1J1）n十一N 一2,3,4）T,a2+a3=（0,1,2,3）T,C表示任意常數(shù)，則線性方程組AX=b的通解X二（(B)2133,設(shè)A是n階實矩陣,必有（）A

25、T是A的轉(zhuǎn)置矩陣，則對于線性方程組（i）AX=0和（A）（五）的解是（i）的解，（i）的解也是（ii）的解;（B）（ii）的解是（i）的解，但（i）的解不是（ii）的解;（C）（i）的解不是（ii）的解（ii）的解也不是（i）的解;（D）（i）的解是（ii）的解，（ii）的解不是（i）的解。設(shè)矩陣A的伴隨矩陣一10010-3001001008，且ABA-1=BA-1+3E,其中E為4階單位矩陣，求矩陣Bo一四（本題滿分8分）某試驗性生產(chǎn)線每年1月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計，然后將1/6的熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補齊，新，老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實踐至年終考核有2/5成

26、為熟練工、一一X。設(shè)第n年1月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比分別為Xn和yn,記成向量InJn一(1)二A12(C)(D)三的關(guān)系式并寫成矩陣形nn五（本題滿分6分）六(本題滿分7分)的秩，且03可由口1,2,口3線性表小，求a,b的值。七(本題滿分8分)設(shè)向量組a1二(a,2,10)T,口2=(-2,1,5)a3=(-1,1,4)T,P=(1,bQT,試問：當(dāng)a,b,c滿足什么條件時,(1)P可由四，2,口3線性表示，且表示法唯一？(2)P不能由U1,2,。3線性表示？(3) P可由口1,2,23線性表示，但表示法不唯一？并求出一般表達(dá)式。三，四八(本題滿分9分)設(shè)有n元實二次型f(X1

27、,X2,，xn)=(X1+a1X2)2+(X2+a2X3)2+-+(Xn_1+an-1Xn)2+(Xn+anX1)2,其中a(i=1,2,0為實數(shù)。試問：當(dāng)a1.a,，an滿足何種條件時，二次型f(X1,X2,，Xn)為正定二次型。三九(本題滿分9分)1-11設(shè)矩陣A=x4y,已知A有3個線性無關(guān)的特征向量，兒=2是A的二重特征值，試可-3-35-逆矩陣P,使得P-1AP為對角形矩陣。四20012001年試題一填空題(每小題3分)1,設(shè)矩陣A滿足A2+A-4E=0,其中E為單位矩陣，則(A-E)-1=-。一a11IIXI1一12,設(shè)方程|Ia1X=|1有無窮多個解，則a=。二J1a3J 二2設(shè)

28、二二、工一11=2上-ll120,A=otPT,B=BTa,其中BT是B的轉(zhuǎn)置，求解方程2B2A2X=A4X+B4X+：8一二一01已知向量組B1=1albl一11-312,B3=1與1可量組口1=2,2=0一31-916具有相同：-713,設(shè)夕!陣A=1k1111k11111k，且秩（A）=3,則k=（三，四4,設(shè)行列式D=320502-73420-20202，則第4行各元素余子式之和的值為（( 四)二選擇題（每小題3分)一111.11111111111111,B二400.000000000。1000，則A與B合 同 且 相似;(B)合同但不相似;(C)不合同但相似;一2,設(shè)人=a12a13

29、a14a14a13a12a11-0001_a22a23a24,B=a24a23a22a21,PI=0100a32a33a34a34a33a32a310010a42a43a44_1Ia44a43a42a41_11100 0_不合同且不相似。(D)213141a11P2=一10000010010000011_(A)A1PR;,其中A可逆，則B-1等于(B)P1A1P2;(C)P1P2A-1(D)P2A-1P13,設(shè)A是n階矩陣，a是n維列向量，若秩:Aa【aT0(B)（A）以=口必有無窮多解;AX=a必有唯一解；(C)(D)1|X1=0必有非零解。0.y三，四=秩（A）,則線性方程組（）三三(本題

30、滿分6分)設(shè)ai,，as為線性方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系,Bs=tias+t2ai,其中ti,t2為實常數(shù)，試問：ti,t2滿足什么關(guān)系時，儲，02,，Bs也為AX=0的一個基礎(chǔ)解系？一四(本題滿分8分)已知3階矩陣A與三維向量X,使得向量組X,AX,A2X線性無關(guān)，且滿足A3X=3AX-2A2X.(1)記P=(X,AX,A2X)，求3階矩陣B,使A=PBP-1;計算行列式|A+E|.五(本題滿分6分)00110,B=101，且矩陣X滿足AXA+BXB=AXB+BXA+E,其中E是31-1101階單位陣，求X.六(本題滿分6分)已知a1,a2,a3,a4是線性方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系，若

31、p1=a1+ta2,B2=a2+ta3,B3=a3+ta4,04=a4+ta1,討論實數(shù)t滿足什么關(guān)系時，01,02,03,B4也是AX=0的一個基礎(chǔ)解系。二七(本題滿分9分)11a一1設(shè)矩陣A=1a1,3=1,已知線性方程組AX=B有解但不唯一，試求：:a1L2一(1)a的值；(2)正交矩陣Q,使CTAQ為對角矩陣。三，四八(本題滿分8分)設(shè)A為n階實對陣矩陣，秩(A)=n,A=(aj)nxn中元素aj的代數(shù)余子式(i,j=1,2,，n),二次型f(X1,X2,，Xn)=(1)記X=(X1,X2,，xn)T,把f(x1,x2,，xn)寫成矩陣形式，并證明二次型f(X)的矩陣為A1;(2)二次

32、型g(X)=XTAX與f(X)的規(guī)范形是否相同？說明理由。三九(本題滿分8分)設(shè)ai=(a口，ai2,，ain)T(i=1,2,r;rm時僅有零解；(B)當(dāng)nm時必有非零解；(C)當(dāng)mn時僅有零解；(D)當(dāng)mn時必有非零解.4,設(shè)A是n階實對稱陣，P是n階可逆矩陣，已知n維列向量a是A的屬于特征值上的特征向量，則矩陣(P1AP)T屬于特征值上的特征向量是()三(A)P1a；(B)PTa；(C)Pa；(D)(P)Ta.5,設(shè)A,B為n階矩陣，A,B*分別為A,B對應(yīng)的伴隨矩陣，分塊矩陣C=_,則C的伴隨矩陣三C=_o(A)四)|A|A*一0|A|B*00*7|B|B.0.|B|A1B0B*0*7

33、|A|A(D)1B|A*0IL0|A|B三(本題滿分6分)已知4階方陣A=(ai,a2,a3,a4),a1,a2,a3,a4土勻為4階列向量，其中a2,a3,a4線性無關(guān)，ai=2a2-a3,如果B=ai+a2+a3+a4,求線性方程組AX邛的通解。四(本題滿分8分)設(shè)A,B為同階方陣。(1)如果A,B相似，試證A,B的特征多項式相等；(2)舉一個二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立；(3)當(dāng)A,B均為實對稱矩陣時，試證(1)的逆命題成立。五(本題滿分6分)已知A,B為3階矩陣，且滿足2A-1B=B-4E,其中E是3階單位矩陣,一，二一(1)證明：矩陣A-2E可逆；1-20(2)若B=120

34、，求矩陣A.002_六(本題滿分8分)ax1+bx2+bx3+bxn=0,bx1+ax2+bx3+bxn=0,一一、上、彳其中aw0,bw0,n2,試討論a,b為何值時,bx1bx2bx3axn=0,方程組僅有零解，有無窮多組解。在有無窮多組解時，求出全部解，并用基礎(chǔ)解系表示全部解。七（本題滿分8分）設(shè)A為三階實對稱矩陣，且滿足條件A2+2A=0,已知A的秩r（A）=2.求A的全部特征值;（2）當(dāng)k為何值時，矩陣A+kE為正定矩陣，其中E為三階單位陣。八（本題滿分8分）(ii)的一個基礎(chǔ)解系為a1=(2,-1,a+2,1)T,a2=(-1,2,4,a+8)T.（1）求方程組（i）的一個基礎(chǔ)解系

35、;（2）當(dāng)a為何值時，方程組（i）與（ii）有非零公共解？在有非零公共解時，求出全部非零公共解。九（本題滿分8分）1-1,求可逆矩陣P,使P/AP為對角矩陣，并計算行列式|A-E|的值。a20032003年試題101設(shè)齊次線性方程組三設(shè)四元齊次線性方程組（i）為，2X1+3X2-X3=0,x1+2x2+x3-x4=0,且已知另一四元齊次線性方程組a設(shè)實對稱陣A=1填空題（每小題4分)1從R2的基巴2設(shè)a為3維列向量,11aT是口的轉(zhuǎn)置，若aaT一1-1J-11-1的過渡矩陣為一。二3設(shè)三階方陣A,B滿足A2BAB=E，其中E為3階單位矩陣，若A=020,則-201一|B|=-0二14設(shè)n維向重

36、a=（a,0,0,a）,a0;E為n階單位矩陣，矩陣A=E-o（o（,B=E+ota，其中aA的逆矩陣為B,Ma=三，四2025設(shè)A,B均為三階矩陣，E是3階單位矩陣，已知AB=2A+B,B=040，則（A-E）=-。202_四二選擇題（每小題4分）1,設(shè)向量組I：%,%,可由向量組II：%凡,院線性表示，則。（A）當(dāng)rs時，向量組II必線性相關(guān)；（C）當(dāng)rs時，向量組I必線性相關(guān).2.設(shè)有齊次線性方程組AX=0和BX=0,其中A,B均為mxn矩陣，現(xiàn)有4個命題:若AX=0的解均是BX=0的解，則秩（A）秩（B）;若秩（A）秩（B）,則AX=0的解均是BX=0的解；若AX=0與BX=0同解，則

37、秩（A）=秩（B）;若秩（A）=秩（B）,貝UAX=0與BX=0同解。以上命題正確的是。（A）；（B）；（C）（D）。abb3設(shè)3階矩陣A=bab，若A的伴隨矩陣的秩等于1,則必有-。bba_（A）a=b或a+2b=0;（B）a力或a+2bw0;（C）awb且a+2b=0;（D）awb且a+2bw0.4.設(shè)a1,a2，,as均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是（）。三已知其次線性方程組(a1b)x1a?x223x3.anxn=0a1x1b)x2a3x3.anxn=0,a1x1a2x2(a3b)x3.anxn=0,a1x1a2x2a3x3.(anb)xn=0,(A)若對于任意一組不全為零的數(shù)k10t

38、l+k20t2+十ks0fs*0,則a1,a2，,as線性無關(guān);(B)若ai,.as線性相關(guān)，則對于任意一組不全為零的數(shù)ki,k2,.ks,有k1：-1k2.：i2,一：ks_1s=0;(C)a1,a2,as線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s；(D)a1,a2,as線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個向量線性無關(guān)。0015設(shè)矩陣B=010,已知矩陣A相似于B,則秩(A-2E)與秩(A-E)之和等于()。：10。一(A)2;(B)3;(C)4;(D)5。三(本題滿分10分)322010設(shè)矩陣A=232,P=101B=P,A*P,求B+2E的特征值和特征向量，其中A*為A的逆矩陣P,使PAP=八

39、.二六(本題滿分13分)QQ其中ai*0。試討論a1,a2,an和b滿足何種關(guān)系時，i4：223_P011伴隨矩陣，E為3階單位矩陣。四(本題滿分8分)11已知平面上3條不同直線的方程分別為：12l3必要條件為a+b+c=0,22五(本題滿分10分)若矩陣A=8200一:ax2by3c=0,:bx+2cy+3a=0,試證這三條直線交于一點的充分:cx2ay3b=0.一，二01a相似于對角矩陣A,試確定常數(shù)a的值；并去可6(1)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解，在有非零解時，求此方程組得一個基礎(chǔ)解系。三七(本題滿分13分)設(shè)二次型f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32

40、+2bx1x3(b0),其中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12。(1)求a,b的值；(2)利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣。三八(本題滿分13分)設(shè)有向量組(I):%=(1,0,2)T02=(1,1,3)T,ot3=(1,1,a+2)T和向量組(II)P1=(1,2,a+3)T,p2=(2,1,a+6)T,P3=(2,1,a+4)T。試問：當(dāng)a為何值時，向量組(I)與(II)等價？當(dāng)a為何值時，向量組(I)與(II)不等價？四九(本題滿分13分)一2111一1設(shè)矩陣A=121可逆，向量a=b是矩陣A的一個特征向量，是“對應(yīng)的特征值，其：11

41、ajjj中A是矩陣A的伴隨矩陣，試求a,b,和九的值。四2004年試題一填空題(每小題4分)2101設(shè)矩陣A=j20,矩陣B滿足ABA*=2BA*+E,其中A*為A的伴隨矩陣，E是單位：0011矩陣，則|B|=-。一，二2二次型MXI，X2，X3)=(XI“2)2+(x2X3)2+(X3+XI)2的秩為三0-103設(shè)A=100,B=P,AP,其中P為3階可逆矩陣，則B20042A2=-。四00-14設(shè)A=(aj)3用是實正交矩陣，且aii=1,b=(1,0,0)T,則線性方程組AX由的解是-。四選擇題(每小題4分)1設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C,則

42、滿足AQ=C勺可逆矩陣Q為()010(A)100：101_010(C)100011_010(B)101：001_011(D)100：001_2設(shè)A,B為滿足AB=0的任意兩個非零矩陣，則必有()一，二(A) A的列向量線性相關(guān),(B) A的列向量線性相關(guān),(A)A的行向量線性相關(guān),(A)A的行向量線性相關(guān),3設(shè)n階矩陣A與B等價,B的行向量線性相關(guān)；B的列向量線性相關(guān)；B的行向量線性相關(guān)；B的列向量線性相關(guān)。則必有()。，四(A)當(dāng)|A|=a(aw0)時，|B|=a；(B)當(dāng)|A|=a(aw0)時，|B|=-a；(C)當(dāng)|A|w0時，|B|=0;(D)當(dāng)|A|=0時，|B|=0。4設(shè)n階矩陣A

43、的伴隨矩陣A*w0,若匕,5,勺是非齊次線性方程組AX=)的互不相等的解,則對應(yīng)的齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系()。三(A)不存在；(B)僅含一個非零解向量；(C)含有兩個線性無關(guān)的解向量;(D)含有三個線性無關(guān)的解向量。(本題滿分9分)2)試問a取何值時，該方程組有nx1nx2(na)xn=0.非零解？并求其通解。一四(本題滿分9分)12-3設(shè)矩陣A=-14-3的特征方程有一個二重根，求a的值，并討論A是否可相似對角化。a5一一，二五(本題滿分9分)(1+a)x1+x2+x3+x4=0,設(shè)有齊次線性方程組產(chǎn)1*(2+a)x2+2x3+2x4=0,試問a取何值時，該方程組有非零解？3x13

44、x2(3a)x33x4=0,4x14x24x3(4a)x4=0,并求出通解。二六(本題滿分13分)設(shè)%=(1,2,0),02=(1,a+2,3a)T,a3=(1,b2,a+2b)T,B=(1,3,3)T。試討論當(dāng)a,b為何值時，(1)B不能由%,2,立3線性表示；(2)P可由%,2,口3惟一地線性表示，并求出表達(dá)式；(3)口可由叫，2,1M3線性表示但表示式不唯一，并求出表示式。三七(本題滿分13分)1b.b設(shè)n階矩陣A=b1b。._bb.1_(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩陣P,使得P*AP為對角矩陣。三八(本題滿分13分)X1+，uX2+Rx3+x4=0,設(shè)線性方程組2x1+x2+x3+2x4=0,已知(1,-1,1,-1)T是