函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

1、1.8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點一、函數(shù)的連續(xù)性變量的增量:設(shè)變量u從它的一個初值u1變到終值u2, 終值與初值的差u2-u1就叫做變量u的增量, 記作Du , 即Du =u2-u1. 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一個鄰域內(nèi)是有定義的. 當(dāng)自變量x 在這鄰域內(nèi)從x0變到x0+Dx時, 函數(shù)y相應(yīng)地從f(x0)變到f(x0+Dx), 因此函數(shù)y的對應(yīng)增量為Dy= f(x0+Dx)- f(x0). 函數(shù)連續(xù)的定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0 的某一個鄰域內(nèi)有定義, 如果當(dāng)自變量的增量Dx =x-x0 趨于零時, 對應(yīng)的函數(shù)的增量Dy= f(x0+Dx)- f(x0 )也趨于零, 即, 或,那么就稱函數(shù)

2、y=f(x)在點x0 處連續(xù). 注: 設(shè)x=x0+Dx, 則當(dāng)Dx®0時, x®x0, 因此ÛÛ.函數(shù)連續(xù)的等價定義2:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一個鄰域內(nèi)有定義, 如果對于任意給定義的正數(shù)e , 總存在著正數(shù)d , 使得對于適合不等式|x-x0|<d 的一切x, 對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-f(x0)|<e , 那么就稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù). 左右連續(xù)性:如果, 則稱y=f(x)在點處左連續(xù). 如果, 則稱y=f(x)在點處右連續(xù). 左右連續(xù)與連續(xù)的關(guān)系:函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)Û函數(shù)y=f(x

3、)在點x0處左連續(xù)且右連續(xù). 函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性:在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù), 叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), 或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). 如果區(qū)間包括端點, 那么函數(shù)在右端點連續(xù)是指左連續(xù), 在左端點連續(xù)是指右連續(xù). 連續(xù)函數(shù)舉例:1. 如果f(x)是多項式函數(shù), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)是連續(xù)的. 這是因為, f(x)在(-¥, +¥)內(nèi)任意一點x0處有定義, 且. 2. 函數(shù)在區(qū)間0, +¥)內(nèi)是連續(xù)的. 3. 函數(shù)y=sin x 在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)是連續(xù)的. 證明: 設(shè)x為區(qū)間(-¥, +

4、¥)內(nèi)任意一點. 則有Dy=sin(x+Dx)-sin x, 因為當(dāng)Dx®0時, Dy是無窮小與有界函數(shù)的乘積, 所以. 這就證明了函數(shù)y=sin x在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)任意一點x都是連續(xù)的4. 函數(shù)y=cos x 在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)是連續(xù)的. 二、函數(shù)的間斷點間斷定義:設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義. 在此前提下, 如果函數(shù)f(x)有下列三種情形之一:(1)在x0沒有定義;(2)雖然在x0有定義, 但f(x)不存在;(3)雖然在x0有定義且f(x)存在, 但f(x)¹f(x0);則函數(shù)f(x)在點x0

5、為不連續(xù), 而點x0稱為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點或間斷點. 例1. 正切函數(shù)y=tan x在處沒有定義, 所以點是函數(shù)tan x的間斷點. 因為, 故稱為函數(shù)tan x的無窮間斷點. 例2. 函數(shù)在點x=0沒有定義, 所以點x=0是函數(shù)的間斷點. 當(dāng)x®0時, 函數(shù)值在-1與+1之間變動無限多次, 所以點x=0稱為函數(shù)的振蕩間斷點. 例3. 函數(shù)在x=1沒有定義, 所以點x=1是函數(shù)的間斷點. 因為, 如果補(bǔ)充定義: 令x=1時y=2, 則所給函數(shù)在x=1成為連續(xù). 所以x=1稱為該函數(shù)的可去間斷點. 例4. 設(shè)函數(shù).因為, , 所以x=1是函數(shù)f(x)的間斷點. 如果改變函數(shù)f(x)在x=1處的定義:令f(1)=1, 則函數(shù)f(x)在x=1 成為連續(xù), 所以x=1也稱為該函數(shù)的可去間斷點. 例5. 設(shè)函數(shù).因為, , , 所以極限不存在, x=0是函數(shù)f(x)的間斷點. 因函數(shù)f(x)的圖形在x=0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象, 我們稱x=0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點. 間斷點的分類:通常把間斷點分成兩類:如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點, 但左極限f(x0-0)及右極限f(x0+0)都存在, 那么x0稱為函數(shù)f(x)的第一類間