函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

1、1.8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性變量的增量:設(shè)變量u從它的一個(gè)初值u1變到終值u2, 終值與初值的差u2-u1就叫做變量u的增量, 記作Du , 即Du =u2-u1. 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)是有定義的. 當(dāng)自變量x 在這鄰域內(nèi)從x0變到x0+Dx時(shí), 函數(shù)y相應(yīng)地從f(x0)變到f(x0+Dx), 因此函數(shù)y的對(duì)應(yīng)增量為Dy= f(x0+Dx)- f(x0). 函數(shù)連續(xù)的定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0 的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 如果當(dāng)自變量的增量Dx =x-x0 趨于零時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量Dy= f(x0+Dx)- f(x0 )也趨于零, 即, 或,那么就稱(chēng)函數(shù)

2、y=f(x)在點(diǎn)x0 處連續(xù). 注: 設(shè)x=x0+Dx, 則當(dāng)Dx®0時(shí), x®x0, 因此ÛÛ.函數(shù)連續(xù)的等價(jià)定義2:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 如果對(duì)于任意給定義的正數(shù)e , 總存在著正數(shù)d , 使得對(duì)于適合不等式|x-x0|<d 的一切x, 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿(mǎn)足不等式|f(x)-f(x0)|<e , 那么就稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù). 左右連續(xù)性:如果, 則稱(chēng)y=f(x)在點(diǎn)處左連續(xù). 如果, 則稱(chēng)y=f(x)在點(diǎn)處右連續(xù). 左右連續(xù)與連續(xù)的關(guān)系:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)Û函數(shù)y=f(x

3、)在點(diǎn)x0處左連續(xù)且右連續(xù). 函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性:在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù), 叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), 或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). 如果區(qū)間包括端點(diǎn), 那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù), 在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù). 連續(xù)函數(shù)舉例:1. 如果f(x)是多項(xiàng)式函數(shù), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)是連續(xù)的. 這是因?yàn)? f(x)在(-¥, +¥)內(nèi)任意一點(diǎn)x0處有定義, 且. 2. 函數(shù)在區(qū)間0, +¥)內(nèi)是連續(xù)的. 3. 函數(shù)y=sin x 在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)是連續(xù)的. 證明: 設(shè)x為區(qū)間(-¥, +

4、¥)內(nèi)任意一點(diǎn). 則有Dy=sin(x+Dx)-sin x, 因?yàn)楫?dāng)Dx®0時(shí), Dy是無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積, 所以. 這就證明了函數(shù)y=sin x在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)任意一點(diǎn)x都是連續(xù)的4. 函數(shù)y=cos x 在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)是連續(xù)的. 二、函數(shù)的間斷點(diǎn)間斷定義:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義. 在此前提下, 如果函數(shù)f(x)有下列三種情形之一:(1)在x0沒(méi)有定義;(2)雖然在x0有定義, 但f(x)不存在;(3)雖然在x0有定義且f(x)存在, 但f(x)¹f(x0);則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

5、為不連續(xù), 而點(diǎn)x0稱(chēng)為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn). 例1. 正切函數(shù)y=tan x在處沒(méi)有定義, 所以點(diǎn)是函數(shù)tan x的間斷點(diǎn). 因?yàn)? 故稱(chēng)為函數(shù)tan x的無(wú)窮間斷點(diǎn). 例2. 函數(shù)在點(diǎn)x=0沒(méi)有定義, 所以點(diǎn)x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn). 當(dāng)x®0時(shí), 函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無(wú)限多次, 所以點(diǎn)x=0稱(chēng)為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn). 例3. 函數(shù)在x=1沒(méi)有定義, 所以點(diǎn)x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn). 因?yàn)? 如果補(bǔ)充定義: 令x=1時(shí)y=2, 則所給函數(shù)在x=1成為連續(xù). 所以x=1稱(chēng)為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn). 例4. 設(shè)函數(shù).因?yàn)? , 所以x=1是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn). 如果改變函數(shù)f(x)在x=1處的定義:令f(1)=1, 則函數(shù)f(x)在x=1 成為連續(xù), 所以x=1也稱(chēng)為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn). 例5. 設(shè)函數(shù).因?yàn)? , , 所以極限不存在, x=0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn). 因函數(shù)f(x)的圖形在x=0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象, 我們稱(chēng)x=0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn). 間斷點(diǎn)的分類(lèi):通常把間斷點(diǎn)分成兩類(lèi):如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn), 但左極限f(x0-0)及右極限f(x0+0)都存在, 那么x0稱(chēng)為函數(shù)f(x)的第一類(lèi)間