函數(shù)導(dǎo)數(shù)大題—規(guī)范討論講義

1、函數(shù)導(dǎo)數(shù)大題基本計(jì)算：參數(shù)討論：結(jié)果形態(tài)：1已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為（1）求的值；（2）討論的單調(diào)性，并求的極大值解：(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4，故b4，ab8.從而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x.f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0，得xln2或x2.從而當(dāng)x(，2)(ln2，)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(2，ln2)時(shí)，f(x)<0.故f(x)在(，2)，(ln2，)上單調(diào)遞增，在(2，ln2)上單調(diào)遞減當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(2)4(1e2)2已知函數(shù)（1）求的極

2、小值和極大值；（2）當(dāng)曲線的切線的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求在軸上截距的取值范圍解：(1)f(x)的定義域?yàn)?，)f(x)exx(x2)當(dāng)x(，0)或x(2，)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(0，2)時(shí)，f(x)>0.所以f(x)在(，0)，(2，)單調(diào)遞減，在(0，2)單調(diào)遞增故當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極小值，極小值為f(0)0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得極大值，極大值為f(2)4e2.(2)設(shè)切點(diǎn)為(t，f(t)，則l的方程為yf(t)(xt)f(t)所以l在x軸上的截距為m(t)ttt23.由已知和得t(，0)(2，)令h(x)x(x0)，則當(dāng)x(0，)時(shí)，h(x)的取值范圍為2，)；當(dāng)x(，2)時(shí)

3、，h(x)的取值范圍是(，3)所以當(dāng)t(，0)(2，)時(shí)，m(t)的取值范圍是(，0)23，)綜上，l在x軸上的截距的取值范圍是(，0)23，)3設(shè)函數(shù)，其中，區(qū)間（1）求I的長(zhǎng)度(注：區(qū)間的長(zhǎng)度定義為)；（2）給定常數(shù)，當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)度的最小值解：(1)因?yàn)榉匠蘟x(1a2)x20(a>0)有兩個(gè)實(shí)根x10，x2，故f(x)>0的解集為x|x1<x<x2，因此區(qū)間I0，區(qū)間長(zhǎng)度為.(2)設(shè)d(a)，則d(a)，令d(a)0，得a1，由于0<k<1，故當(dāng)1ka<1時(shí)，d(a)>0，d(a)單調(diào)遞增；當(dāng)1<a1k時(shí)，d(a)<0，d(a)單

4、調(diào)遞減；因此當(dāng)1ka1k時(shí)，d(a)的最小值必定在a1k或a1k處取得而<1，故d(1k)<d(1k)因此當(dāng)a1k時(shí)，d(a)在區(qū)間1k，1k上取得最小值.4已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若時(shí)，求的取值范圍解：(1)當(dāng)a時(shí)，f(x)x33x23x1，f(x)3x26x3.令f(x)0，得x11，x21.當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)>0，f(x)在(，1)上是增函數(shù)；當(dāng)x(1，1)時(shí)，f(x)<0，f(x)在(1，1)上是減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，f(x)在(1，)上是增函數(shù)(2)由f(2)0得a.當(dāng)a，x(2，)時(shí)，f(x)3(x22ax1)33

5、(x2)>0，所以f(x)在(2，)上是增函數(shù)，于是當(dāng)x2，)時(shí)，f(x)f(2)0.綜上，a的取值范圍是.5已知函數(shù)（1）若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求與的值；（2）若曲線與直線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求的取值范圍解：由f(x)x2xsinxcosx，得f(x)x(2cosx)(1)因?yàn)榍€yf(x)在點(diǎn)(a，f(a)處與直線yb相切，所以f(a)a(2cosa)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f(x)0，得x0.f(x)與f(x)的情況如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，f(0)1是f(x)的最小值當(dāng)b1

6、時(shí)，曲線yf(x)與直線yb最多只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b>1時(shí)，f(2b)f(2b)4b22b1>4b2b1>b，f(0)1<b，所以存在x1(2b，0)，x2(0，2b)，使得f(x1)f(x2)b.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)和(0，)上均單調(diào)，所以當(dāng)b>1時(shí)，曲線yf(x)與直線yb有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)綜上可知，如果曲線yf(x)與直線yb有兩個(gè)不同交點(diǎn)，那么b的取值范圍是(1，)6已知函數(shù)(，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求的值；（2）求函數(shù)的極值；（3）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，求的最大值解：(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲

7、線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線平行于x軸，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)為(，)上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無(wú)極值當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)0，得exa，xlna.當(dāng)x(，lna)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(lna，)時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在(，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，)上單調(diào)遞增，故f(x)在xlna處取得極小值，且極小值為f(lna)lna，無(wú)極大值綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在xlna處取得極小值lna，無(wú)極大值(3)方法一：當(dāng)a1時(shí)，f(x)x1.令g(x)f(

8、x)(kx1)(1k)x，則直線l：ykx1與曲線yf(x)沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程g(x)0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解假設(shè)k>1，此時(shí)g(0)1>0，g1<0，又函數(shù)g(x)的圖像連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理，可知g(x)0在R上至少有一解，與“方程g(x)0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解”矛盾，故k1.又k1時(shí)，g(x)>0，知方程g(x)0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解所以k的最大值為1.方法二：當(dāng)a1時(shí)，f(x)x1.直線l：ykx1與曲線yf(x)沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于x的方程kx1x1在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于x的方程：(k1)x(*)在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解當(dāng)k1時(shí)，方程(*)可化為0，在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解當(dāng)k1

9、時(shí)，方程(*)化為xex.令g(x)xex，則有g(shù)(x)(1x)ex.令g(x)0，得x1，當(dāng)x變化時(shí)，g(x)，g(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1，)g(x)0g(x)當(dāng)x1時(shí)，g(x)min，同時(shí)當(dāng)x趨于時(shí)，g(x)趨于，從而g(x)的取值范圍為，.所以當(dāng)時(shí)，方程(*)無(wú)實(shí)數(shù)解解得k的取值范圍是(1e，1)綜上，得k的最大值為1.7已知函數(shù)()（1）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，且對(duì)任意，試比較與的大小解：(1)由f(x)ax2bxlnx，x(0，)，得f(x).當(dāng)a0時(shí)，f(x).(i)若b0，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0恒成立，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)(ii)若b0，當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，得2ax2bx10.由b28a0得x1，x2.顯然，x10，x20.當(dāng)0xx2時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xx2時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.綜上所述，當(dāng)a0，b0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)；當(dāng)a0，b>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)由題意，函數(shù)f(