用平移坐標(biāo)法探究平行四邊形的存在問(wèn)題

1、-用平移坐標(biāo)法探究平行四邊形的存在問(wèn)題存在性問(wèn)題是近年來(lái)各地中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，不確定因素較多，對(duì)學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用分析能力要求較高，有一定的難度為此借用簡(jiǎn)單的平移坐標(biāo)法來(lái)探究平行四邊形的存在性問(wèn)題解平行四邊形的存在性問(wèn)題一般分三步：第一步尋找分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫(huà)圖，第三步計(jì)算如果三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)：以三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過(guò)每個(gè)點(diǎn)畫(huà)對(duì)邊的平行線(xiàn)，三條直線(xiàn)兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn)如果兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線(xiàn)段按照邊或?qū)蔷€(xiàn)分為兩種情況更為通用的方法是靈活運(yùn)用向量和中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可以使得解題簡(jiǎn)便假定一個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，然后在按照的三點(diǎn)來(lái)確定。平移坐標(biāo)法的思路

2、：先由題目條件探索三點(diǎn)的坐標(biāo)假設(shè)只有兩個(gè)定點(diǎn)，可設(shè)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) 再畫(huà)出以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形，根據(jù)坐標(biāo)平移的性質(zhì)寫(xiě)出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)最后根據(jù)題目的要求動(dòng)點(diǎn)在什么曲線(xiàn)上，判斷平行四邊形的存在性1、平移坐標(biāo)法的探究圖1 圖2 如圖1，點(diǎn)A、B、C是坐標(biāo)平面不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)1畫(huà)出以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形 2假設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，寫(xiě)出第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)解：1如圖3， 過(guò)A、B、C分別作BC、AC、AB的平行線(xiàn)，則以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有三個(gè)：以BC為對(duì)角線(xiàn)，有CABD1；以AC為對(duì)角線(xiàn)，有ABCD2；以AB為對(duì)角線(xiàn)，有ACBD32在CABD1中，線(xiàn)段AC平移到

3、BD1，因AB橫坐標(biāo)增加、縱坐標(biāo)增加，根據(jù)坐標(biāo)平移的性質(zhì)得D1，同理得D2，、D3，結(jié)論：以不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有三個(gè)由的三點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)圖形平移的坐標(biāo)性質(zhì)，直接寫(xiě)出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)稱(chēng)之為平移坐標(biāo)法2. 平移坐標(biāo)法的運(yùn)用2.1. 三個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性例1 如圖4，拋物線(xiàn)與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，頂點(diǎn)是1 求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；2 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)作直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在這樣的點(diǎn)，使以點(diǎn)P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.圖4 圖5 解：1拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為2由條件易探究得A、C、N三點(diǎn)坐標(biāo)為A、 C、 N 下面探討

4、以三點(diǎn)A、C、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) 如圖5，由平移的性質(zhì)直接寫(xiě)出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)：以為對(duì)角線(xiàn)，第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為；以AC為對(duì)角線(xiàn)，第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為；以AN為對(duì)角線(xiàn)，第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為將其分別代入拋物線(xiàn)中檢驗(yàn)，其中只有在拋物線(xiàn)上點(diǎn)評(píng)：此題三個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)的具體數(shù)值，可以根據(jù)坐標(biāo)平移的性質(zhì)直接寫(xiě)出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)值得注意的是，假設(shè)沒(méi)有約定由三點(diǎn)構(gòu)成的三條線(xiàn)段中哪條為邊或?qū)蔷€(xiàn)，則三種情況都必須考慮例2 2021拋物線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為.直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，與直線(xiàn)相交于點(diǎn)(1) 填空：試用含的代數(shù)式分別表示點(diǎn)與的坐標(biāo)，則；(2) 如圖6，在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

5、形.圖6 圖7 解：12 由條件易探究得A、C、N三點(diǎn)坐標(biāo)為A、C、N下面探討以A、C、N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖7假設(shè)以為對(duì)角線(xiàn)，第四個(gè)頂點(diǎn)為，代入解析式得，即；假設(shè)以AC為對(duì)角線(xiàn)，第四個(gè)頂點(diǎn)為，代入解析式得，即；假設(shè)以AN為對(duì)角線(xiàn)，第四個(gè)頂點(diǎn)為，代入解析式得0，不合題意，無(wú)解所以在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)和，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：有些解法通過(guò)分析圖形認(rèn)為以AN為對(duì)角線(xiàn)顯然不可能，其實(shí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)這個(gè)“顯然并不顯然2.2 兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性。例3 2021 ：如圖8，關(guān)于的拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)1求出此拋物線(xiàn)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)坐

6、標(biāo)；2在拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)，使四邊形為等腰梯形，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線(xiàn)的解析式；3在2中的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)，軸上有一動(dòng)點(diǎn)是否存在以為頂點(diǎn)的平行四邊形.解：1拋物線(xiàn)解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)是2，42點(diǎn)坐標(biāo)為， 直線(xiàn)的解析式為圖8 圖9 3直線(xiàn)與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M2，2假設(shè)軸上動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為下面探討以A、M、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)圖9假設(shè)以MQ為對(duì)角線(xiàn)，第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，代入得假設(shè)以AM為對(duì)角線(xiàn)，第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，代入得假設(shè)以AQ為對(duì)角線(xiàn)，第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，代入得存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有四個(gè)： ， ， ， 點(diǎn)評(píng)：先假設(shè)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，將其看成一個(gè)定點(diǎn)，按照平移

7、的性質(zhì)，寫(xiě)出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)再由另一動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足的條件，求出相應(yīng)的坐標(biāo)上述例題中總有兩個(gè)點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上，尚可通過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)來(lái)探究平行四邊形的存在問(wèn)題如果題目中沒(méi)有兩點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上，難么，難以通過(guò)分析圖形的相互位置關(guān)系來(lái)探究平行四邊形的存在問(wèn)題然而平移坐標(biāo)法將是解決這一問(wèn)題的一個(gè)法寶見(jiàn)例4 2021如圖12，拋物線(xiàn)：1求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)2將向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)，求的解析式3拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P，軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，在、這兩條拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)N，使O、P、M、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)P為一邊的平行四邊形. 圖12 圖13解：1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是2，2 23假設(shè)軸上動(dòng)點(diǎn)M坐標(biāo)為有條件易得P下

8、面探究以O(shè)、P、M三點(diǎn)為頂點(diǎn)OP為邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)N的坐標(biāo)如圖13，因?yàn)镻為拋物線(xiàn)、的最高點(diǎn)，假設(shè)以PM為對(duì)角線(xiàn)，有PNOM，則點(diǎn)N不可能在拋物線(xiàn)或上，故不可能存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)；假設(shè)以O(shè)M為對(duì)角線(xiàn)，用平移坐標(biāo)法看出點(diǎn)N坐標(biāo)為假設(shè)點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，可得：或；假設(shè)點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，可得：或存在滿(mǎn)足條件的N點(diǎn)有四個(gè)：、點(diǎn)評(píng)：此題中N點(diǎn)可以在拋物線(xiàn)上，也可以在拋物線(xiàn)上，運(yùn)動(dòng)的圍較大，學(xué)生難以探索，用平移坐標(biāo)法不必分析復(fù)雜的圖形，降低了分析的難度，表達(dá)了平移坐標(biāo)法強(qiáng)大的解題成效此題中因確定了以O(shè)P為一邊，所以只有兩種情況需要探究例5、拋物線(xiàn)與軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C直接寫(xiě)

9、出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，及拋物線(xiàn)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的P上時(shí)，求拋物線(xiàn)的解析式；坐標(biāo)平面是否存在點(diǎn),使得以點(diǎn)M和中拋物線(xiàn)上的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.假設(shè)存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解：對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)：，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0) 2分如圖，連接PC，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(-1,0)、B (3,0)，AB4在RtPOC中，OPPAOA211，b3分當(dāng)時(shí)，4分5分存在6分理由：如圖，連接AC、BC設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為當(dāng)以AC或BC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)M在*軸上方，此時(shí)CMAB，且CMAB由知，AB4，|*|4，*±4點(diǎn)M的坐標(biāo)為9分當(dāng)以AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)

10、，點(diǎn)M在*軸下方過(guò)M作MNAB于N，則MNBAOC90°四邊形AMBC是平行四邊形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCOOB3，0N312點(diǎn)M的坐標(biāo)為 12分綜上所述，坐標(biāo)平面存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、B、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形其坐標(biāo)為例6、如圖，拋物線(xiàn)y=*2-2*-3與*軸交A、B兩點(diǎn)A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為21求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式；2P是線(xiàn)段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于E點(diǎn)，求線(xiàn)段PE長(zhǎng)度的最大值；3點(diǎn)G拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，在*軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)

11、點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.如果存在，求出所有滿(mǎn)足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(1)  y=*2-2*-3=(*+1)(*-3) A(-1,0),B(3,0)把*=2代入y=(*+1)(*-3)中,得y=-3,C(2,-3)設(shè)直線(xiàn)AC的函 數(shù)表達(dá)式為y=k*+b, 將A, C兩點(diǎn)坐標(biāo)帶入得-k+b=0,2k+b=-3,解得k=-1,b=-1AC的函 數(shù)表達(dá)式為y=-*-1由題意設(shè)P(*,-*-1),E (*,*2-2*-3),PE=-(*-1)- (*2-2*-3)=-*2+*+2=-(*-0.5)2+9/4當(dāng)*=1/2時(shí),線(xiàn)段 PE長(zhǎng)度的最大值為9/43存在4個(gè)這樣的點(diǎn)F，分別是例7：2007·義烏如圖10，拋物線(xiàn)與*軸交A、B兩點(diǎn)A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為21求A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式；2點(diǎn)G是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，在*軸上是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、F、G這