大一高數(shù)第一章--函數(shù)、極限與連續(xù)

1、第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)由于社會(huì)和科學(xué)發(fā)展的需要，到了17世紀(jì)，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的研究成為自然科學(xué)的中心問題與之相適應(yīng)，數(shù)學(xué)在經(jīng)歷了兩千多年的發(fā)展之后進(jìn)入了一個(gè)被稱為“高等數(shù)學(xué)時(shí)期”的新時(shí)代,這一時(shí)代集中的特點(diǎn)是超越了希臘數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的觀點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到“數(shù)”的研究比“形”更重要，以 積極的態(tài)度開展對(duì)“無限”的研究，由常量數(shù)學(xué)發(fā)展為變量數(shù)學(xué)，微積分的創(chuàng)立更是這一時(shí)期 最突出的成就之一.微積分研究的基本對(duì)象是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)極限是研究函數(shù)的一種基本方法，而連續(xù)性則是函數(shù)的一種重要屬性.因此，本章內(nèi)容是整個(gè)微積分學(xué)的基礎(chǔ).本章將簡(jiǎn)要地介紹高等數(shù)學(xué)的一些基本概念，其中重點(diǎn)介紹極限的概念、性 質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)，以及與

2、極限概念密切相關(guān)的，并且在微積分運(yùn)算中起重要作用的無窮小量的概 念和性質(zhì).此外，還給出了兩個(gè)極其重要的極限.隨后，運(yùn)用極限的概念引入函數(shù)的連續(xù)性概念，它是客觀世界中廣泛存在的連續(xù)變化這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述第一節(jié)變量與函數(shù)、變量及其變化范圍的常用表示法在自然現(xiàn)象或工程技術(shù)中，常常會(huì)遇到各種各樣的量.有一種量，在考察過程中是不斷變化的，可以取得各種不同的數(shù)值，我們把這一類量叫做變量；另一類量在考察過程中保持不變， 它取同樣的數(shù)值，我們把這一類量叫做常量.變量的變花若跳躍性的，如自然數(shù)由小到大變化、數(shù)列的變化等，而更多的則是在某個(gè)范圍內(nèi)變化，即該變量的取值可以是某個(gè)范圍內(nèi)的任何一 個(gè)數(shù).變量取值范圍常用

3、區(qū)間來表示.滿足不等式a x b的實(shí)數(shù)的全體組成的集合叫做閉區(qū)加記為a,b ,即a,b x | a x b;滿足不等式a x b的實(shí)數(shù)的全體組成的集合叫做開區(qū)間，記為 （a,b）,即（a,b） x |a x b；滿足不等式a x b（或a xb）的實(shí)數(shù)的全體組成的集合叫做左.（右.）汪右一（左）閉區(qū)回,記為a,b （或 a,b ）,即a,b x |a x b(或 a,b x | a x b),左開右閉區(qū)間與右開左閉區(qū)間統(tǒng)稱為半開半閉區(qū)間，實(shí)數(shù)a, b稱為區(qū)間的端點(diǎn)以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)回.數(shù)b a稱為區(qū)間的殳度.此外還有無限區(qū)間二 （,）x| x R,bx |x b,（,b） x |x b,

4、a, x |a x,（a, ） x |a x,等等.這里記號(hào)"”與“”分別表示“負(fù)無窮大”與“正無窮大”鄰域也是常用的一類區(qū)間設(shè)xo是一個(gè)給定的實(shí)數(shù),B是某一正數(shù)，稱數(shù)集：x |Xo 8 x Xo 8 為點(diǎn) X0 的鄰域，記作 U (X0, a .即 U X0, 8 x |Xo 8 x Xo 8 稱點(diǎn)X 0為該鄰域的生心，跌該鄰域的半徑.(見圖1-1).稱U (Xo, aXo為X0的去心鄰域,o記作u(X0, a,即U (x0, ) x 10 x x08“-au 耳h圖1-1 下面兩個(gè)數(shù)集U x0, 8x|x0 8 x x0 ,U x0, 8x |x0 x x06 ,o分別稱為X0的

5、左B鄰域和右B鄰域.當(dāng)不需要指出鄰域的半徑時(shí)，我們用 U(x0), U(X0)分別表 o示X0的某鄰域和X0的某去心鄰域，一 U X0,8 , U X0,8分別表示X0的某左鄰域和X0的某右鄰 域.二、函數(shù)的概念在高等數(shù)學(xué)中除了考察變量的取值范圍之外，我們還要研究在同一個(gè)過程中出現(xiàn)的各種彼 此相互依賴的變量，例如質(zhì)點(diǎn)的移動(dòng)距離與移動(dòng)時(shí)間.曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，彈簧的恢復(fù)力與它的形變，等等.我們關(guān)心的是變量與變量之間的相互依賴關(guān)系，最常見的一類依賴 關(guān)系，稱為函數(shù)關(guān)系.定義1設(shè)A, B是兩個(gè)實(shí)數(shù)集，如果有某一法則f ,使得對(duì)于每個(gè)數(shù) x A,均有一個(gè)確定的數(shù)y B與之對(duì)應(yīng)，則稱f是從A

6、到B內(nèi)的函數(shù).習(xí)慣上，就說y是x的函數(shù)，記作y f x (x A) 其中，X稱為自變量，y稱為因變量，f x表示函數(shù)f在x處的函數(shù)值.數(shù)集A稱為函數(shù)f的 定義域，記為D f ;數(shù)集f (A) y |y f (x),x a b 稱為函數(shù)f的值域，記作R f .從上述概念可知，通常函數(shù)是指對(duì)應(yīng)法則 f，但習(xí)慣上用“y f x , x A ”表示函數(shù)， 此時(shí)應(yīng)理解為“由對(duì)應(yīng)關(guān)系y f x所確定的函數(shù)f ”.確定一個(gè)函數(shù)有兩個(gè)基本要素，即定義域和對(duì)應(yīng)法則.如果沒有特別規(guī)定，我們約定：定義域表示使函數(shù)有意義的范圍，即自變量的取 值范圍.在實(shí)際問題中，定義域可根據(jù)函數(shù)的實(shí)際意義來確定.例如，在時(shí)間t的函數(shù)

7、f t中，t通常取非負(fù)實(shí)數(shù).在理論研究中，若函數(shù)關(guān)系由數(shù)學(xué)公式給出，函數(shù)的定義域就是使數(shù)學(xué)表達(dá)式有 意義的自變量x的所有可以取得的值構(gòu)成的數(shù)集.對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的具體表現(xiàn)，它表示兩個(gè)變量 之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.例如，氣溫曲線給出了氣溫與時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)表列出了角度與 三角函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此，氣溫曲線和三角函數(shù)表表示的都是函數(shù)關(guān)系.這種用曲線和列表給出函數(shù)的方法，分別稱為圖示法和列表法.但在理論研究中，所遇到的函數(shù)多數(shù)由數(shù)學(xué)公式給出， 稱為公式法.例如，初等數(shù)學(xué)中所學(xué)過的募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù) 都是用公式法表示的函數(shù).從幾何上看，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集(x,y

8、)|y f x ,x D f 稱為函數(shù)y f x的第像,(如圖1-2所示).函數(shù)y f x的圖像通常是一條曲線，y f x也稱為這條曲線的方程.這樣，函數(shù)的一些特性常?？山柚趲缀沃庇^來發(fā)現(xiàn)；相反，一些幾何問 題，有時(shí)也可借助于函數(shù)來作理論探討.現(xiàn)在我們舉一個(gè)具體函數(shù)的例子 .例1 求函數(shù)y4 x2解要使數(shù)學(xué)式子有意義,由此有因此函數(shù)的定義域?yàn)?,1 ,2 .圖1-21 的定義域.x 1x必須滿足x2 0,1>0 ,x>1.2,有時(shí)一個(gè)函數(shù)在其定義域的不同子集上要用不同的表達(dá)式來表示對(duì)應(yīng)法則，稱這種函數(shù)為 分段函數(shù).下面給出一些今后常用的分段函數(shù).絕對(duì)值函數(shù)x ,x 0,x ,x

9、<0.的定義域例3D f (符號(hào)函數(shù))，值域f 0,),如圖1-所示.sgnx1,x<0,0,x 0,1,x >0，值域R f 1,0,1,如圖1 4所示.-|圖1-4最大取整函數(shù)y x ，其中x表示不超過x的最大整數(shù).例如，-1 , 0 0 ,3再 1,兀3等等.函數(shù)y x的定義域D f (,)，值域R f整數(shù).一般地,y x n , n x n 1 , n 0, 1, 2,L ,如圖 1-5 所示.-2 -I 0 11 -1I F-2圖1-5 在函數(shù)的定義中，對(duì)每個(gè) x D f ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的，這樣定義的函數(shù)稱為單 值函數(shù).若給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 g ,對(duì)每個(gè)x

10、D g ,總有確定的y值與之對(duì)應(yīng)，但這個(gè) y不總 是唯一的，我們稱這種法則 g確定了一個(gè)多值函數(shù).例如，設(shè)變量x與y之間的對(duì)應(yīng)法則由方程 22一 .，.、一22 一x y 25給出，顯然，對(duì)每個(gè)x 5,5,由萬程x y 25可確te出對(duì)應(yīng)的y值，當(dāng)x 5 或5時(shí)，對(duì)應(yīng)y 0 一個(gè)值；當(dāng)x ( 5,5)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y有兩個(gè)值.所以這個(gè)方程確定了一個(gè)多 值函數(shù).對(duì)于多值函數(shù)，往往只要附加一些條件，就可以將它化為單值函數(shù)，這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支.例如，由方程x2 y2 25給出的對(duì)應(yīng)法則中，附加“ y 0”的條 件，即以“x2 y2 25且y 0”作為對(duì)應(yīng)法則，就可以得到一個(gè)單值分支

11、 y g1 x ,25 x2 ; 附加“ y 0”的條件，即以“ x2 y2 25且y 0”作為對(duì)應(yīng)法則，就可以得到一個(gè)單值分支y g2(x)V25 x2 .在有些實(shí)際問題中，函數(shù)的自變量與因變量是通過另外一些變量才建立起它們之間的對(duì)應(yīng) 關(guān)系的，如高度為一定值的圓柱體的體積與其底面圓半徑r的關(guān)系，就是通過另外一個(gè)變量其底面圓面積S建立起來的對(duì)應(yīng)關(guān)系.這就得到復(fù)合函數(shù)的概念.定義2 設(shè)函數(shù)y f u的定義域?yàn)镈 f，函數(shù)u g x在D上有定義，且g D D f 則由下式確定的函數(shù)y f g x , x D 稱為由函數(shù)y f u與函數(shù)u g x構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，記作y f g x f g x , x

12、 D , 它的定義域?yàn)镈 ,變量u稱為中間變量.這里值得注意的是，D不一定是函數(shù)u g x的定義域Dg,但D Dg.D是Dg中 所有使得g x D f的實(shí)數(shù)x的全體的集合.例如，y f u u , u g x 1 x2 .顯然， u的定義域?yàn)椋?，而D f (0,).因此，D= 1,1，而此時(shí)R(f g) 0,1 .兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合也可推廣到多個(gè)函數(shù)復(fù)合的情形例如，y xu a"ogax a 0且a 1可看成由指數(shù)函數(shù) y au與u gg ax復(fù)合而成.又形 如y u(x)v(x) av(x)logau(x) u x >0 a 0且a 1的函數(shù)稱為騫指函數(shù)它可看成由y aw與w

13、v(x)log a u(x)復(fù)合而成.而 y Jsinx2可看成由2 一八一一u sin v , v x復(fù)合而成.例5設(shè)f (x) W x是通過兩個(gè)中間變量w和u復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因?yàn)閤xriX1-1x2x-x2x1_x 3x所以3x1,定義3設(shè)給定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) f x中唯一確定的x:,其值域?yàn)橹蹬c之對(duì)應(yīng)，.如果對(duì)于R f中的每一個(gè)y值，都有只從因變量的函數(shù)，稱為函數(shù) y f x的反函數(shù)， 從幾何上看，函數(shù)y f x與其反函數(shù)x則得到一個(gè)定義在 R f上的以y為自變量，x為 記為x f 1 y . 1f y有同一圖像.但人們習(xí)慣上用x表不自變i=f_1 i . t _i=f i . t (

14、r 十、r>>11一 一. .1.重，y表不因變重，因此反函數(shù)x f y常改與成y f x .今后，我們稱 y f x為y f x的反函數(shù).此時(shí)，由于對(duì)應(yīng)關(guān)系 f 1未變，只是自變量與因變量交換了記號(hào)，因此反函數(shù)y f 1 x與直接函數(shù)y f x的圖像關(guān)于直線y x對(duì)稱，如圖1 - 6所示.圖1-6值得注意的是，并不是所有函數(shù)都存在反函數(shù)，例如函數(shù)y x2的定義域?yàn)椋?，值域?yàn)?，?,對(duì)每一個(gè)y 0,有兩個(gè)x值即x Jy和x2百與之對(duì)應(yīng)，因此x不是y的函數(shù)，從而y x2不存在反函數(shù).事實(shí)上，由逆映射存在定理知， 若f是從D f到R f 的映射，則f才存在反函數(shù)f 1 .例 6 設(shè)函

15、數(shù) f (x 1)x 1 ,求 f 1 x 1 .x 1解函數(shù)y f x 1可看成由y f u , u x 1復(fù)合而成.所求的反函數(shù)y f 1 x 1 可看成由y f 1 u , u x 1復(fù)合而成.因?yàn)閤_ u 1f u, u 0,x 1 u即 y u1,從而，u y 11 , u ,u1 y所以因此三、函數(shù)的幾種特性1 .函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)f x在數(shù)集D上有定義，若存在某個(gè)常數(shù)L ,使得對(duì)任一 x D有f x L （或 f x L ）, 則稱函數(shù)f x在D上直上昇一（或有工量）常數(shù)L稱為f x在D上的一個(gè)上界（或下界）； 否則，稱f x在D上無上界一（或無工界）.若函數(shù)f x在D上既有上界

16、又有下界，則稱 f x在D上有界；否則，稱f x在D上無 界.若f x在其定義域D（f）上有界，則稱f x為有界函數(shù).容易看出，函數(shù)f x在D上有界 的充要條件是：存在常數(shù) M：0,使得對(duì)任一 x D,都有f x M .例如，函數(shù)y sin x在其定義域，內(nèi)是有界的，因?yàn)閷?duì)任一 x , 都有一 .一， 1sin x 1,函數(shù)y 一在0,1內(nèi)無上界，但有下界.x從幾何上看，有界函數(shù)的圖像界于直線y M之間.2 .函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)f x在數(shù)集D上有定義，若對(duì) D中的任意兩數(shù)x1,x2 （x1 x2），恒有 f x1 f x2或 f x1 f x2 ,則稱函數(shù)f x在D上是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的

17、 .若上述不等式中的不等號(hào)為嚴(yán)格不等號(hào), 則稱為產(chǎn)贊里遇埴如或嚴(yán)格單調(diào)減少）.一的 .在定義域上單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)例如，函數(shù) f x x3在其定義域，內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加的；函數(shù) f x cosx在（0,城內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)減少的.從幾何上看，若y f x是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則任意一條平行于x軸的直線與它的圖像最多交于一點(diǎn)，因此y f x有反函數(shù).3 .函數(shù)的奇偶性若對(duì)任意設(shè)函數(shù)f x的定義域D f關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(即若 x D f ,則必有 x D f 的x D f ,都有f x fx 或 f x f x ,則稱f x是D f上的奇函數(shù)(或偶函數(shù))例7 討論函數(shù)f x ln x V1 尸的奇偶

18、性.解函數(shù)f x的定義域 ，是對(duì)稱區(qū)間，因?yàn)閒 x ln x , 1 x2In x 1 x2ln 1 =x 、1 x2f x所以，f x是上的奇函數(shù)4 .函數(shù)的周期性D f ,有T稱為T T （如設(shè)函數(shù)f x的定義域?yàn)镈 f ,若存在一個(gè)不為零的常數(shù)T ,使得對(duì)任意x(x T) D (f),且f (x T) f (x)，則稱f x為周期函數(shù),.其中使上式成立的常數(shù) f x的周期通常，函數(shù)的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正數(shù) 果存在的話).例如，函數(shù)f (x) sin x的周期為2n；f x tan x的周期是兀.并不是所有函數(shù)都有最小正周期，例如，狄利克雷( Dirichlet)

19、函數(shù)1, x為有理數(shù)，D(x) 0, x為無理數(shù).任意正有理數(shù)都是它的周期，(!此函數(shù)沒有最小正周期四、函數(shù)應(yīng)用舉例下面通過幾個(gè)具體的問題，說明如何建立函數(shù)關(guān)系式例8火車站收取行李費(fèi)的規(guī)定如下： 當(dāng)行李不超過50千克時(shí)，按基本運(yùn)費(fèi)計(jì)算.如從上海 到某地每千克以0.15元計(jì)算基本運(yùn)費(fèi)，當(dāng)超過 50千克時(shí)，超重部分按每千克 0.25元收費(fèi).試求 上海到該地的行李費(fèi) y (元)與重量x (千克)之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖像解 當(dāng) 0 x 50 時(shí)，y 0.15x ;當(dāng) x 50 時(shí)，y 0.15 50 0.25(x 50).所以函數(shù)關(guān)系式為：0.15 x, 0x 50；y 7.5 0.25(x

20、 50), x 50.這是一個(gè)分段函數(shù)，其圖像如圖1 9所示.例9某人每天上午到培訓(xùn)基地 A學(xué)習(xí)，下午到超市B工作，晚飯后再到酒店 C服務(wù)，早、 晚飯?jiān)谒奚岢?，中午帶飯?jiān)趯W(xué)習(xí)或工作的地方吃 .A, B, C位于一條平直的馬路一側(cè)，且酒店在基地與超市之間，基地與酒店相距3km,酒店與超市相距 5km,問該打工者在這條馬路的 A與B之間何處找一宿舍(設(shè)隨處可找到)，才能使每天往返的路程最短 .解 如圖1-10所示，設(shè)所找宿舍 D距基地A為x (km),用f (x)表示每天往返的路程函當(dāng)D位于A與C之間，即0 x 3時(shí)，易知 f x x 8 (8 x)當(dāng)D位于C與B之間，即3 x 8時(shí)，則 f x

21、x 8 (8 x)所以2 3 x2(x 3)22 2x ,10 2x.這是一個(gè)分段函數(shù)，如圖f (x)2 2x,0 x 3;10 2x,3 x 8.1-11所示，在0,3上,f x是單調(diào)減少，在3,8上，f x是單調(diào)增加.從圖像可知，在x 3處，函數(shù)值最小.這說明，打工者在酒店 C處找宿舍，每天走的 路程最短.五、基本初等函數(shù)初等數(shù)學(xué)里已詳細(xì)介紹了募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)，以上我 們統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).它們是研究各種函數(shù)的基礎(chǔ).為了讀者學(xué)習(xí)的方便，下面我們?cè)賹?duì)這幾類 函數(shù)作一簡(jiǎn)單介紹.1.募函數(shù)函數(shù)y x 11 （ 是常數(shù)） 稱為募函數(shù).哥函數(shù)y x也的定義域隨的不同而

22、異，但無論M何值，函數(shù)在0,內(nèi)總是有定義的.當(dāng)科0時(shí)，y x11在0,上是單調(diào)增加的，其圖像過點(diǎn)（0,0）及點(diǎn)1,1 ,圖1-12列出了科2，科1,科2時(shí)哥函數(shù)在第一象限的圖像 .1當(dāng)科0時(shí)，y x% 0,上是單調(diào)減少的，其圖像通過點(diǎn)1,1 ，圖1-13列出了科-,科1,科2時(shí)哥函數(shù)在第一象限的圖像 .圖 1-12圖 1-132.指數(shù)函數(shù)函數(shù)xy a （a是常數(shù)且a 0, a 1）稱為指數(shù)函數(shù)Xa是單倜減少的，如圖 1-14所本.指數(shù)函數(shù)yax的定義域是，圖像通過點(diǎn)0,1 ,且總在x軸上方.當(dāng)時(shí)a 1, y ax是單調(diào)增加的；當(dāng)0 a 1時(shí)，y 以常數(shù)e 271828182L為底的指數(shù)函數(shù)是科

23、技中常用的指數(shù)函數(shù)3.對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y ax的反函數(shù)，記作y 10g ax 稱為對(duì)數(shù)函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)y log ax的定義域?yàn)?0,當(dāng)0 a 1時(shí)，y log ax單調(diào)減少，如圖 科學(xué)技術(shù)中常用以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)（a是常數(shù)且a 0,a 1）,圖像過點(diǎn)1,0 .當(dāng)a 1時(shí),1-15所示.y log ax單調(diào)增加;它被稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)，簡(jiǎn)記作y 1n x .另外以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y 10g 10x , 也是常用的對(duì)數(shù)函數(shù)，簡(jiǎn)記作y 1 gx .4.三角函數(shù)常用的三角函數(shù)有正弦函數(shù)y sin x ,余弦函數(shù)y cosx , 4«1, -rf-正切函數(shù)y tanx ,金切HIL y cot

24、x ,其中自變量x以弧度作單位來表示.它們的圖形如圖1-16,圖1- 7,圖1- 8和圖1-19所示，分別稱為正弦曲線，余弦曲線,WMWWWWWWMWW'WMIWWWMW正切曲線和余切曲線.圖 1-16圖 1-17正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以2n為周期的周期函數(shù)，它們的定義域都為，值域都為1,1 .正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).弦曲線y cosx .正切函數(shù)y tan x in-x-的定義域?yàn)?cosxD f x |x R, x (2n 1),n為整數(shù).余切函數(shù)y cotx壁區(qū)的定義域?yàn)閟in xD f x| x R, x n%n為整數(shù).正切函數(shù)和余切函數(shù)的值域都是，且它們都是以兀為

25、周期的函數(shù)，且都是奇函數(shù)另外，常用的三角函數(shù)還有正割函數(shù) y secx ；余割函數(shù) y cscx .它們都是以2n為周期的周期函數(shù)，且11secx - cscx cosx 'sin x5.反三角函數(shù)反正弦函數(shù)yarcsin x（如圖 1-20）;反余弦函數(shù)yarccos x（如圖 1-21）;反正切函數(shù)yarctan x（如圖 1-22）;反余切函數(shù)yarccot x（如圖 1-23）.它們分別稱為三角函數(shù)y sin x ,y cosx , y tanx 和 y cotx 的反函數(shù)常用的反三角函數(shù)有這四個(gè)函數(shù)都是多值函數(shù).嚴(yán)格來說，根據(jù)反函數(shù)白概念，三角函數(shù) y sin x , y c

26、osx , y tanx和y cot x在其定義域內(nèi)不存在反函數(shù)，因?yàn)閷?duì)每一個(gè)值域中的數(shù)y ,有多個(gè)x與之對(duì)應(yīng).但這些函數(shù)在其定義域的每一個(gè)單調(diào)增加 （或減少）的子區(qū)間上存在反函數(shù).例如，y sinx在閉區(qū)間里,工 上單調(diào)增加，從而存在反函數(shù)，稱此反函數(shù)為反正弦函數(shù)2 2arcsin x的主值,記作y arcsinx.通常我們稱y arcsin x為反正弦函數(shù).其定義域?yàn)?,1 ,值域?yàn)楣?工.反正2 2弦函數(shù)y arcsin x在 1,1上是單調(diào)增加的，它的圖像如圖1-20中實(shí)線部分所示類似地，可以定義其他三個(gè)反三角函數(shù)的主值它們分別簡(jiǎn)稱為反余弦函數(shù)，反正切函數(shù)和反余切函數(shù)y arccosx

27、, y arctan x 和 y arccot x ,反余弦函數(shù)y arccos x的定義域?yàn)?其圖像如圖1-21中實(shí)線部分所示.反正切函數(shù)y arctan x的定義域?yàn)榧拥模鋱D像如圖1- 22中實(shí)線部分所示反余切函數(shù)y arccot x的定義域?yàn)?的，其圖像如圖1-23中實(shí)線部分所示.1,1 ，值域?yàn)?0,兀，在 1,1上是單調(diào)減少的,上是單調(diào)增，值域?yàn)椋?,同，在上是單調(diào)減少圖 1-21圖 1-22圖 1-23六、初等函數(shù)sin xx2 1有些分由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到并且能用一個(gè)式子表示的函數(shù)， 稱為加笑更婺.例如,y 3x2 sin4x , y ln x J

28、i x2 , y arctan2 x3 Jlg(x_11) 等等都是初等函數(shù).分段函數(shù)是按照定義域的不同子集用不同表達(dá)式來表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的， 段函數(shù)也可以不分段而表示出來，分段只是為了更加明確函數(shù)關(guān)系而已.例如，絕對(duì)值函數(shù)也可以表示成y xJI_2 ；函數(shù)f (x)1' * a，也可表示成f(x)- i M(x)- .這兩個(gè)函0, x a2 x a數(shù)也是初等函數(shù).七、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)1 .雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)是工程和物理問題中很有用的一類初等函數(shù).定義如下:雙曲正弦次四金芨一雙曲正切其圖像如圖shxchxthxex ex2xxe e2xshx echx),)， x1-24和圖1-25所示

29、圖 1-24圖 1-25），它是奇函數(shù)，其圖像通過原點(diǎn) 0,0且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)雙曲正弦函數(shù)白定義域?yàn)椋?x稱.在（ x ）內(nèi)單調(diào)增加.雙曲余弦函數(shù)白定義域?yàn)椋▁），它是偶函數(shù)，其圖像通過點(diǎn) 0,1且關(guān)于y軸對(duì)稱,在 ,0內(nèi)單調(diào)減少；在 0,內(nèi)單調(diào)增加.雙曲正切函數(shù)白定義域?yàn)椋▁），它是奇函數(shù)，其圖像通過原點(diǎn) 0,0且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.在（ x ）內(nèi)是單調(diào)增加的.由雙曲函數(shù)的定義，容易驗(yàn)證下列基本公式成立sh x y shxchy chxshy ,ch x y chxchy shxshy ,sh2x 2shx chx , ch2x ch2x sh2x 1 2sh2x 2ch2x 1 , 22ch x s

30、h x 1 .2 .反雙曲函數(shù)shx , y chx和y th x的反函數(shù)，依次記為,，它是奇函數(shù)，在 ， 內(nèi)單調(diào)增加，y arsh x的圖像，如圖1-26所示.利用求反函數(shù)雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反及曲班數(shù)?y 區(qū)雙曲正茗理藜.yarshx ,反雙曲余弦函數(shù)yarchx ,反雙曲正切函數(shù)yarthx .反雙曲正弦函數(shù)y arsh x的定義域?yàn)橛蓎 shx的圖像，根據(jù)反函數(shù)作圖法，可得的方法，不難得到y(tǒng) arsh x lnx x2 1反雙曲余弦函數(shù) y arch x的定義域?yàn)?, ，在1, 利用求反函數(shù)的方法，不難得到y(tǒng) archx ln x x2 1上單調(diào)增加，如圖 1-27所示,反雙曲正切函數(shù)

31、y artanh x的定義域?yàn)椋?,1）,它在（1,1）內(nèi)是單調(diào)增加的其圖像關(guān)于原點(diǎn)（0,0）對(duì)稱，如圖1-28所示.容易求得y arth x ln 1-x1 x.它是奇函數(shù),第二節(jié)數(shù)列的極限、數(shù)列極限的定義，、. t t-T-t st/- r- r t ， 、 .» r r、*.定乂 1 如果函數(shù)f的定乂域Df N 1,2,3,L ,則函數(shù) f的值域f N f n |n N 中的元素按自變量增大的次序依次排列出來，就稱之為一個(gè)無窮數(shù)列。簡(jiǎn)稱數(shù)列2即f 1，f 2 ,L ,f n ,L .通常數(shù)列也寫成X1, X2,L ,Xn,L ,并簡(jiǎn)記為Xn ,其中數(shù) 列中的每個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，而

32、Xn f n稱為二:般項(xiàng)一.對(duì)于一個(gè)數(shù)列，我們感興趣的是當(dāng)n無限增大時(shí)，Xn的變化趨勢(shì).我們看下列例子：數(shù)列；2,L , e ,L 2 3 n 1的項(xiàng)隨n增大時(shí)，其值越來越接近 1;數(shù)列 2,4,6,L ,2n,L的項(xiàng)隨n增大時(shí)，其值越來越大，且無限增大；數(shù)列 1,0,1,L ,1 ( 1) ,L(1 2 1)(1 2 2)n的各項(xiàng)值交替地取1與0;n 1數(shù)列 1, 1,1,L ,1 ,L2 3 n的各項(xiàng)值在數(shù)0的兩邊跳動(dòng)，且越來越接近0;數(shù)列 2,2,2,L ,2,L各項(xiàng)的值均相同.在中學(xué)教材中，我們已知道極限的描述性定義,(1 23)(1 一 2 一 4)(1 25)的一般項(xiàng)Xn無限地趨近

33、于某一個(gè)常數(shù)a (即 xn極限”.于是我們用觀察法可以判斷數(shù)列U ,n即“如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，無窮數(shù)列xn 無限地接近于0),那么就說a是數(shù)列Xn的 (二，2都有極限，其極限分別為1,0,2.n但什么叫做“ xn無限地接近a”呢？在中學(xué)教材中沒有進(jìn)行理論上的說明我們知道，兩個(gè)數(shù)a與b之間的接近程度可以用這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值b a來度量.在數(shù)軸上b a表示點(diǎn)a與點(diǎn)b之間的距離，b為a越小，則a與b就越接近，就數(shù)列（1-2-1）來說，因Xn我們知道，當(dāng)n越來越大時(shí)，-越來越小, n從而Xn越來越接近1.因?yàn)橹灰猲足夠大，Xn就可以小于任意給定的正數(shù)，如現(xiàn)在給出一個(gè)很小的正數(shù)Xn 1 福，n 1

34、01,102,L如果給定，則從10001項(xiàng)起，都有下面不等式 10000Xn110000成立.這就是數(shù)列Xn一般地，對(duì)數(shù)列定義2設(shè)Xnn 1-n- (n 1,2,L ),當(dāng)Xn有以下定義.若存在常數(shù)時(shí)無限接近于1的實(shí)質(zhì).a對(duì)任意給定的正數(shù)e（無論多么?。?，總存在正整數(shù)N ,當(dāng)n N時(shí)，有不等式即XnU （a,九則稱數(shù)列 XnXn a收斂，a稱為數(shù)列l(wèi)im Xn a 或Xn n nXn當(dāng)n-8時(shí)的極限，.記為若數(shù)列Xn不收斂，則稱t數(shù)列發(fā)散一.定義中的正整數(shù) N與泊關(guān), 顯然，如果已經(jīng)證明了符合要求的般說來，N將隨e減小而增大，這樣的 N也不是唯一的.N存在，則比這個(gè)N大的任何正整數(shù)均符合要求,

35、關(guān)數(shù)列極限的敘述中， 如無特殊聲明，N均表示正整數(shù).此外，由鄰域的定義可知,在以后有xn U a, e等價(jià)于Xn a£.我們給“數(shù)列Xn的極限為a” 一個(gè)幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列X1,X2,X3,L ,Xn,L在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的&鄰域，即開區(qū)間（a *”如圖1-29所示2tL因兩個(gè)不等式圖 1-29|xn a| e, a e xn a &等價(jià)，所以當(dāng)n N時(shí)，所有的點(diǎn)Xn都落在開區(qū)間（aN個(gè)點(diǎn)）在這區(qū)間以外.為了以后敘述的方便，我們這里介紹幾個(gè)符號(hào)，符號(hào)“,a9內(nèi)，而只有有限個(gè)點(diǎn)（至多只有有的”或“對(duì)于每一個(gè)“；符號(hào)“”表示存在&quo

36、t;；符號(hào)“”表示“對(duì)于任意的”、“對(duì)于所 maX X "表示數(shù)集X中的最大數(shù)；符號(hào)"min X ”表示數(shù)集X中的最小數(shù).數(shù)列極限lim Xn a的定義可表達(dá)為: nlim Xn a e 0,正整數(shù) N ,當(dāng) n N 時(shí)，有 Xn a£.n因此,因此,證明nim會(huì)£ 0(不防設(shè)0,取N證明由于0.1),ln要使.12n/ln2limn-cos -cos 0.n兀 cos412nlim -1 n 2N時(shí),e,只要 2n1 ,即 n (ln£N時(shí)，有0.0,要使一 cos一一 cos -)/ln2 .£e.由極限定義可知0&由極限

37、定義可知.1 n R lim cos 用極限的定義來求極限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，將逐步介紹其他求極限的方 法.二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1 (惟一性)若數(shù)列收斂，則其極限惟一.證 設(shè)數(shù)列Xn收斂，反設(shè)極限不惟一：即lim xn a , lim xn b,且a b ,不妨設(shè)a b , nn由極限定義，取 e bya ,則 N1>0,當(dāng)n N1時(shí)，xn a<bya,即3a b / a b< xn<,(1-2-6)2 n 2b a N2 0 ,當(dāng) n N2 時(shí)，xn b <ba ,即2 a b - - 3b a"2<xn<2,(1-2-7)

38、取N max N1 ,N2 ,則當(dāng)n N時(shí)，(1-3-6), (1-3-7)兩式應(yīng)同時(shí)成立，顯然矛盾 .該矛盾證明 了收斂數(shù)列xn的極限必惟一.定義3 設(shè)有數(shù)列xn ,若存在正數(shù) M ,使對(duì)一切n 1,2,L ,有xn M ,則稱數(shù)列xn是有界的，否則稱它是無界的.對(duì)于數(shù)列xn ,若存在常數(shù) M ,使對(duì)n 1,2,L，有xn M ,則稱數(shù)列x0有上界一；若存在常數(shù)M ,使對(duì)n 1,2,L，有xn M ,則稱數(shù)列 x0有下界.顯然，數(shù)列xn有界的充要條件是xn既有上界又有下界.例3 數(shù)列- 有界；數(shù)列 n2有下界而無上界；數(shù)列 n2有上界而無下界；數(shù)列 n2 1定理2 （有界性）若數(shù)列Xn收斂，

39、則數(shù)列Xn有界.證 設(shè)lim Xn a ,由極限定義，£ 0 ,且£ 1 , N 0 ,當(dāng)n N時(shí)，|Xn a| £ 1 ,n從而|xn <1耳.取 M max 1 a,xJ,X2 , ,xN| ,則有 M ,對(duì)一切 n 1,2,3,L ,成立，即 Xn 有 界.定理2的逆命題不成立，例如數(shù)列（1）n有界，但它不收斂.定理3 （保號(hào)性）若lim Xn a , a 0 （或a 0）,則 N 0 ,當(dāng)n N時(shí)，Xn 0 （或nXn °）.證由極限定義，對(duì)£ 2 0, N 0,當(dāng)n N時(shí)，Xn a "2,即"2 Xn |a

40、,故當(dāng)n N 時(shí)，Xn 2 0.類似可證a 0的情形.推論 設(shè)有數(shù)列 Xn , N 0 ,當(dāng)n N時(shí)，Xn 0 （或Xn 0）,若ljmXn a,則必有a 0 （或 a 0 ）.在推論中，我們只能推出a 0 （或a 0）,而不能由Xn 0 （或Xn 0）推出其極限（若存在）也大于0（或小于0）.例如X0 ,但 lim Xn lim 10 .nn n n卜面我們給出數(shù)列的子列的概念定義4 在數(shù)列Xn中保持原有的次序自左向右任意選取無窮多個(gè)項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列,稱它為Xn的一個(gè)子列. n在選出的子列中，記第 1項(xiàng)為Xn1 ,第2項(xiàng)為Xn2，第k項(xiàng)為Xnk ,，則數(shù)列 X。的 子列可記為 Xnk *表

41、示Xnk在子列Xnk中是第k項(xiàng)，上表示X n在原數(shù)列Xn中是第1項(xiàng).顯 kkkk然，對(duì)每一個(gè)k ,有nk k ；對(duì)任意正整數(shù)h , k ,如果h k ,則必 拆；若之 明，則h k 由于在子列Xnk中的下標(biāo)是k而不是時(shí),因此Xnk收斂于a的定義是： £ 0, K 0, 當(dāng)k K時(shí)，有*叫a £.這時(shí)，記為kim Xnk a .定理4 lim% a的充要條件是：Xn的任何子列Xn 都收斂，且都以a為極限.kk證 先證充分性.由于Xn本身也可看成是它的一個(gè)子列，故由條件得證 下面證明必要性.由limXn a,£ 0, N 0,當(dāng)n N時(shí)，有kXn a < S.今

42、取K N ,則當(dāng)k K時(shí)，有nk nK nN N ,于是Xnk a &故有l(wèi)im Xna.k k定理4用來判別數(shù)列Xn發(fā)散有時(shí)是很方便的.如果在數(shù)列Xn中有一個(gè)子列發(fā)散，或者 有兩個(gè)子列不收斂于同一極限值，則可斷言Xn是發(fā)散的.例4判別數(shù)列 sin譬,n N*的收斂性.8解在Xn中選取兩個(gè)子列：sin8k, k N816k 4 sin87t-,k20 71sin16k 4 兀_8顯然，第一個(gè)子列收斂于0,而第二個(gè)子列收斂于1,因此原數(shù)列sin皆發(fā)散.三、收斂準(zhǔn)則定義5 數(shù)列Xn的項(xiàng)若滿足X1 X2 LXnXn 1 L ,則稱數(shù)列Xn為單調(diào)增加數(shù)列工若滿足X1 X2立時(shí)，則分別稱收斂準(zhǔn)則

43、Xn 1 L ,則稱數(shù)列 X為單調(diào)減少數(shù)列.當(dāng)上述不等式中等號(hào)都不成是嚴(yán)格單調(diào)增加和嚴(yán)格單調(diào)減少數(shù)列.單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限該準(zhǔn)則的證明涉及較多的基礎(chǔ)理論，在此略去證明n例5證明數(shù)列 11 收斂.n證根據(jù)收斂準(zhǔn)則，只需證明n1 單調(diào)增加且有上界（或單調(diào)減少且有下界） n由二項(xiàng)式定理，我們知道(1 / 111 1 (12!'11-)1(1n， 3!'nn)(1z 1Cn - n逐項(xiàng)比較(1 n1 Cn2)C2L -(1 n!'112(n 1)12力1PL (1n 1、RCn111n 1(n 1)-1(1 n!1點(diǎn)11n 11 、1 “)

44、(11 3!'12n)(1ni)(11) L(1(n 1)!(1 -4n 1)(11)(11)，Xn與Xn 1的每一項(xiàng),XnXn12!1213i1221 n!12n12n12n 13.n1 - 收斂.nn即數(shù)列 11 有界，由收斂準(zhǔn)則可知nn我們將 1 -的極限記為e,即nn lim 1 1 e.n n第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)概念反映了客觀事物相互依賴的關(guān)系.它是從數(shù)量方面來描述這種關(guān)系，但在某些實(shí)際問題中，僅僅知道函數(shù)關(guān)系是不夠的，還必須考慮在自變量按照某種方式變化時(shí)，相應(yīng)的函數(shù) 值的變化趨勢(shì)，即所謂的函數(shù)極限，才能使問題得到解決.正如我們對(duì)數(shù)列極限的定義，數(shù)列xn 可看做自變量為正整

45、數(shù) n的函數(shù)： * xn f n , nN,所以，數(shù)列的極限可視為函數(shù)極限的特殊類型.下面介紹函數(shù)極限的一般類型 .x 時(shí)函數(shù)的極限當(dāng)自變量x的絕對(duì)值無限增大時(shí)，函數(shù)值無限地接近一個(gè)常數(shù)的情形與數(shù)列極限類似，所 不同的只是自變量的變化可以是連續(xù)的.定義1設(shè)函數(shù)f x在區(qū)間a,)上有定義，如果存在常數(shù) A,對(duì)于任意給定的正數(shù) e(無 論它多么小)，總存在正數(shù)X ,使得當(dāng)x滿足不等式x X時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f x都滿足不等 式f x A e,那么，稱函數(shù)f x當(dāng)x趨于+8時(shí)極限存在并以 a為極限，記作lim f (x) A 或 f (x) A (x ).在定義中正數(shù)X的作用與數(shù)列極限定義中的正整數(shù)

46、N類似，說明x足夠大的程度，所不同 的是，這里考慮的是比 X大的所有實(shí)數(shù)x，而不僅僅是自然數(shù) n ,因此，當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)f x 以A為極限意味著：A的任何鄰域必含有f在某個(gè)區(qū)間 X, 的所有函數(shù)值.定義1的幾何意義如圖1-30所示，作直線y A e和y A e,則總有一個(gè)正數(shù) X存在， 使得當(dāng)x X時(shí)，函數(shù)y f x圖形位于這兩條直線之間.時(shí)函數(shù)的極限的概念,類似于定義1,我們定義x趨于區(qū)間(,a上有定義，如果存在常數(shù)£ 0, A則稱f時(shí)極限存在并以A為極限，記作1 證明limxcosxx由于cosx要使因此， £則當(dāng)證明0,可取時(shí),lim 10xx0,即有10x0<

47、定義論它多么小)那么，常數(shù)由定義定理1lim f (x) x0.A 或 f (x) A (x只要1-X-12 ，£cosxx£>0,0.要使10x 0故由定義1得cosx lim x10x0.E,只要limx我們簡(jiǎn)述如下：設(shè)函數(shù)使得當(dāng)x X時(shí)，總有).x lg e.因此可取X |l g e| 1 ,當(dāng)x X時(shí),10x 0.設(shè)函數(shù)f x當(dāng)|x充分大時(shí)有定義，如果存在常數(shù) A,對(duì)于任意給定的正數(shù) e(不總存在正數(shù)X ,使得當(dāng)x滿足不等式f (x) AA就稱為函數(shù)f x當(dāng)x時(shí)的極限,I I 1 1 n i ,ii 1*01*x > X時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f x都滿足不等3

48、記作lim f (x) A 或 f (x) x1、定義2及絕對(duì)值性質(zhì)可得下面的定理lim f (x) A的充要條件是lim f (x) xxA (x ).Jim f (x) A例3證明lim U 1 . x x 1證 £ 0 ,要使X-2 1 x 1即 x >1 3. £因此， £ 0 ,可取X 1二、x X0時(shí)函數(shù)的極限對(duì)一般函數(shù)而言，除了考察自變量x的絕對(duì)值無限增大時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)問題，還可研究x無限接近xo時(shí)，函數(shù)值f x的變化趨勢(shì)問題.它與x時(shí)函數(shù)的極限類似，只是 x的趨向不同，因此只需對(duì) x無限接近xo時(shí)f x的情形作出確切的描述即可.定義3設(shè)

49、函數(shù)f x在點(diǎn)xo的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，A為常數(shù)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)e (無論它多么小)，總存在正數(shù)使得當(dāng)x滿足不等式0 x xo8時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f x都滿足f(x) A 3 則稱函數(shù)f x當(dāng)x xo時(shí)的極限存在并以 A為極限，記作lim f (x) A ,或 f x A ( x x0 時(shí)). x xo上述定義稱為x xo時(shí)函數(shù)極限的分析定義或 x xo時(shí)函數(shù)極限的“ £ B”定義.研究f x當(dāng) x xo的極限時(shí)，我們關(guān)心的是x無限趨近xo時(shí)f x的變化趨勢(shì)，而不關(guān)心f x在x xo處 有無定義、其值的大小如何，因此定義中使用了去心鄰域.這就是說f x在x xo處有無極限與函數(shù)

50、在該點(diǎn)有沒有定義無關(guān) .函數(shù)f x當(dāng)x xo時(shí)的極限為 A的幾何解釋如下：任意給定一正數(shù)£,作平行于x軸的兩條直線y A £和y A 3介于這兩條直線之間是一橫條區(qū)域.根據(jù)定義，對(duì)于給定的£,存在著點(diǎn)xo的一個(gè)B鄰域(xo B, xo B),當(dāng)y f x的圖形上的點(diǎn)的橫坐標(biāo) x在鄰域(x° B, xo B)內(nèi)，但x xo時(shí)，這些點(diǎn)的縱坐標(biāo)f(x)滿足不等式f (x) A 3 或 A £ f (x) A £.亦即這些點(diǎn)落在上面所作的橫條區(qū)域內(nèi)，如圖1-31所示.3,則當(dāng)£>X時(shí)，有例4證明則。2.1 >3屋而x 1

51、 x1>3,£八故由定義2得xim汨J 一)36 A圖 1-312證函數(shù)f (x ) x一1在x1處無定義.x 1X 1 I < e成立.2e成立,因此， £ 0,據(jù)上可取B £,則當(dāng)0 x 1<8時(shí)，一1 x 1由定義1得lim x一1 2 . x 1 x 1例 5 證明 lim sin x sin x0.x x00證 因?yàn)閤O 0時(shí)，由于sin x x , cosx 1,所以|sin xsin x0|o x2 cos x0 . xsin 一2x0x x0因此， e 0,取B 。則當(dāng)0 x x。8時(shí)，|sinx sinx0| 城立，由定義 3得

52、lim sinx sin x0. x x0在考察函數(shù)f x當(dāng)xx0的極限時(shí)，應(yīng)注意 x趨于點(diǎn)x0的方式是任意的，動(dòng)點(diǎn) x在x軸上既可以從x0的左側(cè)趨于x°,也可以從x0的右側(cè)趨于x°,甚至可以跳躍式地時(shí)左時(shí)右地從左 右兩側(cè)趨于x0.但在有些實(shí)際問題中，有時(shí)只能或只需考慮 x從點(diǎn)x°的一側(cè)(x x0或x x°)趨 于x0,這時(shí)函數(shù)的極限，即所謂的單側(cè)極限.定義4 設(shè)函數(shù)y f x在x0的某個(gè)右(左)鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù)£ (無論它多么小)，總存在著正數(shù)使得當(dāng)x滿足不等式0 x x0 B(0 x° x B)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f x都滿足不等式f (x) A £則稱A為f x當(dāng)x x0時(shí)的右(左)極