解三角形全章教案(整理)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)5 第一章 解三角形第1課時課題: §111正弦定理教學(xué)目標(biāo)知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。過程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應(yīng)用的實踐操作。教學(xué)重點正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。教學(xué)難點已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。教學(xué)過程.課題導(dǎo)入如圖11-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動。 A思考：C

2、的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大。能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ B C .講授新課探索研究 (圖11-1)在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖11-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，又, A則 b c從而在直角三角形ABC中， C a B(圖11-2)思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖11-3，當(dāng)ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高

3、是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則， C同理可得， b a從而 A c B (圖11-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。（證法二）：過點A作， C由向量的加法可得 則 A B ，即同理，過點C作，可得 從而 類似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即理解定理（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，；（2）等價于，從而知正弦定理的基本作用為：已知三角

4、形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。例題分析例1在中，已知，cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，評述：對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器。例2在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。解：根據(jù)正弦定理，因為，所以，或 當(dāng)時， ， 當(dāng)時， ，評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。補充練習(xí)已知ABC中，求（答案：1：2：3）.課時小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)）（1）定理的表示形式：；或，（

5、2）正弦定理的應(yīng)用范圍：已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。第2課時課題: §1.1.2余弦定理教學(xué)目標(biāo)知識與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。教學(xué)重點余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；教學(xué)難點勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。教學(xué)過程.課題導(dǎo)入 C如圖11-4，在ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求邊c b aA c B(圖11-4).講授新課探索研究用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量

6、來研究這個問題。 A如圖11-5，設(shè)，那么，則 C B 從而 (圖11-5)同理可證 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即 思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：理解定理從而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？（由

7、學(xué)生總結(jié)）若ABC中，C=，則，這時由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。例題分析例1在ABC中，已知，求b及A解：=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。例2在ABC中，已知，解三角形解：由余弦定理的推論得：cos；cos；補充練習(xí)在ABC中，若，求角A（答案：A=120）.課時小結(jié)（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的應(yīng)用范圍：已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。第3課時課題: §113解三角形的進一步討論教學(xué)目標(biāo)

8、知識與技能：掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。教學(xué)重點在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。教學(xué)難點正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運用。教學(xué)過程.課題導(dǎo)入思考：在ABC中，已知，解三角形。.講授新課探索研究例1在ABC中，已知，討論三角形解的情況分析：先由可進一步求出B；則從而1當(dāng)A為鈍角或直角時，必須才能有且只有一解；否則無解。2當(dāng)A為銳角時，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若，則有兩解

9、；（2）若，則只有一解；（3）若，則無解。（以上解答過程詳見課本第910頁）評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當(dāng)A為銳角且時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。隨堂練習(xí)1（1） 在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若，則符合題意的b的值有_個。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。（答案：（1）有兩解；（2）0；（3）例2在ABC中，已知，判斷ABC的類型。分析：由余弦定理可知（注意：）解：，即，。隨堂練習(xí)2（1） 在ABC中，已知，判斷ABC的類型。 （2） 已知ABC滿足條件，判斷ABC的類型。 （答案：（1

10、）；（2）ABC是等腰或直角三角形）例3在ABC中，面積為，求的值分析：可利用三角形面積定理以及正弦定理解：由得，則=3，即，從而.課堂練習(xí)（1） 在ABC中，若，且此三角形的面積，求角C（2） 在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積，求角C（答案：（1）或；（2）.課時小結(jié)（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；（2）三角形各種類型的判定方法；（3）三角形面積定理的應(yīng)用。.課后作業(yè)（1） 在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2） 設(shè)x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數(shù)x的取值范圍。（3） 在ABC中，判斷ABC的形狀。（4

11、）三角形的兩邊分別為3cm，5cm,它們所夾的角的余弦為方程的根，求這個三角形的面積。第4課時課題: §2.2解三角形應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實際問題，了解常用的測量相關(guān)術(shù)語教學(xué)重點實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解教學(xué)難點根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖教學(xué)過程.課題導(dǎo)入1、復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？.講授新課（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通

12、過建立數(shù)學(xué)模型來求解例題講解(2)例1、如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)啟發(fā)提問1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運用哪個定理比較適當(dāng)？啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學(xué)生回答。分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得 = AB = = = = 65.7(m

13、)答:A、B兩點間的距離為65.7米變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略：a km例2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設(shè)計一種測量A、B兩點間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在

14、C、D兩點分別測得BCA=，ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得 AC = = BC = = 計算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB兩點間的距離 AB = 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方

15、式。.課時小結(jié)解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解.課題: §2.2解三角形應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)底部不可到達的物體高度測量的問題教學(xué)重點結(jié)合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題教學(xué)難點能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問題的關(guān)鍵條件教學(xué)過程.課題導(dǎo)入提

16、問：現(xiàn)實生活中,人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？今天我們就來共同探討這方面的問題.講授新課范例講解例3、AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法。分析：求AB長的關(guān)鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE的長。解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點在同一條直線上。由在H、G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是、，CD = a，測角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得AC = AB = AE + h = AC+

17、 h = + h例4、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角=54，在塔底C處測得A處的俯角=50。已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD(精確到1 m)師:根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計出解題方案嗎？（給時間給學(xué)生討論思考）若在ABD中求CD，則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？生：需求出BD邊。師：那如何求BD邊呢？生：可首先求出AB邊，再根據(jù)BAD=求得。解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根據(jù)正弦定理, = 所以 AB =解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=將測量數(shù)據(jù)代入上式,得 BD = = 177 (m)CD =BD -BC177-

18、27.3=150(m)答:山的高度約為150米.師：有沒有別的解法呢？例5、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得公路南側(cè)遠處一山頂D在東偏南15的方向上,行駛5km后到達B處,測得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度CD.師：欲求出CD，大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？生：在BCD中師：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件,易計算出哪條邊的長？生：BC邊解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根據(jù)正弦定理, = , BC = 7.4524(km)CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答:山的高度約為1047米.課后作業(yè)1

19、、 為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測得塔頂A的仰角為30，測得塔基B的俯角為45，則塔AB的高度為多少m？答案：20+(m)課題: §2.2解三角形應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)計算角度的實際問題教學(xué)重點能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關(guān)系教學(xué)難點靈活運用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題教學(xué)過程.課題導(dǎo)入范例講解例6、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達到海島C.如果下次航行直接從A

20、出發(fā)到達C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile)學(xué)生看圖思考并講述解題思路教師根據(jù)學(xué)生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理，AC= = 113.15根據(jù)正弦定理, = sinCAB = = 0.3255,所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile補充例1、在某點B處測得建筑物AE的頂

21、端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。師：請大家根據(jù)題意畫出方位圖。生：上臺板演方位圖（上圖）教師先引導(dǎo)和鼓勵學(xué)生積極思考解題方法，讓學(xué)生動手練習(xí)，請三位同學(xué)用三種不同方法板演，然后教師補充講評。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因為 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)DE= x，

22、AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m補充例2、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里

23、/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖建立數(shù)學(xué)模型分析：這道題的關(guān)鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos化簡得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因為sinBAC =BAC =38,或BAC =141（鈍角不合

24、題意，舍去），38+=83答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83方向去追，經(jīng)過1.4小時才追趕上該走私船.課時小結(jié)解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。.課后作業(yè)2、我艦在敵島A南偏西相距12海里的B處,發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西的方向以10海里/小時的速度航行.問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦？（角度用反三角函數(shù)表示）第7課時課題: §2.2解三角形應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)知識與技能：能夠運用

25、正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關(guān)三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用教學(xué)重點推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目教學(xué)難點利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題教學(xué)過程.課題導(dǎo)入創(chuàng)設(shè)情境師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個表達公式。在ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h、h、h，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎?？生：h=bsinC=csinBh=csinA=asinCh=asinB=bsinaA師：根據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公式S=ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC

26、，大家能推出其它的幾個公式嗎？生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解.講授新課范例講解例7、在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角

27、形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。解：（1）應(yīng)用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.590.9(cm)(2)根據(jù)正弦定理， = c = S = bcsinA = bA = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 3.164.0(cm)(3)根據(jù)余弦定理的推論，得cosB = = 0.7697sinB = 0.6384應(yīng)用S=acsinB，得S 41.438.70.6384511.4(cm)例8、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條

28、邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。由學(xué)生解答，老師巡視并對學(xué)生解答進行講評小結(jié)。解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，cosB= =0.7532sinB=0.6578應(yīng)用S=acsinB S .65782840.38(m)答：這個區(qū)域的面積是2840.38m。例3、在ABC中，求證：（1）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè) = = = k顯然 k0，所以 左邊= =右邊（2）根據(jù)余弦定理的推論， 右邊=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左邊變式練習(xí)1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。答案：a=6,S=9;a=12,