2019年高考全國1卷理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷I）理科數(shù)學(xué)、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A=x|x<1,B=x|3x1,則A. ApB x|x 0B. A B RC. A B x|x 1D. Ap B2.如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.正方形內(nèi)切圓中的黑.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A.14花B.-8C.花D.43.設(shè)有下面四個命題心“1Pi :若復(fù)數(shù)z滿足一zR;P2 :.一2若復(fù)數(shù)z滿足zR,P3：若復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足Z1Z2 R ,

2、z2 ；P4 :其中的真命題為A. Pi, P3B. P1 , P4C.P2, P3D. P2, P44 .記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.24S648 ,則an的公差為A.1B.2C.4D.85 .函數(shù)f (x)在(）單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).f(1)1 ,則滿足1 f (x2) 1的x的取值范圍是A. 2,2B. 1,1C. 0,4D.1,31.626 .(1)(1x)展開式中x的系數(shù)為xA.15B.20C.30D.357 .某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和

3、為A.10B.12C.14D.168.右面程序框圖是為了求出滿足3n- 2n>1000的最小偶數(shù)n,那么在 一和匚二I兩個空白框中,可以分別填入A. A>1 000 和 n=n+1B. A>1 000 和 n = n+2C.A 1 000n=n+1D.A 1 000 和門二門+29.已知曲線 Ci: y=cos xC2 : y=sin （2 x+馬工）,則下面結(jié)論正確的是3A.把Ci上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移 個單位長度,6得到曲線C2B.把Ci上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位i2長度，得到曲線C

4、2C.把Ci上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的i 一，一1倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移2長度，得到曲線C2D.把Ci上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的i 一，一1倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移2個單位i2長度，得到曲線C2i0.已知F為拋物線C： y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線li12,直線li與C交于A、B兩點，直線|2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A.i6B.i4C.i2D.i0ii.設(shè)xyz為正數(shù)，且2x3y5z,則A.2x<3y<5zB. 5z<2x<3yC. 3y<5z<2xD. 3y<2x<5zi2.

5、幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了 “解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列 i, i, 2, 1, 2, 4, 1, 2,4, 8, i, 2, 4, 8, i6,，其中第一項是 2°,接下來的兩項是20, 21，再接下來的三項是20, 21，22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù) N : N>i00且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)哥.那么該款軟件的激活碼是A.440B.330C.220D.ii0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知向量a,b的夾角為60°

6、;,|a|=2,|b|=i,則|a+2b|=x2y114. 設(shè)x,y滿足約束條件2xy1,則z3x2y的最小值為xy0215.已知雙曲線C: x2a2當(dāng)1(a>0,b>0)的右頂點為A,以A為圓心，b為半徑做圓A,圓Ab與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點。若/MAN=60°,則C的離心率為16. 如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D,E,F為圓O上的點，ADBC,AECA,AFAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC,CA,AB為折痕折起DBC,AECA,AFAB,使得D,E,F重合，得到三棱錐

7、.當(dāng)ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必'須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.2a17. (12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知ABC的面積為a3sinA(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周長.18. （12分）如圖，在四錐P-ABCD中，AB/CD,且BAPCDP90：.(1)證明：平面PABL平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD90：,求二面角

8、A-PB-C的余弦值.19. （12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(,2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(3,3)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2) 一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3,3)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；(ii)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：經(jīng)計算得

9、X9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95Xi1 1616 i 19.97 , s16x2）20.212,其中 Xi為抽取的第i個零件的尺寸，i1,2,16.用樣本平均數(shù)X作為的估計值？，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計值？，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(？3?,?3?)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和(精確到0.01).附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(,2),則P(3Z3)0.9974,0.9974160.9592,J0.0080.09.20. (12分)x2y23J3已知橢圓

10、C：22-=1(a>b>0),四點Pi(1,1),P2(0,1),P3(T,),P4(1,)ab22中恰有三點在橢圓C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為T,證明：l過定點.21 .已知函數(shù)f(x)ae2x+(a2)ex-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.22 .選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)x3cos.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，(。為參數(shù))，直線l的參數(shù)

11、方程為ysin,xa4t,(t為參數(shù)).y1t,(1)若a=-1，求C與l的交點坐標(biāo)；(2)若C上的點到l的距離的最大值為&7,求a.23.選彳4-5:不等式選講(10分)已知函數(shù)f(x)=)2+ax+4,g(x)=x+1+x-1I.(1)當(dāng)a=1時，求不等式f(x)為(x)的解集；(2)若不等式f(x)為(x)的解集包含T,1,求a的取值范圍高考全國1卷理科數(shù)學(xué)參考答案13.2,314.-515117.解：（1）由題意可得 S ABC -bcsin A22 a . ., 一 _ 2_2,化簡可得 2a 3bcsin A , 3sin A根據(jù)正弦定理化簡可得：2sin2 A 3sin

12、BsinCsin. r . c 2 sin BsinC32 sin BsinC 一（2）由cos Acos AB sin BsinC cos B cosCcosBcosC代入sinBsinC-3sin 3C sinC3sin C cosC21 , 2 _-sin C 2C 6，b用正弦定理可得basin Bsin A故而三角形的周長為3 2.3.18 .解：（1） AB/CD,CDPDAB PD，又 ABPA,PA PDP ,PA、PD都在平面PAD內(nèi)，故而可得 AB(2)不妨設(shè) PA PD AB CDPAD.又AB在平面PAB內(nèi)，故而平面 PAB，平面PAD.2a,以AD中點O為原點，OA為

13、x軸，OP為z軸建立平面直角坐標(biāo)系。故而可得各點坐標(biāo):P 0,0,、. 2a ,A ,2a,0,0 ,B、2a,2 a,0 ,C、,5a,2 a,0因此可得 PA J2a,0, J2a ,PBJ2a,2 a,v2a , PC v2a,2a, .2aPAB的法向量Rx,y,1PBC的法向量明m,n,1故而可得v2ax 、2ax 2ax 2ay0 x2a 01.0,1理可 得42am 2an 、2a 0x. 2am 2an 、, 2a 0m 0.2 'n 2即n2.2°萬，1。因此法向量的夾角余弦值:14cos n1 ,n2Y3.很明顯，這是一個鈍角,3故而可得余弦為19 解：(

14、1) P X 11 P X 01 0,997416 1 0.9592 0.0408由題意可得X 滿足二項分布 X B 16,0.0016因此可得EX16,0.0016160.00160.0256（2） 由（1）可得P X 10.0408 5%屬于小概率事件,故而如果出現(xiàn)（的零件，需要進(jìn)行檢查由題意可得9.97,0.2129.334,10.606 ,故而在9.334,10.606范圍外存在9.22這一個數(shù)據(jù)，因此需要進(jìn)行檢查.此時:9.97 16 9.221510.02 ,115xx0.09.15i120.解：（1）根據(jù)橢圓對稱性可得，P1 （1,1） P4(1不可能同時在橢圓上,P33萬）&#

15、39;P4 （1乎）一定同時在橢圓上'因此可得橢圓經(jīng)過,3P2 91), P3 ( T,)P4(1,代入橢圓方程可得：b1,4-1a2,故而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y21.a244（2）由題意可得直線P2A與直線P2B的斜率一定存在，不妨設(shè)直線P2A為：ykx1,P2B為:ykx11.聯(lián)立y21224k1x8kx0，假設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2此時可得:_2A4A4A，b281k141k2，241k141k此時可求得直線的斜率為:,y2y1kAB22141k14k2T72741k14k1X2X1_8k14k21AB2k當(dāng)kAB兩點重合，不合題意212k8k4k24k24k24k24k2

16、12k2時,因此直線恒過定點2,121.解：（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可得2x2aeXae1當(dāng)a0時,Xae0恒成立，故而函數(shù)恒遞減當(dāng)a0時,XaeeX11In,故而可得函數(shù)在a,ln-上a單調(diào)遞減，在ln1,a上單調(diào)遞增.（2）函數(shù)有兩個零點，故而可得a0,此時函數(shù)有極小值lna要使得函數(shù)有兩個零點，亦即極小值小于1故而可得Ina10a數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)即得到g'alna因此可得函數(shù)有兩個零點的范圍為0,1.將曲線2的參數(shù)方程化為直角方程為土y219直線化為直角方程為y1X1la44(1)當(dāng)a1時，代入可得直線為y131x-,聯(lián)立曲線方程可得:4413yx44x29y292125或x3,故而交點為24y0252124或3,02525點x3cos,到直線yysin,11,一-x1a的距離為d443co