關(guān)于實(shí)數(shù)連續(xù)性的6個(gè)基本定理的互證pdf

1、關(guān)于實(shí)數(shù)連續(xù)性的6個(gè)基本定理的互證中國人民大學(xué)2006級(jí)經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)雙學(xué)位實(shí)驗(yàn)班張磊首先6個(gè)定理表述如下：確界定理：在實(shí)數(shù)系R內(nèi)，非空的有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界存在.單調(diào)有界原理：若數(shù)列xn單調(diào)上升有上界，則xn必有極限.區(qū)間套定理：設(shè)an,bnJ是一個(gè)區(qū)間套，則必存在唯一的實(shí)數(shù)r,使得r包含在OC所有的區(qū)間里，即rAan,bnn=4有限覆蓋定理：實(shí)數(shù)閉區(qū)間a,b的任一覆蓋E,必存在有限的子覆蓋.緊致性定理：有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列.柯西收斂定理：在實(shí)數(shù)系中，數(shù)列卜0有極限存在的充分必要條件是：£>0,N,當(dāng)naN,maN時(shí)，有|xn-xm|<&一、確界定理

2、證明其他定理1、確界定理證明單調(diào)有界定理證明：設(shè)<xn是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列.由確界定理可得，r,使r=sup',xn.n，有xn<r,并且£>0,xN，有xN>r-£n>N，有r-£<xn<xn<r,即|xn-r|<£2、確界定理證明區(qū)間套定理證明：由bn十，為十】L,bn，知an是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列，bn是單調(diào)下降有下界的數(shù)列且bl是an的上界，ai是bn的下界.設(shè)liman=r,limbn=r'由n8nT8確界定理對(duì)單調(diào)有界定理的證明知r=supan,rz=infbn.由l

3、im（bn-an）=0得r-r=0即r-r=supian=infbnnco88最后證明唯一性.若有r,r，滿足rPlIan,bn,r'Q*,bn,則n1n1|r-r'|wbn-an-0(n囚故r=r，.即這樣的r是唯一的.定理證完.3、確界定理證明致密性定理.證明：證明：設(shè)數(shù)列Xn是有界數(shù)列.定義數(shù)集A=x|xn中大于x的點(diǎn)有無窮多個(gè)Gn有界A有上界且非空.由確界定理可得r,使r=supA.則£>0,有r-e不是A的上界.xn中大于r-£的項(xiàng)有無窮多個(gè).r+e是A的上界xn中大于r十e的項(xiàng)只有有限個(gè).在(r-£,r+e)中有xn的無窮多項(xiàng)，即

4、c>0,n,n>N,使xn(r-£,r+£)對(duì)£=1,L,使xni(r-1,r+1),即|"-r|<1取£二一12，n2An1,有|%2-r|<12，如此繼續(xù)下去，取e=,nk>nk-1，有|xnk-r|<°k,由此得到xn的子數(shù)列xnk,當(dāng)k一8時(shí)，xnk-rxn存在收斂子數(shù)列.定理證完4、確界定理證明柯西收斂原則.證明：首先證明基本列必有界，取E<1,必有一正整數(shù)，當(dāng)m,n>N0時(shí)，有xm-xj<1,特別的當(dāng)n>N0且m=N0+1時(shí)，有xn-xno力<1從而當(dāng)nN0

5、時(shí)，有xn<xn-xN0書+xN01<1+xN0書這就證明了的有界性.記A=XXn中大于x的有無窮項(xiàng)顯然A為有界集合，則由確界定理知A有上確界記B=supA.則O0,滿足Xn>B-由勺有無窮多項(xiàng)，且XnAB+由勺有有限項(xiàng)所以xn中有無窮多項(xiàng)滿足B-£<Xn<P+££>0,N>0,當(dāng)nN時(shí)，Xn-卜limXn=Bnco5、確界定理證明有限覆蓋定理證明：設(shè)E是閉區(qū)間a,b的一個(gè)覆蓋.定義數(shù)集A=xla,b】|區(qū)間a,x在E中存在有限子覆蓋從區(qū)間的左端點(diǎn)x=a開始.由于在E中有一個(gè)開區(qū)間覆蓋a,因此a及其右側(cè)充分鄰近的點(diǎn)均在A中

6、.這就保證了數(shù)集A是非空的.從數(shù)集A的定義可見，若XA,則整個(gè)區(qū)間a,xA.若A無上界，則bA,那么a,b在E中存在有限子覆蓋.若A有上界，由確界定理可得r,使r=supA.x?r都有xA.事實(shí)上，(r-x)>0,y,s,ty>r-(r-x)=x.a,y在E中存在有限子覆蓋，a,xa,V在E中存在有限子覆蓋下證b<r.用反證法.如果不然，rwb,則ra,b.因此，在E中存在有一開區(qū)間覆蓋Ea覆蓋r.a0,b0Ea,使a。<r<b0.由上面論證知a0A,也即區(qū)間a,a0在E中存在有限子覆蓋，向這個(gè)有限子覆蓋再加上開區(qū)間Ea,即成為a，b的覆蓋.b0A,與r=supA

7、矛盾.定理證完.、單調(diào)有界定理證明其他定理1、單調(diào)有界定理證明確界定理證明1：已知實(shí)數(shù)集A非空.aA,不妨設(shè)a不是2/勺上界，另外，知b是A的上界，記ai=a,bi=b,用ai,bi的中比2一二二等分b|,bi，如果a_b、B,則%2；如果albA,則取a=2aibi如此繼續(xù)下去，使得兩用序列anbn.其中anA單調(diào)上升有上界（例如從），bnB單調(diào)下降有下界（例如ai）并口n-an=1（n）.由單調(diào)有界定理，知2r,使liman=r.由lim(bn-an)=0有l(wèi)iman+(bn-an)=rn-8nsn0°bn是A的上界，xA,有x<bn(n=i,2,),令n-8,x<l

8、imb=rr是A的上界.nfcon而£>0,由liman=r知£>0,知N,當(dāng)nN,有r-£<an,nf8從而XA使r-e<an<X,r=supA.同理可證非空有下界數(shù)集有下確界.定理證完.證明2:設(shè)E是非空有上界的集合，設(shè)Qo為E的所有有理數(shù)上界.令Q=r,r,r.r.r.令x=minr,r.r0i23nni2xnQ0且單調(diào)下降有下界的數(shù)列。Ss.tlimxn=E,下面證明白supE。n0°(i)如果xE,s.txA巳則x0-2>0N,s.tx<E+x0-七=刈+I<x002n220.xNQ0這與xN為E

9、的上界矛盾.（2）如果0,xE,s.txw±-b由有理數(shù)稠密性定理知r'Q,s.t"-r'<己xE,x<r'r'為E的一個(gè)上界r'Q0這與寧xn<rn矛盾2、用單調(diào)有界證明區(qū)間套定理證明：已知an<an書（n）,an<bn<bi,由單調(diào)有界定理知an存在極限，設(shè)liman=r,n0°同理可知bn存在極限，設(shè)limbn=r,由lim(bn-an)=0得r-r'=0即r=rnocnx.n,有anWbn,令n一°0,有anWr=r，Wbn,n,有anWrWbn.一.一i一八一1

10、，一,88取后證明唯一性.右有r,r，滿足rAan,bn,r，Aa“，b”,則nn/|r-r'|<bn-an-0(n丹故r=r，.即這樣的r是唯一的.3、用單調(diào)有界定理證明致密性定理證明：首先證明有界數(shù)列an有單調(diào)子數(shù)列.稱其中的項(xiàng)an有性質(zhì)M,若對(duì)每個(gè)i>n,都有an>ai,也就是說，an是集合ai|i>n的最大數(shù).分兩種情形討論：數(shù)列an有無窮多項(xiàng)具有性質(zhì)M,將它們按下標(biāo)的順序排列，記為am,an2ank,滿足ni<n2c.nk<,那么我們就已經(jīng)得到一個(gè)單調(diào)下降的子列；an.數(shù)列an只有有窮多項(xiàng)具有性質(zhì)M,那么N,當(dāng)nN,有an不具有性質(zhì)M,即i

11、>n,有an<ai,從中任取一項(xiàng)記為am,因?yàn)樗痪哂行再|(zhì)M,1- n2>ni,使ani<an2,如此繼續(xù)下去，我們得到一子列ank單調(diào)上升，.有界數(shù)列an必有單調(diào)子數(shù)列，由單調(diào)有界定理，可得ank存在極限.4、單調(diào)有界證明柯西收斂準(zhǔn)則證明：首先證明基本列必有界，取E<1,必有一正整數(shù)，當(dāng)m,n>N0時(shí)，有|xm-Xn|<1,特別的當(dāng)n>N0且m=No+1時(shí)，有Xn-XN0+1<1從而當(dāng)n>N0時(shí)，有xn&xn-xN0+xN0中<1+xN0書這就證明了kn的有界性.任意有界數(shù)列必存在單調(diào)子列，由單調(diào)有界定理知必有收斂子列

12、5,設(shè)limxn=a,則對(duì)£>0,K>0,k>K時(shí)有|xn-a|<£kk*kk取一正整數(shù)k0=max(K+1,N+1),于是當(dāng)k0K且nk0>nNi>N+1>N當(dāng)nN時(shí)，由已知條件有xn-xnk0<e|xn-al<xn-xn心-a<e+e=2e即limxn=ak0111k0n-85、單調(diào)有界證明有限覆蓋定理證明：假設(shè)某一閉區(qū)間L,b的某個(gè)開覆蓋E的有限個(gè)區(qū)間覆蓋，等分a,b為兩個(gè)部分區(qū)間，則至少有一個(gè)部分區(qū)間不能被E的有限個(gè)區(qū)間覆蓋，把這個(gè)區(qū)間記為L(zhǎng)i,b1,再等分a，b1,記不能被E的有限個(gè)區(qū)間覆蓋的那個(gè)部分區(qū)間

13、為L(zhǎng)2,b2,照這樣分下去得到一個(gè)區(qū)間列an,bn】,這些區(qū)間適合下面3個(gè)條件:(1)每一個(gè)Un,bn】都不能被E的有限個(gè)區(qū)間覆蓋an單調(diào)遞增且有界，bn單調(diào)下降且有界，an<bnba，一、.-bn-an=2-n-0由單調(diào)有界定理知an極限存在，記liman=an*同理由單調(diào)有界定理知bn極限存在，記limbn=&,下面證明6=8n*用反證法，如果&w日，則a<a.e=J20,n>0,n>NJa-3即a<e=2&*311nln13£=0,N2A0,n>N,|b-q<3即bn>2-e=&+2a30023c&

14、gt;0,N3,當(dāng)n>N3時(shí)，bn-an<£N=max(N1,N2,N3),當(dāng)n>N時(shí)，bn-ana-2二工，矛盾3由覆蓋概念和定理所設(shè)條件，在E中至少存在一個(gè)開區(qū)間滿足己(a,B)由數(shù)列極限的性質(zhì)知道，必存在一個(gè)正整數(shù)N當(dāng)n>N時(shí)，有a<an<bn<B即當(dāng)n>N時(shí)，有l(wèi)an,bn】(a,B步(1)矛盾.所以假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成三、區(qū)間套定理證明其他定理1、區(qū)間套定理證明確界定理證明：由數(shù)集A非空，知aA,不妨設(shè)a不是A的上界，另外，知bab是A的上界，記,=,用，的中足J一二等分，,aibiabaibi2aibiai+bi是A的上界，則

15、取ai+biai+bi如果a2,b21=ai,;如果不是A的上222界，則取取和bi；用a2,b2的中點(diǎn)電2二等分a2,22b2如此繼續(xù)下去，使得區(qū)間套an,bn.其中an不是A的上界，bn是A的上界.由區(qū)間套定理可得,OC唯一的rAan,bn，使liman=limbn=r,n-8nsnixA，由xWbn(n=i,2,),令n-8,x&limbn=rr是A的上界.nco而£>0,由liman=r知00,知N,當(dāng)naN,有r-£<an,n78從而XA,使r-£<an<X,r=supA.同理可證非空有下界數(shù)集有下確界.定理證完.2、用區(qū)

16、間套定理證明單調(diào)有界定理證明：設(shè)xn是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列.b是它的一個(gè)上界，令ai=xi-i,二等分a，bi,其中必有一區(qū)間含xn的無窮多項(xiàng)，記其為a?,b2，二等分a2,b2,如此繼續(xù)下去，使得區(qū)間套an,bn,滿足n5an,bnco含xn的無窮多項(xiàng).由區(qū)間套定理可得，唯一的rAan,bn,使nIima=limb=r,則對(duì)e>0,N,n>N,r-e<an<bn<r+e.nsnnsn取，a,b含<x的無窮多項(xiàng),n°Nn0n0n當(dāng)m>M時(shí)，有xa,b.如果不然，m0no則M,使xa,b.mn0n0m>M，有b<x,則在a1n01

17、n0n0中最多只有%的前m1項(xiàng)，與am,be的構(gòu)造矛盾.從而當(dāng)m>M時(shí)，有r-£<an<xm<bn<r+e,即|xm-r|<&00.limxm=r,即lim%=r.3、用區(qū)間套定理證明致密性定理證明：已知a,b,使aVxnVb.設(shè)ab沒有E的有限子覆蓋，記a,b=a，b1,二等分a，b,其中必有一區(qū)間含xn的無窮多項(xiàng)，記其為a2,b2,>等分a2,b2,如此繼續(xù)下去，便得區(qū)間套an,bn,滿足n,an,bn含xn的無窮多項(xiàng).由區(qū)間套定理可得，唯一的OCrpa,b，使lima=limb=r.nnn8nn-8nn=1k1,nk,使r-k:

18、ank'k,bnknkk-1<r<bnk<r+-kWbnk因此n1,使r-1<an1<r<bm<r+.這時(shí)存在xn1an-bn1,歸納地，,nkxnnk由含的無窮多項(xiàng)，知令k,limxn=r.xn存在收斂子數(shù)列ksk4、區(qū)間套定理證明柯西收斂原則證明1:首先證明基本列必有界，取E<1,必有一正整數(shù),當(dāng)m,n>N0時(shí)，有xm-xn<1,特別的當(dāng)n>N0且m=N0+1時(shí)，有xn-xn。書<1從而當(dāng)n>N0時(shí)，有xnwxn-xN0+xn。書<1+xn0+這就證明了xn的有界性.記a<xn<b將區(qū)間

19、a,b二等分，則必有一個(gè)區(qū)間上有xn的無窮多項(xiàng)，記這個(gè)區(qū)間為bi,bi】.依次類推彳評(píng)區(qū)間晝外,坊1滿足(D每個(gè)bn,bn】中都含有Xn的無窮多項(xiàng)(2) an單調(diào)遞增且有界，bn單調(diào)下降且有界，an<bnb_a(3) b-a=2nnn4由區(qū)間套定理知唯一的建所有區(qū)間的公共點(diǎn)，lima=limb=Ennnns所以冷有無窮多項(xiàng)屬Kan,bn,記這些項(xiàng)組成的子列攵Xnk,則容易證明limx=E，下面證明x的極限也為己,若不然，x存在另外n；U，nn.一個(gè)收斂子列使得limx=E不妨設(shè)Ea己nkk-8e=3七>0,K>0,k>K,x-i<e,即x<E+e=21t_L

20、311nnokk3£=W二上-0,K0,kK,|x322n，一21E<e,即x'>e=_匕-7nok3則N=maxNki,Nk2,N)當(dāng)利時(shí)，xm0)，(ast|xm-xn>&七3與基本數(shù)列矛盾，所以xn的極限為J證明2:首先證明基本列必有界，取E<1,必有一正整數(shù)，當(dāng)m,n>N0時(shí),有xm-xn<1,特別的當(dāng)n>N0且m=N0蟲時(shí)，有xn-xN0書<1從而當(dāng)nN0時(shí)，有l(wèi)xnlJn-N0*|4N0*-1+|N0+|這就證明了xn的有界性.a1,b1,使n,有a1<xn<b,將區(qū)間a1,b1二等分，令C1,c

21、2=a1b1,得到三個(gè)長(zhǎng)度相同的子區(qū)間a1,C1,C1,C2,C2,b1分別記為J1,J2,J3,根據(jù)它們?cè)趯?shí)數(shù)軸上的左中右位置和基本列定義，J1,J3,至少有一區(qū)間只含有數(shù)列xn的有限多項(xiàng).如果不然，在J1,J3均有數(shù)列的無限多項(xiàng)那么b-a，取xJ,xJ,n,m可以任意大，|x-x|£0=-n1m3nm£03與基本列定義矛盾，結(jié)論成立.;可以從ai,bl中去掉只含有xn中有限多項(xiàng)的區(qū)間Ji或J3bn,該區(qū)間套具有以將得到區(qū)間a2,b2,重復(fù)這個(gè)過程，得到區(qū)間套an卜兩個(gè)性質(zhì)：2(1)閉區(qū)間套中的每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度是前一個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度的-3.(2)每一個(gè)an,bn中含有數(shù)列xn從某

22、項(xiàng)后的所有項(xiàng)由(1)所得，唯一的實(shí)數(shù)r,使liman=limbn=rnsn-8£0,N使得aN,bN(r-£,r+&),由(2)可得N,當(dāng)n>N,有|xn-r|<e,limxn=r.定理證完.nco兩種證法分別采用的是區(qū)間套的兩種構(gòu)造方法：二分法具有b-a=bn-an,這就保證了點(diǎn)r唯一，而對(duì)有界數(shù)列x,更構(gòu)n1n12n造了每個(gè)閉區(qū)間含有數(shù)列而的無限多項(xiàng)；而三分法，不僅具有b-a=2(bn_L_a。，也保證了點(diǎn)r唯一，更是用到了基本列的性質(zhì)，使每個(gè)閉""3區(qū)間包含從某項(xiàng)起的所有項(xiàng).5、區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理證明：用反證法.設(shè)E是閉

23、區(qū)間a,b的一個(gè)覆蓋.設(shè)a,b沒有E的有限子覆蓋，記a,b=ai,bi,二等分ai,b1,其中必有一區(qū)間沒有E的有限子覆蓋，記其為a?,b2,二等分a2,b2,如此繼續(xù)下去，便得區(qū)間套an,bn,滿足n,an,bn沒有E的有限子覆蓋.由區(qū)間套定理可唯一的OCrna,b,使lima=limb=r.11nnn-8nf00n1由E是a,b的覆蓋，知(a,B)E,使a<r<B根據(jù)極限不等式，N1,當(dāng)n>N1,有a<an,N2，當(dāng)n>N2,有B>bn.取N=max(Ni,N2)，當(dāng)n>N，有a<anBabn.又anwrwbn(n),當(dāng)n>N,有an,

24、bn(a,B),與an,bn沒有E的有限子覆蓋矛盾.故a,b在E中存在有限子覆蓋.定理證完.四、致密性定理證明其他定理1、致密性定理證明確界原理證明：設(shè)E是非空有上界的集合，設(shè)Q0為E的所有有理數(shù)上界令Q=r,r,r.r.r.令x=minr,r.r01123sn；n12n；xnQ0且單調(diào)下降有下界的數(shù)列。且顯然有上界，由致密性定理知:Es.tlimxnk=自下面證明E=supE。ks(1)如果xE,s.txE,貝ux0-己>0N,s.tx<l+x0-己=x0*己<x002n220.xNQ0這與xN為E的上界矛盾.(2)如果己0>0,xE,s.txwjb由有理數(shù)稠密性定理

25、知r'Q,s.t0-0<r'cxE,x<r'r'為E的一個(gè)上界r'Q0這與yxnk<r矛盾.2、致密性定理證明單調(diào)有界定理證明：設(shè)xn是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列.Vxn有界，由緊致性定理可得，xn的子數(shù)列xn;且收斂于r.即eA0,K,當(dāng)kK時(shí)，有,n-r<"即r-£<xn<r+e,N=nK書,n>N,有xnxn>r-£.kK1.nk-00,n>N,nk<n,從而xn<xn，<r+*即|xn-r|<£.k£>0,N=nK七，

26、當(dāng)n>nk書時(shí)，4-r|<£,limxn=r.定理證完.nfco3、致密性定理證明區(qū)間套定理證明：得區(qū)間套an,bn,知an單調(diào)遞增且有上界，則an為有界數(shù)列，則由致密性定理知存在an的子列滿足liman=a,同理存在bn的子歹1limbn=2k-k下面證明&=a,用反證法，如果&W2,則&<H.=-2>0,N>0,n>N,a-且<e,即a<己+£=2&*2311n1n13e=芻-3>0,N>0,n>N,b-L<£，即b>E-e=JLL2222n2n2&#

27、163;>0,N3,當(dāng)nAN3時(shí),bn-an<£N=max(Ni,N2,N3),當(dāng)n>N時(shí)，bn-anA寶二上,矛盾3所以假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立.4、致密性定理證明柯西收斂原則證明：首先證明基本列必有界，取E<1,必有一正整數(shù)，當(dāng)m,n>N0時(shí)，有Xm-Xn<1,特別的當(dāng)n>N0且m=N0+1時(shí)，有Xn-XN。出?1從而當(dāng)nN0時(shí)，有Xn<Xn-XN0書+xn0由11+XN0平這就證明了Xn的有界性.下證Xn有極限存在.,Xn有界，由致密性定理可得，Xn的子數(shù)列Xnk且收斂于r.即£>0,K,當(dāng)kK時(shí)，有Xnk-r|一2.

28、另外N1>0,當(dāng)nANi,m>Ni時(shí)，Xn-Xm一2.取N=max(nK力，N1),nN時(shí)，取k0N,則xn-r=xn-xk0+xk0-r<Xn-xk0+xk0-r<£limXn=r.定理證完nco5、致密性定理證明有限覆蓋定理證明：假設(shè)某一閉區(qū)間a,b的某個(gè)開覆蓋E的有限個(gè)區(qū)間覆蓋，等分a,b為兩個(gè)部分區(qū)間，則至少有一個(gè)部分區(qū)間不能被E的有限個(gè)區(qū)間覆蓋，把這個(gè)區(qū)間記為lai,bi,再等分ai,bi,記不能被E的有限個(gè)區(qū)間覆蓋的那個(gè)部分區(qū)間為la2,b2,照這樣分下去得到一個(gè)區(qū)間列an,bn,這些區(qū)間適合下面3個(gè)條件：(1)每一個(gè)lan,bn都不能被E的有限個(gè)

29、區(qū)間覆蓋(2)兩個(gè)數(shù)列均為有界數(shù)列，且an:二bnb_a(3)b-a=一一0nn2n所以兩個(gè)數(shù)列均春在收斂子列，記liman=a,limbn=&，下面證明&=A.kfCK)kkfCK)k若4*七2，由an<bn易知&<2£=學(xué)>0，K>0,n>Ka-<£，即a<己+£=2&+23ii.環(huán)""3e=2>0,K>0,n>K,b-g<£，即b>2-£=1+22322nk2'k3o0,N3,當(dāng)naN3時(shí)，bn-an<

30、£N=max(Ni,N2,N3),當(dāng)n>N時(shí)，-_bn-an-2)，矛盾3所以i=2，記liman=limbn=E.ko0kko0k由覆蓋概念和定理所設(shè)條件，在E中至少存在一個(gè)開區(qū)間滿足己(出心由數(shù)列極限的性質(zhì)知道，必存在一個(gè)正整數(shù)K=max(Ki,K2)時(shí)，當(dāng)k>K時(shí)，有a<ank<bnk<0即當(dāng)nK時(shí)，有an,bn】(a,p)(n>nK)與(i)矛盾.所以假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立.五、柯西收斂原則證明其他定理1、柯西收斂原則證明確界定理證明i:記A為數(shù)集E所有上界構(gòu)成的集合，任取一個(gè)元素r屬于Ak0N,滿足r-k0不是E的上界，而r-(k0-i)為

31、E的上界，kii,238,9,滿足r-(k0-i)-不是E的上界，而r-(k0-i)-員化為E的上界k21,238,9,滿足r-甘匚-k2不是E的上界，而r-匯;生為E的上界k3123.8,9滿足r-Eki-1k10k410k3不是E的上界，而r-萬ki-1為E的上界3i上1010kn不是E的上界，而r-10nJkkn1,23.8,9,滿足r-Xrif10令xn=r-77i-i衛(wèi)101&0,N=lg，當(dāng)m>n>N時(shí),£xm-xnm工i=n1K-1i108m-n-11Zjr<10i毛108n1101<-n<&10所以xn是一個(gè)基本列且單調(diào)遞

32、減，所以limxnnco1-10E,下面證明已為E的上確界.(1)如果xE,0N,n>N時(shí)，s.tx<+x0-x=x0+xNQ0這與xN為E的上界矛盾.(2)如果C.0,xE,s.txw±-b由有理數(shù)稠密性定理知r'Q,s.t&-E0<r'<ExE,x<r'r'為E的一個(gè)上界r'Q0這與yxnk<r矛盾.證明2：設(shè)數(shù)集A非空有上界，b1是A的上界，a1不是A的上界，a1<b1，用a1,b1的中點(diǎn)型力二等分a,b",如峭士也是A的上界，則取a2,b2=22a2b?不是A的上界，則取a2,

33、b2.a1bia1b1如果=,b1；用a2,b2的中點(diǎn)等分a2,b2如此繼續(xù)下去，得數(shù)列an,bn滿足n,an不是A的上界，bn是A的上界且lim(bn-an)=0.nco下證an是柯西列，:lim(bn-an)=nco又a<a<b<b,從而pZ*,|ann-1n1n西列從而收斂，設(shè)liman=r.nco最后證r=supA.n,an不是A的上界，o0,n,當(dāng)n>N,有r-£<an<a<r.故r=supA.下證r是唯一的.即唯一的r,0,即e>0,N,n2N,bn-an<e.-a|<(b-a就a是柯n-pnnnnaA,使an&

34、lt;a.由liman=r,則ncoe>0,N,當(dāng)n>N,有r-£<a<r,使n,an<r<bn.如果不然，若有r,r88滿足rAan,bn,r，口島,bn,則|r-r1<bn-an-0(n-3,故r=r，.即這樣的n4n4r是唯一的.2、柯西收斂原則證明單調(diào)有界定理證明：設(shè)xn是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列.用反證法和柯西收斂定理.若xn不存在極限.則£0>0,N,n>N,有Xn-xN=Xn-Xn卜©.依次取N1=1,ni>N1,使Xni-X1>3,N2=n1,n2>n1，使Xn2-Xm>0

35、,；Nk=nk-1,Pk>Nk,使Xnk-Xnk-1A0.把它們相加，得到x-x冰gnG,k>一，有X>G,與x有界n10ennkk矛盾，故Xn必有極限.3、柯西收斂原則證明區(qū)間套定理證明：e>0,N1>0,當(dāng)門AN1時(shí)，bn-anRe，當(dāng)m>n>N時(shí)，amc>0,N=N1an<an-bn<"由柯西收斂原則知liman=3n-00£>0,N=N，當(dāng)m>nN時(shí)，b-b<la-b<3由柯西收斂原則知limb二七1mn1nnn2下面證明1=2用反證法，如果aW2,則芻多(an<bn).

36、63;=-20,N>0,n>N,ia-日<egJa<己+e=2-*&311n1n13e=J2二0,N2>0,n>N,|b-q"即bnA3-"1+2a320023o0,N3,當(dāng)nN3時(shí)，bn-an<£N=max(Ni,N2,N3),當(dāng)n>N時(shí)，bn-an>-,矛盾3所以假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立.唯一性易證.4、柯西收斂原則證明致密性定理證明：首先證明有界數(shù)列xn有單調(diào)子數(shù)列.稱其中的項(xiàng)xn有性質(zhì)M,若對(duì)每個(gè)iAn,都有xn>xi,也就是說，xn是集合xn|i>n的最大數(shù).分兩種情形討論：數(shù)列(Xn

37、有無窮多項(xiàng)具有性質(zhì)M,將它們按下標(biāo)的順序排列，記為xni,xn2.xnk,滿足ni：二n2：二.nk：二,那么我們就已經(jīng)得到一個(gè)單調(diào)下降的子列x.數(shù)列an只有有窮多項(xiàng)具有性質(zhì)M,那么N,當(dāng)n>N,有xn不具有性質(zhì)M,即i>n,有xn<為，從中任取一項(xiàng)記為xni,因?yàn)樗痪哂行再|(zhì)M,n2Ani,使iMx.,，如此繼續(xù)下去，我們得到一子列xnk單調(diào)上升.不妨設(shè)xn有一個(gè)單調(diào)遞增且有界的的子列xnk，若xnk不存在極限則£0>0,K,nk>nK,有xn-xn>0IkK依次BKii，nk>ni,Hlxn-xn>0,K2=ki,nk2>nk

38、,使xn-xn£01k.iiki2iKj=kj-i,nk>nk,佃-%>j-ikjj-i.x.G.xi»；把它們相加得xnknk>k，G，j>,有xv>G與1xnk）有界矛盾kij所以xnk有極限，證畢.5、柯西收斂原則證明有限覆蓋定理證明：假設(shè)某一閉區(qū)間,b不能被某個(gè)開覆蓋E的有限個(gè)區(qū)間覆蓋，等分la,b為兩個(gè)部分區(qū)間，則至少有一個(gè)部分區(qū)間不能被E的有限個(gè)區(qū)間覆蓋，把這個(gè)區(qū)間記為ai,bi,再等分fei,bi,記不能被E的有限個(gè)區(qū)間覆蓋的那個(gè)部分區(qū)間為自2,b2,照這樣分下去得到一個(gè)區(qū)間列an,bn,這些區(qū)間適合下面3個(gè)條件：(1)每一個(gè)la

39、n,bn都不能被E的有限個(gè)區(qū)間覆蓋(2)兩個(gè)數(shù)列均為有界數(shù)列，且an：二bnb.a(3) b-a=0nn2nb-a£>0,Na0,當(dāng)nN時(shí)，有b-a|_一二,作數(shù)歹x=亙_bi,11nn2nn2£>0,N=N，當(dāng)mnaN時(shí)，X-x|<lam-anl+lbm-bn<&1 mn|2 2所以xn為基本列，記limxn=己nco由覆蓋概念和定理所設(shè)條件，在E中至少存在一個(gè)開區(qū)間滿足己(&B)由數(shù)列極限的性質(zhì)知道，必存在一個(gè)正整數(shù)K=max(K1,K2)時(shí)，當(dāng)k>K時(shí)，有a<ank<bnk<0即當(dāng)n>K時(shí)，有l(wèi)an

40、,bn(B)(n>Ik)與(1)矛盾.所以假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立.六、有限覆蓋定理證明其他定理1、有限覆蓋定理證明確界定理證明：設(shè)WER,A為E的所有上界組成的集合，xE,MA,則x<M,任取x0E,假設(shè)E無最小上界，則x【x。，M朋足：（1） x為E的上界時(shí)，則必有更小的上界x1<x,因而有x的一個(gè)開鄰域其中皆為E的上界（2） x不為E的上界時(shí)，則必有X2E,X2>x,使得有x的一個(gè)開鄰域x,其中皆不為E的上界所以區(qū)間b,M）的每一點(diǎn)均存在一個(gè)開鄰域x要么為（1）要么為（2）,這些開鄰域x：x1x0,M）組成了區(qū)間lx。，M的一個(gè)開覆蓋，則由有限覆蓋定理知存在有限覆蓋x

41、i，x2Xn）覆蓋區(qū)間區(qū),M.所以M屬于的開區(qū)間為（1）,相鄰接的鄰域如有公共點(diǎn)也應(yīng)為（1）,依此類推經(jīng)過有限次的鄰接后，得xo也應(yīng)為（1）,矛盾.2、有限覆蓋定理證明單調(diào)有界原理證明：不妨設(shè)xn單調(diào)遞增，且m<xn<M,假設(shè)xn的極限不存在，所以x1m,M,存在x的某個(gè)x鄰域中只含有xn的有限項(xiàng).否則如果有x1,x2,使得存在xn的兩個(gè)子列xnk和xnk極限分別為x1,x2（不妨設(shè)x1<x2）£=x2-x1>0,K，當(dāng)k>K時(shí)，x-xl<£,x<x1+x2211n'nckk2&=x2-x1>0,K,當(dāng)k>K時(shí)，x'-x<e,x'>x1'x22122，n27n2右kk右則對(duì)充分大的K,有xkxnkMxjJk（k>j）但是xk<