第五章 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

1、第五章第五章隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)分析 確定系統(tǒng)確定系統(tǒng)確定信號(hào)確定信號(hào)？確定系統(tǒng)確定系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)？隨機(jī)系統(tǒng)隨機(jī)系統(tǒng)確定信號(hào)確定信號(hào)？隨機(jī)系統(tǒng)隨機(jī)系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)？Signals & Systems2022-3-2835.1 5.1 線性系統(tǒng)基本理論線性系統(tǒng)基本理論5.2 5.2 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析5.3 5.3 離散時(shí)間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析離散時(shí)間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬5.5 5.5 希爾伯特變換和解析過程希爾伯特變換和解析過程5.6 5.6 窄帶隨機(jī)過程表示

2、窄帶隨機(jī)過程表示5.7 5.7 窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性5.8 5.8 正弦信號(hào)與窄帶正弦信號(hào)與窄帶SPSP之和的包絡(luò)和相位的特性之和的包絡(luò)和相位的特性2022-3-284基本要求基本要求 熟練掌握隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法，熟練掌握隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法，掌握測(cè)量系統(tǒng)沖激響應(yīng)的方法。掌握測(cè)量系統(tǒng)沖激響應(yīng)的方法。 掌握高斯隨機(jī)信號(hào)激勵(lì)下，系統(tǒng)輸出的概率密度的計(jì)算。掌握高斯隨機(jī)信號(hào)激勵(lì)下，系統(tǒng)輸出的概率密度的計(jì)算。 掌握等效噪聲帶寬的計(jì)算。掌握等效噪聲帶寬的計(jì)算。 掌握希爾伯特變換及解析過程的表示形式和性質(zhì)。掌握希爾伯特變換及解析過

3、程的表示形式和性質(zhì)。 掌握窄帶隨機(jī)過程的萊斯表示和準(zhǔn)正弦表示，并能解決相掌握窄帶隨機(jī)過程的萊斯表示和準(zhǔn)正弦表示，并能解決相應(yīng)的問題。應(yīng)的問題。 掌握使用包絡(luò)檢波器、包絡(luò)平方檢波器和相位檢波器時(shí)，掌握使用包絡(luò)檢波器、包絡(luò)平方檢波器和相位檢波器時(shí)，輸出信號(hào)包絡(luò)和相位的概率分布。輸出信號(hào)包絡(luò)和相位的概率分布。2022-3-285系統(tǒng)可分為：系統(tǒng)可分為： （1）線性系統(tǒng)：線性放大器、線性濾波器）線性系統(tǒng)：線性放大器、線性濾波器 （2）非線性系統(tǒng)：限幅器、平方律檢波器）非線性系統(tǒng)：限幅器、平方律檢波器對(duì)于線性系統(tǒng)：已知系統(tǒng)特性和輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，可以求出系統(tǒng)輸對(duì)于線性系統(tǒng)：已知系統(tǒng)特性和輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)

4、特性，可以求出系統(tǒng)輸 出信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性出信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性2022-3-286我們限定系統(tǒng)是單輸入單輸出（響應(yīng)）的、連續(xù)或離散時(shí)不變的、線我們限定系統(tǒng)是單輸入單輸出（響應(yīng)）的、連續(xù)或離散時(shí)不變的、線性的和物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)。性的和物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)；連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)；離散時(shí)間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時(shí)間信號(hào)。離散時(shí)間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時(shí)間信號(hào)。連續(xù)與離散系統(tǒng)：連續(xù)與離散系統(tǒng)：（1）線性性：線性性：（2）時(shí)不變：）時(shí)不變： 線性時(shí)不變系統(tǒng)：線性時(shí)不變系統(tǒng)：1212( )( ) ( )( )L ax t

5、bx taL x tbL x t稱作算子L00() ()y ttL x tt2022-3-287 什么是線性系統(tǒng)？什么是線性系統(tǒng)？時(shí)不變線性系統(tǒng)時(shí)不變線性系統(tǒng)連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)離散時(shí)不變線性系統(tǒng)離散時(shí)不變線性系統(tǒng)2022-3-288時(shí)不變時(shí)不變線性線性系統(tǒng)系統(tǒng)若任意常數(shù)若任意常數(shù)a, b, 輸入信號(hào)輸入信號(hào)x1(t), x2(t), 有有Lax1(t)+bx2(t) = aLx1(t) + bLx2(t)若輸入信號(hào)若輸入信號(hào)x(t)時(shí)移時(shí)間時(shí)移時(shí)間C,輸出輸出y(t)也只引起一個(gè)相同也只引起一個(gè)相同的時(shí)移，即的時(shí)移，即y(t-C) = Lx(t-C)L.x(t)y(t) =

6、Lx(t) 什么是線性系統(tǒng)？什么是線性系統(tǒng)？2022-3-289連續(xù)連續(xù)時(shí)不變時(shí)不變線性線性系統(tǒng)系統(tǒng)若任意常數(shù)若任意常數(shù)a, b, 輸入信號(hào)輸入信號(hào)x1(t), x2(t), 有有Lax1(t)+bx2(t) = aLx1(t) + bLx2(t)h(t)x(t)y(t) = x(t)*h(t) 什么是線性系統(tǒng)？什么是線性系統(tǒng)？)()()()()()()(thtxdthxdhtxty2022-3-28105.1.2 連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)的分析方法連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)的分析方法1. 時(shí)域分析2頻域分析3. 物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng))()()()()()()(thtxdthxdhtxtyy( )( )X(

7、 )Hx( )( )j tx t edtdtethHtj)()( )( )( )Y sH s X sjs0t0)(th如果當(dāng)時(shí)，所有實(shí)際的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)都是因果的。，那么該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。2022-3-28115.1.3 離散時(shí)不變線性系統(tǒng)的分析方法離散時(shí)不變線性系統(tǒng)的分析方法1. 時(shí)域分析2頻域分析3. 物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)如果當(dāng)時(shí)，那么該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。)()()()()()()(nhnxknhkxkhknxnykky()x()()jjjeeH ex()( )jjnnex n enjnjenheH)()(y( )x( )( )zz H zjez 0)(nh0n物理可實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定系統(tǒng)的極點(diǎn)都

8、位于z平面的單位圓內(nèi)。 2022-3-28125.1.4 卷積積分回顧卷積積分回顧 tftf21 dtff21 tftf21 dtff211.卷積積分計(jì)算卷積積分計(jì)算 dtff212022-3-28132.沖激函數(shù)性質(zhì)沖激函數(shù)性質(zhì) ttf tf0 1tttf 11ttttf ttf dtf 1tttf1ttf tf dtf2022-3-2814 在給定系統(tǒng)的條件下，輸出信號(hào)的某個(gè)在給定系統(tǒng)的條件下，輸出信號(hào)的某個(gè)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)特性計(jì)特性只取決于輸入信號(hào)的只取決于輸入信號(hào)的相應(yīng)的相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特統(tǒng)計(jì)特性性。 根據(jù)輸入隨機(jī)信號(hào)的根據(jù)輸入隨機(jī)信號(hào)的、相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)和和功功率譜密度率譜密度，再加上已知線性系統(tǒng)，

9、再加上已知線性系統(tǒng)單位沖激單位沖激響應(yīng)響應(yīng)或或傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)，就可以求出輸出隨機(jī)信，就可以求出輸出隨機(jī)信號(hào)相應(yīng)的均值、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度號(hào)相應(yīng)的均值、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度 分析方法：卷積積分法；頻域法。分析方法：卷積積分法；頻域法。5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2815 5.2.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸

10、出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2816 5.2.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距 輸入為隨機(jī)信號(hào)X(t)的某個(gè)的，則為：)(tx0)()()(dtxhty系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)一個(gè)確定性函數(shù)一個(gè)確定性函數(shù)5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連

11、續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2817 5.2.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距X( ) t0Y( )( )()( )( )thX tdh tX t對(duì)于隨機(jī)信號(hào)對(duì)于隨機(jī)信號(hào)任意一個(gè)樣本函數(shù)均成立。任意一個(gè)樣本函數(shù)均成立。： 那么對(duì)于所有的試驗(yàn)結(jié)果，系統(tǒng)輸出為一族樣本函數(shù)，這族樣本函數(shù)構(gòu)成隨機(jī)過程5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信

12、號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2818 5.2.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距Y0( ) ( )( )()mtE Y tEhX td0( ) X()hEtdX0( )()hmtdX( )* ( )mth t證明證明 X( ) tYX0( )mmhd若若為平穩(wěn)為平穩(wěn)SP，則，則5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)

13、時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2819 5.2.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距 XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t結(jié)論：由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)結(jié)論：由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸

14、入輸出相關(guān)函數(shù)為輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2820 XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t證明：由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)證明：由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為XY1212120( , )X( )Y( )X( )( )X()Rt tEttEth utu du120( )

15、X( )()h u Et X tu duX120( )( ,)h u Rt tu duX122( , )* ( )Rt th t YX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th tXY( )RX0( )()h u Ru du)()(hRXYX( )RX0( )()h u Ru du X( )()Rh若輸入為平穩(wěn)隨機(jī)過程若輸入為平穩(wěn)隨機(jī)過程5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2821 5.2.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、

16、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距結(jié)論：結(jié)論：已知系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)已知系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)輸出端的自相關(guān)函數(shù) Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt t5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2822證明：證明：已知系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)已知系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出

17、端的自相關(guān)函數(shù)輸出端的自相關(guān)函數(shù) Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt tY1212( , ) ( ) ( )Rt tE Y t Y t1200( )X()( )X()Eh utu duh vtv dv1200( ) ( ) X()X()h u h v Etutv dudv X1200( ) ( )(,)h u h v Rtu tv dudv 0210,dudvvtutRvhuhX 021,dututRuhXY 211,*ttRthXY dvduvtutRuhvhX0210, 021,dvvttRvhYX 212,*ttRthYX5

18、.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2823證明：證明：已知系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)已知系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)輸出端的自相關(guān)函數(shù) Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt tY121XY12( , )( )( , )Rt th tRt t2YX12( )( , )h tRt tYXX00( )( ) ( )()( )( )()Rh u h v Ruv dudvRhh XYYX( )()( )( )RhRh 若為平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有：

19、若為平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有：5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2824 5.2.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距系統(tǒng)輸出的系統(tǒng)輸出的n階矩的一般表達(dá)式為階矩的一般表達(dá)式為 121212Y( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )nnnEt Y tY tE X t X tX th t

20、h th t5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析小小 結(jié)結(jié)Y12( , )Rt t12X12( )( )( , )h th tRt t X( )* ( )Ymtmth t輸出均值輸出均值輸入輸出互相關(guān)函數(shù)輸入輸出互相關(guān)函數(shù)XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t輸出自相關(guān)函數(shù)輸出自相關(guān)函數(shù)1XY12( )( , )h tRt t2YX12( )( , )h tRt tYX0( )mmhd平穩(wěn)隨機(jī)過程XY( )R)()(hRXYX( )RX( )()RhYX(

21、)( )( )()RRhhXYYX( )()( )( )RhRh5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2826 例例5.1 設(shè)隨機(jī)信號(hào)設(shè)隨機(jī)信號(hào)X(t)= ，其中，其中M是均值為是均值為5，方差為方差為64的高斯隨機(jī)變量，的高斯隨機(jī)變量，B是均值為是均值為2且服從瑞利分布的隨機(jī)變且服從瑞利分布的隨機(jī)變量，量， 之間均勻分布的隨機(jī)變量，將該信號(hào)送入到之間均勻分布的隨機(jī)變量，將該信號(hào)送入到tBM20cos0 2為在（ ， ）沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為 的線性系統(tǒng)，已知的線性系統(tǒng)，已知M、B和和 相互相互 )(1010tUetht統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，求系統(tǒng)輸出的均

22、值。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，求系統(tǒng)輸出的均值。解：解： tYEtmY duutXuhE0 duutXEuh0tBMEutXE20cos5ME tmY duuh05dtet01010555.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2827 RCX( ) tXmX( ) t02( )N 例例5.2 如圖如圖3.1所示的低通所示的低通電路，已知輸入信號(hào)電路，已知輸入信號(hào)是寬平穩(wěn)的穩(wěn)定的隨機(jī)信號(hào)，其均值為是寬平穩(wěn)的穩(wěn)定的隨機(jī)信號(hào)，其均值為，假設(shè)，假設(shè)是相關(guān)函數(shù)為是相關(guān)函數(shù)為的白噪聲，求：的白噪聲，求：求輸出均值；求輸出均值；輸出的自相關(guān)函數(shù)；輸出的自相關(guān)函數(shù)；輸出平均功

23、率；輸出平均功率；輸入與輸出間互相關(guān)函數(shù)：輸入與輸出間互相關(guān)函數(shù)：5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2828解：解： thtXtY系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 ， ，輸出信號(hào)為 tUbethbtRCb1(1) 輸出信號(hào)均值輸出信號(hào)均值 tYEtmY duutXuhE0 duutXEuh0 duuhmX0Xm(2) 輸出自相關(guān)函數(shù)輸出自相關(guān)函數(shù) tYtYERY dvvtXvhduutXuhE005.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2829 dudvvtXutXEuhvh 00 dudvvuRuhvh

24、X 00 dudvvuNuhvh 0002 dvduvuNvhuh0002 duuhuhN0020dubebeNubbu002dueebNbub02202bebN405.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2830由自相關(guān)函數(shù)的偶函數(shù)特性， 時(shí)有0 bYebNR40所以 bYebNR40(3) 輸出平均功率輸出平均功率 400bNRQY(4) 輸入輸出互相關(guān)函數(shù)輸入輸出互相關(guān)函數(shù) hRRXXY duuRuhX05.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2831 duuNuh002 其它, 00,2

25、0hN XYYXRR0,20, 00hN5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2832 例例5.3 應(yīng)用舉例：設(shè)某線性系統(tǒng)輸入為相關(guān)函數(shù)應(yīng)用舉例：設(shè)某線性系統(tǒng)輸入為相關(guān)函數(shù)0X( )( )2NR 的白噪聲，如果測(cè)得系統(tǒng)輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)，的白噪聲，如果測(cè)得系統(tǒng)輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)，求這個(gè)線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。求這個(gè)線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。 hRRXXY duuNuh002 0,20hN 0,20XYRNh5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2833 eNRX40例例5.4 設(shè)設(shè)X(

26、t)的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為 ，線性系統(tǒng)的，線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為 ， ， ，為各，為各自的半功率帶寬，自的半功率帶寬， 求輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)。求輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)。 tUbethbt2f2bfbb解：解： tYtYERY dudvvuRuhvhX 00dudveNeebvubvbu 00024兩種情況和時(shí)，分對(duì)vuvu05.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2834dudveedveeebNvuubvvuubvbu00204bebebbN22204 bYebebbNR22204b由于由于 bbYebNebbNR440220近

27、似為白噪聲通過線性系統(tǒng)后的輸出自相關(guān)函數(shù)，即當(dāng)系統(tǒng)的輸近似為白噪聲通過線性系統(tǒng)后的輸出自相關(guān)函數(shù)，即當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)的帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬時(shí)，可把輸入信號(hào)近似看作白噪聲。入信號(hào)的帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬時(shí)，可把輸入信號(hào)近似看作白噪聲。5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2835 5.2.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性和遍歷性系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性和遍歷性 前提: 系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)。在這種情況下，t=0系統(tǒng)輸出響應(yīng)在已處于穩(wěn)態(tài) 結(jié)論1：若輸入是 寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。X( ) tY( ) t結(jié)論2：若輸入

28、是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出 也是嚴(yán)平穩(wěn)的。 X( ) tY( ) t結(jié)論3：若輸入 是寬遍歷性的，則輸出 也是寬遍歷性的，且 聯(lián)合遍歷 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2836結(jié)論1：若輸入是 寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。X( ) tY( ) tX( ) tXX( )mtm常數(shù)X12X( , )( )Rt tR12tt YX0( )mmhdXY12( , )Rt tX0( )()h u Ru duX( )( )RhXY( )RYX12( , )Rt tX0( )()h

29、 u Ru du X( )()RhYX( )R若輸入若輸入為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有：為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有： Y12XXY00( , )( ) ( )()( )( )()( )Rt th u h v Ruv dudvRhhR 5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2837結(jié)論2：若輸入 是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出 也是嚴(yán)平穩(wěn)的。 X( ) tY( ) t因?yàn)?Y( )( )()thX td 對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，若時(shí)移常數(shù)T，有0Y()( )()tThX tTd輸出 和 分別是輸入 和 與 的卷積，即可以表示成級(jí)數(shù)和的形式。由于隨機(jī)信號(hào) 是嚴(yán)平穩(wěn)的，所以 與

30、 具有相同的n維概率密度函數(shù)，這樣 與 也應(yīng)該具有相同的n維概率密度函數(shù)，即是嚴(yán)平穩(wěn)的。Y()tTY( ) tX()tTX( ) t)(thX( ) tX()tTX( ) tY()tTY( ) t5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2838由 的寬遍歷的定義得 結(jié)論3：若輸入 是寬遍歷性的，則輸出 也是寬遍歷性的，且 聯(lián)合遍歷 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t則輸出 的時(shí)間平均XX( ) tmXX( )()( )t X tRX( ) tY( ) t1Y( )( )2TTTtlimY t dtT01( )()2TTTlimh

31、u X tu du dtT 01X() ( )2TTTlimtu dt h u duTX0( )m h u duYm5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2839結(jié)論3：若輸入 是寬遍歷性的，則輸出 也是寬遍歷性的，且 聯(lián)合遍歷 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t1Y( ) ()( ) ()2TTTt Y tlimY t Y tdtT001()() ( ) ( )2TTTlimX tu X tv dt h u h v dudvT X00() ( ) ( )Ruv h u h v dudv Y( )R 1X( ) ()X( )Y(

32、)2TTTt Y tlimttdtT01( )X()X( )2TTTlimh utut du dtT 01()X( ) ( )2TTTlimX tut dt h u duTX0() ( )Ru h u duXY( )R 5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2840 5.2.2 頻域分析法頻域分析法 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)

33、時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2841 5.2.2 頻域分析法頻域分析法 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 00( )( )(0)YXXXmmhdm Hm H thtmtmXY HmmXY對(duì)于平穩(wěn)過程對(duì)于平穩(wěn)過程5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2842 5.2.2 頻域分析法頻域分析法 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、

34、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 YX( )( )( )()RRhh2YXX( )( )( )()( )( )SSHHSHjsYX( )( )( )()SsSs H s Hs 由，兩邊取付氏變換得： 表示，有： 5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2843 5.2.2 頻域分析法頻域分析法 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 XYX( )( )( )S

35、SHYXX( )( )()SSHYXYYX( )( )()( )( )SSHSHYXYYX( )( )()( )( )SsSs HsSs H s hRRXXY hRRXYX5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2844 5.2.2 頻域分析法頻域分析法 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 dteetfdtetfsFtjtst)()()(js)(tftetf)(當(dāng)不可積時(shí)，可積。因此對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，通

36、常情況下其拉氏變換存在。 5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-2845 RCX( ) tXmX( ) t02( )N 例例5. 圖示的低通圖示的低通電路，已知輸入信號(hào)電路，已知輸入信號(hào)是寬平穩(wěn)的穩(wěn)定的隨機(jī)信號(hào)，其均值為是寬平穩(wěn)的穩(wěn)定的隨機(jī)信號(hào)，其均值為，假設(shè)，假設(shè)是相關(guān)函數(shù)為是相關(guān)函數(shù)為的白噪聲，求：的白噪聲，求：求輸出均值；求輸出均值；輸出的自相關(guān)函數(shù)；輸出的自相關(guān)函數(shù)；輸出平均功率；輸出平均功率；輸入與輸出間互相關(guān)函數(shù)：輸入與輸出間互相關(guān)函數(shù)：5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析解解: thtXt

37、Y系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 ， ，輸出信號(hào)為 tUbethbtRCb1由于輸入信號(hào)是平穩(wěn)的,因而輸出信號(hào)Y(t)也是平穩(wěn)的(1) 輸出信號(hào)的均值00( )( )(0)YXXXmmhdm Hm HXm() 輸出信號(hào)自相關(guān)函數(shù) 2HSSXY22202bbN bYebNR40所以5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析47() 輸出信號(hào)平均功率 400bNRQY() 輸出輸入互相關(guān)函數(shù) HSSXXYjbbN20 XYYXRR0,20, 00hN 其它, 00,20hN XYR所以所以5.2 5.2 隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2022-3-

38、2848 5.3.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2849 5.3.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)0)()()(dtxhty0Y( )( )X()knh knk系統(tǒng)的輸出等于輸入信

39、號(hào)與單位沖激響應(yīng)的卷積和 可以證明，在假定系統(tǒng)是穩(wěn)定的、輸入有界的條件下，上式在均方收斂的意義下是存在的。 5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2850 5.3.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 證明證明 若若為平穩(wěn)為平穩(wěn) SP，則，則Y0( ) ( )( ) ()kmnE Y nh k E X nkYX0( )kmmh kX( )n5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離

40、散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2851 5.3.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) XY( ,)( ) ()Rn nmE X n Y nm0( )( )()kE X nh k X nmk0( ) ( )()kh k E X n X nmkX0( )( ,)kh k Rn nmkX0( ,)( )(,)YXkRn nmh k Rnk nmXYXX0( )( )()( )*( )kRmh k Rmkh mRmYXXX0( )

41、( )()()*( )kRmh k RmkhmRm5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2852 5.3.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)Y( ,) ( ) ()Rn nmE Y n Y nm00( )()( )()kjEh k X nkh j X nmj00( ) ( )()()kjh k h j E X nk X nmjX00( ) ( )(,)kjh k h j Rnk nm

42、j 5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2853 5.3.1 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) YX00( ) ( )()kjRmh k h j RmkjXXY( )* ( )* ()( )* ()Rmh mhmRmhmYX( )* ( )Rmh m 2X00( )( ) ( )()kjE Ynh k h j Rkj 5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的

43、分析的分析2022-3-2854 5.3.2 頻域分析法頻域分析法 1、功率譜密度表達(dá)式、功率譜密度表達(dá)式 2、輸出平均功率的計(jì)算、輸出平均功率的計(jì)算 5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2855 5.3.2 頻域分析法頻域分析法 1、功率譜密度表達(dá)式、功率譜密度表達(dá)式 2、輸出平均功率的計(jì)算、輸出平均功率的計(jì)算 若系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號(hào)是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)的輸出也是寬平穩(wěn)的，那么有YX10( )(1)kzXkmmh k zHmXYX( )( )( )SzH z Sz1YXX( )()( )SzH zSz1YX( )( )()( )SzH z H

44、zSz1XYYX()( )( )( )H zSzH z SzjzeX( )()( )jXYSH eSX( )()( )jYXSH eS2YXX( )()()( )()( )jjjSH eH eSH eS5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2856 5.3.2 頻域分析法頻域分析法 1、功率譜密度表達(dá)式、功率譜密度表達(dá)式 2、輸出平均功率的計(jì)算、輸出平均功率的計(jì)算 系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)為 11( )( )2mYYlRmSz zdzj2YX1( )()( )2jjmRmH eSed5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)

45、的分析的分析2022-3-2857 5.3.2 頻域分析法頻域分析法 1、功率譜密度表達(dá)式、功率譜密度表達(dá)式 2、輸出平均功率的計(jì)算、輸出平均功率的計(jì)算 2111( )( )()( )2XlE YnH z H zSz z dzj 22X1( )()( )2jE YnH eSd 式中 l 代表 z 平面上的單位圓 5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2858 5.3.3 色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器 問題：如何設(shè)計(jì)一個(gè)線性系統(tǒng)，使輸入為白噪聲時(shí)，輸出問題：如何設(shè)計(jì)一個(gè)線性系統(tǒng)，使輸入為白噪聲時(shí)，輸出信號(hào)具有所希望的功率譜密

46、度？信號(hào)具有所希望的功率譜密度？問題：如何設(shè)計(jì)一個(gè)線性系統(tǒng)，將輸入的色噪聲轉(zhuǎn)化為輸出問題：如何設(shè)計(jì)一個(gè)線性系統(tǒng)，將輸入的色噪聲轉(zhuǎn)化為輸出是白噪聲？是白噪聲？5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-28591. 色噪聲的產(chǎn)生色噪聲的產(chǎn)生設(shè)輸入信號(hào)為具有單位功率譜密度的白噪聲，則系統(tǒng)輸出信號(hào)的功率譜密度為 sHsHsSsSXY sHsH 2HSY 1zHzHzSzSXY2jjYeHeS 1zHzH 5.3.3 色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器 5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析譜分解定理譜分

47、解定理1：對(duì)于實(shí)平穩(wěn)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號(hào)，若其功率譜密度是：對(duì)于實(shí)平穩(wěn)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號(hào)，若其功率譜密度是一個(gè)有理譜，則存在一個(gè)有理函數(shù)，它的極點(diǎn)在一個(gè)有理譜，則存在一個(gè)有理函數(shù)，它的極點(diǎn)在s平面的左半面，零點(diǎn)全在左半面或虛軸上，且滿足：平面的左半面，零點(diǎn)全在左半面或虛軸上，且滿足： sSY sSY sSY sSsSYY譜分解定理譜分解定理2：對(duì)于實(shí)平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)，若其功率譜密度是：對(duì)于實(shí)平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)，若其功率譜密度是一個(gè)有理譜，則存在一個(gè)有理函數(shù)，它的極點(diǎn)在單一個(gè)有理譜，則存在一個(gè)有理函數(shù)，它的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，零點(diǎn)全在單位圓上或單位圓內(nèi)，且滿足：位圓內(nèi)，零點(diǎn)全在單位圓上或單位圓內(nèi)，且

48、滿足： zSY zSY YSz YYSz Sz 5.3.3 色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器 5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2861 sSY sHsH sSY sSsSYY所以 sSsHY zSY zHzH zSY zSzSYY所以 zSzHY連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng) 5.3.3 色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器 5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2862解:由題知 9104925242ssssSY33115757sssss

49、s sSY3157sss sSsHY例例5.6 設(shè)計(jì)一穩(wěn)定線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)一穩(wěn)定線性系統(tǒng),使其在具有單位譜的白噪聲使其在具有單位譜的白噪聲激勵(lì)下輸出譜為激勵(lì)下輸出譜為: 9104925242YS3157sss5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2863解:由題知 91064244ssssSY33118888ssssjsjsss sSY sSsHY例例5.7 設(shè)計(jì)一穩(wěn)定線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)一穩(wěn)定線性系統(tǒng),使其在具有單位譜的白噪聲使其在具有單位譜的白噪聲激勵(lì)下輸出譜為激勵(lì)下輸出譜為: 91064244YS3188ssjss3188ssjss5.3 5.3

50、隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-28642. 白化濾波器白化濾波器 1sHsHsSsSXY sSsHsHX1 sSsSXX1 sSsHX1 11zHzHzSzSXY zSzHzHX11 zSzSXX1 zSzHX1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng) 5.3.3 色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器 5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析例例5.8 求功率譜密度為求功率譜密度為 的白化濾波器的白化濾波器. cos25. 1cos4 . 004. 1XS cos25. 1cos4 . 004.

51、 1XS解解:jwjwjwjweeee5 . 025. 12 . 004. 1 115 . 025. 12 . 004. 1zzzzzSX115 . 05 . 02 . 02 . 0zzzz 5 . 02 . 0zzzSX 2 . 05 . 01zzzSzHX5.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2866例例5.9 求功率譜密度為求功率譜密度為 的白化濾波器的白化濾波器. 9322XS解解: 33sssSX 331sssSsHX 9322XS 9322sssSXssss33335.3 5.3 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)通過通過離散離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)間系統(tǒng)的

52、分析的分析2022-3-28675.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬5.4.1 3dB帶寬帶寬2022-3-28685.4.2 白噪聲通過線性系統(tǒng)分析白噪聲通過線性系統(tǒng)分析)(H)(sHX( )S20N設(shè)連續(xù)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設(shè)連續(xù)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ，或或其輸入白噪聲功率譜密度為其輸入白噪聲功率譜密度為 ，那么系統(tǒng)輸出的功率譜密度為那么系統(tǒng)輸出的功率譜密度為 20Y( )( )2NSH或物理譜密度為或物理譜密度為2Y0( )( )GHN0注意注意：該式表明，若輸入端是具有均勻譜的白噪聲，則輸出該式表明，若輸入端是具有均勻譜的白噪聲，則輸出端隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度

53、主要由系統(tǒng)的幅頻特性決定，不再保端隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度主要由系統(tǒng)的幅頻特性決定，不再保持常數(shù)。這是因?yàn)闊o(wú)線電系統(tǒng)都具有一定的選擇性，系統(tǒng)只允持常數(shù)。這是因?yàn)闊o(wú)線電系統(tǒng)都具有一定的選擇性，系統(tǒng)只允許與其頻率特性一致的頻率分量通過的原因。許與其頻率特性一致的頻率分量通過的原因。 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-28695.4.2 白噪聲通過線性系統(tǒng)分析白噪聲通過線性系統(tǒng)分析20Y( )( )4jNRHedduuhuhN00)()(2輸出自相關(guān)函數(shù)為輸出自相關(guān)函數(shù)為 輸出平均功率為輸出平均功率為2200( )( )2NE YtHd 5.4 3dB5.4

54、3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-28705.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 引入目的：引入目的： 當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算系統(tǒng)輸出噪聲的統(tǒng)計(jì)特當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算系統(tǒng)輸出噪聲的統(tǒng)計(jì)特性是困難的。性是困難的。 在實(shí)際中為了計(jì)算方便，常常用一個(gè)幅頻響應(yīng)為在實(shí)際中為了計(jì)算方便，常常用一個(gè)幅頻響應(yīng)為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實(shí)際系統(tǒng)，矩形的理想系統(tǒng)等效代替實(shí)際系統(tǒng)， 等效時(shí)要用到一個(gè)非常重要的概念等效時(shí)要用到一個(gè)非常重要的概念等效噪聲等效噪聲帶寬帶寬，它被定義為理想系統(tǒng)的帶寬。，它被定義為理想系統(tǒng)的帶寬。5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3

55、-28715.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-2872 等效原則等效原則 理想系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵(lì)下理想系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵(lì)下,兩兩個(gè)系統(tǒng)的輸出平均功率相等個(gè)系統(tǒng)的輸出平均功率相等理想系統(tǒng)的增益等于實(shí)際系統(tǒng)的最大增益理想系統(tǒng)的增益等于實(shí)際系統(tǒng)的最大增益5.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-2873計(jì)算實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬計(jì)算實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬e H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率譜

56、密度為功率譜密度為20N白噪聲激勵(lì)白噪聲激勵(lì) 消耗在消耗在1電阻上的系統(tǒng)輸出端總平均功率為電阻上的系統(tǒng)輸出端總平均功率為 dwwHNtYE02022理想線性系統(tǒng)對(duì)同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為理想線性系統(tǒng)對(duì)同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為 22200202ewwKNdwKNtYEe5.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-2874 實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為 dwwHwHwe022max1對(duì)于一般的低通濾波器對(duì)于一般的低通濾波器)( H的最大值出現(xiàn)在的最大值出現(xiàn)在 0處，即處，即)0()(maxH

57、H 對(duì)于中心頻率為對(duì)于中心頻率為0 帶通系統(tǒng)帶通系統(tǒng)(如單調(diào)諧回路如單調(diào)諧回路) )( H的最大值出現(xiàn)在的最大值出現(xiàn)在處，即處，即0 )()(0maxHH5.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-2875 實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為 dwwHwHwe022max1 dssHsHwHjwjje2max21拉氏變換拉氏變換 代入代入 2max02wHwNPe dwwHNtYE02022系統(tǒng)輸出平均功率系統(tǒng)輸出平均功率 5.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶

58、寬和等效噪聲帶寬2022-3-2876小結(jié)：小結(jié)：由系統(tǒng)的等效噪聲帶寬由系統(tǒng)的等效噪聲帶寬e 可求出系統(tǒng)的輸出噪聲功率，當(dāng)系統(tǒng)輸入白噪聲時(shí)，僅使用參數(shù)可求出系統(tǒng)的輸出噪聲功率，當(dāng)系統(tǒng)輸入白噪聲時(shí)，僅使用參數(shù)e 和和max)( H就可以描述非常復(fù)雜的線性系統(tǒng)及其噪聲響應(yīng)。就可以描述非常復(fù)雜的線性系統(tǒng)及其噪聲響應(yīng)。 5.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-2877解: dHHe022max1例例5.10 計(jì)算低通濾波器計(jì)算低通濾波器 的等效噪聲帶寬的等效噪聲帶寬 jbbH和和3dB帶寬。帶寬。 由 知 ， jbbH 222

59、2bbH 10 HHmax所以，等效噪聲帶寬dbb02220arctanbbb22eef4b5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬又因?yàn)?222bbH所以21222bbb3dB帶寬為2bf 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬例例5.10 計(jì)算低通濾波器計(jì)算低通濾波器 的等效噪聲帶寬的等效噪聲帶寬 jbbH和和3dB帶寬。帶寬。 2022-3-2879解: dHHe022max1例例5.11 計(jì)算低通濾波器計(jì)算低通濾波器 的等效噪聲帶寬的等效噪聲帶寬 0,2H和和3dB帶寬。帶寬。 所以，等效噪聲帶寬d02241322eef31由 知 ，

60、222H 20 HHmax 2H5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-2880wA02w2w設(shè)白噪聲的物理譜設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜輸出的物理譜 輸出的自相關(guān)函數(shù)輸出的自相關(guān)函數(shù) 輸出平均功率輸出平均功率 輸出相關(guān)系數(shù)輸出相關(guān)系數(shù) 輸出相關(guān)時(shí)間輸出相關(guān)時(shí)間 5.4.4 白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng) 0)(AH/2 其它0( )XGN5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-2881wA02w2w設(shè)白噪聲的物理譜設(shè)白噪聲的物理譜 輸出的自相關(guān)函數(shù)輸出的自相關(guān)函數(shù) 輸出平均功率輸出平均功率 輸出相關(guān)系數(shù)