競賽輔導(dǎo)-動(dòng)力學(xué)1

1、理論力學(xué)理論力學(xué)、工程力學(xué)工程力學(xué)的的與與解題方法總結(jié)暨競賽輔導(dǎo)系列講座之四：系列講座之四：動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用理學(xué)院理學(xué)院 力學(xué)教研室力學(xué)教研室主 要 內(nèi) 容主 要 內(nèi) 容一、動(dòng)力學(xué)普遍定理的結(jié)構(gòu)二、動(dòng)量法的應(yīng)用及常見錯(cuò)誤三、能量法的應(yīng)用及一般步驟四、突解約束問題五、雜題舉例一、動(dòng)力學(xué)普遍定理的結(jié)構(gòu)一、動(dòng)力學(xué)普遍定理的結(jié)構(gòu)動(dòng)能定理積分式積分式微分式微分式機(jī)械能守恒定律 功率方程功率方程動(dòng)量定理動(dòng)量定理積分式積分式微分式微分式 沖量定理沖量定理 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng) 定理定理動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理沖量矩定理沖量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程動(dòng)微分方程相對(duì)質(zhì)心的相對(duì)質(zhì)

2、心的動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理微分式微分式積分式 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程矢量方程矢量方程，運(yùn)動(dòng)與外力的關(guān)系運(yùn)動(dòng)與外力的關(guān)系標(biāo)量方程標(biāo)量方程，運(yùn)動(dòng)與作功力的關(guān)系運(yùn)動(dòng)與作功力的關(guān)系內(nèi) 容 之 二內(nèi) 容 之 二動(dòng)量法的應(yīng)用及常見錯(cuò)誤圖示均質(zhì)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，其上繞以細(xì)繩，繩懸掛一重為P的重物?，F(xiàn)在盤上加一力偶矩為的M力偶，設(shè)圓盤的角加速度為 ，問如下等式是否成立？MPJMPr2rgPJMPr正確的是：正確的是：答：不成立。答：不成立。另一方面另一方面：若對(duì)輪使用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，繩子的拉力并不等于重物的重力，重物加速向上或向下會(huì)產(chǎn)生超重或失重的現(xiàn)象。錯(cuò)誤原因：錯(cuò)誤原因：一方面一方面：若對(duì)

3、系統(tǒng)使用動(dòng)量矩 定理，上面等式中沒有考慮到重物的慣性。二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見錯(cuò)誤圖示鼓輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，懸掛的重物的重量分別為P1、P2，求輪的角加速度的計(jì)算公式是否正確？P2P1OJRPrP21圖示兩齒輪對(duì)各自軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，求輪的角加速度的計(jì)算公式是否正確？O1O2M212JJM二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見錯(cuò)誤222121RgPrgPJRPrP21212iJJM厚度及密度均相等的二大小均質(zhì)圓盤，用鉚釘固結(jié)在一起，將大盤的一面靜止地放在光滑水平面上，在大盤上受有力偶的作用，力偶矩為2FR，如圖所示。已知兩圓盤的質(zhì)量分別為m1=4 kg、m2=1 kg，半徑R=2r=100 mm，F(xiàn)=

4、100 N。試求其角加速度，又繞哪點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)？（1）根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知：系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒，因初始靜止，故質(zhì)心位置不動(dòng)。解：解：取大、小兩圓盤組成質(zhì)點(diǎn)系。（2）由質(zhì)心坐標(biāo)公式確定質(zhì)心位置：質(zhì)心C在O、O1點(diǎn)之間，距O點(diǎn) OC=r/5=20 mm（3）求系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理：212212221)(21COmOCmrmRmJC（4）根據(jù)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理求角加速度：2rad/S8602CJFRFFORrO1C二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見錯(cuò)誤一均質(zhì)輪的半徑為R、質(zhì)量為m，在輪的中心有一半徑為r的軸，軸上繞兩條細(xì)繩，繩端各作用一不變的水平力F1和F2，其方向相反，如圖所示。如輪對(duì)其中心

5、O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，且輪只滾不滑，求輪中心O的加速度。RrF1F2F1F2mgaFNFsO對(duì)輪，由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程有：RFrFFJS21SFFFma21運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：Ra 解：解：以上方程聯(lián)立求解可得：RmRJrFFRFFa22121)()(二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見錯(cuò)誤一細(xì)繩繞在半徑為r0.5 m，質(zhì)量為m=15 kg的均質(zhì)圓盤上，在繩的一端有常力FT=180 N向上拉動(dòng)，細(xì)繩不可伸長。求（1）圓盤中心的加速度；（2）圓盤的角加速度；（3）細(xì)繩的加速度。rCAFTrCAFTmgaCTFmgmaCrFmrT221aC (aa)aCA (ar)aA (ae)C取輪心C為動(dòng)點(diǎn)，繩子（直線段）為動(dòng)系ae=

6、 aa- ar= aC- r二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見錯(cuò)誤aChRPPFNFSOCmgaC例例： 圖示均質(zhì)磙子的質(zhì)量為m，半徑為R，對(duì)其質(zhì)心軸C的回轉(zhuǎn)半徑為。磙子靜止在水平面上，且受一水平拉力P 作用。設(shè)拉力P 的作用線的高度為h，磙子只滾不滑，滾動(dòng)摩阻忽略不計(jì)。求靜滑動(dòng)摩擦力Fs ，并分析Fs 的大小和方向與高度h的關(guān)系對(duì)輪，由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程有：RhPRFms2SCFPma運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：Ra 解：解：以上方程聯(lián)立求解可得：PRRhPRRhRFs222222122 RRh時(shí)，方向如圖。二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見錯(cuò)誤例例 圖示的傳動(dòng)系統(tǒng)，已知主動(dòng)輪A的半徑為r1，它與電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1

7、，從動(dòng)輪B的半徑為r2，它與輸出軸對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，均質(zhì)膠帶長為l，質(zhì)量為m。假如電機(jī)啟動(dòng)后，作用在傳動(dòng)軸A上的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為M，求主動(dòng)輪的角加速度。ABM11AMFAxFAyFT1FT2BFBxFByFT2FT122注：輪和膠帶的重力對(duì)輪軸的力矩為零，故圖中沒有將這些重力畫出。21llm二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見錯(cuò)誤二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見錯(cuò)誤2122221121222221112mrJrrJrlJrrrMTT122121rr運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：112211111ddrFFMrlJtTT212222222ddrFFrlJtTT分別對(duì)軸分別對(duì)軸A、B，由動(dòng)量矩定理得：，由動(dòng)量矩定理得：將運(yùn)動(dòng)學(xué)

8、關(guān)系與上面將運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系與上面2式聯(lián)立得：式聯(lián)立得：11212111rFFMrlJTT21222222rFFMrlJTT 整理得：整理得：212222111mrJrrJM兩邊膠帶張力之差為：兩邊膠帶張力之差為：圖示均質(zhì)圓柱體A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為r，在其中部繞以質(zhì)量不計(jì)的細(xì)繩。求： （1）圓柱體B下落時(shí)軸心的加速度。運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：)(BABra聯(lián)立解得：rgBA52gaB54mgFT51解：解：分別以輪A、B為研究對(duì)象。BO A Bmg BaB FT1 AO A mg FT1 rFmrTA1221對(duì)A：1TBFmgmarFmrTB1221對(duì)B：二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見錯(cuò)誤由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程得

9、：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：)(ABBra聯(lián)立解得：22mrmgrMaB解：解：Bmg BaB FT1 rFMmrTA1221對(duì)A：1TBFmgmarFmrTB1221對(duì)B：圖示均質(zhì)圓柱體A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為r，在其中部繞以質(zhì)量不計(jì)的細(xì)繩。求：（2）若在圓柱體A上作用一逆時(shí)針的力偶M，能使圓柱體B質(zhì)心加速度向上的條件。BO A M AO A mg FT1 M 為使aB0：mgrM2二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見錯(cuò)誤如圖所示，質(zhì)量為m的小車置于光滑水平面上。在小車的斜面上，放一質(zhì)量為m1的均質(zhì)圓柱。設(shè)圓柱與斜面間的靜摩擦系數(shù)為fS，試分析使圓柱在斜面上作純滾動(dòng)的條件。FFNFsamgcossinsNFFma（1

10、）研究小車，平動(dòng)，列寫牛二方程：）研究小車，平動(dòng)，列寫牛二方程：（2）研究輪）研究輪C，平面運(yùn)動(dòng)，列寫平面運(yùn)動(dòng)微分方程為：，平面運(yùn)動(dòng)，列寫平面運(yùn)動(dòng)微分方程為：s1sinFmgamCxFNFsm1gaarCxxN1cosFmgamCyrFmrs22取小車為動(dòng)系，輪心取小車為動(dòng)系，輪心C為動(dòng)點(diǎn)，作加速度分析，為動(dòng)點(diǎn)，作加速度分析，以建立以建立aCx、 aCy與與a、 間的關(guān)系：間的關(guān)系：reaaaaraaaaCyCx故CyCxaaaaaa e其中ra rraaCxcos解得sinaaCy二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見錯(cuò)誤2111cos23cossin2mmmgma2111cos23cossin21mmmgm

11、mrtan311mmmmfS（3）上面）上面6個(gè)方程（個(gè)方程（4個(gè)動(dòng)力學(xué)方程個(gè)動(dòng)力學(xué)方程+2個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)條件）聯(lián)立，解得：個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)條件）聯(lián)立，解得：解得解得Fs、FN后，后，NSSFfF利用：利用：得圓柱在斜面上純滾動(dòng)的條件：得圓柱在斜面上純滾動(dòng)的條件：二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見錯(cuò)誤內(nèi) 容 之 三內(nèi) 容 之 三能量法的應(yīng)用及一般步驟三、能量法的應(yīng)用及一般步驟P2DO1AEIBFO2P1QQaAaBvAvB2211圖示滑輪組中，定滑輪和動(dòng)滑輪的重量均為Q，半徑均為R，可視為均質(zhì)圓盤。重物A重P1重物B重P2，且P1P2+Q。求重物B的加速度。22222212222121212121212121RgQvgQ

12、RgQvgPvgPTOBABOEvvv222BEADvvvv2RvRvBD21RvRvRvBBE222222127421BvQPPgTAOBvPQvvPP122BvQPPP)2(21PTt ddtvvQPPgBBdd274121BvQPP12BBatvddvO2QPPgQPPa27422121B三、能量法的應(yīng)用及一般步驟已知：桿O1O2=l，重Q；力偶矩M；均質(zhì)輪半徑r，重P。求曲柄從靜止由水平位置轉(zhuǎn)過一角度后的角速度。O1O2rM01T2222221222121213121rgPvgPlgQT1212lv v2122rlrv222292121lgPQTsin292121212lPQMlgPQ

13、glPQlPQM22192sin21212glPQlPQM292cos266質(zhì)量為m，長為l的均質(zhì)桿AB放在水平桌面上，其質(zhì)心C到桌邊緣O的距離為d。該桿從水平位置由靜止釋放，開始圍繞桌子邊緣O轉(zhuǎn)動(dòng)。若桿與桌邊緣O之間的靜摩擦系數(shù)為fS，試求開始滑動(dòng)時(shí)桿AB與水平面之間的夾角。OABmgCFNFsatCanC)12(1212222dlmdmmlJOsin212dmgJOOJdmgsin22cosdmgJOOJdmgcos OtCJdmgdacos2OnCJdmgdasin222NcosFmgmatCssinFmgmanC?NF?sFsNsfFF?三、能量法的應(yīng)用及一般步驟三、能量法的應(yīng)用及一般

14、步驟212222111mrJrrJM例例 圖示的傳動(dòng)系統(tǒng)，已知主動(dòng)輪A的半徑為r1，它與電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，從動(dòng)輪B的半徑為r2，它與輸出軸對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，均質(zhì)膠帶長為l，質(zhì)量為m。假如電機(jī)啟動(dòng)后，作用在傳動(dòng)軸A上的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為M，求主動(dòng)輪的角加速度。ABM222221121mvJJTTTTBA帶系統(tǒng)的動(dòng)能：系統(tǒng)的動(dòng)能：122121rr運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：2211rrv212122221121mrrJrJT利用運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，動(dòng)能以動(dòng)能以1表達(dá)為：表達(dá)為：主動(dòng)力（力偶）功率：主動(dòng)力（力偶）功率：1MP 由功率方程：由功率方程：11121222211d

15、tdMmrrJrJT解得：解得：三、能量法的應(yīng)用及一般步驟對(duì) 一 自 由 度 理 想 約 束 系 統(tǒng) ， 能 量 法 的 一 般 步 驟對(duì) 一 自 由 度 理 想 約 束 系 統(tǒng) ， 能 量 法 的 一 般 步 驟寫出系統(tǒng)動(dòng)能的表達(dá)式寫出系統(tǒng)動(dòng)能的表達(dá)式取某一速度作為取某一速度作為“特征速度特征速度”運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：各速度運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：各速度以以“特征速度特征速度”表示表示將系統(tǒng)動(dòng)能寫成此將系統(tǒng)動(dòng)能寫成此“特征特征速度速度”的表達(dá)式的表達(dá)式主動(dòng)力的功（功率）主動(dòng)力的功（功率）動(dòng)能定理的積分形式動(dòng)能定理的積分形式功率方程功率方程速度速度加 速 度加 速 度約 束 力約 束 力三、能量法的應(yīng)用及一般步驟

16、OACBPP01T2222213121CvgPlgPTlvC22222232213121lgPlgPlgPTPlllgP23222lg492glan1627432043laCAB0anaFxFy0 xFPagPPFny84322圖示系統(tǒng)，求在重力作用下由靜止轉(zhuǎn)過900后的角速度，及轉(zhuǎn)軸O處的約束反力。三、能量法的應(yīng)用及一般步驟圖示直角彎桿OAB，求在重力作用下由靜止轉(zhuǎn)過900后的角速度，及轉(zhuǎn)軸O處的約束反力。OABC解：解：設(shè)桿OAB的角速度為 。系統(tǒng)動(dòng)能為：222121ABOAOJJJT22222411213121llmmlml2265ml由動(dòng)能定理：12WT 即：2326522lmglmg

17、ml解得：lg5122lg1552三、能量法的應(yīng)用及一般步驟 均質(zhì)圓柱A和飛輪B的質(zhì)量均為m，外半徑均為r，中間用直桿以鉸鏈連接。令它們沿斜面無滑動(dòng)地滾下，假若斜面與水平面的夾角為 ，飛輪可視為質(zhì)量集中于外緣的薄圓環(huán)，AB桿的質(zhì)量可以忽略。求AB桿的加速度及其內(nèi)力。ABrFmrAs221AsTFFmgmasinrFmrBs2BsTFFmgmasinBamgFBNFBsFTAmgFANFAsFTa對(duì)輪A由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程對(duì)輪B由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程三、能量法的應(yīng)用及一般步驟運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：raCsin74ga sin74mgFT（壓力）解得：討論：討論： 兩輪間連桿AB的內(nèi)力為壓力，說明若沒有連

18、桿AB的作用，則輪A將比輪B的加速度大（若兩輪同時(shí)自靜止運(yùn)動(dòng)，則輪A的速度將快于輪B）。這是由于雖然兩輪的移動(dòng)慣性相同，但輪A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性小于輪B。光滑接觸接觸面有摩擦比較接觸面有摩擦接觸面有摩擦接觸面有摩擦課間休息內(nèi) 容 之 四內(nèi) 容 之 四突 解 約 束 問 題四、突解約束問題的解法一圓環(huán)由繩AB和光滑斜面支撐。圓環(huán)的質(zhì)量為10 Kg、半徑為2 m。在圓環(huán)上，有一質(zhì)量為3 Kg的物塊D與之固結(jié)。求在繩子剪斷的瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)D的加速度。6045DB AErDAEFCm2gm1g060sinmgmaCx015sindFJCCDAEFC(m1+m1)gaOOC21mmmm1362133212rmmmd

19、CO22221222121)()()()(drmdrmdrmdmJJJJOCCCCOOCaaa daCODAEaOaOOaCOCxy060cosmgFmaCCyDOODaaa raDODAEaOaOOaDOC015cosCOOCxaaa015sinCOCyaa四、突解約束問題的解法6045DB AErxyDOODaaaAEFCm1gODFDyFDxDm2gFDxFDyDAEaOaOOaCOxy raDODOODxaaa015cos015sinDODyaa0001115sin15cos60sinDyDxOFFgmam21rmJOrFJDxO0001115cos15sin60cos0DyDxCFF

20、gmFmDxDxFgmam02245sinDyDyFgmam02245cos對(duì)圓環(huán)對(duì)圓環(huán)對(duì)球?qū)η蜷L為l，質(zhì)量為m的兩根相同的均質(zhì)桿AB與BC鉸接后一端A用鉸鏈固定，另一端置于光滑水平面上。求在系統(tǒng)從圖示位置無初速地開始運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)，水平面對(duì)桿的約束力。CBA60CBFByFBxmgDFCmgFBxFByBAABaBlFlmgmlBxAB0260sin23ABBla（1）研究桿）研究桿AB，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，列寫定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程、運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系分別為：，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，列寫定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程、運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系分別為：（2）研究桿）研究桿BC，平面運(yùn)動(dòng)，列寫平面運(yùn)動(dòng)微分方程為：，平面運(yùn)動(dòng)，列寫平面運(yùn)動(dòng)微分方程為：000260

21、sin230cos30sin12lFFFmlCBxByBC0030sin60sin1BxByDFFmaCBxByDFmgFFma00230cos60cos 桿桿BC作平面運(yùn)動(dòng)，以作平面運(yùn)動(dòng)，以B為基點(diǎn)，研究為基點(diǎn)，研究C點(diǎn)加速度，建立點(diǎn)加速度，建立aB與與BC間運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：間運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：nCBCBBCaaaaCBDBCaBaCaD2aD1atCBanCB0nCBa其中投影于豎直方向得：0060sin60sin0CBBaa四、突解約束問題的解法lgBC733mgFC740060sin60sin0CBBaaBCCBla2注意到解得：laBBC2CBDBCaBaCaD2aD1atDBanDB 以以B

22、為基點(diǎn)，研究為基點(diǎn)，研究D點(diǎn)加速度，建立點(diǎn)加速度，建立aD1、 aD2與與aB間運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：間運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：nDBDBBDDaaaaa210nDBa其中投影于水平及豎直方向得：00130sin30sinDBBDaaa00230cos30cosDBBDaaaBCCBla2注意到解得：BBCBDalaa2212110223232BCBDlaa（3）聯(lián)立求解以上）聯(lián)立求解以上8個(gè)方程（個(gè)方程（4個(gè)動(dòng)力學(xué)方程個(gè)動(dòng)力學(xué)方程+4個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系），可解得：個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系），可解得：四、突解約束問題的解法四、突解約束問題的解法例：例：圖示系統(tǒng)，力圖示系統(tǒng)，力F使使A點(diǎn)以點(diǎn)以u(píng)勻速運(yùn)動(dòng)，繩勻速運(yùn)動(dòng)，繩OB=L/2。圖示瞬時(shí)，運(yùn)動(dòng)至。圖示瞬時(shí)，運(yùn)動(dòng)至OB鉛垂。求此瞬時(shí)鉛垂。求此瞬時(shí)OA桿的加角桿的加角速度、地面約束力、繩的拉力。設(shè)桿長為速度、地面約束力、繩的拉力。設(shè)桿長為L，質(zhì)量為質(zhì)量為mA030BOgmF分析：此題目給出了桿的運(yùn)動(dòng)，可以用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求出未知力。四、突解約束問題的解法lua234BA22lu340Aa02lanBAlBnB222)2(ul/va其其中中nBABAABaaaaAB0AaAa0nBAaBaBAanBa投影于 軸，得：cosBAnBaa