高等數(shù)學(xué)之直線及其方程

1、直線及其方程直線及其方程xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程xyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)

2、二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程方程pzznyymxx000 直線的對(duì)稱式方程直線的對(duì)稱式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量的余弦稱為方向向量的余弦稱為直線的直線的方向余弦方向余弦.直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程例例1求經(jīng)過求經(jīng)過),(),(22221111zyxMzyxM兩點(diǎn)的直線方程兩點(diǎn)的直線方程解解因?yàn)橹本€過因?yàn)橹本€過21,MM兩點(diǎn)兩點(diǎn)因此可取因此可取21MM作為直線的方向向量作為直線的方向向量21MMs 121212,zzyyxx 由點(diǎn)向式即得所求直線的方程為由點(diǎn)向式即得所求直線的方程為121121121zzzz

3、yyyyxxxx 直線的兩點(diǎn)式方程直線的兩點(diǎn)式方程例例2 2 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zyxzyx解一解一用點(diǎn)向式用點(diǎn)向式在直線上任取一點(diǎn)在直線上任取一點(diǎn)),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)),2, 0 , 1( 因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx解二解二用兩點(diǎn)式用兩點(diǎn)式已求出一點(diǎn)已求出一點(diǎn))2, 0 , 1( 再求出一點(diǎn)再求出一點(diǎn)令令1

4、 y得得0 zx532 zx解得解得5, 5 zx點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)),5, 1, 5( 所求直線方程為所求直線方程為,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx解三解三由由.043201 zyxzyx兩式相加得兩式相加得0543 zx)54(31 zx代入方程組得代入方程組得)2(31 zy即即)54(31 zx)2(31 zy稱為稱為投影方程投影方程實(shí)際上這就是所求直線的參數(shù)方程實(shí)際上這就是所求直線的參數(shù)方程對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程3132435 zyx例例 3 3 一一直直線線過過點(diǎn)點(diǎn))4 , 3, 2( A，且且和和y軸軸垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程. 解解因因?yàn)闉橹敝?/p>

5、線線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx由以上幾例可見，求直線方程的思路、步驟：由以上幾例可見，求直線方程的思路、步驟：兩定兩定定點(diǎn)、定向定點(diǎn)、定向例例4求過點(diǎn)求過點(diǎn)A ( 1 , 2 ,2 ) ,且通過直線且通過直線 L12132 zyx的平面方程的平面方程解解設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為n由題設(shè)知點(diǎn)由題設(shè)知點(diǎn))2 , 1, 2( M為直線為直線L上一點(diǎn)上一點(diǎn)其方向向量其方向向量kjis 3由于所求平面通過點(diǎn)由于所求平面通過點(diǎn)A及及LkjiAMn43 AMsn 431

6、113 kjikji1013 由點(diǎn)法式得所求平面方程為由點(diǎn)法式得所求平面方程為0)2(10)1(13)2( zyx即即051013 zyx例例5求直線求直線412312 zyx與平面與平面062 zyx的交點(diǎn)的交點(diǎn)解解所給直線的參數(shù)方程為所給直線的參數(shù)方程為tx 2ty 3tz24 代入平面方程，得代入平面方程，得06)24()3()2(2 ttt解得解得1 t將將1 t代入直線的參數(shù)方程，即得代入直線的參數(shù)方程，即得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為2, 2, 1 zyx即交點(diǎn)為即交點(diǎn)為)2 , 2 , 1(M定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222

7、pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例 6 6 求過點(diǎn)求過點(diǎn))5, 2, 3( 且與兩平面且與兩平面34 zx和和152 zyx的交線平

8、行的直線方程的交線平行的直線方程. 解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為,pnms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程例例 7 7 求過點(diǎn)求過點(diǎn))3 , 1 , 2(M且與直線且與直線12131 zyx垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程. 解解先作一過點(diǎn)先作一過點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點(diǎn)再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交點(diǎn)交

9、點(diǎn))73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系： L)1(.p

10、CnBmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 例例 8 8 設(shè)直線設(shè)直線:L21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直線與平面的夾角，求直線與平面的夾角. 解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角五、平面束五、平面束設(shè)有直線設(shè)有直線:L)(011111 DzCyBxA)(022222 DzCyBxA考慮考慮0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 其中其中022 因因222111,CBACBA與與不成比例不成比例

11、故故212121,CCBBAA 不全為不全為 0從而從而0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 表示一個(gè)平面表示一個(gè)平面若一點(diǎn)若一點(diǎn)P在在L上上滿足滿足 和和 的方程的方程12P則點(diǎn)則點(diǎn)的坐標(biāo)必同時(shí)的坐標(biāo)必同時(shí)P則點(diǎn)則點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足的坐標(biāo)也滿足因而因而L表示過表示過 的平面的平面對(duì)于對(duì)于 的不同值的不同值 ,L表示過表示過 的所有平面的所有平面過過 的平面束的平面束L一般在具體應(yīng)用時(shí)，常取一般在具體應(yīng)用時(shí)，常取11 或或而考慮缺而考慮缺 或或 的平面束的平面束120)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA

12、 例例9求直線求直線 0101zyxzyx在平面在平面0 zyx上的投影直線的方程上的投影直線的方程分析分析過所給直線作一平面與已知平面垂直，過所給直線作一平面與已知平面垂直，兩平面的交線即位所求兩平面的交線即位所求解解 過所給直線的過所給直線的平面束平面束方程為方程為0)1()1( zyxzyx 即即0)1()1()1()1( zyx這平面與已知平面垂直的條件是這平面與已知平面垂直的條件是01)1(1)1(1)1( 1 所求平面方程為所求平面方程為01 zy這就是過已知直線且垂直于平面這就是過已知直線且垂直于平面0 zyx的平面的方程的平面的方程它與已知平面它與已知平面 的交線：的交線：0 zyx0 zyx01 zy即為所求的投影直線的方程即為所求的投影直線的方程空間直線的一般方程空間直線的一般方程.空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程.兩直線的夾角兩直線的夾角.直線與平面的夾角直線與平面的夾角.（注意兩直線的位置關(guān)系）（注意兩直線的位置關(guān)系）（注意直線與平面的位