考研——積分上限的函數(shù)(變上限積分、變限積分)知識點全面總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上考研積分上限的函數(shù)（變上限積分）知識點形如上式的積分，叫做變限積分。注意點：1、在求導(dǎo)時，是關(guān)于x求導(dǎo)，用課本上的求導(dǎo)公式直接計算。2、在求積分時，則把x看作常數(shù)，積分變量在積分區(qū)間上變動。（即在積分內(nèi)的x作為常數(shù)，可以提到積分之外。）關(guān)于積分上限函數(shù)的理論定理1如果在上連續(xù)，則在（a，b）上可積，而可積，則在上連續(xù)。定理2如果在上有界，且只有有限個間斷點，則在（a，b）上可積。定理3如果在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，而且有=注：（）從以上定理可看出，對作變上限積分后得到的函數(shù)，性質(zhì)比原來的函數(shù)改進了一步：可積改進為連續(xù)；連續(xù)改進為可導(dǎo)。這是積分上限函數(shù)的良好性質(zhì)。而我們知道

2、，可導(dǎo)函數(shù)經(jīng)過求導(dǎo)后，其導(dǎo)函數(shù)甚至不一定是連續(xù)的。 （）定理（3）也稱為原函數(shù)存在定理。它說明：連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)，并通過定積分的形式給出了它的一個原函數(shù)。我們知道，求原函數(shù)是求導(dǎo)運算的逆運算，本質(zhì)上是微分學(xué)的問題；而求定積分是求一個特定和式的極限，是積分學(xué)的問題。定理（3）把兩者聯(lián)系了起來，從而使微分學(xué)和積分學(xué)統(tǒng)一成為一個整體，有重要意義。重要推論及計算公式：推論1 <變上限積分改變上下限，變號。>推論2 <上限是復(fù)合函數(shù)的情況求導(dǎo)。>推論3 <上下限都是變的時候，用上限的減去下限的。>題型中常見積分限函數(shù)的變形和復(fù)合情況：（1）比如 (被積函數(shù)中含x

3、, 但x 可提到積分號外面來.)在求時，先將右端化為的形式，再對求導(dǎo)。分離后左邊的部分要按照(uv)=uv + uv進行求導(dǎo)?。ㄖ攸c）（2）比如 ( f 的自變量中含x, 可通過變量代換將x 置換到f 的外面來)在求時，先對右端的定積分做變量代換（把看作常數(shù)），此時，時，；時，這樣，就化成了以作為積分變量的積分下限函數(shù)：，然后再對x求導(dǎo)。( 3 ) 比如 (這是含參數(shù)x的定積分, 可通過變量代換將x 變換到積分限的位置上去)在求時，先對右端的定積分做變量代換（把看作常數(shù)），此時，時，；時，于是，就化成了以作為積分變量的積分上限函數(shù)：，然后再對x求導(dǎo)。有積分限函數(shù)參與的題型舉例（1） 極限問題：

4、例1 （提示：0/0型，用洛必達法則，答：12）例2 （提示：洛必達法則求不出結(jié)果，用夾逼準(zhǔn)則，0=<|sinx|=<1。 答：）例3 已知極限，試確定其中的非零常數(shù)（答：）（2） 求導(dǎo)問題例4 已知 求 (參數(shù)方程，你懂的！答:)例5 已知 求 (答: )例6 求 (答: )例7 設(shè)在內(nèi)連續(xù)且 求證 在內(nèi)單調(diào)增加. （同濟高數(shù)課本Unit5-3例題7）（3） 最大最小值問題例8 在區(qū)間上求一點, 使得下圖中所示的陰影部分的面積為最小.Oey = ln xxy11(提示: 先將面積表達為兩個變限定積分之和:, 然后求出,再求出其駐點. 答:.)例9 設(shè)，為正整數(shù). 證明 的最大值不

5、超過 (提示:先求出函數(shù)的最大值點, 然后估計函數(shù)最大值的上界.)(4) 積分問題例10 計算，其中.(提示: 當(dāng)定積分的被積函數(shù)中含有積分上限函數(shù)的因子時, 總是用分部積分法求解, 且取為積分上限函數(shù). 答: )例11 設(shè)在內(nèi)連續(xù), 證明 (提示: 對右端的積分施行分部積分法.)例12 設(shè) 求在內(nèi)的表達式.(說明: 這類題在概論課中求連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)時會遇到. 求表達式時, 注意對任一取定的, 積分變量在內(nèi)變動.答: )(5) 含有未知函數(shù)的變上限定積分的方程（稱為積分方程）的求解問題例13 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且滿足 求(答: ) （說明：這類問題總是通過兩端求導(dǎo)，將所給的積分方程化為微分

6、方程，然后求解. 注意初值條件隱含在積分方程內(nèi). 答: ） 例14 設(shè)為正值連續(xù)函數(shù), 且對任一, 曲線在區(qū)間上的一段弧長等于此弧段下曲邊梯形的面積, 求此曲線方程.(說明: 根據(jù)題設(shè)列出的方程將含有的積分上限函數(shù). 答: (6) 利用積分上限函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)以證明積分不等式等.例15 設(shè)均在上連續(xù), 證明以下的Cauchy-Swartz 不等式:說明: 本題的通常證法是從不等式出發(fā), 由關(guān)于的二次函數(shù)非負(fù)的判別條件即可證得結(jié)論. 但也可構(gòu)造一個積分上限函數(shù), 利用該函數(shù)的單調(diào)性來證明. 提示如下:令 則 求出并證明 從而單調(diào)減少, 于是得 由此可得結(jié)論. 這種證法有一定的通用性. 例如下例. 例16 設(shè)在0,1上連續(xù)且單調(diào)減少. 證明: 對任一 有 (提示: 即證 于是作 只需證單調(diào)減少即可得結(jié)論.) 利用積分上限函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù), 還常用于證明與微分中值定理有關(guān)的某些結(jié)論. 比如下題. 例17 設(shè)在上連續(xù). 求證: 存在, 使 . (提示: 令. 對在上用Rolle定理即可證得結(jié)論)關(guān)于積分限函數(shù)的奇偶性與周期性定理4 設(shè)連續(xù)，.如果是奇（偶）函數(shù)，則是偶（奇）函數(shù)；如果是周期為的函數(shù)，且,則是相同周期的周期函數(shù).證 設(shè)奇,