第十一計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布章章末大盤點

1、一、分類討論思想一、分類討論思想 理理分類討論思想在計數(shù)原理和概率中應(yīng)用廣泛如計分類討論思想在計數(shù)原理和概率中應(yīng)用廣泛如計數(shù)原理中的分類加法原理二項式定理中二項式系數(shù)最大數(shù)原理中的分類加法原理二項式定理中二項式系數(shù)最大問題，概率事件中互斥事件有一個發(fā)生的概率問題等都要問題，概率事件中互斥事件有一個發(fā)生的概率問題等都要用到分類討論思想，通過分類可以把復(fù)雜的問題化為簡單用到分類討論思想，通過分類可以把復(fù)雜的問題化為簡單而熟悉的問題進行解決在分類時要注意選擇正確的分類而熟悉的問題進行解決在分類時要注意選擇正確的分類標準，力爭做到不重復(fù)也不遺漏標準，力爭做到不重復(fù)也不遺漏 文文分類討論思想在互斥事件概

2、率求法中的應(yīng)用主要是分類討論思想在互斥事件概率求法中的應(yīng)用主要是準確地將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和在轉(zhuǎn)化過程準確地將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和在轉(zhuǎn)化過程中也即分類過程，要注意分類時做到不重復(fù)，也不遺漏中也即分類過程，要注意分類時做到不重復(fù)，也不遺漏【示例示例1】理理用用0,1,2,3,4這五個數(shù)字，可以組成多少這五個數(shù)字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)個滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)(1)被被4整除；整除；(2)比比21 034大的偶數(shù)；大的偶數(shù)；解解(1)被被4整除的數(shù)，其特征應(yīng)是末兩位數(shù)是整除的數(shù)，其特征應(yīng)是末兩位數(shù)是4的倍的倍數(shù)可分為兩類：當末兩位數(shù)是數(shù)

3、可分為兩類：當末兩位數(shù)是20,40,04時，其排列數(shù)為時，其排列數(shù)為 18，當末兩位數(shù)是，當末兩位數(shù)是12,24,32時，其排列數(shù)為時，其排列數(shù)為故滿足條件的五位數(shù)共有故滿足條件的五位數(shù)共有 個個(2)法一：法一：可分五類，當末位數(shù)是可分五類，當末位數(shù)是0，而首位數(shù)是，而首位數(shù)是2，有，有 6個；個；當末位數(shù)字是當末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是，而首位數(shù)字是3或或4，有有 12個；個；當末位數(shù)字是當末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是，而首位數(shù)字是3或或4，有有 12個；個；當末位數(shù)字是當末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是，而首位數(shù)字是2，有，有 個；個；當末位數(shù)字是當末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是，而首位數(shù)字是3，有

4、，有 6個個故有故有 個個法二：法二：不大于不大于21 034的偶數(shù)可分為三類：的偶數(shù)可分為三類：1為萬位數(shù)字的偶數(shù)，有為萬位數(shù)字的偶數(shù)，有 (個個)；2為萬位數(shù)字，而千位數(shù)字是為萬位數(shù)字，而千位數(shù)字是0的偶數(shù)，有的偶數(shù)，有 個；個；還有還有21 034本身本身而由而由0,1,2,3,4組成的五位偶數(shù)有組成的五位偶數(shù)有 個故滿足條件的五位偶數(shù)共有個故滿足條件的五位偶數(shù)共有60 139個個領(lǐng)悟領(lǐng)悟本題中本題中“0”是特殊數(shù)字，不能排在首位因為要對是特殊數(shù)字，不能排在首位因為要對首位所排數(shù)字進行分類討論首位所排數(shù)字進行分類討論【示例示例1】文文已知實數(shù)已知實數(shù)a，b2，1,1,2(1)求直線求直線

5、yaxb不經(jīng)過第四象限的概率；不經(jīng)過第四象限的概率；(2)求直線求直線yaxb與圓與圓x2y21有公共點的概率有公共點的概率解解由于實數(shù)對由于實數(shù)對(a，b)的所有取值為：的所有取值為：(2，2)，(2，1)，(2,1)，(2,2)，(1，2)，(1，1)，(1,1)，(1,2)，(1，2)，(1，1)，(1,1)，(1,2)，(2，2)，(2，1)，(2,1)，(2,2)，共，共16種種設(shè)設(shè)“直線直線yaxb不經(jīng)過第四象限不經(jīng)過第四象限”為事件為事件A，“直線直線yaxb與圓與圓x2y21有公共點有公共點”為事件為事件B.(1)若直線若直線yaxb不經(jīng)過第四象限，則必須滿足不經(jīng)過第四象限，則

6、必須滿足即滿足條件的實數(shù)對即滿足條件的實數(shù)對(a，b)有有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共，共4種種故直線故直線yaxb不經(jīng)過第四象限的概率為不經(jīng)過第四象限的概率為(2)若直線若直線yaxb與圓與圓x2y21有公共點，則必須滿足有公共點，則必須滿足 即即b2a21.若若a2，則，則b2，1,1,2符合要求，此時實數(shù)時符合要求，此時實數(shù)時(a，b)有有4種不同取值；種不同取值；若若a1，則，則b1,1符合要求，此時實數(shù)對符合要求，此時實數(shù)對(a，b)有有2種不種不同取值；同取值；若若a1，則，則b1,1符合要求，此時實數(shù)對符合要求，此時實數(shù)對(a，b)有有2種不同種不同取值；取

7、值；若若a2，則，則b2，1,1,2符合要求，此時實數(shù)時符合要求，此時實數(shù)時(a，b)有有4種不同取值種不同取值滿足條件的實數(shù)時滿足條件的實數(shù)時(a，b)共有共有12種不同取值種不同取值故直線故直線yaxb與圓與圓x2y21有公共點的概率為有公共點的概率為領(lǐng)悟領(lǐng)悟本題本題(2)中中a取不同的值，取不同的值，b對應(yīng)著不同的值滿足題意，對應(yīng)著不同的值滿足題意，因此要對因此要對a的取值進行討論的取值進行討論二、等價轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想二、等價轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想 幾何概型其實質(zhì)是借助于數(shù)形結(jié)合思想，將實際問題幾何概型其實質(zhì)是借助于數(shù)形結(jié)合思想，將實際問題等價轉(zhuǎn)化為幾何概型的一種概率問題，常見的有

8、長度等價轉(zhuǎn)化為幾何概型的一種概率問題，常見的有長度(角度角度)型，面積型，體積型，有時與線性規(guī)則問題相結(jié)合型，面積型，體積型，有時與線性規(guī)則問題相結(jié)合【示例示例2】已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)x22axb2，a，bR.(1)若若a從集合從集合0,1,2,3中任取一個元素，中任取一個元素，b從集合從集合0,1,2中任中任取一個元素，求方程取一個元素，求方程f(x)0有兩個不相等實根的概率；有兩個不相等實根的概率；(2)若若a從區(qū)間從區(qū)間0,2中任取一個數(shù)，中任取一個數(shù)，b從區(qū)間從區(qū)間0,3中任取一個中任取一個數(shù)，求方程數(shù)，求方程f(x)0沒有實根的概率沒有實根的概率解解(1)a取集合取集合0,1,2

9、,3中任一個元素，中任一個元素，b取集合取集合0,1,2中任一個元素，中任一個元素，a，b的取值的情況有的取值的情況有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一，其中第一個數(shù)表示個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示的取值，第二個數(shù)表示b的取值，即基本事件的取值，即基本事件總數(shù)為總數(shù)為12.設(shè)設(shè)“方程方程f(x)0有兩個不相等的實根有兩個不相等的實根”為事件為事件A，當，當a0，b0時，方程時，方程f(x)0有兩個不相等實根的充要條件為有兩個不相等實根的充要條件為ab.當當ab時，時，a，b取

10、值的情況有取值的情況有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即，即A包含的基本事件數(shù)為包含的基本事件數(shù)為6，方程方程f(x)0有兩個不相等實根的概率有兩個不相等實根的概率P(A)(2)a從區(qū)間從區(qū)間0,2中任取一個數(shù)，中任取一個數(shù)，b從區(qū)間從區(qū)間0,3中任取一個數(shù)，中任取一個數(shù)，則試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域則試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域(a，b)|0a2,0b3， 這是一個矩形區(qū)域，這是一個矩形區(qū)域，其面積其面積S=23=6.設(shè)設(shè)“方程方程f(x)=0沒有實根沒有實根”為事件為事件B，則事件則事件B所構(gòu)成的區(qū)域為所構(gòu)成的區(qū)域為M=(a，b)|0a2,0b3，ab，即圖中

11、陰影部分的梯形，其面積，即圖中陰影部分的梯形，其面積SM=6 22=4.由幾何概型的概率計算公式可得方程由幾何概型的概率計算公式可得方程f(x)=0沒有實根的概率沒有實根的概率P(B)=領(lǐng)悟領(lǐng)悟本例中將所要求解的問題轉(zhuǎn)化成了圖形面積比的本例中將所要求解的問題轉(zhuǎn)化成了圖形面積比的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想三、函數(shù)與方程的思想三、函數(shù)與方程的思想理理 函數(shù)與方程思想在概率中應(yīng)用廣泛，主要是借助于函數(shù)與方程思想在概率中應(yīng)用廣泛，主要是借助于其思想確定概率值或構(gòu)造函數(shù)解決相關(guān)問題要注意此思想其思想確定概率值或構(gòu)造函數(shù)解決相關(guān)問題要注意此思想的應(yīng)用的應(yīng)用【示例示

12、例3】理理甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為不是一等品的概率為 ，乙機床加工的零件是一等品而丙，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為機床加工的零件不是一等品的概率為 ，甲、丙兩機床加，甲、丙兩機床加工的零件都是一等品的概率為工的零件都是一等品的概率為(1)分別求甲、乙、丙機床各自加工的零件是一等品的概率；分別求甲、乙、丙機床各自加工的零件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個

13、從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率一等品的概率解解(1)設(shè)設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機床各自加分別為甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件，由題意得工的零件是一等品的事件，由題意得這樣就得到了這樣就得到了P(A)、P(B)、P(C)的方程組，結(jié)合概率范圍解的方程組，結(jié)合概率范圍解此方程組得此方程組得即甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率分即甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率分別是別是112( ),( ),( ).343P AP BP C(2)記記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，

14、至少有一個一等品的事件，則有一個一等品的事件，則P(D)1P( )1(1P(A)1P(B)1P(C)1即從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個即從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為一等品的概率為領(lǐng)悟領(lǐng)悟本題本題(1)中利用題目提供的等量關(guān)系建立待求量中利用題目提供的等量關(guān)系建立待求量的方程，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用的方程，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用1理理(2009重慶高考重慶高考)鍋中煮有芝麻餡湯圓鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡湯個，花生餡湯 圓圓5個，豆沙餡湯圓個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相個，這三種湯圓的外部特征完全相 同從中任意舀取同從中任意舀取

15、4個湯圓，則每種湯圓都至少取到個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個個 的概率為的概率為 ()答案：答案：C解析：解析：文文(2007廣東高考廣東高考)在一個袋子中裝有分別標注數(shù)字在一個袋子中裝有分別標注數(shù)字1,2,3,4,5的五個小球，這些小球除標注的數(shù)字外完全相同現(xiàn)從中隨的五個小球，這些小球除標注的數(shù)字外完全相同現(xiàn)從中隨機取出機取出2個小球，則取出的小球標注的數(shù)字之和為個小球，則取出的小球標注的數(shù)字之和為3或或6的概率的概率是是 ()解析：解析：從從5個小球抽出兩球的做法有個小球抽出兩球的做法有10種數(shù)字之和為種數(shù)字之和為3只只有有(1,2)，數(shù)字之和為，數(shù)字之和為6有有(1,5)，(2,4)兩

16、種，兩種，答案：答案：A2理理(2008山東高考山東高考) 展開式中的常數(shù)項為展開式中的常數(shù)項為 ( ) A1 320B1 320 C220 D220解析：解析：令令12 0，得，得k9，答案：答案：C文文(2010溫州模擬溫州模擬)在三棱錐的六條棱中任意選擇兩條，在三棱錐的六條棱中任意選擇兩條，則這兩條棱是一對異面直線的概率為則這兩條棱是一對異面直線的概率為 ()解析：解析：在三棱錐的六條棱中任意選擇兩條共有在三棱錐的六條棱中任意選擇兩條共有15種情種情況，其中異面的情況有況，其中異面的情況有3種，則兩條棱異面的概率為種，則兩條棱異面的概率為P=答案：答案：C3(2010黃山質(zhì)檢黃山質(zhì)檢)已

17、知已知k2,2，則，則k的值使得過的值使得過A(1,1)可可 以作兩條直線與圓以作兩條直線與圓x2y2kx2y 0相切的概率相切的概率 等于等于 () D不確定不確定解析：解析：圓的方程化為圓的方程化為5kk240，k1.過過A(1,1)可以作兩條直可以作兩條直線與圓線與圓 相切，相切，A(1,1)在圓外，得在圓外，得k0，故，故k(1,0)，區(qū)間長度為，區(qū)間長度為1，因為，因為k2,2，則長度為則長度為4，P答案：答案：B2(1)y2(11)4(2009江蘇高考江蘇高考)現(xiàn)有現(xiàn)有5根竹竿，它們的長度根竹竿，它們的長度(單位：單位：m)分分 別為別為2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若從

18、中一次隨機抽取，若從中一次隨機抽取2根竹竿，根竹竿， 則它們的長度恰好相差則它們的長度恰好相差0.3 m的概率為的概率為_解析：解析：從從5根竹竿中，一次隨機抽取根竹竿中，一次隨機抽取2根竹竿的方法數(shù)為根竹竿的方法數(shù)為10.而滿足它們的長度恰好相差而滿足它們的長度恰好相差0.3 m的方法數(shù)為的方法數(shù)為2個，即個，即2.5和和2.8,2.6和和2.9.由古典概型的求法得由古典概型的求法得P=答案：答案：5(2009安徽高考安徽高考)從長度分別為從長度分別為2、3、4、5的四條線段中的四條線段中 任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的 概率

19、是概率是_解析：解析：四條線段任取三條共有四條線段任取三條共有4種取法，構(gòu)成三角形的種取法，構(gòu)成三角形的只能為只能為2、3、4,2、4、5或或3、4、5，答案：答案：6(2009福建高考福建高考)點點A為周長等于為周長等于3的圓周上的一個定點的圓周上的一個定點 若在該圓周上隨機取一點若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧的，則劣弧的 長度小于長度小于1的的 概率為概率為_解析：解析：如圖，設(shè)如圖，設(shè)A、M、N為圓周的為圓周的三等分點，當三等分點，當B點取在優(yōu)弧點取在優(yōu)弧 上時，對劣弧上時，對劣弧 來說，其長度小來說，其長度小于于1，故其概率為，故其概率為 .答案：答案：7(2010鹽城調(diào)研鹽城調(diào)研)

20、設(shè)不等式組設(shè)不等式組 所表示的區(qū)域為所表示的區(qū)域為A， 現(xiàn)在區(qū)域現(xiàn)在區(qū)域A中任意丟進一個粒子，則該粒子落在直線中任意丟進一個粒子，則該粒子落在直線y x上方的概率為上方的概率為_解析：解析：區(qū)域區(qū)域A的形狀是邊長為的形狀是邊長為2的正方形，面積為的正方形，面積為4，此正，此正方形在直線方形在直線y x上方的圖形為梯形，面積為上方的圖形為梯形，面積為4 213，P .答案：答案： 8理理(2009江西高考江西高考)某公司擬資助三位大學生自主創(chuàng)業(yè)，某公司擬資助三位大學生自主創(chuàng)業(yè)， 現(xiàn)聘請兩位專家，獨立地對每位大學生的創(chuàng)業(yè)方案進行現(xiàn)聘請兩位專家，獨立地對每位大學生的創(chuàng)業(yè)方案進行 評審假設(shè)評審結(jié)果為評

21、審假設(shè)評審結(jié)果為“支持支持”或或“不支持不支持”的概率都是的概率都是 .若若 某人獲得兩個某人獲得兩個“支持支持”，則給予，則給予10萬元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲萬元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲 得一個得一個“支持支持”，則給予，則給予5萬元的資助；若未獲得萬元的資助；若未獲得“支持支持”， 則不予資助，令則不予資助，令X表示該公司的資助總額表示該公司的資助總額 (1)寫出寫出X的分布列；的分布列； (2)求數(shù)學期望求數(shù)學期望E(X)解：解：(1)X的所有取值為的所有取值為0,5,10,15,20,25,30.P(X0) ，P(X5) ，P(X10) P(X15) ，P(X20) ，P(X25)P(X30)X

22、的分布列為：的分布列為：X051015202530P(2)E(X)5 10 15 20 25 30 15.文文(2009福建高考福建高考)袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，現(xiàn)依次有放回地隨機摸取個，現(xiàn)依次有放回地隨機摸取3次，每次摸取一個球次，每次摸取一個球(1)試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果；試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果；(2)若摸到紅球時得若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得分，摸到黑球時得1分，求分，求3次摸球所得次摸球所得總分為總分為5的概率的概率解：解：(1)一共有一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下：種不同的結(jié)果

23、，列舉如下：(紅、紅、紅紅、紅、紅)、(紅、紅、黑紅、紅、黑)、(紅、黑、紅紅、黑、紅)、(紅、黑、紅、黑、黑黑)、(黑、紅、紅黑、紅、紅)、(黑、紅、黑黑、紅、黑)、(黑、黑、紅黑、黑、紅)、(黑、黑、黑、黑黑、黑)(2)記記“3次摸球所得總分為次摸球所得總分為5”為事件為事件A.事件事件A包含的基本事件為：包含的基本事件為：(紅、紅、黑紅、紅、黑)、(紅、黑、紅紅、黑、紅)、(黑、紅、紅黑、紅、紅)，事件，事件A包含的基本事件數(shù)為包含的基本事件數(shù)為3.由由(1)可知，基本事件總數(shù)為可知，基本事件總數(shù)為8，所以事件所以事件A的概率為的概率為P(A)9理理(2010揚州模擬揚州模擬)已知已知5

24、只動物中有只動物中有1只患有某種疾病，只患有某種疾病， 需要通過化驗血液來確定患病的動物血液化驗結(jié)果呈陽需要通過化驗血液來確定患病的動物血液化驗結(jié)果呈陽 性的即為患病動物，呈陰性即沒患病下面是兩種化驗方性的即為患病動物，呈陰性即沒患病下面是兩種化驗方 案：案： 方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止 方案乙：先任取方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗若結(jié)只，將它們的血液混在一起化驗若結(jié) 果呈陽性則表明患病動物為這果呈陽性則表明患病動物為這3只中的只中的1只，然后再逐個化只，然后再逐個化 驗，直到能確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外驗，直到能

25、確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2 只中任取只中任取1只化驗只化驗(1)求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率；的概率；(2)X表示依方案乙所需化驗次數(shù)，求表示依方案乙所需化驗次數(shù)，求X的期望的期望解：解：記記A1、A2分別表示依方案甲需化驗分別表示依方案甲需化驗1次、次、2次，次，B1、B2分別表示依方案乙需化驗分別表示依方案乙需化驗2次、次、3次，次，A表示依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)表示依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)依題意知依題意知A2與與B2獨立獨立P（A1）=（1） =A1+ A2B2P（A2）=P（A3）=P( )P(A1A2B2)P(A1)P(A2B2)P(A1)P(A2)P(B2)所以所以P(A)1P(2)X的可能取值為的可能取值為2,3.P(B1)P(B2)P(X2)P(B1)P(X3)P(B2)所以所以E(X)3212232.4.555 文文(2008山東高考山東高考