行列式在高中幾何中的應用——三階行列式的應用

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上行列式在高中幾何中的應用三階行列式的應用 向量作為溝通代數(shù)與幾何的橋梁被引入高中數(shù)學，大大簡化了幾何問題運算量；在立體幾何中常用法向量來解決距離問題，夾角問題，于是求法向量又是一個新問題。行列式在求法向量時比較簡潔，明快，并且三階行列式還可以求點到平面的距離，四面體，平行六面體的體積一、行列式的定義階行列式的定義：符號第1行第2行第行第1列第2列第列叫做階行列式其中表示行列式中第行第列上的元素，即第一下標表示行數(shù)，第二下標表示列數(shù)如表示第行第列上的元素這里只介紹三階行列式的運算規(guī)定以及應用二階行列式的定義：符號 三階行列式的定義：符號叫做三階行列式（等號右邊是運算結果

2、）下面舉例說明三階行列式在高中幾何中的應用二、利用三階行列式求法向量1定義：設平面內(nèi)不共線的兩個的向量的坐標為，則行列式叫平面的一個法向量，記為例：直棱柱中，為棱的中點求平面的一個法向量如圖，建立空間直角坐標系，則，取面內(nèi)兩個不共線向量，則平面的一個法向量為：；2應用舉例（1）證明線面平行：平面的一個非零法向量是，平面外一條直線的一個非零方向向量是，則平面的充要條件是（2）求二面角：面面，面的一個非零法向量是，面的一個非零法向量是，則二面角的大小為：或【例1】正三棱柱的側棱長為，底面邊長為，是的中點（I）證明：平面；（）求二面角的余弦值解：依題意，建立如圖所示的空間直角坐標系：，則：， 則，平

3、面的一個法向量為：即，所以平面（）面的一個法向量為：，面的一個法向量為：，則，因此二面角的余弦值為（3）求異面直線的公共法向量：與是異面直線， 向量是直線的方向向量，是直線的方向向量，則異面直線與的一個公共法向量是：法向量求兩異面直線距離的基本思想：在空間中取兩條異面直線和，且他們的一個法向量為，因為直線，記垂足為，記垂足為，則線段的長就是異面直線和的距離，如圖，記法向量與的夾角為，則，即，故其中、分別為兩異面直線上的任意點，并且此兩點必須分居在兩直線上【例2】已知正方體的棱長為求異面直線與的距離解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則，于是異面直線與的一個法向量為分別在異面直線與各取一點、，異面

4、直線與的距離為三、利用三階行列式求平面方程定理：過三點、的平面的方程為：定理：若平面的方程為：，則平面外一點到平面的距離為： 【例3】已知正方形的邊長為，平面，、分別是、的中點，求點到平面的距離解：依題意，建立如圖所示的空間直角坐標系：，則：， 則平面的方程為：即：亦即：所以到平面的距離為： 四、利用三階行列式求四面體的體積定理：記平行六面體的一個頂點引出的三邊所對應的向量、，則平行六面體的體積為：說明：定理中的三向量只要是平行六面體的同一頂點引出的都可以，如、等都行定理：記四面體的一個定點引出的三邊所對應的向量坐標分別為：、，則四面體的體積為：說明：1.定理中的三向量只要是四面體的同一頂點引出的都可以，如、等都行2.事實上，所以 【例4】已知正四棱柱，點是棱上的中點，截面與底面所成的角為，求三棱錐的體積解：記與交點為，由正方形性質知是中點且，是棱上的點，易知，則，所以 ，所以，建立如圖所示的空間直角