矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

1、2 2 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形3 3 不變因子不變因子4 4 矩陣相似的條件矩陣相似的條件1 1 矩陣矩陣小結(jié)與習(xí)題小結(jié)與習(xí)題6 6 若當(dāng)若當(dāng)(Jordan)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)形的理論推導(dǎo)5 5 初等因子初等因子一、一、 矩陣的概念矩陣的概念三、三、 可逆可逆 矩陣矩陣 二、二、 矩陣的秩矩陣的秩第八章第八章 矩陣矩陣 1 1 矩陣概念矩陣概念定義定義：若矩陣若矩陣A的元素是的元素是 的多項(xiàng)式，即的多項(xiàng)式，即 的元素，則的元素，則 P 設(shè)設(shè)P P是一個(gè)數(shù)域，是一個(gè)文字，是多項(xiàng)式環(huán)，是一個(gè)數(shù)域，是一個(gè)文字，是多項(xiàng)式環(huán)， P 稱稱A為為 矩陣矩陣，并把，并把A寫成寫成 ( ).

2、A 一、一、 矩陣的概念矩陣的概念注：注： 數(shù)域數(shù)域P上的矩陣上的矩陣數(shù)字矩陣也數(shù)字矩陣也 ,PP 是是 矩陣矩陣.第八章第八章 矩陣矩陣 1 1 矩陣概念矩陣概念其定義與運(yùn)算規(guī)律與數(shù)字矩陣相同其定義與運(yùn)算規(guī)律與數(shù)字矩陣相同. 對(duì)于對(duì)于 的的 矩陣，同樣有行列式矩陣，同樣有行列式 nn |( )|,A 它是一個(gè)它是一個(gè) 的多項(xiàng)式，且有的多項(xiàng)式，且有 |( ) ( )| |( )|( )|.ABAB 這里這里 為同級(jí)為同級(jí) 矩陣矩陣.( ),( )AB 與數(shù)字矩陣一樣，與數(shù)字矩陣一樣，矩陣也有子式的概念矩陣也有子式的概念. 矩陣的各級(jí)子式是矩陣的各級(jí)子式是 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式. 矩陣也有加法、減法

3、、乘法、數(shù)量乘法運(yùn)算，矩陣也有加法、減法、乘法、數(shù)量乘法運(yùn)算， 第八章第八章 矩陣矩陣 1 1 矩陣概念矩陣概念若若矩陣矩陣 中有一個(gè)中有一個(gè) 級(jí)子式不為零，級(jí)子式不為零， ( )A (1)r r 而所有而所有 級(jí)的子式（若有的話）皆為零，則稱級(jí)的子式（若有的話）皆為零，則稱1r ( )A 的的秩為秩為r .二、二、矩陣的秩矩陣的秩定義定義：零矩陣的秩規(guī)定為零矩陣的秩規(guī)定為0. 第八章第八章 矩陣矩陣 1 1 矩陣概念矩陣概念三、可逆三、可逆 矩陣矩陣一個(gè)一個(gè) 的的 矩陣矩陣 稱為稱為可逆的可逆的，如果有一，如果有一 nn ( )A ( ) ( )( ) ( )ABBAE 一個(gè)一個(gè) 的的矩陣矩

4、陣 ，使，使 ( )B nn 定義定義：這里這里E是是n級(jí)單位矩陣級(jí)單位矩陣. 稱稱 為為 的逆矩陣的逆矩陣(它是唯一的它是唯一的)，記作，記作( )B ( )A 1( ).A 第八章第八章 矩陣矩陣 1 1 矩陣概念矩陣概念（定理定理1） 一個(gè)一個(gè) 的的矩陣矩陣 可逆可逆nn ( )A 是一個(gè)非零常數(shù)是一個(gè)非零常數(shù).( )A 證證: “ ” 若若 可逆，則有可逆，則有 ，使，使( )A ( )B ( ) ( )ABE 兩邊取行列式，得兩邊取行列式，得( ) ( )( )( )1ABABE ( ) ,( )AB都是零次多項(xiàng)式，即為非零常數(shù)都是零次多項(xiàng)式，即為非零常數(shù). 判定判定：第八章第八章 矩陣矩陣 1 1 矩陣概念矩陣概念“ ” 設(shè)設(shè) 是一個(gè)非零常數(shù)是一個(gè)非零常數(shù). ( )Ad 為的伴隨矩陣，則為的伴隨矩陣，則 ( )A ( )A 11( )( )( ) ( )AAAAEdd